登录
9. 如图所示的每组中的两个矩形相似吗？说说你的理由。
答案
9.解:第(1)组相似,第(2)组不相似。
理由:第(1)组矩形中,两个矩形长与宽的比分别为$\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$,即$\frac{6}{4}=\frac{9}{6}$,
所以第(1)组的两个矩形相似。
第(2)组矩形中,两个矩形长与宽的比分别为$\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\frac{8}{5}$,即$\frac{6}{4}≠\frac{8}{5}$,
所以第(2)组的两个矩形不相似。
理由:第(1)组矩形中,两个矩形长与宽的比分别为$\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$,即$\frac{6}{4}=\frac{9}{6}$,
所以第(1)组的两个矩形相似。
第(2)组矩形中,两个矩形长与宽的比分别为$\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\frac{8}{5}$,即$\frac{6}{4}≠\frac{8}{5}$,
所以第(2)组的两个矩形不相似。
解析
【分析】
判断两个多边形相似需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件。由于矩形的四个内角都是直角，因此任意两个矩形的对应角必然相等，所以只需验证对应边是否成比例即可判断矩形是否相似。解题时先分别计算每组中两个矩形的长与宽的比值，再对比比值是否相等，若相等则对应边成比例，矩形相似，否则不相似。
【解析】
矩形的四个角均为直角，因此两组矩形的对应角都相等，只需验证对应边是否成比例：
1. 分析第(1)组矩形：
第一个矩形长与宽的比为$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，第二个矩形长与宽的比为$\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，可得$\frac{6}{4}=\frac{9}{6}$，对应边成比例，因此两个矩形相似。
2. 分析第(2)组矩形：
第一个矩形长与宽的比为$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，第二个矩形长与宽的比为$\frac{8}{5}$，可得$\frac{6}{4}≠\frac{8}{5}$，对应边不成比例，因此两个矩形不相似。
【答案】
第(1)组相似，第(2)组不相似。理由：第(1)组矩形中，两个矩形长与宽的比分别为$\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，即$\frac{6}{4}=\frac{9}{6}$，所以第(1)组的两个矩形相似。第(2)组矩形中，两个矩形长与宽的比分别为$\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\frac{8}{5}$，即$\frac{6}{4}≠\frac{8}{5}$，所以第(2)组的两个矩形不相似。
【知识点】
1. 相似多边形的判定
2. 矩形的性质
【点评】
本题是相似多边形判定的基础应用，解题的关键是结合矩形内角全为直角的性质简化判定步骤，仅需验证边的比例关系即可，计算比值时要注意统一对应边的顺序，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
判断两个多边形相似需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件。由于矩形的四个内角都是直角，因此任意两个矩形的对应角必然相等，所以只需验证对应边是否成比例即可判断矩形是否相似。解题时先分别计算每组中两个矩形的长与宽的比值，再对比比值是否相等，若相等则对应边成比例，矩形相似，否则不相似。
【解析】
矩形的四个角均为直角，因此两组矩形的对应角都相等，只需验证对应边是否成比例：
1. 分析第(1)组矩形：
第一个矩形长与宽的比为$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，第二个矩形长与宽的比为$\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，可得$\frac{6}{4}=\frac{9}{6}$，对应边成比例，因此两个矩形相似。
2. 分析第(2)组矩形：
第一个矩形长与宽的比为$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，第二个矩形长与宽的比为$\frac{8}{5}$，可得$\frac{6}{4}≠\frac{8}{5}$，对应边不成比例，因此两个矩形不相似。
【答案】
第(1)组相似，第(2)组不相似。理由：第(1)组矩形中，两个矩形长与宽的比分别为$\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，即$\frac{6}{4}=\frac{9}{6}$，所以第(1)组的两个矩形相似。第(2)组矩形中，两个矩形长与宽的比分别为$\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\frac{8}{5}$，即$\frac{6}{4}≠\frac{8}{5}$，所以第(2)组的两个矩形不相似。
