登录
1. 若关于x的函数$y=ax^2$是二次函数，则a应满足的条件是（
A.$a≠1$
B.$a=1$
C.$a≠0$
D.$a=0$
C
）A.$a≠1$
B.$a=1$
C.$a≠0$
D.$a=0$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数的定义要求，二次函数的核心特征是含有自变量的二次项，且二次项的系数不能为0。我们先对应题目给出的函数形式$y=ax^2$，可知其二次项系数是$a$，若$a=0$，函数就会变成常数函数$y=0$，不再是二次函数，因此只需保证二次项系数不为0即可得到$a$的取值条件，再对应选项选出正确答案。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（其中$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
本题中函数为$y=ax^2$，属于二次函数的特殊形式（$b=0,c=0$），要使该函数为二次函数，需满足二次项系数$a≠0$。
因此符合要求的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题考查二次函数的基础概念，解题的关键是牢记二次函数中二次项系数不能为0的限制条件，属于基础概念考查题，掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确二次函数的定义要求，二次函数的核心特征是含有自变量的二次项，且二次项的系数不能为0。我们先对应题目给出的函数形式$y=ax^2$，可知其二次项系数是$a$，若$a=0$，函数就会变成常数函数$y=0$，不再是二次函数，因此只需保证二次项系数不为0即可得到$a$的取值条件，再对应选项选出正确答案。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（其中$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
本题中函数为$y=ax^2$，属于二次函数的特殊形式（$b=0,c=0$），要使该函数为二次函数，需满足二次项系数$a≠0$。
因此符合要求的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题考查二次函数的基础概念，解题的关键是牢记二次函数中二次项系数不能为0的限制条件，属于基础概念考查题，掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 抛物线$y=(x-2)^2 +1$的对称轴是（
A.直线$x=2$
B.直线$x=-2$
C.直线$x=1$
D.直线$x=-1$
A
）A.直线$x=2$
B.直线$x=-2$
C.直线$x=1$
D.直线$x=-1$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先观察给出的二次函数解析式的形式，该解析式为二次函数的顶点式，我们可以直接利用顶点式的性质求解对称轴。二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的固定对称轴为直线$x=h$，只需找到解析式中对应的$h$值，即可得到对称轴。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$a$、$h$、$k$为常数），其对称轴为直线$x=h$。
将给定抛物线$y=(x-2)^2+1$与顶点式对比，可得$h=2$，因此该抛物线的对称轴是直线$x=2$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的对称轴
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式中参数与抛物线性质的对应关系，熟记相关结论即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察给出的二次函数解析式的形式，该解析式为二次函数的顶点式，我们可以直接利用顶点式的性质求解对称轴。二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的固定对称轴为直线$x=h$，只需找到解析式中对应的$h$值，即可得到对称轴。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$a$、$h$、$k$为常数），其对称轴为直线$x=h$。
将给定抛物线$y=(x-2)^2+1$与顶点式对比，可得$h=2$，因此该抛物线的对称轴是直线$x=2$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的对称轴
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式中参数与抛物线性质的对应关系，熟记相关结论即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 下列函数的图象与二次函数$y=-3x^2$的图象开口方向一致的是（
A.$y=ax^2$
B.$y=-2x$
C.$y=-\frac{1}{2}x^2$
D.$y=3x^2$
