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一、选择题
1. 数学课上，李老师给出一组按一定规律排列的数：$2$，$-4$，$8$，$-16$，$32$，…。
第$n$个数是（）
A.$2^n$
B.$-2^n$
C.$(-1)^n × 2^n$
D.$(-1)^{n+1} × 2^n$
1. 数学课上，李老师给出一组按一定规律排列的数：$2$，$-4$，$8$，$-16$，$32$，…。
第$n$个数是（）
A.$2^n$
B.$-2^n$
C.$(-1)^n × 2^n$
D.$(-1)^{n+1} × 2^n$
答案
D
解析
【分析】
解决这类数字规律题，我们可以分两步思考：第一步先找数字绝对值的规律，第二步再找符号的规律，最后把两部分结合起来就能得到第n个数的表达式。首先观察这组数字的绝对值：2，4，8，16，32，都是2的幂次，第1个是2的1次方，第2个是2的2次方，以此类推，第n个的绝对值就是2的n次方；再看符号：第1个数是正，第2个是负，第3个是正，也就是奇数项为正，偶数项为负，我们可以用含-1的乘方来表示这个符号规律，当指数是n+1时，n为奇数时指数是偶数，结果为1，n为偶数时指数是奇数，结果为-1，刚好符合符号要求。
【解析】
第一步：分析绝对值规律
第1个数的绝对值：$2=2^1$
第2个数的绝对值：$4=2^2$
第3个数的绝对值：$8=2^3$
……
由此可得，第n个数的绝对值为$2^n$。
第二步：分析符号规律
观察可知：n为奇数时，数为正；n为偶数时，数为负。
当取$(-1)^{n+1}$时：
n=1时，$(-1)^{1+1}=(-1)^2=1$，符号为正；
n=2时，$(-1)^{2+1}=(-1)^3=-1$，符号为负，完全符合规律。
第三步：组合两部分
第n个数 = 符号×绝对值 = $(-1)^{n+1}×2^n$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 有理数乘方的应用
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题的核心技巧是将数字拆分为绝对值和符号两部分分别找规律，再合并得到通项公式，掌握这种拆分方法可以快速解决同类型的正负交替的数字规律题。
【难度系数】
0.8
解决这类数字规律题，我们可以分两步思考：第一步先找数字绝对值的规律，第二步再找符号的规律，最后把两部分结合起来就能得到第n个数的表达式。首先观察这组数字的绝对值：2，4，8，16，32，都是2的幂次，第1个是2的1次方，第2个是2的2次方，以此类推，第n个的绝对值就是2的n次方；再看符号：第1个数是正，第2个是负，第3个是正，也就是奇数项为正，偶数项为负，我们可以用含-1的乘方来表示这个符号规律，当指数是n+1时，n为奇数时指数是偶数，结果为1，n为偶数时指数是奇数，结果为-1，刚好符合符号要求。
【解析】
第一步：分析绝对值规律
第1个数的绝对值：$2=2^1$
第2个数的绝对值：$4=2^2$
第3个数的绝对值：$8=2^3$
……
由此可得，第n个数的绝对值为$2^n$。
第二步：分析符号规律
观察可知：n为奇数时，数为正；n为偶数时，数为负。
当取$(-1)^{n+1}$时：
n=1时，$(-1)^{1+1}=(-1)^2=1$，符号为正；
n=2时，$(-1)^{2+1}=(-1)^3=-1$，符号为负，完全符合规律。
第三步：组合两部分
第n个数 = 符号×绝对值 = $(-1)^{n+1}×2^n$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 有理数乘方的应用
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题的核心技巧是将数字拆分为绝对值和符号两部分分别找规律，再合并得到通项公式，掌握这种拆分方法可以快速解决同类型的正负交替的数字规律题。
【难度系数】
0.8
2.如图，长为38 cm、宽为x cm的大长方形被分割成7小块。除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为6 cm，则阴影部分A的周长比阴影部分B的周长多()
A.20 cm
B.18 cm
C.16 cm
D.14 cm
A.20 cm
B.18 cm
C.16 cm
D.14 cm
答案
A
解析
【分析】
要解决本题，首先需要先求出小长方形的长，再分别表示出阴影A、B的长和宽，利用长方形周长公式计算两者周长后求差即可。步骤如下：①根据大长方形的长和小长方形短边的长度，计算小长方形的长；②结合大长方形的宽x，分别写出阴影A、B的长和宽；③代入周长公式表示两个阴影的周长，做差化简后得到结果。
【解析】
解：首先计算小长方形的长：
