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9.已知二次函数$y=(x-1)^2 +k$的图象经过点(3,0)。
(1)求k的值。
(2)若点$(m+1,5)$也在这个二次函数的图象上，求m的值。
(1)求k的值。
(2)若点$(m+1,5)$也在这个二次函数的图象上，求m的值。
答案
9. 解:(1)因为二次函数 $y=(x-1)^2 +k$ 的图象经过点(3,0)，所以$(3-1)^2 +k=0$，解得 $k=-4$,即 $k$ 的值为$-4$。
(2)由(1)得二次函数的表达式为 $y=(x-1)^2 -4$，把点$(m+1,5)$的坐标代入 $y=(x-1)^2 -4$，得$(m+1-1)^2 -4=5$，解得 $m_1=3,m_2=-3$，故 $m$ 的值为 3 或$-3$。
(2)由(1)得二次函数的表达式为 $y=(x-1)^2 -4$，把点$(m+1,5)$的坐标代入 $y=(x-1)^2 -4$，得$(m+1-1)^2 -4=5$，解得 $m_1=3,m_2=-3$，故 $m$ 的值为 3 或$-3$。
解析
【分析】
(1) 要计算k的值，依据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将已知点(3,0)的横、纵坐标代入二次函数解析式，即可得到关于k的一元一次方程，解方程就能求出k。
(2) 先结合第(1)问的结果得到完整的二次函数解析式，再将点$(m+1,5)$的坐标代入解析式，得到关于m的一元二次方程，解方程即可得到m的取值，注意二次方程通常有两个解，不要漏解。
【解析】
(1)
∵ 二次函数$y=(x-1)^2 +k$的图象经过点$(3,0)$，
将$x=3$，$y=0$代入解析式，得：
$\begin{aligned}(3-1)^2 +k&=0\\4+k&=0\end{aligned}$
解得$k=-4$。
(2) 由(1)得二次函数的表达式为$y=(x-1)^2 -4$，
∵ 点$(m+1,5)$在该二次函数的图象上，
将$x=m+1$，$y=5$代入解析式，得：
$\begin{aligned}(m+1-1)^2 -4&=5\\m^2&=9\end{aligned}$
解得$m_1=3$，$m_2=-3$。
【答案】
(1) $k=-4$；(2) $m$的值为3或$-3$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题，核心考查代入法的应用，解题关键是理解“函数图象上的点的坐标一定满足对应函数的解析式”，求解二次方程时注意不要漏解，掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(1) 要计算k的值，依据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将已知点(3,0)的横、纵坐标代入二次函数解析式，即可得到关于k的一元一次方程，解方程就能求出k。
(2) 先结合第(1)问的结果得到完整的二次函数解析式，再将点$(m+1,5)$的坐标代入解析式，得到关于m的一元二次方程，解方程即可得到m的取值，注意二次方程通常有两个解，不要漏解。
【解析】
(1)
∵ 二次函数$y=(x-1)^2 +k$的图象经过点$(3,0)$，
将$x=3$，$y=0$代入解析式，得：
$\begin{aligned}(3-1)^2 +k&=0\\4+k&=0\end{aligned}$
解得$k=-4$。
(2) 由(1)得二次函数的表达式为$y=(x-1)^2 -4$，
∵ 点$(m+1,5)$在该二次函数的图象上，
将$x=m+1$，$y=5$代入解析式，得：
$\begin{aligned}(m+1-1)^2 -4&=5\\m^2&=9\end{aligned}$
解得$m_1=3$，$m_2=-3$。
【答案】
(1) $k=-4$；(2) $m$的值为3或$-3$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题，核心考查代入法的应用，解题关键是理解“函数图象上的点的坐标一定满足对应函数的解析式”，求解二次方程时注意不要漏解，掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
10. 若二次函数$y=-(x+h)^2 +k$的图象如右图所示，则点$E(h,k)$所在的象限是（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
10. B 【解析】因为 $y=-(x+h)^2 +k$，所以其图象的顶点坐标为$(-h,k)$。又顶点在第一象限,所以$-h＞0,k＞0$，所以 $h＜0,k＞0$,所以点 $E(h,k)$在第二象限。
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-m)^2+n$的顶点坐标为$(m,n)$，首先确定题中所给二次函数的顶点坐标；再结合图像可知顶点落在第一象限，第一象限内的点横、纵坐标均大于0，据此列出关于$h$、$k$的不等式，求出$h$、$k$的正负；最后根据各象限内点的坐标符号特征，判断点$E(h,k)$所在的象限即可。
【解析】
已知二次函数的解析式为$y=-(x+h)^2 +k$，根据二次函数顶点式的性质，可得该函数图象的顶点坐标为$(-h,k)$。
