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1. 合比性质：如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么
$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$
。答案
1.$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$
解析
【分析】
本题考查合比性质的推导与结论，解题思路如下：首先明确已知条件为$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（$b、d$均不为0），利用等式的基本性质，在等式两边同时加或减1，再对两边的分式通分合并，即可得到合比性质的表达式。
【解析】
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（$b\ne0$，$d\ne0$）：
1. 等式两边同时加1，得：
$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$
通分计算得：$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
2. 等式两边同时减1，得：
$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$
通分计算得：$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$
将两种情况合并，可得$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$。
【答案】
$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$
【知识点】
合比性质；等式的基本性质；分式运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对合比性质的掌握，推导过程用到的等式性质和分式运算都是代数部分的基础内容，熟练记忆合比性质结论的同时也要理解其推导逻辑，注意比例式中分母不能为0的隐含要求。
【难度系数】
0.9
本题考查合比性质的推导与结论，解题思路如下：首先明确已知条件为$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（$b、d$均不为0），利用等式的基本性质，在等式两边同时加或减1，再对两边的分式通分合并，即可得到合比性质的表达式。
【解析】
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（$b\ne0$，$d\ne0$）：
1. 等式两边同时加1，得：
$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$
通分计算得：$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
2. 等式两边同时减1，得：
$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$
通分计算得：$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$
将两种情况合并，可得$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$。
【答案】
$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$
【知识点】
合比性质；等式的基本性质；分式运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对合比性质的掌握，推导过程用到的等式性质和分式运算都是代数部分的基础内容，熟练记忆合比性质结论的同时也要理解其推导逻辑，注意比例式中分母不能为0的隐含要求。
【难度系数】
0.9
2.等比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}(b+d+\dots+n≠0)$，那么
$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\frac{a}{b}$
。答案
2.$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\frac{a}{b}$
解析
【分析】
这道题考查等比性质的推导与内容，解题思路如下：遇到多个比值相等的连比问题时，常用方法是设公共比值为参数k，将各个比的分子用对应的分母和k表示，再把所有分子相加，提取公因式k后，结合题目给出的“所有分母的和不为0”的限制条件，将等式两边同时除以分母的和，即可推导出等比性质的结论。
【解析】
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}=k$（k为常数），根据等式的基本性质可得：
$a=bk$，$c=dk$，……，$m=nk$
将上述等式左右两边分别相加，得：
$a+c+\dots+m = bk + dk + \dots + nk = k(b+d+\dots+n)$
已知$b+d+\dots+n≠0$，等式两边同时除以$b+d+\dots+n$，可得：
$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=k$