【知识点】
1. 相似多边形的判定
2. 矩形的性质
【点评】
本题是相似多边形判定的基础应用，解题的关键是结合矩形内角全为直角的性质简化判定步骤，仅需验证边的比例关系即可，计算比值时要注意统一对应边的顺序，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
10.如图,四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$相似,点A与点$A'$、点B与点$B'$、点C与点$C'$、点D与点$D'$分别是对应顶点。已知$BC=3$,$CD=2.4$,$A'B'=2.2$,$B'C'=2$,$∠B=70°$,$∠C=110°$,$∠D=90°$,求边$AB$,$C'D'$的长和$∠A'$的度数。
答案
10.解:
∵四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$相似,点A与点$A'$、点B与点$B'$、点C与点$C'$、点D与点$D'$分别是对应顶点，
∴$∠A=∠A',\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'D'}{CD}$。
∵$BC=3,CD=2.4,A'B'=2.2,B'C'=2$,
∴$\frac{2.2}{AB}=\frac{2}{3}=\frac{C'D'}{2.4}$,
解得$AB=3.3,C'D'=1.6$。
在四边形ABCD中,
∵$∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠B = 70°,∠C = 110°,∠D=90°$,
∴$∠A=360°-(70°+110°+90°)=90°$。
∴$∠A'=90°$。
∵四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$相似,点A与点$A'$、点B与点$B'$、点C与点$C'$、点D与点$D'$分别是对应顶点，
∴$∠A=∠A',\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'D'}{CD}$。
∵$BC=3,CD=2.4,A'B'=2.2,B'C'=2$,
∴$\frac{2.2}{AB}=\frac{2}{3}=\frac{C'D'}{2.4}$,
解得$AB=3.3,C'D'=1.6$。
在四边形ABCD中,
∵$∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠B = 70°,∠C = 110°,∠D=90°$,
∴$∠A=360°-(70°+110°+90°)=90°$。
∴$∠A'=90°$。
解析
【分析】
首先，题目给出两个四边形相似，我们可以联想到相似多边形的核心性质：对应角相等、对应边成比例。求边长时，先找到已知的一组对应边BC和B'C'，先确定相似比，再根据对应边成比例的关系分别列等式求解AB和C'D'的长度。求∠A'的度数时，利用相似多边形对应角相等可知∠A'=∠A，再结合四边形内角和为360°，减去已知的三个内角的度数就能得到∠A的度数，从而得到∠A'的度数。
【解析】
∵四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$相似，点A与点$A'$、点B与点$B'$、点C与点$C'$、点D与点$D'$分别是对应顶点，
∴$∠A=∠A'$，$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'D'}{CD}$。
∵$BC=3$，$CD=2.4$，$A'B'=2.2$，$B'C'=2$，
∴$\frac{2.2}{AB}=\frac{2}{3}=\frac{C'D'}{2.4}$，
解得$AB=\frac{2.2×3}{2}=3.3$，$C'D'=\frac{2×2.4}{3}=1.6$。
在四边形ABCD中，四边形内角和为360°，
∴$∠A=360°-∠B-∠C-∠D=360°-70°-110°-90°=90°$，
∴$∠A'=∠A=90°$。
【答案】
AB的长为3.3，C'D'的长为1.6，∠A'的度数为90°。
【知识点】
相似多边形的性质、四边形内角和定理、比例线段计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查相似多边形性质的运用，解题的关键是准确识别对应边和对应角，注意列比例式时不要混淆对应边的顺序，结合四边形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先，题目给出两个四边形相似，我们可以联想到相似多边形的核心性质：对应角相等、对应边成比例。求边长时，先找到已知的一组对应边BC和B'C'，先确定相似比，再根据对应边成比例的关系分别列等式求解AB和C'D'的长度。求∠A'的度数时，利用相似多边形对应角相等可知∠A'=∠A，再结合四边形内角和为360°，减去已知的三个内角的度数就能得到∠A的度数，从而得到∠A'的度数。
【解析】
∵四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$相似，点A与点$A'$、点B与点$B'$、点C与点$C'$、点D与点$D'$分别是对应顶点，
