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10. 已知$A(-1,y_1)$，$B(2,y_2)$，$C(4,y_3)$是二次函数$y=ax^2-2ax+1(a＜0)$的图象上的三个点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
D
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
答案
10. D
解析
【分析】
解题时首先需要明确二次函数的基本性质：先通过函数表达式求出对称轴，再结合a＜0得出抛物线开口向下的特点，开口向下的二次函数图象上，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小。接下来只需要计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小即可判断三个函数值的大小关系，无需代入计算每个点的函数值，简化解题过程。
【解析】
第一步：求二次函数的对称轴
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在二次函数$y=ax^2-2ax+1$中，$b=-2a$，代入公式得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即抛物线对称轴为直线$x=1$。
第二步：判断抛物线开口方向
已知$a＜0$，所以抛物线开口向下，此时抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值$y$越小。
第三步：计算各点到对称轴的距离
点$A(-1,y_1)$到直线$x=1$的距离：$\vert -1-1 \vert=2$
点$B(2,y_2)$到直线$x=1$的距离：$\vert 2-1 \vert=1$
点$C(4,y_3)$到直线$x=1$的距离：$\vert 4-1 \vert=3$
第四步：比较函数值大小
距离大小关系为$3＞2＞1$，结合开口向下的性质，可得函数值大小关系为$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题型，解题核心是利用对称轴和开口方向，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小，避免了代入计算的繁琐，是二次函数大小比较类题目的常用解法。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要明确二次函数的基本性质：先通过函数表达式求出对称轴，再结合a＜0得出抛物线开口向下的特点，开口向下的二次函数图象上，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小。接下来只需要计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小即可判断三个函数值的大小关系，无需代入计算每个点的函数值，简化解题过程。
【解析】
第一步：求二次函数的对称轴
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在二次函数$y=ax^2-2ax+1$中，$b=-2a$，代入公式得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即抛物线对称轴为直线$x=1$。
第二步：判断抛物线开口方向
已知$a＜0$，所以抛物线开口向下，此时抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值$y$越小。
第三步：计算各点到对称轴的距离
点$A(-1,y_1)$到直线$x=1$的距离：$\vert -1-1 \vert=2$
点$B(2,y_2)$到直线$x=1$的距离：$\vert 2-1 \vert=1$
点$C(4,y_3)$到直线$x=1$的距离：$\vert 4-1 \vert=3$
第四步：比较函数值大小
距离大小关系为$3＞2＞1$，结合开口向下的性质，可得函数值大小关系为$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题型，解题核心是利用对称轴和开口方向，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小，避免了代入计算的繁琐，是二次函数大小比较类题目的常用解法。
【难度系数】
0.7
11. 已知二次函数$y=x^2 -4x -m$的最小值是1，则$m=$
$-5$
。答案
11. $-5$
解析
【分析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）当$a＞0$时开口向上，函数的最小值为顶点的纵坐标。本题中二次项系数$a=1＞0$，因此可通过配方法将函数化为顶点式，或直接用顶点纵坐标公式，结合已知最小值为1列方程求解$m$的值。
【解析】
方法一（配方法）：
将二次函数配方得：
$y=x^2-4x-m=(x^2-4x+4)-4-m=(x-2)^2-(4+m)$
∵二次项系数$1＞0$，
∴当$x=2$时，$y$取得最小值，最小值为$-(4+m)$
由题意最小值为1，列方程：
$-(4+m)=1$
解得：$m=-5$
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，即函数的最值。
本题中$a=1$，$b=-4$，$c=-m$，最小值为1，代入得：
$\frac{4×1×(-m)-(-4)^2}{4×1}=1$
化简得：$\frac{-4m-16}{4}=1$，即$-m-4=1$
解得：$m=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