观察函数图象可知，抛物线的顶点在第一象限，因此顶点的横、纵坐标均大于0，即：
$\begin{cases}-h＞0 \\ k＞0\end{cases}$
解得$h＜0$，$k＞0$。
在平面直角坐标系中，第二象限内的点满足横坐标小于0、纵坐标大于0，因此点$E(h,k)$在第二象限，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式的性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握二次函数顶点式的顶点坐标规律，结合图象信息推导参数的符号，再结合象限的坐标特征完成判断，易错点是容易混淆顶点式中顶点横坐标的符号。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-m)^2+n$的顶点坐标为$(m,n)$，首先确定题中所给二次函数的顶点坐标；再结合图像可知顶点落在第一象限，第一象限内的点横、纵坐标均大于0，据此列出关于$h$、$k$的不等式，求出$h$、$k$的正负；最后根据各象限内点的坐标符号特征，判断点$E(h,k)$所在的象限即可。
【解析】
已知二次函数的解析式为$y=-(x+h)^2 +k$，根据二次函数顶点式的性质，可得该函数图象的顶点坐标为$(-h,k)$。
观察函数图象可知，抛物线的顶点在第一象限，因此顶点的横、纵坐标均大于0，即：
$\begin{cases}-h＞0 \\ k＞0\end{cases}$
解得$h＜0$，$k＞0$。
在平面直角坐标系中，第二象限内的点满足横坐标小于0、纵坐标大于0，因此点$E(h,k)$在第二象限，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式的性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握二次函数顶点式的顶点坐标规律，结合图象信息推导参数的符号，再结合象限的坐标特征完成判断，易错点是容易混淆顶点式中顶点横坐标的符号。
【难度系数】
0.8
11. 抛物线$y=-(x-2\sqrt{2})^{2}+1$与y轴的交点坐标是
$(0,-7)$
。答案
11. $(0,-7)$
解析
【分析】
要求抛物线与y轴的交点坐标，首先明确y轴上所有点的横坐标均为0，因此解题思路为：将x=0代入抛物线的函数解析式，计算出对应的y值，得到的有序数对就是抛物线与y轴的交点坐标。
【解析】
解：
∵y轴上点的横坐标为0，
∴令x=0，代入抛物线解析式$y=-(x-2\sqrt{2})^{2}+1$，得：
$\begin{aligned}y&=-(0-2\sqrt{2})^2+1\\&=-(2\sqrt{2})^2+1\\&=-8+1\\&=-7\end{aligned}$
因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,-7)$。
【答案】
$(0,-7)$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；坐标轴上点的坐标规律
【点评】
本题是基础题型，考查二次函数与坐标轴交点的求法，解题核心是牢记y轴上点的横坐标为0的特征，代入解析式计算即可。
【难度系数】
0.9
要求抛物线与y轴的交点坐标，首先明确y轴上所有点的横坐标均为0，因此解题思路为：将x=0代入抛物线的函数解析式，计算出对应的y值，得到的有序数对就是抛物线与y轴的交点坐标。
【解析】
解：
∵y轴上点的横坐标为0，
∴令x=0，代入抛物线解析式$y=-(x-2\sqrt{2})^{2}+1$，得：
$\begin{aligned}y&=-(0-2\sqrt{2})^2+1\\&=-(2\sqrt{2})^2+1\\&=-8+1\\&=-7\end{aligned}$
因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,-7)$。
【答案】
$(0,-7)$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；坐标轴上点的坐标规律
【点评】
本题是基础题型，考查二次函数与坐标轴交点的求法，解题核心是牢记y轴上点的横坐标为0的特征，代入解析式计算即可。
【难度系数】
0.9
12. 已知抛物线 $ y=a(x-1)^2 +k $ 经过点(0,-3)和(3,0)。
(1)求a和k的值。
(2)列表并画出函数图象。
(3)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线的函数表达式。
(1)求a和k的值。
(2)列表并画出函数图象。
(3)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线的函数表达式。
答案
12. 解:(1)由题意得 $\begin{cases}a+k=-3,\\a(3-1)^2 +k=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\k=-4。\end{cases}$
(2)由(1)知,抛物线的函数表达式为 $y=(x-1)^2 -4$。
列表如下：