∴$∠A=∠A'$，$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'D'}{CD}$。
∵$BC=3$，$CD=2.4$，$A'B'=2.2$，$B'C'=2$，
∴$\frac{2.2}{AB}=\frac{2}{3}=\frac{C'D'}{2.4}$，
解得$AB=\frac{2.2×3}{2}=3.3$，$C'D'=\frac{2×2.4}{3}=1.6$。
在四边形ABCD中，四边形内角和为360°，
∴$∠A=360°-∠B-∠C-∠D=360°-70°-110°-90°=90°$，
∴$∠A'=∠A=90°$。
【答案】
AB的长为3.3，C'D'的长为1.6，∠A'的度数为90°。
【知识点】
相似多边形的性质、四边形内角和定理、比例线段计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查相似多边形性质的运用，解题的关键是准确识别对应边和对应角，注意列比例式时不要混淆对应边的顺序，结合四边形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.如图,矩形纸片ABCD的边AB的长为2 cm,动直线l分别交AD,BC于E,F两点,且EF//AB。
(1)若直线l是矩形ABCD的一条对称轴,且沿着直线l剪开后得到的矩形EFCD与原矩形相似,试求AD的长。
(2)若使$AD=(\sqrt{5}+1)cm,$试探究:在边AD上是否存在点E,使剪刀沿着直线l剪开后,所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况?若存在,请求出AE的值,并判断点E在边AD上的位置的特殊性;若不存在,试说明理由。
(1)若直线l是矩形ABCD的一条对称轴,且沿着直线l剪开后得到的矩形EFCD与原矩形相似,试求AD的长。
(2)若使$AD=(\sqrt{5}+1)cm,$试探究:在边AD上是否存在点E,使剪刀沿着直线l剪开后,所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况?若存在,请求出AE的值,并判断点E在边AD上的位置的特殊性;若不存在,试说明理由。
答案
11.解:(1)
∵矩形$EFCD∽$矩形BCDA，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{CF}$。
设$CF=x$ cm,则$AD=2x$ cm。
又
∵$CD=AB=2$ cm，
∴$\frac{2x}{2}=\frac{2}{x}$,
解得$x=\sqrt{2}$,
∴$AD=2\sqrt{2}$ cm。
(2)假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似,则DC必与AD对应,ED必与DC对应，
∴$\frac{DC}{AD}=\frac{ED}{DC}$。
∴$DC^2=AD·ED$。
又
∵$DC=2$ cm,$AD=(\sqrt{5}+1)$cm，
∴$ED=\frac{DC^2}{AD}=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=(\sqrt{5}-1)$cm。
∴$AE=AD-ED=\sqrt{5}+1-(\sqrt{5}-1)=2$(cm)。
∵$AE=2,ED=\sqrt{5}-1$,且$2＞\sqrt{5}-1$,
∴依据对称性考虑,必定存在当$AE=(\sqrt{5}-1)$cm时矩形ABFE与矩形ABCD相似的情形。
综上所述,当$AE=(\sqrt{5}-1)$cm或2 cm时,在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似的情况。
∵矩形$EFCD∽$矩形BCDA，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{CF}$。
设$CF=x$ cm,则$AD=2x$ cm。
又
∵$CD=AB=2$ cm，
∴$\frac{2x}{2}=\frac{2}{x}$,
解得$x=\sqrt{2}$,
∴$AD=2\sqrt{2}$ cm。
(2)假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似,则DC必与AD对应,ED必与DC对应，
∴$\frac{DC}{AD}=\frac{ED}{DC}$。
∴$DC^2=AD·ED$。
又
∵$DC=2$ cm,$AD=(\sqrt{5}+1)$cm，
∴$ED=\frac{DC^2}{AD}=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=(\sqrt{5}-1)$cm。
∴$AE=AD-ED=\sqrt{5}+1-(\sqrt{5}-1)=2$(cm)。
∵$AE=2,ED=\sqrt{5}-1$,且$2＞\sqrt{5}-1$,
∴依据对称性考虑,必定存在当$AE=(\sqrt{5}-1)$cm时矩形ABFE与矩形ABCD相似的情形。
综上所述,当$AE=(\sqrt{5}-1)$cm或2 cm时,在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似的情况。
解析
【分析】
（1）第一问解题思路：首先明确两个核心依据，一是相似矩形的对应边成比例，二是对称轴的性质：直线l是矩形对称轴，因此CF的长度为AD的一半。我们可以设CF为x cm，则AD=2x cm，结合已知CD=AB=2 cm，代入相似的比例关系建立方程，求解后即可得到AD的长度。