二次函数的最值、配方法、顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数性质的基础常考题，重点考查二次函数最值的计算方法，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速解题，是对二次函数基础性质的巩固练习。
【难度系数】
0.8
二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）当$a＞0$时开口向上，函数的最小值为顶点的纵坐标。本题中二次项系数$a=1＞0$，因此可通过配方法将函数化为顶点式，或直接用顶点纵坐标公式，结合已知最小值为1列方程求解$m$的值。
【解析】
方法一（配方法）：
将二次函数配方得：
$y=x^2-4x-m=(x^2-4x+4)-4-m=(x-2)^2-(4+m)$
∵二次项系数$1＞0$，
∴当$x=2$时，$y$取得最小值，最小值为$-(4+m)$
由题意最小值为1，列方程：
$-(4+m)=1$
解得：$m=-5$
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，即函数的最值。
本题中$a=1$，$b=-4$，$c=-m$，最小值为1，代入得：
$\frac{4×1×(-m)-(-4)^2}{4×1}=1$
化简得：$\frac{-4m-16}{4}=1$，即$-m-4=1$
解得：$m=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
二次函数的最值、配方法、顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数性质的基础常考题，重点考查二次函数最值的计算方法，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速解题，是对二次函数基础性质的巩固练习。
【难度系数】
0.8
12. 已知两点$A(-7,y_1),B(3,y_2)$均在抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$上，点$C(x_0,y_0)$是该抛物线的顶点，若$y_1＞y_2≥y_0$，则$x_0$的取值范围是
$x_0＞-2$
。答案
12. $x_0＞-2$
解析
【分析】
首先根据顶点是函数值最小的点，判断抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。已知$y_1＞y_2$，说明点A到对称轴（即顶点横坐标$x_0$所在的竖直直线$x=x_0$）的距离大于点B到对称轴的距离，据此列出绝对值不等式求解即可得到$x_0$的取值范围。
【解析】
∵点$C(x_0,y_0)$是抛物线的顶点，且$y_1＞y_2≥y_0$
∴抛物线开口向上，函数有最小值$y_0$，且抛物线的对称轴为直线$x=x_0$
对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大
∵$y_1＞y_2$
∴点$A(-7,y_1)$到对称轴$x=x_0$的距离大于点$B(3,y_2)$到对称轴的距离
即$|x_0 - (-7)| ＞ |x_0 - 3|$，也就是$|x_0+7| ＞ |x_0 - 3|$
两边同时平方得：$(x_0+7)^2 ＞ (x_0-3)^2$
展开得：$x_0^2 + 14x_0 + 49 ＞ x_0^2 - 6x_0 + 9$
移项合并同类项得：$20x_0 ＞ -40$
解得：$x_0 ＞ -2$
【答案】
$x_0＞-2$
【知识点】
二次函数的顶点性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题主要考查二次函数性质的综合应用，解题的核心是将函数值的大小关系转化为点到对称轴的距离关系，同时要先根据顶点的最值特征确定抛物线的开口方向，避免因方向判断错误导致距离关系推导错误。
【难度系数】
0.6
首先根据顶点是函数值最小的点，判断抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。已知$y_1＞y_2$，说明点A到对称轴（即顶点横坐标$x_0$所在的竖直直线$x=x_0$）的距离大于点B到对称轴的距离，据此列出绝对值不等式求解即可得到$x_0$的取值范围。
【解析】
∵点$C(x_0,y_0)$是抛物线的顶点，且$y_1＞y_2≥y_0$
∴抛物线开口向上，函数有最小值$y_0$，且抛物线的对称轴为直线$x=x_0$
对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大
∵$y_1＞y_2$
∴点$A(-7,y_1)$到对称轴$x=x_0$的距离大于点$B(3,y_2)$到对称轴的距离
即$|x_0 - (-7)| ＞ |x_0 - 3|$，也就是$|x_0+7| ＞ |x_0 - 3|$
两边同时平方得：$(x_0+7)^2 ＞ (x_0-3)^2$
展开得：$x_0^2 + 14x_0 + 49 ＞ x_0^2 - 6x_0 + 9$
移项合并同类项得：$20x_0 ＞ -40$
解得：$x_0 ＞ -2$
【答案】
$x_0＞-2$
【知识点】
二次函数的顶点性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题主要考查二次函数性质的综合应用，解题的核心是将函数值的大小关系转化为点到对称轴的距离关系，同时要先根据顶点的最值特征确定抛物线的开口方向，避免因方向判断错误导致距离关系推导错误。
【难度系数】
0.6
13. 设二次函数 $ y = x^2 + (k+1)x - (k+2) $。
(1)若该二次函数的图象过点(2，0)，求k的值。
(2)若该二次函数的图象的对称轴是y轴，求k的值。
(3)若当 $ x＜2 $ 时，y随x的增大而减小，当 $ x＞2 $ 时，y随x的增大而增大，求k的值。
(1)若该二次函数的图象过点(2，0)，求k的值。
(2)若该二次函数的图象的对称轴是y轴，求k的值。
(3)若当 $ x＜2 $ 时，y随x的增大而减小，当 $ x＞2 $ 时，y随x的增大而增大，求k的值。
