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1. 二次函数$y=-(x+1)^2+6$的最大值是 （
A.1
B.$-1$
C.$-6$
D.$6$
D
）A.1
B.$-1$
C.$-6$
D.$6$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察给出的二次函数解析式是顶点式，我们可以结合二次函数顶点式的性质思考：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$a$的正负决定抛物线的开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值$k$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值$k$。所以我们只需要确定解析式中$a$的符号和$k$的值，就能直接得到最大值。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-(x+1)^2+6$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式：
1. 确定$a$的值：这里$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标；
2. 确定顶点纵坐标$k$：解析式中$k=6$，因此该二次函数的最大值是$6$。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的最值
【点评】
本题是基础类题型，重点考查二次函数最值的求解，熟练掌握二次函数顶点式的相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先观察给出的二次函数解析式是顶点式，我们可以结合二次函数顶点式的性质思考：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$a$的正负决定抛物线的开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值$k$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值$k$。所以我们只需要确定解析式中$a$的符号和$k$的值，就能直接得到最大值。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-(x+1)^2+6$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式：
1. 确定$a$的值：这里$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标；
2. 确定顶点纵坐标$k$：解析式中$k=6$，因此该二次函数的最大值是$6$。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的最值
【点评】
本题是基础类题型，重点考查二次函数最值的求解，熟练掌握二次函数顶点式的相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 若二次函数$y=□(x-3)^2 -1$有最小值，则“$□$”中可填的数是（
A.2
B.-1
C.0
D.-2
A
）A.2
B.-1
C.0
D.-2
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先明确二次函数的核心性质：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，首先二次项系数$a≠0$才能保证是二次函数；其次，函数有最小值意味着抛物线开口向上，开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上有最小值，$a＜0$时开口向下有最大值。结合以上两个条件，判断选项中符合$a＞0$的数即可。
【解析】
已知该函数为二次函数，形式为顶点式$y=a(x-3)^2-1$：
1. 二次函数要求二次项系数不为0，因此先排除系数为0的C选项；
2. 二次函数有最小值，说明抛物线开口向上，因此二次项系数$a＞0$；
3. 剩余选项中，A选项的2满足$a＞0$，B选项-1、D选项-2均小于0，此时函数开口向下、有最大值，不符合要求。
综上只有A选项符合条件。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，重点考查二次项系数对开口方向和最值的影响，掌握顶点式中参数的含义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确二次函数的核心性质：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，首先二次项系数$a≠0$才能保证是二次函数；其次，函数有最小值意味着抛物线开口向上，开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上有最小值，$a＜0$时开口向下有最大值。结合以上两个条件，判断选项中符合$a＞0$的数即可。
【解析】
已知该函数为二次函数，形式为顶点式$y=a(x-3)^2-1$：
1. 二次函数要求二次项系数不为0，因此先排除系数为0的C选项；
2. 二次函数有最小值，说明抛物线开口向上，因此二次项系数$a＞0$；
3. 剩余选项中，A选项的2满足$a＞0$，B选项-1、D选项-2均小于0，此时函数开口向下、有最大值，不符合要求。
综上只有A选项符合条件。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，重点考查二次项系数对开口方向和最值的影响，掌握顶点式中参数的含义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 下列函数中，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小的是（
A.$y=2x+1$
B.$y=x$
C.$y=x^2$
D.$y=-(x+1)^2$
D