（2）第二问解题思路：沿直线l剪开后会得到矩形ABFE和矩形EFCD两个小矩形，二者都有可能与原矩形相似，因此需要分情况讨论。先假设其中一个小矩形与原矩形相似，根据相似多边形对应边成比例的性质列比例式，求出对应边的长度后结合线段和差关系计算AE的值，再利用图形对称性得到另一种情况的AE值，验证长度符合边的取值范围即可。
【解析】
(1)
∵矩形$EFCD∽$矩形$ABCD$，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{CF}$。
设$CF=x$ cm，则由对称轴性质得$AD=2x$ cm。
又
∵$CD=AB=2$ cm，
∴$\frac{2x}{2}=\frac{2}{x}$，
整理得$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根），
∴$AD=2x=2\sqrt{2}$ cm。
(2) 存在符合条件的点E，理由如下：
假设矩形EFCD与矩形ABCD相似，则DC与AD对应，ED与DC对应，
∴$\frac{DC}{AD}=\frac{ED}{DC}$，即$DC^2=AD·ED$。
又
∵$DC=2$ cm，$AD=(\sqrt{5}+1)$cm，
∴$ED=\frac{DC^2}{AD}=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=\sqrt{5}-1$ cm（分母有理化计算）。
∴$AE=AD-ED=\sqrt{5}+1-(\sqrt{5}-1)=2$ cm，符合线段长度要求。
依据对称性可知，当矩形ABFE与矩形ABCD相似时，$AE=\sqrt{5}-1$ cm，同样符合要求。
【答案】
(1) $AD$的长为$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
(2) 存在，$AE$的值为$(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$或$2\ \mathrm{cm}$，两个点$E$关于$AD$的中点对称。
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质，对称轴的性质
【点评】
本题是相似多边形的典型应用题，解题核心是熟练运用相似图形对应边成比例的性质，同时要注意分情况讨论两个小矩形均存在与原矩形相似的可能，避免漏解，计算过程中要注意分母有理化的规范操作。
【难度系数】
0.6
（1）第一问解题思路：首先明确两个核心依据，一是相似矩形的对应边成比例，二是对称轴的性质：直线l是矩形对称轴，因此CF的长度为AD的一半。我们可以设CF为x cm，则AD=2x cm，结合已知CD=AB=2 cm，代入相似的比例关系建立方程，求解后即可得到AD的长度。
（2）第二问解题思路：沿直线l剪开后会得到矩形ABFE和矩形EFCD两个小矩形，二者都有可能与原矩形相似，因此需要分情况讨论。先假设其中一个小矩形与原矩形相似，根据相似多边形对应边成比例的性质列比例式，求出对应边的长度后结合线段和差关系计算AE的值，再利用图形对称性得到另一种情况的AE值，验证长度符合边的取值范围即可。
【解析】
(1)
∵矩形$EFCD∽$矩形$ABCD$，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{CF}$。
设$CF=x$ cm，则由对称轴性质得$AD=2x$ cm。
又
∵$CD=AB=2$ cm，
∴$\frac{2x}{2}=\frac{2}{x}$，
整理得$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根），
∴$AD=2x=2\sqrt{2}$ cm。
(2) 存在符合条件的点E，理由如下：
假设矩形EFCD与矩形ABCD相似，则DC与AD对应，ED与DC对应，
∴$\frac{DC}{AD}=\frac{ED}{DC}$，即$DC^2=AD·ED$。
又
∵$DC=2$ cm，$AD=(\sqrt{5}+1)$cm，
∴$ED=\frac{DC^2}{AD}=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=\sqrt{5}-1$ cm（分母有理化计算）。
∴$AE=AD-ED=\sqrt{5}+1-(\sqrt{5}-1)=2$ cm，符合线段长度要求。
依据对称性可知，当矩形ABFE与矩形ABCD相似时，$AE=\sqrt{5}-1$ cm，同样符合要求。
【答案】
(1) $AD$的长为$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
(2) 存在，$AE$的值为$(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$或$2\ \mathrm{cm}$，两个点$E$关于$AD$的中点对称。
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质，对称轴的性质
【点评】
本题是相似多边形的典型应用题，解题核心是熟练运用相似图形对应边成比例的性质，同时要注意分情况讨论两个小矩形均存在与原矩形相似的可能，避免漏解，计算过程中要注意分母有理化的规范操作。
【难度系数】
0.6
