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5.已知$-3x^m y^n$与$\frac{1}{3}x^2 y$是同类项，求多项式$2m^2n -3mn +5m^2n +3mn -6 -4mn^2 -7m^2n -2mn^2 +5$的值。
答案
解：
因为$-3x^m y^n$与$\frac{1}{3}x^2 y$是同类项，
所以$m=2$，$n=1$。
先化简多项式：
$\begin{aligned}&2m^2n -3mn +5m^2n +3mn -6 -4mn^2 -7m^2n -2mn^2 +5\\=&(2+5-7)m^2n + (-3+3)mn + (-4-2)mn^2 + (-6+5)\\=&-6mn^2 -1\end{aligned}$
将$m=2$，$n=1$代入$-6mn^2 -1$：
原式$=-6×2×1^2 -1 = -13$。
因为$-3x^m y^n$与$\frac{1}{3}x^2 y$是同类项，
所以$m=2$，$n=1$。
先化简多项式：
$\begin{aligned}&2m^2n -3mn +5m^2n +3mn -6 -4mn^2 -7m^2n -2mn^2 +5\\=&(2+5-7)m^2n + (-3+3)mn + (-4-2)mn^2 + (-6+5)\\=&-6mn^2 -1\end{aligned}$
将$m=2$，$n=1$代入$-6mn^2 -1$：
原式$=-6×2×1^2 -1 = -13$。
解析
【分析】
解题分为两步走：第一步利用同类项的定义求m、n的值，同类项要求所含字母相同，且相同字母的对应指数也相等，对照两个单项式的指数即可直接得出m、n的取值；第二步处理多项式，由于多项式项数较多，直接代入计算易出错，因此先合并同类项对多项式化简，得到最简结果后再代入m、n的值计算，既简化运算也能减少计算错误。
【解析】
$\because -3x^m y^n$与$\frac{1}{3}x^2 y$是同类项
$\therefore m=2$，$n=1$
先化简多项式：
$\begin{aligned}&2m^2n -3mn +5m^2n +3mn -6 -4mn^2 -7m^2n -2mn^2 +5\\=&(2+5-7)m^2n + (-3+3)mn + (-4-2)mn^2 + (-6+5)\\=&-6mn^2 -1\end{aligned}$
将$m=2$，$n=1$代入$-6mn^2 -1$得：
原式$=-6×2×1^2 -1 = -12 -1 = -13$
【答案】
$-13$
【知识点】
同类项的定义；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是先通过同类项的性质确定未知参数，再通过合并同类项简化待求式，化简后代入求值的方法能有效降低计算量，解题时需注意合并同类项仅调整系数，字母和字母的指数保持不变。
【难度系数】
0.8
解题分为两步走：第一步利用同类项的定义求m、n的值，同类项要求所含字母相同，且相同字母的对应指数也相等，对照两个单项式的指数即可直接得出m、n的取值；第二步处理多项式，由于多项式项数较多，直接代入计算易出错，因此先合并同类项对多项式化简，得到最简结果后再代入m、n的值计算，既简化运算也能减少计算错误。
【解析】
$\because -3x^m y^n$与$\frac{1}{3}x^2 y$是同类项
$\therefore m=2$，$n=1$
先化简多项式：
$\begin{aligned}&2m^2n -3mn +5m^2n +3mn -6 -4mn^2 -7m^2n -2mn^2 +5\\=&(2+5-7)m^2n + (-3+3)mn + (-4-2)mn^2 + (-6+5)\\=&-6mn^2 -1\end{aligned}$
将$m=2$，$n=1$代入$-6mn^2 -1$得：
原式$=-6×2×1^2 -1 = -12 -1 = -13$
【答案】
$-13$
【知识点】
同类项的定义；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是先通过同类项的性质确定未知参数，再通过合并同类项简化待求式，化简后代入求值的方法能有效降低计算量，解题时需注意合并同类项仅调整系数，字母和字母的指数保持不变。
【难度系数】
0.8
6. 提升题 有理数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示。
（第6题）
（1）比较大小：①$a$ $c$；②$a + b$ $0$；③$b - c$ $0$。（均填“＞”或“＜”）
（2）化简：$|b - c| + 2|a + b| - |c - a|$。
（第6题）（1）比较大小：①$a$ $c$；②$a + b$ $0$；③$b - c$ $0$。（均填“＞”或“＜”）
（2）化简：$|b - c| + 2|a + b| - |c - a|$。
答案
解：
（1）由有理数a,b,c在数轴上的位置可知$a＜0＜b＜c$，且$|a|＞|b|$，