又因为$k=\frac{a}{b}$，因此$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\frac{a}{b}$
【答案】
$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\frac{a}{b}$
【知识点】
等比性质，比例的基本运算
【点评】
本题是对比例相关基础性质的直接考查，属于概念类基础题，解题的关键是熟记等比性质的内容，同时要注意等比性质适用的前提是所有分母的和不为0，答题时不要遗漏该限制条件对应的应用逻辑。
【难度系数】
0.9
这道题考查等比性质的推导与内容，解题思路如下：遇到多个比值相等的连比问题时，常用方法是设公共比值为参数k，将各个比的分子用对应的分母和k表示，再把所有分子相加，提取公因式k后，结合题目给出的“所有分母的和不为0”的限制条件，将等式两边同时除以分母的和，即可推导出等比性质的结论。
【解析】
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}=k$（k为常数），根据等式的基本性质可得：
$a=bk$，$c=dk$，……，$m=nk$
将上述等式左右两边分别相加，得：
$a+c+\dots+m = bk + dk + \dots + nk = k(b+d+\dots+n)$
已知$b+d+\dots+n≠0$，等式两边同时除以$b+d+\dots+n$，可得：
$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=k$
又因为$k=\frac{a}{b}$，因此$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\frac{a}{b}$
【答案】
$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\frac{a}{b}$
【知识点】
等比性质，比例的基本运算
【点评】
本题是对比例相关基础性质的直接考查，属于概念类基础题，解题的关键是熟记等比性质的内容，同时要注意等比性质适用的前提是所有分母的和不为0，答题时不要遗漏该限制条件对应的应用逻辑。
【难度系数】
0.9
1.若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=4$，且$a+c+e=8$，则$b+d+f$等于（
A.4
B.8
C.32
D.2
D
）。A.4
B.8
C.32
D.2
答案
1.D
解析
【分析】
本题给出多个比值相等的条件，可利用比例的等比性质求解，也可先通过比例的基本性质将分子用对应分母和比值表示，再代入已知的分子和等式计算。首先回忆等比性质：若几个分式的比值相等，且所有分母的和不为0，则所有分子的和与所有分母的和的比值等于原比值。本题中已知a+c+e=8，只要将分子和与分母和的比值等于4代入，即可快速求出b+d+f的值。
【解析】
解：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=4$，且$b、d、f$均不为0，即$b+d+f≠0$，
根据等比性质可得：$\frac{a+c+e}{b+d+f}=4$，
又
∵ $a+c+e=8$，
代入得 $\frac{8}{b+d+f}=4$，
解得 $b+d+f=8÷4=2$。
（也可使用基本性质求解：由$\frac{a}{b}=4$得$a=4b$，同理$c=4d$，$e=4f$，代入$a+c+e=8$得$4b+4d+4f=8$，即$4(b+d+f)=8$，解得$b+d+f=2$）
【答案】
D
【知识点】
等比性质、比例的基本性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，难度较低，熟练掌握等比性质可快速得到答案，使用等比性质时需注意隐含的分母和不为0的前提条件，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
本题给出多个比值相等的条件，可利用比例的等比性质求解，也可先通过比例的基本性质将分子用对应分母和比值表示，再代入已知的分子和等式计算。首先回忆等比性质：若几个分式的比值相等，且所有分母的和不为0，则所有分子的和与所有分母的和的比值等于原比值。本题中已知a+c+e=8，只要将分子和与分母和的比值等于4代入，即可快速求出b+d+f的值。
【解析】
解：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=4$，且$b、d、f$均不为0，即$b+d+f≠0$，
根据等比性质可得：$\frac{a+c+e}{b+d+f}=4$，
又
∵ $a+c+e=8$，
代入得 $\frac{8}{b+d+f}=4$，
解得 $b+d+f=8÷4=2$。
（也可使用基本性质求解：由$\frac{a}{b}=4$得$a=4b$，同理$c=4d$，$e=4f$，代入$a+c+e=8$得$4b+4d+4f=8$，即$4(b+d+f)=8$，解得$b+d+f=2$）
【答案】
D
【知识点】
等比性质、比例的基本性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，难度较低，熟练掌握等比性质可快速得到答案，使用等比性质时需注意隐含的分母和不为0的前提条件，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
2.若$\frac{x - 2y}{y} = \frac{2}{3}$，则$\frac{x}{y} =$