答案
13. 解:(1)因为函数 $ y=x^2+(k+1)x-(k+2) $ 的图象过点$(2,0)$，所以 $4+2(k+1)-(k+2)=0$，所以 $k=-4$。
(2)因为函数 $ y=x^2+(k+1)x-(k+2) $ 的图象的对称轴是 $y$ 轴，所以 $-\frac{k+1}{2}=0$，所以 $k=-1$。
(3)因为当 $x＜2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，当 $x＞2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，所以抛物线的对称轴是直线 $x=2$，
所以 $-\frac{k+1}{2}=2$，所以 $k=-5$。
(2)因为函数 $ y=x^2+(k+1)x-(k+2) $ 的图象的对称轴是 $y$ 轴，所以 $-\frac{k+1}{2}=0$，所以 $k=-1$。
(3)因为当 $x＜2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，当 $x＞2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，所以抛物线的对称轴是直线 $x=2$，
所以 $-\frac{k+1}{2}=2$，所以 $k=-5$。
解析
【分析】
(1) 若函数图象过某点，说明该点的坐标满足函数解析式，将点(2,0)的x=2、y=0代入二次函数解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
(2) 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，对称轴是y轴即对称轴为直线$x=0$，代入对称轴公式列方程即可求解k。
(3) 二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，结合题中增减性规律可确定对称轴为直线$x=2$，代入对称轴公式列方程即可求出k。
【解析】
(1)
∵二次函数$ y = x^2 + (k+1)x - (k+2) $的图象过点$(2,0)$，
将$x=2$，$y=0$代入解析式得：
$4+2(k+1)-(k+2)=0$
化简得$k+4=0$，
解得：$k=-4$。
(2)
∵二次函数图象的对称轴是y轴，即对称轴为直线$x=0$，
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=1$，$b=k+1$，得：
$-\frac{k+1}{2×1}=0$
解得：$k=-1$。
(3)
∵当$x＜2$时，y随x的增大而减小，当$x＞2$时，y随x的增大而增大，且抛物线开口向上，
∴该抛物线的对称轴为直线$x=2$，
代入对称轴公式得：
$-\frac{k+1}{2}=2$
解得：$k=-5$。
【答案】
(1)$k=-4$；(2)$k=-1$；(3)$k=-5$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数的基本性质设题，解题的核心是熟练掌握二次函数对称轴公式，理解点坐标与函数解析式的关系，以及开口方向、对称轴和函数增减性的对应关系，整体考查基础，难度不大。
【难度系数】
0.8
(1) 若函数图象过某点，说明该点的坐标满足函数解析式，将点(2,0)的x=2、y=0代入二次函数解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
(2) 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，对称轴是y轴即对称轴为直线$x=0$，代入对称轴公式列方程即可求解k。
(3) 二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，结合题中增减性规律可确定对称轴为直线$x=2$，代入对称轴公式列方程即可求出k。
【解析】
(1)
∵二次函数$ y = x^2 + (k+1)x - (k+2) $的图象过点$(2,0)$，
将$x=2$，$y=0$代入解析式得：
$4+2(k+1)-(k+2)=0$
化简得$k+4=0$，
解得：$k=-4$。
(2)
∵二次函数图象的对称轴是y轴，即对称轴为直线$x=0$，
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=1$，$b=k+1$，得：
$-\frac{k+1}{2×1}=0$
解得：$k=-1$。
(3)
∵当$x＜2$时，y随x的增大而减小，当$x＞2$时，y随x的增大而增大，且抛物线开口向上，
∴该抛物线的对称轴为直线$x=2$，
代入对称轴公式得：
$-\frac{k+1}{2}=2$
解得：$k=-5$。
【答案】
(1)$k=-4$；(2)$k=-1$；(3)$k=-5$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数的基本性质设题，解题的核心是熟练掌握二次函数对称轴公式，理解点坐标与函数解析式的关系，以及开口方向、对称轴和函数增减性的对应关系，整体考查基础，难度不大。
【难度系数】
0.8
14. 已知抛物线$y=x^2 -bx +c$（$b,c$为常数）的顶点坐标为$(2,-1)$。
(1)求该抛物线的函数表达式。
(2)若点$M(t-1,y_1),N(t,y_2)$在该抛物线上，当$t＜1$时，比较$y_1$与$y_2$的大小。
(3)若点$P(m,n)$在该抛物线上，求$m-n$的最大值。
(1)求该抛物线的函数表达式。
(2)若点$M(t-1,y_1),N(t,y_2)$在该抛物线上，当$t＜1$时，比较$y_1$与$y_2$的大小。
(3)若点$P(m,n)$在该抛物线上，求$m-n$的最大值。
答案
14. 解:(1)由题意知，抛物线的函数表达式为 $y=(x-2)^2-1$，即 $y=x^2-4x+3$。