① $a ＜ c$；
② $a + b ＜ 0$；
③ $b - c ＜ 0$。
（2）由$a＜0＜b＜c$，$|a|＞|b|$可得：
$b-c＜0$，$a+b＜0$，$c-a＞0$，
因此
$\begin{aligned}|b - c| + 2|a + b| - |c - a|&=(c - b) + 2(-a - b) - (c - a)\\&=c - b - 2a - 2b - c + a\\&=-a - 3b\end{aligned}$
（1）由有理数a,b,c在数轴上的位置可知$a＜0＜b＜c$，且$|a|＞|b|$，
① $a ＜ c$；
② $a + b ＜ 0$；
③ $b - c ＜ 0$。
（2）由$a＜0＜b＜c$，$|a|＞|b|$可得：
$b-c＜0$，$a+b＜0$，$c-a＞0$，
因此
$\begin{aligned}|b - c| + 2|a + b| - |c - a|&=(c - b) + 2(-a - b) - (c - a)\\&=c - b - 2a - 2b - c + a\\&=-a - 3b\end{aligned}$
解析
【分析】
首先观察数轴，根据数轴上右边的数总比左边的数大，可得$a＜0＜b＜c$，且a到原点的距离大于b到原点的距离，即$|a|＞|b|$。解决第一问时：①直接根据数轴上数的位置比较a和c的大小；②根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，判断$a+b$的符号；③小数减大数结果为负，判断$b-c$的符号。解决第二问时，先根据数的大小关系分别判断$b-c$、$a+b$、$c-a$的正负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后去括号合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
（1）由有理数$a,b,c$在数轴上的位置可知$a＜0＜b＜c$，且$|a|＞|b|$：
① 数轴上a在c的左侧，因此$a ＜ c$；
② a为负数，b为正数，且a的绝对值更大，异号两数相加取绝对值更大的数的符号，因此$a + b ＜ 0$；
③ b小于c，小数减大数结果为负，因此$b - c ＜ 0$。
（2）由$a＜0＜b＜c$，$|a|＞|b|$可得：$b-c＜0$，$a+b＜0$，$c-a＞0$，根据绝对值的性质去绝对值计算：
$\begin{aligned}|b - c| + 2|a + b| - |c - a|&=(c - b) + 2(-a - b) - (c - a)\\&=c - b - 2a - 2b - c + a\\&=-a - 3b\end{aligned}$
【答案】
（1）①$\boldsymbol{＜}$；②$\boldsymbol{＜}$；③$\boldsymbol{＜}$
（2）$\boldsymbol{-a-3b}$
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，整式加减
【点评】
本题是数轴与整式运算的综合题，解题核心是先通过数轴确定各数的大小关系以及绝对值内代数式的正负，再准确运用绝对值的性质去符号，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.6
首先观察数轴，根据数轴上右边的数总比左边的数大，可得$a＜0＜b＜c$，且a到原点的距离大于b到原点的距离，即$|a|＞|b|$。解决第一问时：①直接根据数轴上数的位置比较a和c的大小；②根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，判断$a+b$的符号；③小数减大数结果为负，判断$b-c$的符号。解决第二问时，先根据数的大小关系分别判断$b-c$、$a+b$、$c-a$的正负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后去括号合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
（1）由有理数$a,b,c$在数轴上的位置可知$a＜0＜b＜c$，且$|a|＞|b|$：
① 数轴上a在c的左侧，因此$a ＜ c$；
② a为负数，b为正数，且a的绝对值更大，异号两数相加取绝对值更大的数的符号，因此$a + b ＜ 0$；
③ b小于c，小数减大数结果为负，因此$b - c ＜ 0$。
（2）由$a＜0＜b＜c$，$|a|＞|b|$可得：$b-c＜0$，$a+b＜0$，$c-a＞0$，根据绝对值的性质去绝对值计算：
$\begin{aligned}|b - c| + 2|a + b| - |c - a|&=(c - b) + 2(-a - b) - (c - a)\\&=c - b - 2a - 2b - c + a\\&=-a - 3b\end{aligned}$
【答案】
（1）①$\boldsymbol{＜}$；②$\boldsymbol{＜}$；③$\boldsymbol{＜}$
