一、选择题
1. 数学课上，李老师给出一组按一定规律排列的数：$2$，$-4$，$8$，$-16$，$32$，…。
第$n$个数是（）

A.$2^n$
B.$-2^n$
C.$(-1)^n × 2^n$
D.$(-1)^{n+1} × 2^n$

D

先分析数列的绝对值部分：第1个数绝对值是2=2¹，第2个是4=2²，第3个是8=2³，……，可得第n个数的绝对值为$2^n$。再分析符号：数列奇数项为正，偶数项为负，符号规律可表示为$(-1)^{n+1}$。将两部分结合，第n个数为$(-1)^{n+1}×2^n$，代入验证各选项，只有D符合规律。

2.如图，长为38 cm、宽为x cm的大长方形被分割成7小块。除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为6 cm，则阴影部分A的周长比阴影部分B的周长多()


A.20 cm
B.18 cm
C.16 cm
D.14 cm

A

首先，由题意可知小长方形的较短边长为6 cm，大长方形长为38 cm，因此小长方形的长为：$38 - 3×6 = 20\ \mathrm{cm}$。
阴影部分A的长为20 cm，宽为$x - 2×6 = x-12\ \mathrm{cm}$，因此A的周长为：$2×[20+(x-12)] = 2x+16\ \mathrm{cm}$。
阴影部分B的长为$3×6=18\ \mathrm{cm}$，宽为$x-20\ \mathrm{cm}$，因此B的周长为：$2×[18+(x-20)] = 2x-4\ \mathrm{cm}$。
计算两者周长的差值：$(2x+16)-(2x-4)=20\ \mathrm{cm}$。

3.为了迎接国庆的到来，学校准备组织“五角星方阵”的展示活动。某同学用大小相等的五角星按规律摆出方阵图案，第1个图案有4颗五角星；第2个图案有7颗五角星……按照这个规律，第2026个图案有颗五角星。

$\boldsymbol{6079}$

解：
观察图案可得：
第1个图案的五角星数量：$4 = 3×1 + 1$
第2个图案的五角星数量：$7 = 3×2 + 1$
第3个图案的五角星数量：$10 = 3×3 + 1$
第4个图案的五角星数量：$13 = 3×4 + 1$
由此归纳出规律：第$n$个图案的五角星数量为$3n+1$。
将$n=2026$代入代数式：
$3×2026 + 1 = 6078 + 1 = 6079$

三、解答题
4.小明正在做一个直径为$d$ m的地球模型，如图所示。

(1)他想用一根铁丝围住赤道，至少需要m的铁丝。
(2)如果把这个模型的半径增加$a$ m，那么要围住赤道至少需要增加m的铁丝。
(3)假设要为地球的赤道做一个铁丝箍，至少需要多长的铁丝？如果想将铁丝箍所围成圆的半径增加$a$ m，那么至少需要增加多长的铁丝？（地球的半径约为6 370 km）
(4)比较(2)和(3)的结果，你发现了什么？

解：
(1) 直径为$d\ \mathrm{m}$的圆，周长为$π d\ \mathrm{m}$，因此至少需要$π d\ \mathrm{m}$的铁丝。
答案：$\boldsymbol{π d}$
(2) 原模型半径为$\frac{d}{2}\ \mathrm{m}$，半径增加$a\ \mathrm{m}$后新半径为$(\frac{d}{2}+a)\ \mathrm{m}$，
新周长为$2π(\frac{d}{2}+a)=π d + 2π a\ \mathrm{m}$，
增加的铁丝长度为$(π d + 2π a) - π d = 2π a\ \mathrm{m}$。
答案：$\boldsymbol{2π a}$
(3) 地球半径约为$6370\ \mathrm{km}=6370000\ \mathrm{m}$，
赤道铁丝箍的原长度为：$2π × 6370000 = 12740000π\ (\mathrm{m})$
半径增加$a\ \mathrm{m}$后，新周长为$2π(6370000+a) = 12740000π + 2π a\ (\mathrm{m})$，
需要增加的铁丝长度为：$(12740000π + 2π a) - 12740000π = 2π a\ (\mathrm{m})$
答：为地球赤道做铁丝箍至少需要$12740000π\ \mathrm{m}$长的铁丝，半径增加$a\ \mathrm{m}$后至少需要增加$2π a\ \mathrm{m}$长的铁丝。
(4) 发现：无论圆原来的半径是多少，只要半径增加$a$，圆的周长就增加$2π a$，周长的增加量和圆原本的半径大小无关。