C
）A.$y=ax^2$
B.$y=-2x$
C.$y=-\frac{1}{2}x^2$
D.$y=3x^2$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数开口方向的判定规则：二次函数图象的开口方向仅由二次项系数的符号决定，二次项系数大于0时开口向上，小于0时开口向下。首先明确题干中二次函数$y=-3x^2$的二次项系数为$-3＜0$，开口向下，因此我们需要筛选出二次项系数也小于0的二次函数即可。解题时先排除不属于二次函数的选项，再排除二次项系数符号不确定或大于0的选项，最终得到正确答案。
【解析】
二次函数的开口方向由二次项系数的符号决定：二次项系数$＜0$时，抛物线开口向下。
题干中$y=-3x^2$的二次项系数为$-3＜0$，开口向下，需找同样开口向下的二次函数：
选项A：$y=ax^2$的二次项系数$a$的正负未知，开口方向无法确定，不符合要求；
选项B：$y=-2x$是一次函数，图象为直线，不存在抛物线的开口方向，排除；
选项C：$y=-\frac{1}{2}x^2$的二次项系数为$-\frac{1}{2}＜0$，开口向下，与题干函数开口方向一致，符合要求；
选项D：$y=3x^2$的二次项系数为$3＞0$，开口向上，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记二次项系数的符号对抛物线开口方向的决定作用，同时要注意区分二次函数和一次函数的图象特征，避免误选非二次函数选项或含未知参数的不确定选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数开口方向的判定规则：二次函数图象的开口方向仅由二次项系数的符号决定，二次项系数大于0时开口向上，小于0时开口向下。首先明确题干中二次函数$y=-3x^2$的二次项系数为$-3＜0$，开口向下，因此我们需要筛选出二次项系数也小于0的二次函数即可。解题时先排除不属于二次函数的选项，再排除二次项系数符号不确定或大于0的选项，最终得到正确答案。
【解析】
二次函数的开口方向由二次项系数的符号决定：二次项系数$＜0$时，抛物线开口向下。
题干中$y=-3x^2$的二次项系数为$-3＜0$，开口向下，需找同样开口向下的二次函数：
选项A：$y=ax^2$的二次项系数$a$的正负未知，开口方向无法确定，不符合要求；
选项B：$y=-2x$是一次函数，图象为直线，不存在抛物线的开口方向，排除；
选项C：$y=-\frac{1}{2}x^2$的二次项系数为$-\frac{1}{2}＜0$，开口向下，与题干函数开口方向一致，符合要求；
选项D：$y=3x^2$的二次项系数为$3＞0$，开口向上，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记二次项系数的符号对抛物线开口方向的决定作用，同时要注意区分二次函数和一次函数的图象特征，避免误选非二次函数选项或含未知参数的不确定选项。
【难度系数】
0.8
4. 将抛物线$y=x^2$向左平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式是（
A.$y=x^2 -1$
B.$y=x^2 +1$
C.$y=(x-1)^2$
D.$y=(x+1)^2$
D
）A.$y=x^2 -1$
B.$y=x^2 +1$
C.$y=(x-1)^2$
D.$y=(x+1)^2$
答案
4.D
解析
【分析】
解决这道题需要先掌握二次函数图象的平移规律，我们常用“左加右减，上加下减”的口诀记忆：其中左右平移是对自变量x进行操作，向左平移n个单位就把x替换为x+n，向右平移n个单位就把x替换为x-n；上下平移是对整个函数值进行操作，向上平移n个单位就在整体后加n，向下平移n个单位就在整体后减n。本题是向左平移1个单位，只需将原表达式中的x替换为x+1即可得到新抛物线的表达式。
【解析】
根据二次函数图象平移的“左加右减”规律，左右平移针对自变量x运算，将抛物线$y=x^2$向左平移1个单位长度时，需把原式中的$x$替换为$x+1$，因此得到的新抛物线的函数表达式为$y=(x+1)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象平移 2. 函数平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查“左加右减、上加下减”的平移规则，解题时要注意左右平移是针对自变量x变形，不要和上下平移的运算位置混淆，牢记规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解决这道题需要先掌握二次函数图象的平移规律，我们常用“左加右减，上加下减”的口诀记忆：其中左右平移是对自变量x进行操作，向左平移n个单位就把x替换为x+n，向右平移n个单位就把x替换为x-n；上下平移是对整个函数值进行操作，向上平移n个单位就在整体后加n，向下平移n个单位就在整体后减n。本题是向左平移1个单位，只需将原表达式中的x替换为x+1即可得到新抛物线的表达式。
【解析】