）A.$y=2x+1$
B.$y=x$
C.$y=x^2$
D.$y=-(x+1)^2$
答案
3. D
解析
【分析】
要判断x＞0时y随x增大而减小的函数，需逐个分析各选项对应的函数类型，结合函数的增减性规律判断：一次函数看斜率k的正负，二次函数结合开口方向、对称轴与x＞0区间的位置关系判断增减性。
【解析】
逐一分析各选项：
A. $y=2x+1$是一次函数，斜率$k=2＞0$，在全体实数范围内$y$随$x$的增大而增大，$x＞0$时也满足递增，不符合要求；
B. $y=x$是一次函数，斜率$k=1＞0$，在全体实数范围内$y$随$x$的增大而增大，$x＞0$时也满足递增，不符合要求；
C. $y=x^2$是二次函数，开口向上，对称轴为$x=0$（y轴），在对称轴右侧即$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大，不符合要求；
D. $y=-(x+1)^2$是二次函数，$a=-1＜0$开口向下，对称轴为$x=-1$，在对称轴右侧即$x＞-1$的区间内，$y$随$x$的增大而减小，$x＞0$属于$x＞-1$的范围，因此$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质、二次函数的增减性
【点评】
本题重点考查不同类型函数增减性的判断，解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数的图象与性质，尤其二次函数的增减性需要结合开口方向和对称轴分区间判断，避免笼统判断出错。
【难度系数】
0.8
要判断x＞0时y随x增大而减小的函数，需逐个分析各选项对应的函数类型，结合函数的增减性规律判断：一次函数看斜率k的正负，二次函数结合开口方向、对称轴与x＞0区间的位置关系判断增减性。
【解析】
逐一分析各选项：
A. $y=2x+1$是一次函数，斜率$k=2＞0$，在全体实数范围内$y$随$x$的增大而增大，$x＞0$时也满足递增，不符合要求；
B. $y=x$是一次函数，斜率$k=1＞0$，在全体实数范围内$y$随$x$的增大而增大，$x＞0$时也满足递增，不符合要求；
C. $y=x^2$是二次函数，开口向上，对称轴为$x=0$（y轴），在对称轴右侧即$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大，不符合要求；
D. $y=-(x+1)^2$是二次函数，$a=-1＜0$开口向下，对称轴为$x=-1$，在对称轴右侧即$x＞-1$的区间内，$y$随$x$的增大而减小，$x＞0$属于$x＞-1$的范围，因此$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质、二次函数的增减性
【点评】
本题重点考查不同类型函数增减性的判断，解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数的图象与性质，尤其二次函数的增减性需要结合开口方向和对称轴分区间判断，避免笼统判断出错。
【难度系数】
0.8
4. 若点$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上，则（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
A
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
4. A
解析
【分析】
解题有两种思路可选：思路1：代入求值法，将三个点的横坐标分别代入二次函数解析式，计算出$y_1$、$y_2$、$y_3$的具体数值，再比较大小即可；思路2：性质判断法，先明确二次函数$y=x^2$的开口方向、对称轴，判断出$x≥0$时函数的增减性，再根据三个点横坐标的大小关系，直接推导对应$y$值的大小关系。
【解析】
方法一（代入求值法）：
分别将三个点的横坐标代入$y=x^2$计算：
当$x=0$时，$y_1=0^2=0$；
当$x=1$时，$y_2=1^2=1$；
当$x=2$时，$y_3=2^2=4$；
因为$0＜1＜4$，所以$y_1＜y_2＜y_3$。
方法二（性质判断法）：
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），在对称轴右侧（即$x≥0$时），$y$随$x$的增大而增大；
已知三个点的横坐标满足$0＜1＜2$，因此对应的函数值满足$y_1＜y_2＜y_3$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，两种解题方法都较为简便，主要检验对二次函数基本性质的熟悉程度，以及灵活选用解题方法的能力。
【难度系数】
0.9
解题有两种思路可选：思路1：代入求值法，将三个点的横坐标分别代入二次函数解析式，计算出$y_1$、$y_2$、$y_3$的具体数值，再比较大小即可；思路2：性质判断法，先明确二次函数$y=x^2$的开口方向、对称轴，判断出$x≥0$时函数的增减性，再根据三个点横坐标的大小关系，直接推导对应$y$值的大小关系。
【解析】
方法一（代入求值法）：
分别将三个点的横坐标代入$y=x^2$计算：
当$x=0$时，$y_1=0^2=0$；
当$x=1$时，$y_2=1^2=1$；
当$x=2$时，$y_3=2^2=4$；
因为$0＜1＜4$，所以$y_1＜y_2＜y_3$。
方法二（性质判断法）：
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），在对称轴右侧（即$x≥0$时），$y$随$x$的增大而增大；
已知三个点的横坐标满足$0＜1＜2$，因此对应的函数值满足$y_1＜y_2＜y_3$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，两种解题方法都较为简便，主要检验对二次函数基本性质的熟悉程度，以及灵活选用解题方法的能力。
【难度系数】
0.9
5. 关于二次函数$y=(x-2)^2+6$，下列说法中不正确的是（
A.函数图象的开口向上
B.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小
C.函数图象的对称轴是直线$x=2$
D.函数图象与$y$轴交于点$(0,6)$
D
）A.函数图象的开口向上