| $x$ | $\dots$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $\dots$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $\dots$ |
画出抛物线,如图。
(3)由平移的性质得,平移后的抛物线的函数表达式为 $y=(x-1-1)^2 -4+2=(x-2)^2 -2$。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点式$y=a(x-1)^2 +k$中有两个未知参数a和k，且抛物线经过两个已知点，我们只需将两个点的坐标分别代入解析式，就能得到关于a、k的二元一次方程组，解方程组即可求出a、k的值；
(2) 先利用(1)的结果得到抛物线的具体表达式，列表时优先选取顶点坐标以及关于抛物线对称轴对称的点，再通过描点、用平滑曲线连线的方式即可画出函数图象；
(3) 二次函数图象平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，结合题目给出的平移方向和距离，对原解析式做对应变换，就能得到新抛物线的函数表达式。
【解析】
(1) 将点$(0,-3)$和$(3,0)$分别代入$y=a(x-1)^2 +k$，可得：
$\begin{cases}a(0-1)^2 +k=-3\\a(3-1)^2 +k=0\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}a+k=-3\\4a+k=0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a+k=-3$，得$1+k=-3$，解得$k=-4$。
(2) 由(1)可知，抛物线的函数表达式为$y=(x-1)^2 -4$，列表如下：
| $x$ | $\dots$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $\dots$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $\dots$ |
根据表格中的坐标在平面直角坐标系中描点，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到抛物线图象，如图：
(3) 根据平移规律：抛物线向上平移2个单位，常数项加2；向右平移1个单位，自变量$x$减去1，因此新抛物线的表达式为：
$y=(x-1-1)^2 -4+2=(x-2)^2 -2$
【答案】
(1) $\begin{cases}a=1\\k=-4\end{cases}$
(2) 列表如下：
| $x$ | $\dots$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $\dots$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $\dots$ |
图象如图：
(3) $y=(x-2)^2 -2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象绘制，二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，围绕顶点式二次函数的解析式求解、图象绘制、平移变换三个考点展开，侧重考查二次函数基础性质的掌握情况，解题核心是熟练运用待定系数法和二次函数图象平移规律。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线的顶点式$y=a(x-1)^2 +k$中有两个未知参数a和k，且抛物线经过两个已知点，我们只需将两个点的坐标分别代入解析式，就能得到关于a、k的二元一次方程组，解方程组即可求出a、k的值；
(2) 先利用(1)的结果得到抛物线的具体表达式，列表时优先选取顶点坐标以及关于抛物线对称轴对称的点，再通过描点、用平滑曲线连线的方式即可画出函数图象；
(3) 二次函数图象平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，结合题目给出的平移方向和距离，对原解析式做对应变换，就能得到新抛物线的函数表达式。
【解析】
(1) 将点$(0,-3)$和$(3,0)$分别代入$y=a(x-1)^2 +k$，可得：
$\begin{cases}a(0-1)^2 +k=-3\\a(3-1)^2 +k=0\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}a+k=-3\\4a+k=0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a+k=-3$，得$1+k=-3$，解得$k=-4$。
(2) 由(1)可知，抛物线的函数表达式为$y=(x-1)^2 -4$，列表如下：
| $x$ | $\dots$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $\dots$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $\dots$ |
根据表格中的坐标在平面直角坐标系中描点，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到抛物线图象，如图：