根据二次函数图象平移的“左加右减”规律，左右平移针对自变量x运算，将抛物线$y=x^2$向左平移1个单位长度时，需把原式中的$x$替换为$x+1$，因此得到的新抛物线的函数表达式为$y=(x+1)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象平移 2. 函数平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查“左加右减、上加下减”的平移规则，解题时要注意左右平移是针对自变量x变形，不要和上下平移的运算位置混淆，牢记规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
5. 如图，已知抛物线$y=x^2+bx+3$与y轴的交点A关于对称轴直线$x=2$的对称点是B，则点B的坐标为（
A.$(2,3)$
B.$(3,2)$
C.$(3,3)$
D.$(4,3)$
D
）A.$(2,3)$
B.$(3,2)$
C.$(3,3)$
D.$(4,3)$
答案
5.D
解析
【分析】
要得到点B的坐标，需先求出点A的坐标，再利用轴对称的性质计算点B的坐标：①先根据y轴上点的横坐标为0的特征，代入抛物线解析式求出点A的坐标；②再根据关于直线x=2对称的两个点，纵坐标相等，横坐标的平均值等于2的规律，计算出点B的横坐标，即可得到B点坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
抛物线与y轴的交点横坐标为0，将$x=0$代入$y=x^2+bx+3$，得$y=0+0+3=3$，因此点A的坐标为$(0,3)$。
2. 求对称点B的坐标：
已知点A和点B关于对称轴$x=2$对称，设点B的坐标为$(m,3)$。
根据轴对称的性质，两点横坐标的中点为对称轴对应的x值，即$\frac{0+m}{2}=2$，解得$m=4$。
因此点B的坐标为$(4,3)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求法；轴对称的坐标性质；二次函数的对称轴
【点评】
本题属于二次函数基础题，将坐标轴交点的坐标特征和轴对称点的坐标规律结合考查，解题核心是先确定已知点坐标，再利用对称性推导未知点坐标，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
要得到点B的坐标，需先求出点A的坐标，再利用轴对称的性质计算点B的坐标：①先根据y轴上点的横坐标为0的特征，代入抛物线解析式求出点A的坐标；②再根据关于直线x=2对称的两个点，纵坐标相等，横坐标的平均值等于2的规律，计算出点B的横坐标，即可得到B点坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
抛物线与y轴的交点横坐标为0，将$x=0$代入$y=x^2+bx+3$，得$y=0+0+3=3$，因此点A的坐标为$(0,3)$。
2. 求对称点B的坐标：
已知点A和点B关于对称轴$x=2$对称，设点B的坐标为$(m,3)$。
根据轴对称的性质，两点横坐标的中点为对称轴对应的x值，即$\frac{0+m}{2}=2$，解得$m=4$。
因此点B的坐标为$(4,3)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求法；轴对称的坐标性质；二次函数的对称轴
【点评】
本题属于二次函数基础题，将坐标轴交点的坐标特征和轴对称点的坐标规律结合考查，解题核心是先确定已知点坐标，再利用对称性推导未知点坐标，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
6. 已知二次函数$y=a(x-1)^2+1(a＞0)$的图象上有三个点，分别为$A(2,y_1),B(3,y_2),C(-4,y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
D
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
6.D
解析
【分析】
首先观察二次函数解析式为顶点式，可直接得出其对称轴和开口方向：该函数a＞0，因此抛物线开口向上，开口向上的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。因此解题步骤为：第一步确定抛物线对称轴，第二步分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，第三步比较距离大小即可得出$y_1,y_2,y_3$的大小关系。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=a(x-1)^2+1(a＞0)$：
1. 确定函数性质：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大。
2. 计算各点到对称轴的距离：
点$A(2,y_1)$到$x=1$的距离：$\vert2-1\vert=1$
点$B(3,y_2)$到$x=1$的距离：$\vert3-1\vert=2$
点$C(-4,y_3)$到$x=1$的距离：$\vert-4-1\vert=5$