B.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小
C.函数图象的对称轴是直线$x=2$
D.函数图象与$y$轴交于点$(0,6)$
答案
5. D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的性质应用，解题思路如下：首先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，增减性以对称轴为分界；再逐一对应选项判断性质是否正确，最后代入$x=0$计算与$y$轴的交点，选出不正确的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=(x-2)^2+6$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1$，$h=2$，$k=6$：
1. 由$a=1＞0$，可知函数图象开口向上，故A选项说法正确；
2. 函数图象的对称轴为直线$x=h=2$，故C选项说法正确；
3. 因为开口向上，所以在对称轴左侧即$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，故B选项说法正确；
4. 求函数图象与$y$轴的交点，令$x=0$，代入得$y=(0-2)^2+6=4+6=10$，即交点为$(0,10)$，不是$(0,6)$，故D选项说法错误。
题目要求选不正确的，因此答案为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式中各参数的意义，以及求二次函数与坐标轴交点的方法，熟练掌握相关基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的性质应用，解题思路如下：首先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，增减性以对称轴为分界；再逐一对应选项判断性质是否正确，最后代入$x=0$计算与$y$轴的交点，选出不正确的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=(x-2)^2+6$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1$，$h=2$，$k=6$：
1. 由$a=1＞0$，可知函数图象开口向上，故A选项说法正确；
2. 函数图象的对称轴为直线$x=h=2$，故C选项说法正确；
3. 因为开口向上，所以在对称轴左侧即$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，故B选项说法正确；
4. 求函数图象与$y$轴的交点，令$x=0$，代入得$y=(0-2)^2+6=4+6=10$，即交点为$(0,10)$，不是$(0,6)$，故D选项说法错误。
题目要求选不正确的，因此答案为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式中各参数的意义，以及求二次函数与坐标轴交点的方法，熟练掌握相关基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6. 抛物线$y=-x^2+2x+3$的顶点坐标是
(1,4)
，对称轴是直线$x=1$
，当$x≤1$
时，$y$随$x$的增大而增大，抛物线与$y$轴的交点坐标是$(0,3)$
。答案
6. 顶点坐标是$(1,4)$，对称轴是直线$x=1$，当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而增大，抛物线与$y$轴的交点坐标是$(0,3)$
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本性质，解题思路如下：1.求顶点坐标和对称轴：可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得出顶点坐标和对称轴，也可使用顶点坐标公式计算；2.判断增减性：先根据二次项系数a的符号确定开口方向，开口向下时，对称轴左侧y随x的增大而增大，右侧y随x的增大而减小；3.求与y轴的交点：y轴上点的横坐标为0，将x=0代入解析式计算y值即可得到交点坐标。
【解析】
1. 求顶点坐标与对称轴：
将二次函数一般式配方为顶点式：
$y=-x^2+2x+3$
$=-(x^2-2x)+3$
$=-(x^2-2x+1-1)+3$
$=-(x-1)^2+4$
根据顶点式可得，顶点坐标为$(1,4)$，对称轴是直线$x=1$。
2. 判断函数增减性：
二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，因此在对称轴左侧，即$x≤1$时，y随x的增大而增大。
3. 求抛物线与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入原解析式得$y=3$，因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,3)$。
【答案】
顶点坐标是$(1,4)$，对称轴是直线$x=1$，当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而增大，抛物线与$y$轴的交点坐标是$(0,3)$
【知识点】
二次函数的性质、二次函数的顶点式、二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数性质的基础常考题，核心考查二次函数基本特征的求解方法，熟练掌握配方法转化顶点式、根据开口方向判断增减性的规律，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的基本性质，解题思路如下：1.求顶点坐标和对称轴：可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得出顶点坐标和对称轴，也可使用顶点坐标公式计算；2.判断增减性：先根据二次项系数a的符号确定开口方向，开口向下时，对称轴左侧y随x的增大而增大，右侧y随x的增大而减小；3.求与y轴的交点：y轴上点的横坐标为0，将x=0代入解析式计算y值即可得到交点坐标。