（2）$\boldsymbol{-a-3b}$
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，整式加减
【点评】
本题是数轴与整式运算的综合题，解题核心是先通过数轴确定各数的大小关系以及绝对值内代数式的正负，再准确运用绝对值的性质去符号，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.6
7. 提升题 我们知道:若数轴上点A对应的数为a,点B对应的数为b,则A,B之间的距离可表示为$|a-b|$。已知多项式$7x^3y^2 - 3x^2y - 2$的次数为a,常数项为b。
(1)直接写出:$a=$,$b=$,A,B之间的距离是。
(2)若C为数轴上的一个动点,其对应的数为x,则点C到点A、点B的距离之和的最小值是。
(3)如图,点M,N分别从原点O,点A同时出发,分别以$v_1$,$v_2$的速度沿数轴负方向运动(点M在点O,B之间,点N在点O,A之间),运动时间为t,Q为点O,N之间的点,且$QN=\frac{1}{3}BN$。若点M,N运动过程中MQ的值固定不变,求$\frac{v_1}{v_2}$的值。
(1)直接写出:$a=$,$b=$,A,B之间的距离是。
(2)若C为数轴上的一个动点,其对应的数为x,则点C到点A、点B的距离之和的最小值是。
(3)如图,点M,N分别从原点O,点A同时出发,分别以$v_1$,$v_2$的速度沿数轴负方向运动(点M在点O,B之间,点N在点O,A之间),运动时间为t,Q为点O,N之间的点,且$QN=\frac{1}{3}BN$。若点M,N运动过程中MQ的值固定不变,求$\frac{v_1}{v_2}$的值。
答案
解：
(1) 多项式$7x^3y^2 - 3x^2y - 2$的最高次项次数为$3+2=5$，故$a=5$；常数项为$-2$，故$b=-2$；
A,B之间的距离为$|5-(-2)|=7$。
答案依次为：$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{7}$。
(2) 当点C在点A、B之间时，点C到点A、点B的距离之和最小，最小值等于A,B之间的距离7。
答案为：$\boldsymbol{7}$。
(3) 运动时间为$t$时：
点N对应的数为$5-v_2 t$，
$BN=|(5-v_2 t)-(-2)|=7-v_2 t$，
由$QN=\frac{1}{3}BN$，得点Q对应的数为：
$(5-v_2 t)-\frac{1}{3}(7-v_2 t)=\frac{8-2v_2 t}{3}$
点M对应的数为$-v_1 t$，
则$MQ=\frac{8-2v_2 t}{3}-(-v_1 t)=\frac{8}{3}+(v_1-\frac{2}{3}v_2)t$。
因为MQ的值固定不变，即MQ的取值与$t$无关，因此含$t$的项的系数为0：
$v_1-\frac{2}{3}v_2=0$
整理得$\frac{v_1}{v_2}=\frac{2}{3}$。
答：$\frac{v_1}{v_2}$的值为$\frac{2}{3}$。
(1) 多项式$7x^3y^2 - 3x^2y - 2$的最高次项次数为$3+2=5$，故$a=5$；常数项为$-2$，故$b=-2$；
A,B之间的距离为$|5-(-2)|=7$。
答案依次为：$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{7}$。
(2) 当点C在点A、B之间时，点C到点A、点B的距离之和最小，最小值等于A,B之间的距离7。
答案为：$\boldsymbol{7}$。
(3) 运动时间为$t$时：
点N对应的数为$5-v_2 t$，
$BN=|(5-v_2 t)-(-2)|=7-v_2 t$，
由$QN=\frac{1}{3}BN$，得点Q对应的数为：
$(5-v_2 t)-\frac{1}{3}(7-v_2 t)=\frac{8-2v_2 t}{3}$
点M对应的数为$-v_1 t$，
则$MQ=\frac{8-2v_2 t}{3}-(-v_1 t)=\frac{8}{3}+(v_1-\frac{2}{3}v_2)t$。
因为MQ的值固定不变，即MQ的取值与$t$无关，因此含$t$的项的系数为0：
$v_1-\frac{2}{3}v_2=0$
整理得$\frac{v_1}{v_2}=\frac{2}{3}$。
答：$\frac{v_1}{v_2}$的值为$\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
（1）解决第一小问首先要明确多项式次数和常数项的定义：多项式的次数是最高次项中所有字母的指数之和，常数项是不含字母的项，找到a、b的值后，直接利用数轴两点距离公式$|a-b|$计算即可。
（2）第二小问根据绝对值的几何意义分析：点C到A、B的距离之和为$|x-a|+|x-b|$，当点C在A、B两点之间时，这个和最小，最小值就是A、B两点的距离。