3. 比较距离大小：$5＞2＞1$，因此对应函数值大小为$y_3＞y_2＞y_1$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质；函数值比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查利用二次函数的开口方向和对称轴判断函数值大小的方法，无需代入计算函数具体值，通过比较点到对称轴的距离即可快速解题，熟练掌握二次函数图象性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.8
首先观察二次函数解析式为顶点式，可直接得出其对称轴和开口方向：该函数a＞0，因此抛物线开口向上，开口向上的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。因此解题步骤为：第一步确定抛物线对称轴，第二步分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，第三步比较距离大小即可得出$y_1,y_2,y_3$的大小关系。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=a(x-1)^2+1(a＞0)$：
1. 确定函数性质：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大。
2. 计算各点到对称轴的距离：
点$A(2,y_1)$到$x=1$的距离：$\vert2-1\vert=1$
点$B(3,y_2)$到$x=1$的距离：$\vert3-1\vert=2$
点$C(-4,y_3)$到$x=1$的距离：$\vert-4-1\vert=5$
3. 比较距离大小：$5＞2＞1$，因此对应函数值大小为$y_3＞y_2＞y_1$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质；函数值比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查利用二次函数的开口方向和对称轴判断函数值大小的方法，无需代入计算函数具体值，通过比较点到对称轴的距离即可快速解题，熟练掌握二次函数图象性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.8
7. 如图，这是二次函数$y=3x^2+kx+12$的图象，则k的值是（
A.12
B.$-12$
C.$-15$
D.15
A
）A.12
B.$-12$
C.$-15$
D.15
答案
7.A
解析
【分析】
首先观察图像可得，该二次函数的抛物线与x轴仅有一个交点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，可利用根的判别式求出k的所有可能取值；再结合抛物线顶点在x轴负半轴、对称轴在y轴左侧的特征，判断k的符号，最终筛选出符合条件的k值。
【解析】
∵二次函数$y=3x^2+kx+12$的图象与x轴只有一个交点
∴对应的一元二次方程$3x^2+kx+12=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=0$
代入$a=3,b=k,c=12$得：
$\Delta = k^2 - 4ac = k^2 - 4×3×12 = k^2 - 144 = 0$
解得$k=\pm12$
又由图象可知，抛物线顶点在x轴负半轴，即对称轴在y轴左侧，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}＜0$
代入$a=3,b=k$得：
$-\frac{k}{2×3}＜0$，即$-\frac{k}{6}＜0$，解得$k＞0$
综上，$k=12$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，根的判别式，二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，需要结合图象特征与代数性质共同求解，既考查了根的判别式的应用，也考查了对称轴位置和参数符号的对应关系，有助于锻炼数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7
首先观察图像可得，该二次函数的抛物线与x轴仅有一个交点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，可利用根的判别式求出k的所有可能取值；再结合抛物线顶点在x轴负半轴、对称轴在y轴左侧的特征，判断k的符号，最终筛选出符合条件的k值。
【解析】
∵二次函数$y=3x^2+kx+12$的图象与x轴只有一个交点
∴对应的一元二次方程$3x^2+kx+12=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=0$
代入$a=3,b=k,c=12$得：
$\Delta = k^2 - 4ac = k^2 - 4×3×12 = k^2 - 144 = 0$
解得$k=\pm12$
又由图象可知，抛物线顶点在x轴负半轴，即对称轴在y轴左侧，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}＜0$
代入$a=3,b=k$得：
$-\frac{k}{2×3}＜0$，即$-\frac{k}{6}＜0$，解得$k＞0$
