13. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $（$ a,b,c $为常数，$ a ≠ 0 $）经过点$(-1,0)$，该抛物线的顶点横坐标为1，且$ 0 ＜ c ＜ 3 $，则$ a $的取值范围是。

13.$-1＜a＜0$

【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，抛物线顶点横坐标为1，即对称轴为直线x=1，利用二次函数对称轴公式可推出b与a的数量关系；其次，抛物线过点(-1,0)，将该点坐标代入解析式，结合已得的b与a的关系，可将c用含a的式子表示；最后结合题目给出的0＜c＜3的取值范围，解不等式即可求出a的取值范围，注意不等式两边除以负数时不等号方向要改变。
【解析】
1. 由抛物线顶点横坐标为1，可知抛物线对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$-\frac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$。
2. 已知抛物线经过点$(-1,0)$，将$x=-1,y=0$代入$y=ax^2+bx+c$得：
$a·(-1)^2 + b·(-1) + c = 0$，即$a - b + c = 0$。
3. 将$b=-2a$代入上式，得：
$a - (-2a) + c = 0$，整理得$c=-3a$。
4. 结合$0 ＜ c ＜ 3$，将$c=-3a$代入不等式得：
$0 ＜ -3a ＜ 3$，不等式两边同时除以$-3$（不等号方向改变），解得$-1 ＜ a ＜ 0$。
【答案】
$-1＜a＜0$
【知识点】
二次函数对称轴性质；二次函数图象上点的坐标特征；解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次函数基本性质的应用，解题核心是通过已知条件建立参数a与c的关联，再结合c的范围求解参数范围，需要注意解含负系数的不等式时不等号方向的变化，是二次函数的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

三、解答题(共35分)
14. (8分)用描点法画出二次函数$y=2(x-2)^2 -3$的图象，列表如下：

(1)填空:表中$m=$，$n=$。
(2)在下图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象。

14. 解:(1)当$x=0$时，$m=2×(0-2)^2-3=5$。
当$x=2$时，$n=2×(2-2)^2-3=-3$。
故答案为:5;-3。
(2)根据题意，画图象如下：

【分析】
(1) 求m、n的值本质是求对应自变量下的二次函数值，只需将对应的x值代入二次函数解析式$y=2(x-2)^2 -3$，计算即可得到结果。(2) 用描点法画二次函数图象，先根据已有的点坐标在坐标系中准确描点，再按横坐标从小到大的顺序，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数的抛物线图象。
【解析】
(1) 计算m的值：将$x=0$代入解析式，得
$m=2×(0-2)^2-3=2×4-3=5$；
计算n的值：将$x=2$代入解析式，得
$n=2×(2-2)^2-3=2×0-3=-3$。
(2) 先在平面直角坐标系中依次描出点$(0,5)$、$(1,-1)$、$(2,-3)$、$(3,-1)$、$(4,5)$，再用平滑曲线按从左到右的顺序顺次连接这些点，即可得到该二次函数的图象。
【答案】
(1) $5$；$-3$
(2)
【知识点】
函数值计算，描点法画图，二次函数性质
【点评】
本题是二次函数基础题，主要考查代入求值和描点法绘制抛物线的能力，掌握相关基础方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.9

15. (8分)已知二次函数$y=x^2+bx+c$的函数值$y$与自变量$x$之间的对应数据如表：
| $x$ | … | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $10$ | $5$ | | $1$ | $2$ | $5$ | … |
(1)求$b,c$的值。
(2)当$x$取何值时，该二次函数有最小值，最小值是多少？

15. 解:(1)把$(0,5),(1,2)$代入$y=x^2+bx+c$，
得$\begin{cases}c=5,\\1+b+c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-4,\\c=5。\end{cases}$
(2)由(1)知，$y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$，所以当$x=2$时，二次函数有最小值，最小值为1。