【解析】
1. 求顶点坐标与对称轴：
将二次函数一般式配方为顶点式：
$y=-x^2+2x+3$
$=-(x^2-2x)+3$
$=-(x^2-2x+1-1)+3$
$=-(x-1)^2+4$
根据顶点式可得，顶点坐标为$(1,4)$，对称轴是直线$x=1$。
2. 判断函数增减性：
二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，因此在对称轴左侧，即$x≤1$时，y随x的增大而增大。
3. 求抛物线与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入原解析式得$y=3$，因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,3)$。
【答案】
顶点坐标是$(1,4)$，对称轴是直线$x=1$，当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而增大，抛物线与$y$轴的交点坐标是$(0,3)$
【知识点】
二次函数的性质、二次函数的顶点式、二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数性质的基础常考题，核心考查二次函数基本特征的求解方法，熟练掌握配方法转化顶点式、根据开口方向判断增减性的规律，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
7. 已知抛物线 $y=2x^2 +4x -3$ 经过 $(-2,y_1)$ 和 $(2,y_2)$ 两点，则 $y_1$
$＜$
$y_2$。(填“＞”“＜”或“=”)答案
7. $＜$
解析
【分析】
这道题要求比较二次函数上两个点的函数值大小，有两种符合学段要求的解题思路：一是直接将两个点的横坐标代入解析式，分别计算出$y_1$和$y_2$的数值后直接比较；二是先把二次函数化为顶点式，确定开口方向和对称轴，再比较两个点到对称轴的距离，结合开口方向判断函数值大小，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=-2$代入$y=2x^2 +4x -3$，得：
$y_1=2×(-2)^2 +4×(-2) -3=8-8-3=-3$
将$x=2$代入$y=2x^2 +4x -3$，得：
$y_2=2×2^2 +4×2 -3=8+8-3=13$
因为$-3＜13$，所以$y_1＜y_2$。
方法二：利用二次函数性质判断
先将解析式化为顶点式：
$y=2x^2 +4x -3=2(x^2+2x)-3=2(x+1)^2-5$
可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离为$\vert -2 - (-1)\vert=1$
点$(2,y_2)$到对称轴的距离为$\vert 2 - (-1)\vert=3$
抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，因为$1＜3$，所以$y_1＜y_2$。
【答案】
$＜$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数值比较的基础题型，既可以通过直接代入计算求解，也可以利用二次函数的图象性质快速判断，能很好地考查学生对二次函数基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.9
这道题要求比较二次函数上两个点的函数值大小，有两种符合学段要求的解题思路：一是直接将两个点的横坐标代入解析式，分别计算出$y_1$和$y_2$的数值后直接比较；二是先把二次函数化为顶点式，确定开口方向和对称轴，再比较两个点到对称轴的距离，结合开口方向判断函数值大小，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=-2$代入$y=2x^2 +4x -3$，得：
$y_1=2×(-2)^2 +4×(-2) -3=8-8-3=-3$
将$x=2$代入$y=2x^2 +4x -3$，得：
$y_2=2×2^2 +4×2 -3=8+8-3=13$
因为$-3＜13$，所以$y_1＜y_2$。
方法二：利用二次函数性质判断
先将解析式化为顶点式：
$y=2x^2 +4x -3=2(x^2+2x)-3=2(x+1)^2-5$
可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离为$\vert -2 - (-1)\vert=1$
点$(2,y_2)$到对称轴的距离为$\vert 2 - (-1)\vert=3$
抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，因为$1＜3$，所以$y_1＜y_2$。
【答案】
$＜$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数值比较的基础题型，既可以通过直接代入计算求解，也可以利用二次函数的图象性质快速判断，能很好地考查学生对二次函数基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.9
8. 求下列函数的最大值(或最小值)和对应的自变量的值。
(1)$y=x^2 -6x -1$。
(2)$y=-3x^2 +12x +2$。
(3)$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x -\frac{17}{8}$。
(1)$y=x^2 -6x -1$。
(2)$y=-3x^2 +12x +2$。
(3)$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x -\frac{17}{8}$。
答案
8. 解:(1)因为二次函数 $y=x^2 -6x -1=(x-3)^2-10$，所以当 $x=3$ 时，函数 $y$ 有最小值$-10$。
(2)因为二次函数 $y=-3x^2 +12x +2=-3(x-2)^2+14$，所以当 $x=2$ 时，函数 $y$ 有最大值 $14$。