$\frac{8}{3}$
。答案
2.$\frac{8}{3}$
解析
【分析】
本题是已知比例式求比值的基础题，有两种常规解题思路：思路1：先将等式左侧的分式拆分，把$\frac{x-2y}{y}$拆分为$\frac{x}{y}-\frac{2y}{y}$，化简后即可直接得到含$\frac{x}{y}$的等式，移项计算即可得到结果；思路2：利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，将比例式转化为整式等式，整理得到x与y的数量关系，两边同时除以y（y≠0，为原式隐含条件）即可求出$\frac{x}{y}$的比值。
【解析】
方法一：分式拆分法
∵ $\frac{x - 2y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{2y}{y} = \frac{x}{y} - 2$
结合已知条件可得：$\frac{x}{y} - 2 = \frac{2}{3}$
移项得：$\frac{x}{y} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$
方法二：比例基本性质法
根据比例的基本性质，交叉相乘得：
$3(x - 2y) = 2y$
展开左边：$3x - 6y = 2y$
移项合并同类项：$3x = 8y$
∵ 原式分母为y，
∴ y≠0，两边同时除以3y得：
$\frac{x}{y} = \frac{8}{3}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
比例的基本性质、分式的运算
【点评】
本题属于比例运算的基础题型，解题核心是熟练掌握比例的变形方法，拆分法和交叉相乘法都是解决这类问题的常用技巧，计算时注意不要遗漏分母不为0的隐含条件即可。
【难度系数】
0.8
本题是已知比例式求比值的基础题，有两种常规解题思路：思路1：先将等式左侧的分式拆分，把$\frac{x-2y}{y}$拆分为$\frac{x}{y}-\frac{2y}{y}$，化简后即可直接得到含$\frac{x}{y}$的等式，移项计算即可得到结果；思路2：利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，将比例式转化为整式等式，整理得到x与y的数量关系，两边同时除以y（y≠0，为原式隐含条件）即可求出$\frac{x}{y}$的比值。
【解析】
方法一：分式拆分法
∵ $\frac{x - 2y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{2y}{y} = \frac{x}{y} - 2$
结合已知条件可得：$\frac{x}{y} - 2 = \frac{2}{3}$
移项得：$\frac{x}{y} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$
方法二：比例基本性质法
根据比例的基本性质，交叉相乘得：
$3(x - 2y) = 2y$
展开左边：$3x - 6y = 2y$
移项合并同类项：$3x = 8y$
∵ 原式分母为y，
∴ y≠0，两边同时除以3y得：
$\frac{x}{y} = \frac{8}{3}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
比例的基本性质、分式的运算
【点评】
本题属于比例运算的基础题型，解题核心是熟练掌握比例的变形方法，拆分法和交叉相乘法都是解决这类问题的常用技巧，计算时注意不要遗漏分母不为0的隐含条件即可。
【难度系数】
0.8
3.若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{4}(b+d+f≠0)$，则$\frac{a+c+e}{b+d+f}=$
$\frac{3}{4}$
。答案
3.$\frac{3}{4}$
解析
【分析】
本题是比例性质的基础应用题，解题思路如下：首先观察题干给出了多个比值相等的条件，且明确说明分母的和$b+d+f≠0$，符合等比性质的使用前提，可直接运用等比性质求解；如果对等比性质不熟悉，也可以采用设参数（k值）的方法，将各个分子用对应的分母和公共比值表示，代入所求式子约分后即可得到结果。
【解析】
方法1：运用等比性质求解
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{4}$，且$b+d+f≠0$，根据等比性质：若几个比值相等，且所有后项的和不为0，则前项之和与后项之和的比等于原比值，可得：
$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{3}{4}$
方法2：设参数法求解
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k=\frac{3}{4}$，则$a=\frac{3}{4}b$，$c=\frac{3}{4}d$，$e=\frac{3}{4}f$。
将上述关系代入所求式子：
$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{\frac{3}{4}b+\frac{3}{4}d+\frac{3}{4}f}{b+d+f}=\frac{\frac{3}{4}(b+d+f)}{b+d+f}$
因为$b+d+f≠0$，可以约去分子分母的$b+d+f$，得结果为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