综上，$k=12$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，根的判别式，二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，需要结合图象特征与代数性质共同求解，既考查了根的判别式的应用，也考查了对称轴位置和参数符号的对应关系，有助于锻炼数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7
8. 下列直线$y=ax+b$与抛物线$y=ax^2+bx+b$在同一坐标系里的大致图象正确的是（
D
）答案
8.D
解析
【分析】
本题可采用排除法解题，两个函数中的参数a、b取值是统一的，我们先通过一次函数的图象（斜率、与y轴交点）判断出a、b的符号，再对照二次函数的图象特征（开口方向、与y轴交点、对称轴位置）是否匹配，逐一排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析选项：
1. 分析选项A：一次函数图象从左下到右上，可得$a＞0$，与y轴交于正半轴，可得$b＞0$；但对应二次函数与y轴交于负半轴，即$b＜0$，参数矛盾，排除A。
2. 分析选项B：一次函数$a＞0$，与y轴交于正半轴得$b＞0$；对应二次函数与y轴交于负半轴得$b＜0$，参数矛盾，排除B。
3. 分析选项C：一次函数$a＞0$，与y轴交于正半轴得$b＞0$，二次函数开口向上（$a＞0$）、与y轴交点和一次函数一致（$b＞0$）暂时符合；但二次函数对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可推得$b＜0$，与一次函数得到的$b＞0$矛盾，排除C。
4. 分析选项D：一次函数$a＞0$，与y轴交于正半轴得$b＞0$；对应二次函数开口向上（$a＞0$）、与y轴交于正半轴（$b＞0$），对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$（位于y轴左侧），所有特征均匹配，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，数形结合判断函数图象
【点评】
本题是函数图象类的常规题型，核心是把握不同函数中同一参数的取值一致性，用排除法可以高效解题，很好地考查了学生对函数图象与参数对应关系的掌握，以及数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.65
本题可采用排除法解题，两个函数中的参数a、b取值是统一的，我们先通过一次函数的图象（斜率、与y轴交点）判断出a、b的符号，再对照二次函数的图象特征（开口方向、与y轴交点、对称轴位置）是否匹配，逐一排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析选项：
1. 分析选项A：一次函数图象从左下到右上，可得$a＞0$，与y轴交于正半轴，可得$b＞0$；但对应二次函数与y轴交于负半轴，即$b＜0$，参数矛盾，排除A。
2. 分析选项B：一次函数$a＞0$，与y轴交于正半轴得$b＞0$；对应二次函数与y轴交于负半轴得$b＜0$，参数矛盾，排除B。
3. 分析选项C：一次函数$a＞0$，与y轴交于正半轴得$b＞0$，二次函数开口向上（$a＞0$）、与y轴交点和一次函数一致（$b＞0$）暂时符合；但二次函数对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可推得$b＜0$，与一次函数得到的$b＞0$矛盾，排除C。
4. 分析选项D：一次函数$a＞0$，与y轴交于正半轴得$b＞0$；对应二次函数开口向上（$a＞0$）、与y轴交于正半轴（$b＞0$），对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$（位于y轴左侧），所有特征均匹配，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，数形结合判断函数图象
【点评】
本题是函数图象类的常规题型，核心是把握不同函数中同一参数的取值一致性，用排除法可以高效解题，很好地考查了学生对函数图象与参数对应关系的掌握，以及数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.65
9. 函数$y=2x^2 - 3x + 1$的一次项系数是
-3
。答案
9.-3
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次函数的一般形式及各项系数的定义。首先回忆二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，注意系数包含该项前面的符号。接下来将题目给出的函数与一般式逐一对应，找到一次项对应的系数即可。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中一次项为$bx$，一次项系数为$b$。
将给定函数$y=2x^2 - 3x + 1$与一般式对比，可得一次项为$-3x$，因此一次项系数是$-3$。
【答案】
-3
【知识点】
1.二次函数的一般形式 2.多项式的项与系数