(3)因为二次函数 $y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x -\frac{17}{8}=-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2-2$，所以当 $x=-\frac{1}{2}$ 时，函数 $y$ 有最大值$-2$。
(2)因为二次函数 $y=-3x^2 +12x +2=-3(x-2)^2+14$，所以当 $x=2$ 时，函数 $y$ 有最大值 $14$。
(3)因为二次函数 $y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x -\frac{17}{8}=-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2-2$，所以当 $x=-\frac{1}{2}$ 时，函数 $y$ 有最大值$-2$。
解析
【分析】
这三道题都是求二次函数的最值，解题思路如下：首先明确二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）的最值由二次项系数$a$的符号决定：若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值。接下来用配方法将二次函数的一般式化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，顶点坐标为$(h,k)$，当$x=h$时，函数取最值$k$，按这个思路逐个求解即可。
【解析】
(1) 对$y=x^2-6x-1$配方：
$y = x^2-6x + 9 - 9 -1 = (x-3)^2 - 10$
二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，因此当$x=3$时，函数取得最小值。
(2) 对$y=-3x^2+12x+2$配方：
先提取二次项系数：$y = -3(x^2 - 4x) + 2$
括号内配方化简：$y = -3(x^2 -4x +4 -4) +2 = -3[(x-2)^2 -4] +2 = -3(x-2)^2 +14$
二次项系数$a=-3＜0$，抛物线开口向下，因此当$x=2$时，函数取得最大值。
(3) 对$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x -\frac{17}{8}$配方：
先提取二次项系数：$y = -\frac{1}{2}(x^2 + x) - \frac{17}{8}$
括号内配方化简：$y = -\frac{1}{2}(x^2 +x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - \frac{17}{8} = -\frac{1}{2}[(x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] - \frac{17}{8}=-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2 - 2$
二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，因此当$x=-\frac{1}{2}$时，函数取得最大值。
【答案】
(1) 当$x=3$时，函数有最小值$-10$；
(2) 当$x=2$时，函数有最大值$14$；
(3) 当$x=-\frac{1}{2}$时，函数有最大值$-2$。
【知识点】
二次函数的性质、配方法、二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，核心要求掌握配方法将二次函数一般式转化为顶点式，结合开口方向判断最值类型，是二次函数相关题型的基础，熟练掌握配方法是解题关键。
【难度系数】
0.75
这三道题都是求二次函数的最值，解题思路如下：首先明确二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）的最值由二次项系数$a$的符号决定：若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值。接下来用配方法将二次函数的一般式化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，顶点坐标为$(h,k)$，当$x=h$时，函数取最值$k$，按这个思路逐个求解即可。
【解析】
(1) 对$y=x^2-6x-1$配方：
$y = x^2-6x + 9 - 9 -1 = (x-3)^2 - 10$
二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，因此当$x=3$时，函数取得最小值。
(2) 对$y=-3x^2+12x+2$配方：
先提取二次项系数：$y = -3(x^2 - 4x) + 2$
括号内配方化简：$y = -3(x^2 -4x +4 -4) +2 = -3[(x-2)^2 -4] +2 = -3(x-2)^2 +14$
二次项系数$a=-3＜0$，抛物线开口向下，因此当$x=2$时，函数取得最大值。
(3) 对$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x -\frac{17}{8}$配方：
先提取二次项系数：$y = -\frac{1}{2}(x^2 + x) - \frac{17}{8}$
括号内配方化简：$y = -\frac{1}{2}(x^2 +x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - \frac{17}{8} = -\frac{1}{2}[(x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] - \frac{17}{8}=-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2 - 2$
二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，因此当$x=-\frac{1}{2}$时，函数取得最大值。
【答案】
(1) 当$x=3$时，函数有最小值$-10$；
(2) 当$x=2$时，函数有最大值$14$；