等比性质；比例的计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查比例相关性质的应用，解题时要注意等比性质的使用前提是所有分母的和不为0，本题已经给出该条件可直接运用性质求解，也可通过设参数的方法验证结果，熟练掌握比例的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题是比例性质的基础应用题，解题思路如下：首先观察题干给出了多个比值相等的条件，且明确说明分母的和$b+d+f≠0$，符合等比性质的使用前提，可直接运用等比性质求解；如果对等比性质不熟悉，也可以采用设参数（k值）的方法，将各个分子用对应的分母和公共比值表示，代入所求式子约分后即可得到结果。
【解析】
方法1：运用等比性质求解
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{4}$，且$b+d+f≠0$，根据等比性质：若几个比值相等，且所有后项的和不为0，则前项之和与后项之和的比等于原比值，可得：
$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{3}{4}$
方法2：设参数法求解
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k=\frac{3}{4}$，则$a=\frac{3}{4}b$，$c=\frac{3}{4}d$，$e=\frac{3}{4}f$。
将上述关系代入所求式子：
$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{\frac{3}{4}b+\frac{3}{4}d+\frac{3}{4}f}{b+d+f}=\frac{\frac{3}{4}(b+d+f)}{b+d+f}$
因为$b+d+f≠0$，可以约去分子分母的$b+d+f$，得结果为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
等比性质；比例的计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查比例相关性质的应用，解题时要注意等比性质的使用前提是所有分母的和不为0，本题已经给出该条件可直接运用性质求解，也可通过设参数的方法验证结果，熟练掌握比例的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
4.已知$x:y:z=3:4:5$，且$x+y+z=12$，则$x=\_\_\_\_\_\_$，$y=\_\_\_\_\_\_$，$z=\_\_\_\_\_\_$。
答案
4. 3，4，5
解析
【分析】
遇到连比形式的比例关系时，通常采用设参数法求解。我们可以设每一份的数值为k，结合x:y:z=3:4:5，就能将x、y、z分别用含k的代数式表示，再代入x+y+z=12的等式中，得到关于k的一元一次方程，解出k的值后，即可分别求出x、y、z的取值。
【解析】
解：
∵ $x:y:z=3:4:5$
∴ 设 $x=3k$，$y=4k$，$z=5k$（$k≠0$）
将其代入 $x+y+z=12$，可得：
$3k+4k+5k=12$
合并同类项得：$12k=12$
解得：$k=1$
∴ $x=3k=3×1=3$，$y=4k=4×1=4$，$z=5k=5×1=5$
【答案】
3，4，5
【知识点】
连比的应用、参数法解比例、一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题核心是掌握连比问题的常用处理方法——设参数法，将多个未知数转化为同一个参数表示，降低解题难度，这类题型是比例相关计算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
遇到连比形式的比例关系时，通常采用设参数法求解。我们可以设每一份的数值为k，结合x:y:z=3:4:5，就能将x、y、z分别用含k的代数式表示，再代入x+y+z=12的等式中，得到关于k的一元一次方程，解出k的值后，即可分别求出x、y、z的取值。
【解析】
解：
∵ $x:y:z=3:4:5$
∴ 设 $x=3k$，$y=4k$，$z=5k$（$k≠0$）
将其代入 $x+y+z=12$，可得：
$3k+4k+5k=12$
合并同类项得：$12k=12$
解得：$k=1$
∴ $x=3k=3×1=3$，$y=4k=4×1=4$，$z=5k=5×1=5$
【答案】
3，4，5
【知识点】
连比的应用、参数法解比例、一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题核心是掌握连比问题的常用处理方法——设参数法，将多个未知数转化为同一个参数表示，降低解题难度，这类题型是比例相关计算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
5.已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}≠0$，且$a+3b=5$，则a的值为
$\frac{5}{3}$
。答案
5.$\frac{5}{3}$
解析
【分析】
遇到非零的比例连等式时，常用设参数的方法简化计算：首先设比例的比值为参数k，即可将a、b两个未知数都用含k的代数式表示，再代入已知的方程a+3b=5，就能得到只含参数k的一元一次方程，解出k后即可求出a的值。
【解析】