（3）第三小问先根据运动速度和时间，分别表示出运动t秒后M、N两点对应的数，再结合$QN=\frac{1}{3}BN$求出点Q对应的数，进而写出MQ的表达式。由于MQ的值固定不变，说明表达式中t的系数为0，据此列等式即可求出速度的比值。
【解析】
（1）多项式$7x^3y^2 - 3x^2y - 2$的最高次项是$7x^3y^2$，次数为$3+2=5$，因此$a=5$；不含字母的常数项是$-2$，因此$b=-2$；A、B之间的距离为$|5-(-2)|=7$。
（2）当点C在点A和点B之间时，点C到A、B的距离之和最小，这个最小值等于A、B两点的距离，即7。
（3）运动时间为t秒时：
点N从A（对应数5）沿负方向运动，速度为$v_2$，因此点N对应的数为$5-v_2 t$；
B对应数为-2，因此$BN=|(5-v_2 t)-(-2)|=7-v_2 t$（N在O、A之间，$5-v_2 t ＞ -2$，可直接去绝对值）；
由$QN=\frac{1}{3}BN$，Q在O、N之间，因此点Q对应的数为：
$5-v_2 t - \frac{1}{3}(7-v_2 t)=\frac{8-2v_2 t}{3}$
点M从原点O沿负方向运动，速度为$v_1$，因此点M对应的数为$-v_1 t$；
则MQ的长度为：
$MQ=\frac{8-2v_2 t}{3} - (-v_1 t)=\frac{8}{3} + (v_1 - \frac{2}{3}v_2)t$
由于MQ的值固定不变，即MQ的大小和t无关，因此含t的项的系数为0：
$v_1 - \frac{2}{3}v_2 = 0$
整理得$\frac{v_1}{v_2}=\frac{2}{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{7}$；（2）$\boldsymbol{7}$；（3）$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
【知识点】
多项式相关概念、数轴两点距离、动点定值问题
【点评】
本题综合考查了多项式基础概念和数轴动点的相关应用，前两问属于基础考查，第三问需要结合运动规律表示出各点对应的数，理解“值固定不变”即含运动时间的项系数为0是解题的关键，能较好地考察知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
（1）解决第一小问首先要明确多项式次数和常数项的定义：多项式的次数是最高次项中所有字母的指数之和，常数项是不含字母的项，找到a、b的值后，直接利用数轴两点距离公式$|a-b|$计算即可。
（2）第二小问根据绝对值的几何意义分析：点C到A、B的距离之和为$|x-a|+|x-b|$，当点C在A、B两点之间时，这个和最小，最小值就是A、B两点的距离。
（3）第三小问先根据运动速度和时间，分别表示出运动t秒后M、N两点对应的数，再结合$QN=\frac{1}{3}BN$求出点Q对应的数，进而写出MQ的表达式。由于MQ的值固定不变，说明表达式中t的系数为0，据此列等式即可求出速度的比值。
【解析】
（1）多项式$7x^3y^2 - 3x^2y - 2$的最高次项是$7x^3y^2$，次数为$3+2=5$，因此$a=5$；不含字母的常数项是$-2$，因此$b=-2$；A、B之间的距离为$|5-(-2)|=7$。
（2）当点C在点A和点B之间时，点C到A、B的距离之和最小，这个最小值等于A、B两点的距离，即7。
（3）运动时间为t秒时：
点N从A（对应数5）沿负方向运动，速度为$v_2$，因此点N对应的数为$5-v_2 t$；
B对应数为-2，因此$BN=|(5-v_2 t)-(-2)|=7-v_2 t$（N在O、A之间，$5-v_2 t ＞ -2$，可直接去绝对值）；
由$QN=\frac{1}{3}BN$，Q在O、N之间，因此点Q对应的数为：
$5-v_2 t - \frac{1}{3}(7-v_2 t)=\frac{8-2v_2 t}{3}$
点M从原点O沿负方向运动，速度为$v_1$，因此点M对应的数为$-v_1 t$；
则MQ的长度为：
$MQ=\frac{8-2v_2 t}{3} - (-v_1 t)=\frac{8}{3} + (v_1 - \frac{2}{3}v_2)t$
由于MQ的值固定不变，即MQ的大小和t无关，因此含t的项的系数为0：
$v_1 - \frac{2}{3}v_2 = 0$
整理得$\frac{v_1}{v_2}=\frac{2}{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{7}$；（2）$\boldsymbol{7}$；（3）$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
【知识点】
多项式相关概念、数轴两点距离、动点定值问题
【点评】
本题综合考查了多项式基础概念和数轴动点的相关应用，前两问属于基础考查，第三问需要结合运动规律表示出各点对应的数，理解“值固定不变”即含运动时间的项系数为0是解题的关键，能较好地考察知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