(3) 当$x=-\frac{1}{2}$时，函数有最大值$-2$。
【知识点】
二次函数的性质、配方法、二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，核心要求掌握配方法将二次函数一般式转化为顶点式，结合开口方向判断最值类型，是二次函数相关题型的基础，熟练掌握配方法是解题关键。
【难度系数】
0.75
9. 在某次体育测试时，九年级的一名高个子男同学推铅球。已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图，这名男同学的出手处点A的坐标为(0,2)，铅球路线的最高处点B的坐标为(6,5)。
(1)求这个二次函数的表达式。
(2)求该男同学把铅球推出去多远。
(1)求这个二次函数的表达式。
(2)求该男同学把铅球推出去多远。
答案
9. 解:(1)设这个二次函数的表达式为 $y=a(x-6)^2+5$。
因为点 $A(0,2)$ 在抛物线上，所以 $2=36a+5$，解得 $a=-\frac{1}{12}$，
所以这个二次函数的表达式为 $y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+5$。
(2)当 $y=0$ 时，$-\frac{1}{12}(x-6)^2+5=0$，
解得 $x_1=6+2\sqrt{15},x_2=6-2\sqrt{15}$(不合题意，舍去)。
答:该男同学把铅球推出去$(6+2\sqrt{15})\mathrm{m}$。
因为点 $A(0,2)$ 在抛物线上，所以 $2=36a+5$，解得 $a=-\frac{1}{12}$，
所以这个二次函数的表达式为 $y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+5$。
(2)当 $y=0$ 时，$-\frac{1}{12}(x-6)^2+5=0$，
解得 $x_1=6+2\sqrt{15},x_2=6-2\sqrt{15}$(不合题意，舍去)。
答:该男同学把铅球推出去$(6+2\sqrt{15})\mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 题目给出了二次函数的顶点坐标B(6,5)，选择顶点式设函数解析式计算更简便，先将顶点坐标代入顶点式，再代入已知点A的坐标求出待定系数a，就能得到二次函数表达式。
(2) 铅球落地时高度为0，因此令函数值y=0，解对应的一元二次方程，由于水平距离不能为负数，舍去不符合实际的负根，剩余正根就是铅球被推出的距离。
【解析】
(1) 设二次函数的表达式为顶点式$y=a(x-6)^2+5$（$a≠0$）。
∵点$A(0,2)$在该二次函数图象上，将$x=0,y=2$代入表达式得：
$2=a×(0-6)^2+5$，即$2=36a+5$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
∴这个二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+5$。
(2) 铅球落地时高度$y=0$，将$y=0$代入函数表达式得：
$-\frac{1}{12}(x-6)^2+5=0$，
整理得$(x-6)^2=60$，
开方得$x-6=\pm2\sqrt{15}$，
解得$x_1=6+2\sqrt{15}$，$x_2=6-2\sqrt{15}$。
∵推出的水平距离$x＞0$，$6-2\sqrt{15}＜0$不符合实际意义，故舍去，
∴该男同学把铅球推出去的距离为$(6+2\sqrt{15})\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+5$；
(2) $(6+2\sqrt{15})\mathrm{m}$
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的应用类题目，解题核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，求解过程中需结合实际意义对计算结果进行筛选，能有效考查学生对二次函数性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 题目给出了二次函数的顶点坐标B(6,5)，选择顶点式设函数解析式计算更简便，先将顶点坐标代入顶点式，再代入已知点A的坐标求出待定系数a，就能得到二次函数表达式。
(2) 铅球落地时高度为0，因此令函数值y=0，解对应的一元二次方程，由于水平距离不能为负数，舍去不符合实际的负根，剩余正根就是铅球被推出的距离。
【解析】
(1) 设二次函数的表达式为顶点式$y=a(x-6)^2+5$（$a≠0$）。
∵点$A(0,2)$在该二次函数图象上，将$x=0,y=2$代入表达式得：
$2=a×(0-6)^2+5$，即$2=36a+5$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
∴这个二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+5$。
(2) 铅球落地时高度$y=0$，将$y=0$代入函数表达式得：
$-\frac{1}{12}(x-6)^2+5=0$，
整理得$(x-6)^2=60$，
开方得$x-6=\pm2\sqrt{15}$，
解得$x_1=6+2\sqrt{15}$，$x_2=6-2\sqrt{15}$。
∵推出的水平距离$x＞0$，$6-2\sqrt{15}＜0$不符合实际意义，故舍去，
∴该男同学把铅球推出去的距离为$(6+2\sqrt{15})\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+5$；
(2) $(6+2\sqrt{15})\mathrm{m}$
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的应用类题目，解题核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，求解过程中需结合实际意义对计算结果进行筛选，能有效考查学生对二次函数性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