设$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=k$（$k≠0$），则：
$a=3k$，$b=2k$
将$a=3k$、$b=2k$代入$a+3b=5$，可得：
$3k + 3×2k = 5$
合并同类项得：$9k=5$
解得：$k=\frac{5}{9}$
因此$a=3k=3×\frac{5}{9}=\frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
比例的性质、代入消元法、一元一次方程解法
【点评】
本题是比例与方程结合的基础题型，核心考察比例设参的常用技巧，掌握该方法后可快速将多未知量转化为单参数求解，计算难度低，思路固定。
【难度系数】
0.8
遇到非零的比例连等式时，常用设参数的方法简化计算：首先设比例的比值为参数k，即可将a、b两个未知数都用含k的代数式表示，再代入已知的方程a+3b=5，就能得到只含参数k的一元一次方程，解出k后即可求出a的值。
【解析】
设$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=k$（$k≠0$），则：
$a=3k$，$b=2k$
将$a=3k$、$b=2k$代入$a+3b=5$，可得：
$3k + 3×2k = 5$
合并同类项得：$9k=5$
解得：$k=\frac{5}{9}$
因此$a=3k=3×\frac{5}{9}=\frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
比例的性质、代入消元法、一元一次方程解法
【点评】
本题是比例与方程结合的基础题型，核心考察比例设参的常用技巧，掌握该方法后可快速将多未知量转化为单参数求解，计算难度低，思路固定。
【难度系数】
0.8
6.已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$，且$3x - 2y + 4z = 60$，则x的值为
6
。答案
6.6
解析
【分析】
遇到连等的比例式问题，通常采用设参数（设k）的方法求解：首先设这个相等的比值为k，就可以把x、y、z三个未知数都用含k的代数式表示，再代入给出的方程中，就能将三元方程转化为只含k的一元一次方程，解出k的值后即可求出x的数值。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=k$，则可得：
$x=2k$，$y=3k$，$z=5k$
将上述三个式子代入$3x - 2y + 4z = 60$，得：
$3×2k - 2×3k + 4×5k = 60$
化简计算：
$6k - 6k + 20k = 60$
$20k = 60$
解得$k=3$
因此$x=2k=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
比例的性质；参数法解连比问题；一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例应用的基础题型，核心解题思路是利用设参数法将多个未知量转化为同一个参数的表达式，代入方程后即可快速求解，是比例类问题的常用解题技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式问题，通常采用设参数（设k）的方法求解：首先设这个相等的比值为k，就可以把x、y、z三个未知数都用含k的代数式表示，再代入给出的方程中，就能将三元方程转化为只含k的一元一次方程，解出k的值后即可求出x的数值。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=k$，则可得：
$x=2k$，$y=3k$，$z=5k$
将上述三个式子代入$3x - 2y + 4z = 60$，得：
$3×2k - 2×3k + 4×5k = 60$
化简计算：
$6k - 6k + 20k = 60$
$20k = 60$
解得$k=3$
因此$x=2k=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
比例的性质；参数法解连比问题；一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例应用的基础题型，核心解题思路是利用设参数法将多个未知量转化为同一个参数的表达式，代入方程后即可快速求解，是比例类问题的常用解题技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
7.若$x:y=2:3$，$y:z=2:3$，则代数式$\frac{x+y}{z}$的值是
$\frac{10}{9}$
。答案
7.$\frac{10}{9}$
解析
【分析】
本题给出了两组关于x、y、z的比例关系，解题核心是利用中间量y统一比例，得到x、y、z三者的连比，再代入代数式计算即可。思考步骤如下：1. 观察两个比例中y的份数分别为3和2，取最小公倍数6，将两个比例中y的份数统一为6；2. 得到x:y:z的连比后，可通过设参数或取特殊值的方式，将x、y、z用含同一参数的式子表示；3. 代入代数式约分得到结果。
【解析】
解：已知 $x:y=2:3$，$y:z=2:3$，
先统一y的份数：
$x:y=2:3=4:6$，
$y:z=2:3=6:9$，
因此可得 $x:y:z=4:6:9$。
设 $x=4k$，$y=6k$，$z=9k$（$k≠0$），代入代数式$\frac{x+y}{z}$得：
$\frac{x+y}{z}=\frac{4k+6k}{9k}=\frac{10k}{9k}=\frac{10}{9}$。