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对二次函数各项系数的识别，解题时需注意系数包含该项前面的正负号，不要漏写符号导致错误。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确二次函数的一般形式及各项系数的定义。首先回忆二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，注意系数包含该项前面的符号。接下来将题目给出的函数与一般式逐一对应，找到一次项对应的系数即可。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中一次项为$bx$，一次项系数为$b$。
将给定函数$y=2x^2 - 3x + 1$与一般式对比，可得一次项为$-3x$，因此一次项系数是$-3$。
【答案】
-3
【知识点】
1.二次函数的一般形式 2.多项式的项与系数
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对二次函数各项系数的识别，解题时需注意系数包含该项前面的正负号，不要漏写符号导致错误。
【难度系数】
0.9
10. 二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象必经过的一点的坐标为
(0,0)
。答案
10.(0,0)
解析
【分析】
要确定二次函数$y=ax^2(a≠0)$必经过的点，即寻找无论a取任意非0实数，都满足函数解析式的点坐标。由于解析式中仅含参数a，我们可以令含a的项的系数为0，消去参数a的影响，即可得到固定的函数值，进而确定定点坐标。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$：
当$x=0$时，代入解析式得$y=a×0^2=0$，
此时无论a取任何非0实数，y的取值恒为0，
因此该二次函数的图象必经过点$(0,0)$。
【答案】
$(0,0)$
【知识点】
二次函数的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是理解函数图象上的点的坐标一定满足对应的函数解析式，通过消去参数的影响即可快速求出定点坐标。
【难度系数】
0.9
要确定二次函数$y=ax^2(a≠0)$必经过的点，即寻找无论a取任意非0实数，都满足函数解析式的点坐标。由于解析式中仅含参数a，我们可以令含a的项的系数为0，消去参数a的影响，即可得到固定的函数值，进而确定定点坐标。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$：
当$x=0$时，代入解析式得$y=a×0^2=0$，
此时无论a取任何非0实数，y的取值恒为0，
因此该二次函数的图象必经过点$(0,0)$。
【答案】
$(0,0)$
【知识点】
二次函数的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是理解函数图象上的点的坐标一定满足对应的函数解析式，通过消去参数的影响即可快速求出定点坐标。
【难度系数】
0.9
11. 将抛物线 $ y=2x^2 $ 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为
$y=2(x-1)^2+2$
。(或$y=2x^2-4x+4$)
。答案
11.$y=2(x-1)^2+2$(或$y=2x^2-4x+4$)
解析
【分析】
解决这道题需要用到二次函数图象平移的规律。首先明确：抛物线平移时形状和开口方向不变，即二次项系数不变；其次平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，其中“左加右减”是针对自变量x进行的变换（左右平移时，平移的单位要直接加/减在x上，注意带括号），“上加下减”是针对整个函数值进行的变换（上下平移时，平移的单位直接加/减在表达式末尾）。本题先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，按照规律逐步变换原表达式即可。
【解析】
已知原抛物线的函数表达式为$y=2x^2$：
1. 向右平移1个单位长度，根据“左加右减”的原则，将自变量$x$替换为$x-1$，得到平移后的表达式为$y=2(x-1)^2$；
2. 再向上平移2个单位长度，根据“上加下减”的原则，在上述表达式末尾加2，最终得到新抛物线的顶点式为$y=2(x-1)^2+2$；
若展开为一般式，计算得：$y=2(x^2-2x+1)+2=2x^2-4x+2+2=2x^2-4x+4$。
【答案】
$y=2(x-1)^2+2$（或$y=2x^2-4x+4$）
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数表达式化简
【点评】
本题是二次函数平移类的基础题型，核心考查对平移规律的理解与运用，解题时注意左右平移是对自变量x本身进行变换，不要出现符号混淆的错误，掌握平移原则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要用到二次函数图象平移的规律。首先明确：抛物线平移时形状和开口方向不变，即二次项系数不变；其次平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，其中“左加右减”是针对自变量x进行的变换（左右平移时，平移的单位要直接加/减在x上，注意带括号），“上加下减”是针对整个函数值进行的变换（上下平移时，平移的单位直接加/减在表达式末尾）。本题先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，按照规律逐步变换原表达式即可。