(2)因为抛物线的对称轴为直线 $x=2$，$t＜1$，所以点 $M(t-1,y_1),N(t,y_2)$ 在对称轴左侧的抛物线上。
因为 $t-1＜t$，所以 $y_1＞y_2$。
(3)因为点 $P(m,n)$ 在该抛物线上，所以 $n=m^2-4m+3$，
所以 $m-n=m-(m^2-4m+3)=-m^2+5m-3=-(m-\frac{5}{2})^2+\frac{13}{4}$，
所以当 $m=\frac{5}{2}$ 时，$m-n$ 有最大值，最大值为 $\frac{13}{4}$。
(2)因为抛物线的对称轴为直线 $x=2$，$t＜1$，所以点 $M(t-1,y_1),N(t,y_2)$ 在对称轴左侧的抛物线上。
因为 $t-1＜t$，所以 $y_1＞y_2$。
(3)因为点 $P(m,n)$ 在该抛物线上，所以 $n=m^2-4m+3$，
所以 $m-n=m-(m^2-4m+3)=-m^2+5m-3=-(m-\frac{5}{2})^2+\frac{13}{4}$，
所以当 $m=\frac{5}{2}$ 时，$m-n$ 有最大值，最大值为 $\frac{13}{4}$。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线顶点坐标，可直接用二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）求解，本题二次项系数$a=1$，顶点$(h,k)$为$(2,-1)$，代入后展开为一般式即可得到解析式。
(2) 比较抛物线上两点的函数值，先确定抛物线的开口方向和对称轴：本题抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，开口向上时对称轴左侧$y$随$x$增大而减小；再判断$t＜1$时，$M、N$两点横坐标都小于2，均在对称轴左侧，比较横坐标大小结合增减性即可判断$y_1、y_2$的大小。
(3) 点$P$在抛物线上，故$n$满足抛物线解析式，将$n$用含$m$的式子代入$m-n$，得到关于$m$的二次函数，通过配方法化为顶点式即可求出最大值。
【解析】
(1) 已知抛物线顶点坐标为$(2,-1)$，二次项系数为1，代入顶点式得：
$y=(x-2)^2-1$
展开整理得：$y=x^2-4x+3$
(2) 抛物线$y=x^2-4x+3$开口向上，对称轴为直线$x=2$。
当$t＜1$时，$t-1＜t＜1＜2$，即点$M、N$均在对称轴左侧的抛物线上。
由于开口向上的抛物线在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，且$t-1＜t$，因此$y_1＞y_2$。
(3) 因为点$P(m,n)$在抛物线上，所以$n=m^2-4m+3$，代入$m-n$得：
$\begin{aligned}m-n&=m-(m^2-4m+3)\\&=-m^2+5m-3\\&=-(m-\frac{5}{2})^2+\frac{13}{4}\end{aligned}$
因为二次项系数$-1＜0$，所以当$m=\frac{5}{2}$时，$m-n$取得最大值。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+3$；(2) $y_1＞y_2$；(3) $\frac{13}{4}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题围绕二次函数核心性质层层设问，既考查基础的解析式求法，也考查增减性的灵活应用和最值计算，需要熟练掌握二次函数顶点式、增减性规律以及配方法的运用。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线顶点坐标，可直接用二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）求解，本题二次项系数$a=1$，顶点$(h,k)$为$(2,-1)$，代入后展开为一般式即可得到解析式。
(2) 比较抛物线上两点的函数值，先确定抛物线的开口方向和对称轴：本题抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，开口向上时对称轴左侧$y$随$x$增大而减小；再判断$t＜1$时，$M、N$两点横坐标都小于2，均在对称轴左侧，比较横坐标大小结合增减性即可判断$y_1、y_2$的大小。
(3) 点$P$在抛物线上，故$n$满足抛物线解析式，将$n$用含$m$的式子代入$m-n$，得到关于$m$的二次函数，通过配方法化为顶点式即可求出最大值。
【解析】
(1) 已知抛物线顶点坐标为$(2,-1)$，二次项系数为1，代入顶点式得：
$y=(x-2)^2-1$
展开整理得：$y=x^2-4x+3$
(2) 抛物线$y=x^2-4x+3$开口向上，对称轴为直线$x=2$。
当$t＜1$时，$t-1＜t＜1＜2$，即点$M、N$均在对称轴左侧的抛物线上。
由于开口向上的抛物线在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，且$t-1＜t$，因此$y_1＞y_2$。
(3) 因为点$P(m,n)$在抛物线上，所以$n=m^2-4m+3$，代入$m-n$得：
$\begin{aligned}m-n&=m-(m^2-4m+3)\\&=-m^2+5m-3\\&=-(m-\frac{5}{2})^2+\frac{13}{4}\end{aligned}$
因为二次项系数$-1＜0$，所以当$m=\frac{5}{2}$时，$m-n$取得最大值。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+3$；(2) $y_1＞y_2$；(3) $\frac{13}{4}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题围绕二次函数核心性质层层设问，既考查基础的解析式求法，也考查增减性的灵活应用和最值计算，需要熟练掌握二次函数顶点式、增减性规律以及配方法的运用。
【难度系数】
0.7