(3) 根据平移规律：抛物线向上平移2个单位，常数项加2；向右平移1个单位，自变量$x$减去1，因此新抛物线的表达式为：
$y=(x-1-1)^2 -4+2=(x-2)^2 -2$
【答案】
(1) $\begin{cases}a=1\\k=-4\end{cases}$
(2) 列表如下：
| $x$ | $\dots$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $\dots$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $\dots$ |
图象如图：
(3) $y=(x-2)^2 -2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象绘制，二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，围绕顶点式二次函数的解析式求解、图象绘制、平移变换三个考点展开，侧重考查二次函数基础性质的掌握情况，解题核心是熟练运用待定系数法和二次函数图象平移规律。
【难度系数】
0.7
13. 如图,抛物线 $y_1=\frac{1}{2}(x-h)^2 +k$ 与 $y_2=a(x+3)^2 -1$ 交于点A,分别交y轴于点P,Q,过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C。已知$B(3,3),BC=10$。
(1)求a的值。
(2)求PQ的长。
(1)求a的值。
(2)求PQ的长。
答案
13. 解:(1)因为 $B(3,3),BC=10$,所以 $C(-7,3)$。
把点 $C(-7,3)$ 的坐标代入 $y_2=a(x+3)^2 -1$，得 $3=a(-7+3)^2 -1$,解得 $a=\frac{1}{4}$。
(2)由(1)得 $y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2 -1$。
又 $C(-7,3)$,易得 $A(1,3)$,所以 $h=\frac{1+3}{2}=2$。
把点 $B(3,3)$ 的坐标代入 $y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2 +k$,得 $k=\frac{5}{2}$，所以 $y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2 +\frac{5}{2}$。
令 $x=0$,得 $y_P=\frac{9}{2}$,所以 $P(0,\frac{9}{2})$。
在 $y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2 -1$ 中,令 $x=0$,得 $y_Q=\frac{5}{4}$，所以 $Q(0,\frac{5}{4})$。
所以 $PQ=\frac{9}{2}-\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$。
把点 $C(-7,3)$ 的坐标代入 $y_2=a(x+3)^2 -1$，得 $3=a(-7+3)^2 -1$,解得 $a=\frac{1}{4}$。
(2)由(1)得 $y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2 -1$。
又 $C(-7,3)$,易得 $A(1,3)$,所以 $h=\frac{1+3}{2}=2$。
把点 $B(3,3)$ 的坐标代入 $y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2 +k$,得 $k=\frac{5}{2}$，所以 $y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2 +\frac{5}{2}$。
令 $x=0$,得 $y_P=\frac{9}{2}$,所以 $P(0,\frac{9}{2})$。
在 $y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2 -1$ 中,令 $x=0$,得 $y_Q=\frac{5}{4}$，所以 $Q(0,\frac{5}{4})$。
所以 $PQ=\frac{9}{2}-\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$。
解析
【分析】
(1) 首先，过点A的直线平行于x轴，因此B、C两点纵坐标与A点一致，都为3。已知B(3,3)、BC=10，结合抛物线位置可知C在B左侧，可先求出C点坐标，再将C点代入$y_2$的解析式即可求解a的值。
(2) 求PQ的长需要先得到两个抛物线的完整解析式：首先利用二次函数的对称性，由$y_2$的对称轴和C点坐标求出A点坐标；再由A、B两点都在$y_1$上且纵坐标相等，求出$y_1$的对称轴，进而得到h的值，代入B点坐标求出k；最后令两个解析式中x=0，分别求出P、Q两点的纵坐标，作差即可得到PQ的长度。
【解析】
(1) 因为点B、C在平行于x轴的直线上，$B(3,3)$，$BC=10$，所以C点纵坐标为3，横坐标为$3-10=-7$，即$C(-7,3)$。