【答案】
$\frac{10}{9}$
【知识点】
比例的性质，连比化简，代数式求值
【点评】
本题是比例应用的基础题型，解题关键是找准两个比例的中间公共量，统一份数后得到三者的连比，再代入计算即可，解题方法灵活，也可通过取特殊值快速得到结果。
【难度系数】
0.8
本题给出了两组关于x、y、z的比例关系，解题核心是利用中间量y统一比例，得到x、y、z三者的连比，再代入代数式计算即可。思考步骤如下：1. 观察两个比例中y的份数分别为3和2，取最小公倍数6，将两个比例中y的份数统一为6；2. 得到x:y:z的连比后，可通过设参数或取特殊值的方式，将x、y、z用含同一参数的式子表示；3. 代入代数式约分得到结果。
【解析】
解：已知 $x:y=2:3$，$y:z=2:3$，
先统一y的份数：
$x:y=2:3=4:6$，
$y:z=2:3=6:9$，
因此可得 $x:y:z=4:6:9$。
设 $x=4k$，$y=6k$，$z=9k$（$k≠0$），代入代数式$\frac{x+y}{z}$得：
$\frac{x+y}{z}=\frac{4k+6k}{9k}=\frac{10k}{9k}=\frac{10}{9}$。
【答案】
$\frac{10}{9}$
【知识点】
比例的性质，连比化简，代数式求值
【点评】
本题是比例应用的基础题型，解题关键是找准两个比例的中间公共量，统一份数后得到三者的连比，再代入计算即可，解题方法灵活，也可通过取特殊值快速得到结果。
【难度系数】
0.8
8.若$\frac{a}{7}=\frac{b}{5}=\frac{c}{3}$，则$\frac{a+2b-3c}{a+c}$的值是
$\frac{4}{5}$
。答案
8.$\frac{4}{5}$
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，常用参数法求解：先设比例的公共比值为参数k，将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入所求分式中，参数k会在约分过程中消去，即可求出分式的最终值。
【解析】
设$\frac{a}{7}=\frac{b}{5}=\frac{c}{3}=k$（$k≠0$），根据比例的性质可得：
$a=7k$，$b=5k$，$c=3k$
将上述表达式代入$\frac{a+2b-3c}{a+c}$得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{7k + 2×5k - 3×3k}{7k + 3k}\\&=\frac{7k + 10k - 9k}{10k}\\&=\frac{8k}{10k}\\&=\frac{4}{5}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
比例的性质、参数法求值、分式化简
【点评】
本题是比例应用的常规题型，核心解题方法是设比例系数的参数法，该方法是比例类计算中最常用的技巧，可将多个未知量统一为同一参数表示，大幅简化计算过程，计算时需注意约分的正确性。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式时，常用参数法求解：先设比例的公共比值为参数k，将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入所求分式中，参数k会在约分过程中消去，即可求出分式的最终值。
【解析】
设$\frac{a}{7}=\frac{b}{5}=\frac{c}{3}=k$（$k≠0$），根据比例的性质可得：
$a=7k$，$b=5k$，$c=3k$
将上述表达式代入$\frac{a+2b-3c}{a+c}$得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{7k + 2×5k - 3×3k}{7k + 3k}\\&=\frac{7k + 10k - 9k}{10k}\\&=\frac{8k}{10k}\\&=\frac{4}{5}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
比例的性质、参数法求值、分式化简
【点评】
本题是比例应用的常规题型，核心解题方法是设比例系数的参数法，该方法是比例类计算中最常用的技巧，可将多个未知量统一为同一参数表示，大幅简化计算过程，计算时需注意约分的正确性。
【难度系数】
0.8
9.已知$\frac{2b+c}{a}=\frac{2c+a}{b}=\frac{2a+b}{c}=m$，且$a+b+c≠0$，则$m=$
3
。答案
9.3
解析
【分析】
遇到连等的比例式求比值时，优先考虑运用等比性质求解，首先明确等比性质的使用条件：所有分母的和不等于0，本题已给出$a+b+c≠0$，满足使用条件。接下来我们将几个比例的分子相加、分母相加，所得新的分数的值等于原比值$m$，再对分子化简后约分即可求出$m$的值。
【解析】
解：已知$\frac{2b+c}{a}=\frac{2c+a}{b}=\frac{2a+b}{c}=m$，且$a+b+c≠0$，
根据等比性质可得：
$m=\frac{(2b+c)+(2c+a)+(2a+b)}{a+b+c}$
对分子合并同类项：
$(2b+c)+(2c+a)+(2a+b)=3a+3b+3c=3(a+b+c)$
代入化简得：
$m=\frac{3(a+b+c)}{a+b+c}=3$
【答案】
3
【知识点】
等比性质，分式化简