【分析】
解决第(1)问时，已知二次函数的一般式，要求未知系数$b、c$，可使用待定系数法：选取表格中两组已知的$x、y$对应值代入解析式，得到关于$b、c$的二元一次方程组，解方程组即可求出参数，选取$(0,5)$、$(1,2)$计算最简便，$x=0$时可直接得出$c$的值。
解决第(2)问时，该二次函数二次项系数为正，图象开口向上，顶点处取得最小值。将第(1)问求出的$b、c$代入解析式后，通过配方法把一般式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标，确定最小值对应的$x$取值和最小值。
【解析】
(1) 将表格中$(0,5)$、$(1,2)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=5\\1+b+c=2\end{cases}$
把$c=5$代入$1+b+c=2$，解得$b=-4$。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$y=x^2-4x+5$，配方得：
$y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$
由于二次项系数$1＞0$，函数图象开口向上，顶点坐标为$(2,1)$，因此当$x=2$时，二次函数取得最小值。
【答案】
(1) $b=-4$，$c=5$；
(2) 当$x=2$时，该二次函数有最小值，最小值是1。
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数的最值、配方法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查待定系数法求函数参数，以及二次函数最值的计算，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，以及配方法转化函数解析式的运算方法。
【难度系数】
0.85

16. (9分)分别根据下列条件，求二次函数的表达式。
(1)图象过点$(1,0),(-1,8)$和$(0,2)$。
(2)图象过点$(-2,2)$和$(-4,14)$，对称轴为直线$x=-2$。
(3)图象过点$(-1,-7)$，当$x=2$时，$y$有最大值$2$。

16. 解:(1)设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
根据题意得$\begin{cases}a+b+c=0,\\a-b+c=8,\\c=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\b=-4,\\c=2。\end{cases}$
所以二次函数的表达式为$y=2x^2-4x+2$。
(2)因为二次函数图象的对称轴为直线$x=-2$，
所以二次函数图象的顶点坐标为$(-2,2)$。
设二次函数的表达式为$y=a(x+2)^2+2$，
把点$(-4,14)$的坐标代入，得$a·(-4+2)^2+2=14$，
解得$a=3$，
所以二次函数的表达式为$y=3(x+2)^2+2$。
(3)因为当$x=2$时，$y$有最大值$2$，
所以二次函数图象的顶点坐标为$(2,2)$。
设二次函数的表达式为$y=a(x-2)^2+2$，
把点$(-1,-7)$的坐标代入，得$a·(-1-2)^2+2=-7$，
解得$a=-1$，
所以二次函数的表达式为$y=-(x-2)^2+2$。

【分析】
求解二次函数表达式核心是用待定系数法，需根据题给条件选择最优的解析式形式：
(1)已知三个普通点坐标，无顶点、对称轴、最值相关信息，因此设一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，代入三个点坐标得到三元一次方程组，求解参数$a,b,c$即可；
(2)已知对称轴为$x=-2$，且图象过$(-2,2)$，该点就是抛物线顶点，因此设顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），仅需求解参数$a$，计算更简便；
(3)已知$x=2$时$y$有最大值2，直接给出顶点坐标为$(2,2)$，因此同样设顶点式，代入已知点求解$a$即可。
【解析】
(1)设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将点$(1,0),(-1,8)$和$(0,2)$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}a+b+c=0\\a-b+c=8\\c=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2\\b=-4\\c=2\end{cases}$
因此该二次函数的表达式为$y=2x^2-4x+2$。
(2)
∵二次函数图象的对称轴为直线$x=-2$，且图象过点$(-2,2)$，
∴该二次函数的顶点坐标为$(-2,2)$，
设二次函数的表达式为$y=a(x+2)^2+2(a≠0)$，
将点$(-4,14)$代入解析式，得：$a·(-4+2)^2+2=14$，
解得$a=3$，
因此该二次函数的表达式为$y=3(x+2)^2+2$。
(3)
∵当$x=2$时，$y$有最大值$2$，
∴该二次函数的顶点坐标为$(2,2)$，
设二次函数的表达式为$y=a(x-2)^2+2(a≠0)$，
将点$(-1,-7)$代入解析式，得：$a·(-1-2)^2+2=-7$，
解得$a=-1$，
因此该二次函数的表达式为$y=-(x-2)^2+2$。
【答案】
(1)$y=2x^2-4x+2$；
(2)$y=3(x+2)^2+2$；
(3)$y=-(x-2)^2+2$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数一般式；二次函数顶点式
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题关键是根据已知条件灵活选择一般式或顶点式简化计算，需熟练掌握二次函数顶点与对称轴、最值的对应关系。
【难度系数】
0.8