已知小长方形较短边长为6cm，大长方形的长为38cm，观察图形可知：大长方形的长 = 小长方形的长 + 3×小长方形的短边
因此小长方形的长 = 38 - 3×6 = 20 cm
接下来表示阴影A的周长：
阴影A的长等于小长方形的长，即20cm；阴影A的宽 = 大长方形的宽 - 2×小长方形的短边 = (x - 12)cm
根据长方形周长公式，A的周长 = 2×(长+宽) = 2×(20 + x - 12) = 2x + 16 cm
再表示阴影B的周长：
阴影B的长 = 3×小长方形的短边 = 3×6=18cm；阴影B的宽 = 大长方形的宽 - 小长方形的长 = (x - 20)cm
B的周长 = 2×(18 + x - 20) = 2x - 4 cm
最后计算周长差：
A的周长 - B的周长 = (2x + 16) - (2x - 4) = 20 cm
【答案】
A
【知识点】
长方形周长计算，整式的加减运算
【点评】
本题结合图形分割考查几何与代数的结合应用，解题关键是准确从图中提取各边长的数量关系，计算整式加减时注意去括号的符号规则。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要先求出小长方形的长，再分别表示出阴影A、B的长和宽，利用长方形周长公式计算两者周长后求差即可。步骤如下：①根据大长方形的长和小长方形短边的长度，计算小长方形的长；②结合大长方形的宽x，分别写出阴影A、B的长和宽；③代入周长公式表示两个阴影的周长，做差化简后得到结果。
【解析】
解：首先计算小长方形的长：
已知小长方形较短边长为6cm，大长方形的长为38cm，观察图形可知：大长方形的长 = 小长方形的长 + 3×小长方形的短边
因此小长方形的长 = 38 - 3×6 = 20 cm
接下来表示阴影A的周长：
阴影A的长等于小长方形的长，即20cm；阴影A的宽 = 大长方形的宽 - 2×小长方形的短边 = (x - 12)cm
根据长方形周长公式，A的周长 = 2×(长+宽) = 2×(20 + x - 12) = 2x + 16 cm
再表示阴影B的周长：
阴影B的长 = 3×小长方形的短边 = 3×6=18cm；阴影B的宽 = 大长方形的宽 - 小长方形的长 = (x - 20)cm
B的周长 = 2×(18 + x - 20) = 2x - 4 cm
最后计算周长差：
A的周长 - B的周长 = (2x + 16) - (2x - 4) = 20 cm
【答案】
A
【知识点】
长方形周长计算，整式的加减运算
【点评】
本题结合图形分割考查几何与代数的结合应用，解题关键是准确从图中提取各边长的数量关系，计算整式加减时注意去括号的符号规则。
【难度系数】
0.7
3.为了迎接国庆的到来，学校准备组织“五角星方阵”的展示活动。某同学用大小相等的五角星按规律摆出方阵图案，第1个图案有4颗五角星；第2个图案有7颗五角星……按照这个规律，第2026个图案有颗五角星。
答案
$\boldsymbol{6079}$
解析
【分析】
首先我们先统计前几个图案的五角星数量：第1个图案有4颗，第2个有7颗，第3个有10颗，第4个有13颗。观察数量变化可以发现，每往后1个图案，五角星的数量就比前一个多3颗。我们可以据此推导第n个图案的五角星数量的通用表达式，再把n=2026代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
观察图案的五角星数量：
第1个图案：$4 = 3× 1 +1$ 颗；
第2个图案：$7 = 3× 2 +1$ 颗；
第3个图案：$10 = 3× 3 +1$ 颗；
第4个图案：$13 = 3× 4 +1$ 颗；
可归纳得出规律：第$n$个图案的五角星数量为$(3n +1)$颗。
当$n=2026$时，五角星数量为：
$3×2026 +1 = 6078 +1 = 6079$
【答案】
$\boldsymbol{6079}$
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是通过观察前几组图形的数量特征，归纳出数量与图形序号的对应关系，能够很好地锻炼学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
首先我们先统计前几个图案的五角星数量：第1个图案有4颗，第2个有7颗，第3个有10颗，第4个有13颗。观察数量变化可以发现，每往后1个图案，五角星的数量就比前一个多3颗。我们可以据此推导第n个图案的五角星数量的通用表达式，再把n=2026代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
观察图案的五角星数量：
第1个图案：$4 = 3× 1 +1$ 颗；
第2个图案：$7 = 3× 2 +1$ 颗；
第3个图案：$10 = 3× 3 +1$ 颗；