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题关键是熟记等比性质的内容及适用条件，若题目未给出分母之和不为0的条件，还需分类讨论分母之和为0的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式求比值时，优先考虑运用等比性质求解，首先明确等比性质的使用条件：所有分母的和不等于0，本题已给出$a+b+c≠0$，满足使用条件。接下来我们将几个比例的分子相加、分母相加，所得新的分数的值等于原比值$m$，再对分子化简后约分即可求出$m$的值。
【解析】
解：已知$\frac{2b+c}{a}=\frac{2c+a}{b}=\frac{2a+b}{c}=m$，且$a+b+c≠0$，
根据等比性质可得：
$m=\frac{(2b+c)+(2c+a)+(2a+b)}{a+b+c}$
对分子合并同类项：
$(2b+c)+(2c+a)+(2a+b)=3a+3b+3c=3(a+b+c)$
代入化简得：
$m=\frac{3(a+b+c)}{a+b+c}=3$
【答案】
3
【知识点】
等比性质，分式化简
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题关键是熟记等比性质的内容及适用条件，若题目未给出分母之和不为0的条件，还需分类讨论分母之和为0的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
10.若$\frac{3}{x}=\frac{4}{y}=\frac{5}{z}$，则$\frac{2x + 4y - z}{x - 3y + 5z}=$
$\frac{17}{16}$
。答案
10.$\frac{17}{16}$
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，设参数是常用的解题思路。我们可以根据已知的等比关系，设出比例系数k（k≠0），将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入所求分式中，分子分母的参数k会相互约去，即可求出最终结果。
【解析】
解：由$\frac{3}{x}=\frac{4}{y}=\frac{5}{z}$可得$x:y:z=3:4:5$，设$x=3k$，$y=4k$，$z=5k$（$k≠0$）。
将上述表达式代入$\frac{2x + 4y - z}{x - 3y + 5z}$计算：
分子：$2×3k + 4×4k -5k=6k+16k-5k=17k$
分母：$3k - 3×4k +5×5k=3k-12k+25k=16k$
因此原式=$\frac{17k}{16k}=\frac{17}{16}$（$k≠0$，可约去）
【答案】
$\frac{17}{16}$
【知识点】
比例的性质，代数式求值，分式化简
【点评】
本题是比例相关的基础常考题，解题核心是掌握连等比例式的设参技巧，将多个未知量转化为同一个参数的表达式，代入化简后即可消去参数得到结果，解题思路通用性强。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式时，设参数是常用的解题思路。我们可以根据已知的等比关系，设出比例系数k（k≠0），将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入所求分式中，分子分母的参数k会相互约去，即可求出最终结果。
【解析】
解：由$\frac{3}{x}=\frac{4}{y}=\frac{5}{z}$可得$x:y:z=3:4:5$，设$x=3k$，$y=4k$，$z=5k$（$k≠0$）。
将上述表达式代入$\frac{2x + 4y - z}{x - 3y + 5z}$计算：
分子：$2×3k + 4×4k -5k=6k+16k-5k=17k$
分母：$3k - 3×4k +5×5k=3k-12k+25k=16k$
因此原式=$\frac{17k}{16k}=\frac{17}{16}$（$k≠0$，可约去）
【答案】
$\frac{17}{16}$
【知识点】
比例的性质，代数式求值，分式化简
【点评】
本题是比例相关的基础常考题，解题核心是掌握连等比例式的设参技巧，将多个未知量转化为同一个参数的表达式，代入化简后即可消去参数得到结果，解题思路通用性强。
【难度系数】
0.8
11.【数学文化】《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆的形式既不同于天平衡杆，也异于秤杆。该铜衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线。用该铜衡杆称物，可以把被称物与砝码分别放在提纽两边不同位置的刻线上。如图所示的是铜衡杆的使用示意图，此时被称物的质量是砝码质量的
1.2
倍。答案
11.1.2
解析
【分析】
解决这道题的核心是利用衡杆平衡的规律：衡杆平衡时，被称物的质量与它到提纽的距离的乘积，等于砝码的质量与它到提纽的距离的乘积。首先我们先以每一小格为长度单位，分别数出被称物、砝码到提纽的距离，再代入平衡规律推导二者的质量比即可。
【解析】
设衡杆上每小格的长度为$l$，衡杆平衡时满足：
$m_{物} × g × L_{物} = m_{砝} × g × L_{砝}$
约去等式两边的重力加速度$g$，可得$m_{物} · L_{物} = m_{砝} · L_{砝}$。
由图可知，被称物到提纽的距离$L_{物}=5l$，砝码到提纽的距离$L_{砝}=6l$，代入上式得：
$m_{物} × 5l = m_{砝} × 6l$
约去$l$后整理得：$\frac{m_{物}}{m_{砝}}=\frac{6}{5}=1.2$。