17. (10分)在平面直角坐标系中,设二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x-2m)^2 +1 -m$（$m$是常数）。
(1)当$m=2$时,若点$A(6,n)$在该函数图象上,求$n$的值。
(2)小明说该二次函数图象的顶点坐标可以是$(2,-1)$,你认为他的说法对吗?为什么?
(3)已知点$P(a+1,c)$,$Q(4m-7+a,c)$都在该二次函数图象上,求证: $c ≤ -\dfrac{7}{8}$。

17. 解:(1)当$m=2$时，$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2-1$。
因为点$A(6,n)$在该函数图象上，
所以$n=-\frac{1}{2}(6-4)^2-1=-3$。
(2)若顶点坐标是$(2,-1)$，则$2m=2$①，$1-m=-1$②，
由①得$m=1$，由②得$m=2$，
故小明的说法错误。
(3)证明:因为点$P(a+1,c)$，$Q(4m-7+a,c)$都在该二次函数图象上，
所以对称轴为直线$x=\frac{a+1+4m-7+a}{2}=a+2m-3$，
所以$a+2m-3=2m$，
所以$a=3$，
所以$P(4,c)$，
所以$c=-\frac{1}{2}(4-2m)^2+1-m=-2m^2+7m-7$
$=-2(m-\frac{7}{4})^2-\frac{7}{8}$，
所以$c≤-\frac{7}{8}$。

【分析】
(1) 第一问为基础代入求值问题，解题思路为：先将m=2代入二次函数解析式，得到确定的函数表达式，再将点A的横坐标代入表达式，即可计算得到n的值。
(2) 第二问需结合二次函数顶点式的性质分析：对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点坐标为$(h,k)$，本题函数的顶点横坐标为$2m$、纵坐标为$1-m$，若顶点为$(2,-1)$，则横纵坐标分别列方程求m，若m值矛盾则说法错误。
(3) 第三问先观察到P、Q两点纵坐标相同，说明两点关于二次函数对称轴对称，先通过两点横坐标求出对称轴表达式，再与函数本身的对称轴$x=2m$联立求出a的值，将P点横坐标代入解析式得到c关于m的二次函数，配方求最大值即可完成证明。
【解析】
(1) 当$m=2$时，代入二次函数解析式得：
$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2-1$
∵点$A(6,n)$在该函数图象上，将$x=6$代入解析式：
$n=-\dfrac{1}{2}(6-4)^2-1=-\dfrac{1}{2}×4-1=-3$
(2) 小明的说法不对，理由如下：
二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x-2m)^2+1-m$的顶点坐标为$(2m,1-m)$，若顶点为$(2,-1)$，则：
$\begin{cases}2m=2\\1-m=-1\end{cases}$
解第一个方程得$m=1$，解第二个方程得$m=2$，两个解矛盾，不存在同时满足条件的m值，故小明说法错误。
(3) 证明：
∵点$P(a+1,c)$、$Q(4m-7+a,c)$纵坐标相同，
∴两点关于二次函数对称轴对称，
函数对称轴为$x=\dfrac{(a+1)+(4m-7+a)}{2}=a+2m-3$
又
∵该二次函数本身的对称轴为$x=2m$
∴$a+2m-3=2m$，解得$a=3$
∴点P的横坐标为$a+1=4$，将$x=4$代入解析式得：
$c=-\dfrac{1}{2}(4-2m)^2+1-m=-2m^2+7m-7$
配方得：$c=-2(m-\dfrac{7}{4})^2-\dfrac{7}{8}$
∵$-2＜0$，该二次函数开口向下，最大值为$-\dfrac{7}{8}$
∴$c≤ -\dfrac{7}{8}$，得证。
【答案】
(1) $n=-3$
(2) 小明的说法错误，不存在符合条件的常数m。
(3) 证明成立，$c≤ -\dfrac{7}{8}$。
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数对称性；二次函数最值
【点评】
本题围绕二次函数核心基础性质设置，梯度设置合理，既考查基础的代入运算能力，也要求学生灵活运用顶点性质、对称性、最值推导解决问题，能有效检验对二次函数基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7