将$C(-7,3)$代入$y_2=a(x+3)^2 -1$，得：
$3=a(-7+3)^2 -1$
$3=16a-1$
解得$a=\frac{1}{4}$。
(2) 由(1)得$y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2 -1$，$y_2$的对称轴为直线$x=-3$。
因为A、C都在$y_2$上且纵坐标相同，所以A、C关于直线$x=-3$对称，可得A点横坐标为$-3+[-3-(-7)]=1$，即$A(1,3)$。
又A、B都在$y_1$上且纵坐标相同，所以$y_1$的对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$，即$h=2$，则$y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2 +k$。
将$B(3,3)$代入$y_1$得：$3=\frac{1}{2}(3-2)^2 +k$，解得$k=\frac{5}{2}$，因此$y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2 +\frac{5}{2}$。
令$x=0$，代入$y_1$得$y_P=\frac{1}{2}×(0-2)^2 +\frac{5}{2}=\frac{9}{2}$，即$P(0,\frac{9}{2})$；
令$x=0$，代入$y_2$得$y_Q=\frac{1}{4}×(0+3)^2 -1=\frac{5}{4}$，即$Q(0,\frac{5}{4})$。
所以$PQ=\frac{9}{2}-\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{4}$；(2) $PQ=\frac{13}{4}$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数与坐标轴交点计算
【点评】
本题是二次函数性质应用的典型题型，核心考查二次函数顶点式的性质和对称性的运用，解题关键是结合数形结合思想，利用平行于x轴的直线上点纵坐标相等的特征，结合抛物线对称性确定未知点坐标，再代入求解参数，对巩固二次函数基础性质有很好的训练作用。
【难度系数】
0.7
(1) 首先，过点A的直线平行于x轴，因此B、C两点纵坐标与A点一致，都为3。已知B(3,3)、BC=10，结合抛物线位置可知C在B左侧，可先求出C点坐标，再将C点代入$y_2$的解析式即可求解a的值。
(2) 求PQ的长需要先得到两个抛物线的完整解析式：首先利用二次函数的对称性，由$y_2$的对称轴和C点坐标求出A点坐标；再由A、B两点都在$y_1$上且纵坐标相等，求出$y_1$的对称轴，进而得到h的值，代入B点坐标求出k；最后令两个解析式中x=0，分别求出P、Q两点的纵坐标，作差即可得到PQ的长度。
【解析】
(1) 因为点B、C在平行于x轴的直线上，$B(3,3)$，$BC=10$，所以C点纵坐标为3，横坐标为$3-10=-7$，即$C(-7,3)$。
将$C(-7,3)$代入$y_2=a(x+3)^2 -1$，得：
$3=a(-7+3)^2 -1$
$3=16a-1$
解得$a=\frac{1}{4}$。
(2) 由(1)得$y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2 -1$，$y_2$的对称轴为直线$x=-3$。
因为A、C都在$y_2$上且纵坐标相同，所以A、C关于直线$x=-3$对称，可得A点横坐标为$-3+[-3-(-7)]=1$，即$A(1,3)$。
又A、B都在$y_1$上且纵坐标相同，所以$y_1$的对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$，即$h=2$，则$y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2 +k$。
将$B(3,3)$代入$y_1$得：$3=\frac{1}{2}(3-2)^2 +k$，解得$k=\frac{5}{2}$，因此$y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2 +\frac{5}{2}$。
令$x=0$，代入$y_1$得$y_P=\frac{1}{2}×(0-2)^2 +\frac{5}{2}=\frac{9}{2}$，即$P(0,\frac{9}{2})$；
令$x=0$，代入$y_2$得$y_Q=\frac{1}{4}×(0+3)^2 -1=\frac{5}{4}$，即$Q(0,\frac{5}{4})$。
所以$PQ=\frac{9}{2}-\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{4}$；(2) $PQ=\frac{13}{4}$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数与坐标轴交点计算
【点评】
本题是二次函数性质应用的典型题型，核心考查二次函数顶点式的性质和对称性的运用，解题关键是结合数形结合思想，利用平行于x轴的直线上点纵坐标相等的特征，结合抛物线对称性确定未知点坐标，再代入求解参数，对巩固二次函数基础性质有很好的训练作用。
【难度系数】
0.7