【解析】
已知原抛物线的函数表达式为$y=2x^2$：
1. 向右平移1个单位长度，根据“左加右减”的原则，将自变量$x$替换为$x-1$，得到平移后的表达式为$y=2(x-1)^2$；
2. 再向上平移2个单位长度，根据“上加下减”的原则，在上述表达式末尾加2，最终得到新抛物线的顶点式为$y=2(x-1)^2+2$；
若展开为一般式，计算得：$y=2(x^2-2x+1)+2=2x^2-4x+2+2=2x^2-4x+4$。
【答案】
$y=2(x-1)^2+2$（或$y=2x^2-4x+4$）
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数表达式化简
【点评】
本题是二次函数平移类的基础题型，核心考查对平移规律的理解与运用，解题时注意左右平移是对自变量x本身进行变换，不要出现符号混淆的错误，掌握平移原则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12. 已知$A(x_1,2026),B(x_2,2026)$是二次函数$y=ax^2+bx+2026$图象上的两点,则当$x=x_1+x_2$时,二次函数$y=ax^2+bx+2026$的值为
2 026
。答案
12.2 026
解析
【分析】
首先观察到A、B两点纵坐标相同，均为2026，说明这两点是二次函数图象上关于对称轴对称的点。解题时第一步先结合二次函数对称轴公式，推导得到x₁+x₂的表达式，第二步将x=x₁+x₂代入函数解析式计算对应的函数值即可，思路清晰易懂。
【解析】
解：
∵点$A(x_1,2026)$、$B(x_2,2026)$在二次函数$y=ax^2+bx+2026$的图象上，且两点纵坐标相等，
∴A、B两点关于该二次函数的对称轴对称。
二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，同时对称轴也是A、B两点横坐标的中点，即$x=\frac{x_1+x_2}{2}$，
∴$\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}$，整理得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
将$x=-\frac{b}{a}$代入二次函数解析式得：
$\begin{aligned}y&=a·(-\frac{b}{a})^2 + b·(-\frac{b}{a}) + 2026\\&=a·\frac{b^2}{a^2} - \frac{b^2}{a} + 2026\\&=\frac{b^2}{a} - \frac{b^2}{a} + 2026\\&=2026\end{aligned}$
【答案】
2026
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质应用的典型基础题，解题核心是利用纵坐标相等的两点关于抛物线对称轴对称的性质，快速求出$x_1+x_2$的表达式，再代入解析式计算即可，考查学生对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
首先观察到A、B两点纵坐标相同，均为2026，说明这两点是二次函数图象上关于对称轴对称的点。解题时第一步先结合二次函数对称轴公式，推导得到x₁+x₂的表达式，第二步将x=x₁+x₂代入函数解析式计算对应的函数值即可，思路清晰易懂。
【解析】
解：
∵点$A(x_1,2026)$、$B(x_2,2026)$在二次函数$y=ax^2+bx+2026$的图象上，且两点纵坐标相等，
∴A、B两点关于该二次函数的对称轴对称。
二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，同时对称轴也是A、B两点横坐标的中点，即$x=\frac{x_1+x_2}{2}$，
∴$\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}$，整理得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
将$x=-\frac{b}{a}$代入二次函数解析式得：
$\begin{aligned}y&=a·(-\frac{b}{a})^2 + b·(-\frac{b}{a}) + 2026\\&=a·\frac{b^2}{a^2} - \frac{b^2}{a} + 2026\\&=\frac{b^2}{a} - \frac{b^2}{a} + 2026\\&=2026\end{aligned}$
【答案】
2026
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质应用的典型基础题，解题核心是利用纵坐标相等的两点关于抛物线对称轴对称的性质，快速求出$x_1+x_2$的表达式，再代入解析式计算即可，考查学生对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