第4个图案：$13 = 3× 4 +1$ 颗；
可归纳得出规律：第$n$个图案的五角星数量为$(3n +1)$颗。
当$n=2026$时，五角星数量为：
$3×2026 +1 = 6078 +1 = 6079$
【答案】
$\boldsymbol{6079}$
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是通过观察前几组图形的数量特征，归纳出数量与图形序号的对应关系，能够很好地锻炼学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
4.小明正在做一个直径为$d$ m的地球模型，如图所示。
(1)他想用一根铁丝围住赤道，至少需要m的铁丝。
(2)如果把这个模型的半径增加$a$ m，那么要围住赤道至少需要增加m的铁丝。
(3)假设要为地球的赤道做一个铁丝箍，至少需要多长的铁丝？如果想将铁丝箍所围成圆的半径增加$a$ m，那么至少需要增加多长的铁丝？（地球的半径约为6 370 km）
(4)比较(2)和(3)的结果，你发现了什么？
4.小明正在做一个直径为$d$ m的地球模型，如图所示。
(1)他想用一根铁丝围住赤道，至少需要m的铁丝。
(2)如果把这个模型的半径增加$a$ m，那么要围住赤道至少需要增加m的铁丝。
(3)假设要为地球的赤道做一个铁丝箍，至少需要多长的铁丝？如果想将铁丝箍所围成圆的半径增加$a$ m，那么至少需要增加多长的铁丝？（地球的半径约为6 370 km）
(4)比较(2)和(3)的结果，你发现了什么？
答案
解：
(1) 直径为$d\ \mathrm{m}$的圆，周长为$π d\ \mathrm{m}$，因此至少需要$π d\ \mathrm{m}$的铁丝。
答案：$\boldsymbol{π d}$
(2) 原模型半径为$\frac{d}{2}\ \mathrm{m}$，半径增加$a\ \mathrm{m}$后新半径为$(\frac{d}{2}+a)\ \mathrm{m}$，
新周长为$2π(\frac{d}{2}+a)=π d + 2π a\ \mathrm{m}$，
增加的铁丝长度为$(π d + 2π a) - π d = 2π a\ \mathrm{m}$。
答案：$\boldsymbol{2π a}$
(3) 地球半径约为$6370\ \mathrm{km}=6370000\ \mathrm{m}$，
赤道铁丝箍的原长度为：$2π × 6370000 = 12740000π\ (\mathrm{m})$
半径增加$a\ \mathrm{m}$后，新周长为$2π(6370000+a) = 12740000π + 2π a\ (\mathrm{m})$，
需要增加的铁丝长度为：$(12740000π + 2π a) - 12740000π = 2π a\ (\mathrm{m})$
答：为地球赤道做铁丝箍至少需要$12740000π\ \mathrm{m}$长的铁丝，半径增加$a\ \mathrm{m}$后至少需要增加$2π a\ \mathrm{m}$长的铁丝。
(4) 发现：无论圆原来的半径是多少，只要半径增加$a$，圆的周长就增加$2π a$，周长的增加量和圆原本的半径大小无关。
(1) 直径为$d\ \mathrm{m}$的圆，周长为$π d\ \mathrm{m}$，因此至少需要$π d\ \mathrm{m}$的铁丝。
答案：$\boldsymbol{π d}$
(2) 原模型半径为$\frac{d}{2}\ \mathrm{m}$，半径增加$a\ \mathrm{m}$后新半径为$(\frac{d}{2}+a)\ \mathrm{m}$，
新周长为$2π(\frac{d}{2}+a)=π d + 2π a\ \mathrm{m}$，
增加的铁丝长度为$(π d + 2π a) - π d = 2π a\ \mathrm{m}$。
答案：$\boldsymbol{2π a}$
(3) 地球半径约为$6370\ \mathrm{km}=6370000\ \mathrm{m}$，
赤道铁丝箍的原长度为：$2π × 6370000 = 12740000π\ (\mathrm{m})$
半径增加$a\ \mathrm{m}$后，新周长为$2π(6370000+a) = 12740000π + 2π a\ (\mathrm{m})$，
需要增加的铁丝长度为：$(12740000π + 2π a) - 12740000π = 2π a\ (\mathrm{m})$
答：为地球赤道做铁丝箍至少需要$12740000π\ \mathrm{m}$长的铁丝，半径增加$a\ \mathrm{m}$后至少需要增加$2π a\ \mathrm{m}$长的铁丝。
(4) 发现：无论圆原来的半径是多少，只要半径增加$a$，圆的周长就增加$2π a$，周长的增加量和圆原本的半径大小无关。
解析
【分析】