【答案】
1.2
【知识点】
杠杆平衡原理，比例计算
【点评】
本题结合古代科技文化背景出题，解题的关键是准确计数两个悬挂点到提纽的格数，再结合平衡规律计算比值，体现了跨学科知识的应用。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是利用衡杆平衡的规律：衡杆平衡时，被称物的质量与它到提纽的距离的乘积，等于砝码的质量与它到提纽的距离的乘积。首先我们先以每一小格为长度单位，分别数出被称物、砝码到提纽的距离，再代入平衡规律推导二者的质量比即可。
【解析】
设衡杆上每小格的长度为$l$，衡杆平衡时满足：
$m_{物} × g × L_{物} = m_{砝} × g × L_{砝}$
约去等式两边的重力加速度$g$，可得$m_{物} · L_{物} = m_{砝} · L_{砝}$。
由图可知，被称物到提纽的距离$L_{物}=5l$，砝码到提纽的距离$L_{砝}=6l$，代入上式得：
$m_{物} × 5l = m_{砝} × 6l$
约去$l$后整理得：$\frac{m_{物}}{m_{砝}}=\frac{6}{5}=1.2$。
【答案】
1.2
【知识点】
杠杆平衡原理，比例计算
【点评】
本题结合古代科技文化背景出题，解题的关键是准确计数两个悬挂点到提纽的格数，再结合平衡规律计算比值，体现了跨学科知识的应用。
【难度系数】
0.8
12. 已知 $ k = \frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b} $，求k的值。
答案
解:分两种情况讨论:①当 $a+b+c=0$时,$a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b$,
$\therefore k=-1$。
②当 $a+b+c≠0$ 时，
$\because \frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=k$，
$\therefore k=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$。
综上,k的值为2或$-1$。
$\therefore k=-1$。
②当 $a+b+c≠0$ 时，
$\because \frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=k$，
$\therefore k=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$。
综上,k的值为2或$-1$。
解析
【分析】
遇到多个比值相等求比值的问题，首先想到比例的等比性质，但要注意等比性质的适用前提是所有分母的和不为0，因此本题需要分两种情况讨论：①当a+b+c=0时，不能直接使用等比性质，可通过等量代换将分子用含分母的式子表示，代入计算k值；②当a+b+c≠0时，直接应用等比性质，将所有分子相加、所有分母相加，化简后得到k值。
【解析】
分两种情况讨论：
①当$a+b+c=0$时，可得$a+b=-c$，$b+c=-a$，$c+a=-b$，
$\therefore k=\frac{a+b}{c}=\frac{-c}{c}=-1$；
②当$a+b+c≠0$时，
$\because \frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=k$，
根据等比性质可得$k=\frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{c+a+b}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$。
综上，k的值为2或$-1$。
【答案】
2或$-1$
【知识点】
等比性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等比性质的适用条件，未考虑$a+b+c=0$的特殊情况，导致漏解。解题时要注意性质的适用前提，考虑问题要全面。
【难度系数】
0.6
遇到多个比值相等求比值的问题，首先想到比例的等比性质，但要注意等比性质的适用前提是所有分母的和不为0，因此本题需要分两种情况讨论：①当a+b+c=0时，不能直接使用等比性质，可通过等量代换将分子用含分母的式子表示，代入计算k值；②当a+b+c≠0时，直接应用等比性质，将所有分子相加、所有分母相加，化简后得到k值。
【解析】
分两种情况讨论：
①当$a+b+c=0$时，可得$a+b=-c$，$b+c=-a$，$c+a=-b$，
$\therefore k=\frac{a+b}{c}=\frac{-c}{c}=-1$；
②当$a+b+c≠0$时，
$\because \frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=k$，
根据等比性质可得$k=\frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{c+a+b}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$。
综上，k的值为2或$-1$。
【答案】
2或$-1$
【知识点】
等比性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等比性质的适用条件，未考虑$a+b+c=0$的特殊情况，导致漏解。解题时要注意性质的适用前提，考虑问题要全面。
【难度系数】
0.6