本题围绕圆的周长公式展开考查，解题思路如下：
1. 第(1)问：围住赤道的铁丝长度就是直径为d的圆的周长，直接代入圆的周长公式即可求解。
2. 第(2)问：先求出半径增加后的新半径，再计算新周长，用新周长减去原来的周长，合并同类项化简就能得到需要增加的铁丝长度。
3. 第(3)问：和第(2)问思路一致，先将地球半径的单位统一为米，代入周长公式求出原铁丝箍长度，再计算半径增加a m后的周长差即可。
4. 第(4)问：对比(2)和(3)的周长增加量，总结共性规律即可。
【解析】
(1) 圆的周长公式为$C=π d$（$d$为圆的直径），因此围住直径为$d$ m的地球模型赤道，需要的铁丝长度就是该圆的周长，即$π d$ m。
(2) 原地球模型的半径为$\frac{d}{2}$ m，半径增加$a$ m后新半径为$(\frac{d}{2}+a)$ m，新周长为$2π(\frac{d}{2}+a)=π d + 2π a$ m，增加的铁丝长度=新周长-原周长，即$(π d + 2π a)-π d=2π a$ m。
(3) 先统一单位：$6370\ \mathrm{km}=6370×1000=6370000\ \mathrm{m}$。
① 原赤道铁丝箍的长度：根据周长公式$C=2π r$（$r$为圆的半径），得$2π×6370000=12740000π$ m。
② 半径增加$a$ m后新周长为$2π(6370000+a)=12740000π + 2π a$ m，增加的铁丝长度为$(12740000π + 2π a)-12740000π=2π a$ m。
(4) 对比(2)和(3)的结果，两个问题中周长的增加量都是$2π a$，和原来圆的半径大小没有关系。
【答案】
(1) $\boldsymbol{π d}$
(2) $\boldsymbol{2π a}$
(3) 为地球赤道做铁丝箍至少需要$12740000π\ \mathrm{m}$长的铁丝，半径增加$a$ m后至少需要增加$2π a\ \mathrm{m}$长的铁丝。
(4) 无论圆原来的半径是多少，只要半径增加$a$，圆的周长就增加$2π a$，周长的增加量和圆原本的半径大小无关。
【知识点】
圆的周长计算；代数式化简；规律探究
【点评】
本题结合生活实际模型，从小的地球模型延伸到真实地球，引导学生逐步探究圆周长和半径的变化关系，既巩固了圆周长公式的应用，也能让学生体会到数学规律的普遍性。
【难度系数】
0.7
本题围绕圆的周长公式展开考查，解题思路如下：
1. 第(1)问：围住赤道的铁丝长度就是直径为d的圆的周长，直接代入圆的周长公式即可求解。
2. 第(2)问：先求出半径增加后的新半径，再计算新周长，用新周长减去原来的周长，合并同类项化简就能得到需要增加的铁丝长度。
3. 第(3)问：和第(2)问思路一致，先将地球半径的单位统一为米，代入周长公式求出原铁丝箍长度，再计算半径增加a m后的周长差即可。
4. 第(4)问：对比(2)和(3)的周长增加量，总结共性规律即可。
【解析】
(1) 圆的周长公式为$C=π d$（$d$为圆的直径），因此围住直径为$d$ m的地球模型赤道，需要的铁丝长度就是该圆的周长，即$π d$ m。
(2) 原地球模型的半径为$\frac{d}{2}$ m，半径增加$a$ m后新半径为$(\frac{d}{2}+a)$ m，新周长为$2π(\frac{d}{2}+a)=π d + 2π a$ m，增加的铁丝长度=新周长-原周长，即$(π d + 2π a)-π d=2π a$ m。
(3) 先统一单位：$6370\ \mathrm{km}=6370×1000=6370000\ \mathrm{m}$。
① 原赤道铁丝箍的长度：根据周长公式$C=2π r$（$r$为圆的半径），得$2π×6370000=12740000π$ m。
② 半径增加$a$ m后新周长为$2π(6370000+a)=12740000π + 2π a$ m，增加的铁丝长度为$(12740000π + 2π a)-12740000π=2π a$ m。
(4) 对比(2)和(3)的结果，两个问题中周长的增加量都是$2π a$，和原来圆的半径大小没有关系。
【答案】
(1) $\boldsymbol{π d}$
(2) $\boldsymbol{2π a}$
(3) 为地球赤道做铁丝箍至少需要$12740000π\ \mathrm{m}$长的铁丝，半径增加$a$ m后至少需要增加$2π a\ \mathrm{m}$长的铁丝。
(4) 无论圆原来的半径是多少，只要半径增加$a$，圆的周长就增加$2π a$，周长的增加量和圆原本的半径大小无关。
【知识点】
圆的周长计算；代数式化简；规律探究
【点评】
本题结合生活实际模型，从小的地球模型延伸到真实地球，引导学生逐步探究圆周长和半径的变化关系，既巩固了圆周长公式的应用，也能让学生体会到数学规律的普遍性。
【难度系数】
0.7
