登录
课前预习
|序号|基础知识|
|----|----|
|1|第9个基本事实（平行线分线段成比例定理）|两条直线被
|2|第9个基本事实的推论|
困惑疑问：
|序号|基础知识|
|----|----|
|1|第9个基本事实（平行线分线段成比例定理）|两条直线被
一组平行线(不少于三条)
所截，所得的对应线段成比例
。||2|第9个基本事实的推论|
平行
于三角形的一边
，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边
与原三角形的三边
对应成比例。|困惑疑问：
答案
1. 一组平行线(不少于三条) 成比例
2. 平行 一边 三角形的三边 原三角形的三边
2. 平行 一边 三角形的三边 原三角形的三边
解析
【分析】
这道题考查平行线分线段成比例定理及其推论的基础概念识记，解题时对应回忆课本中两个知识点的原文表述即可：①先回忆平行线分线段成比例定理的前提和结论：前提是两条直线被一组不少于三条的平行线所截，结论是截得的对应线段成比例，对应填写第1题的空；②再回忆定理的推论内容：针对三角形的情况，平行于三角形一边的直线和其他两边相交时，截得的新三角形和原三角形的三边对应成比例，对应填写第2题的空即可。
【解析】
1. 根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线(不少于三条)所截，所得的对应线段成比例，因此第1题依次填写对应内容。
2. 根据平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，因此第2题依次填写对应内容。
【答案】
1. 一组平行线(不少于三条)；成比例
2. 平行；一边；三角形的三边；原三角形的三边
【知识点】
平行线分线段成比例定理；平行线分线段成比例定理推论
【点评】
本题是基础概念记忆类题目，是相似三角形相关知识的入门基础，需要准确牢记定理和推论的前提条件与结论，为后续相似三角形的判定学习打好基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查平行线分线段成比例定理及其推论的基础概念识记，解题时对应回忆课本中两个知识点的原文表述即可：①先回忆平行线分线段成比例定理的前提和结论：前提是两条直线被一组不少于三条的平行线所截，结论是截得的对应线段成比例，对应填写第1题的空；②再回忆定理的推论内容：针对三角形的情况，平行于三角形一边的直线和其他两边相交时，截得的新三角形和原三角形的三边对应成比例，对应填写第2题的空即可。
【解析】
1. 根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线(不少于三条)所截，所得的对应线段成比例，因此第1题依次填写对应内容。
2. 根据平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，因此第2题依次填写对应内容。
【答案】
1. 一组平行线(不少于三条)；成比例
2. 平行；一边；三角形的三边；原三角形的三边
【知识点】
平行线分线段成比例定理；平行线分线段成比例定理推论
【点评】
本题是基础概念记忆类题目，是相似三角形相关知识的入门基础，需要准确牢记定理和推论的前提条件与结论，为后续相似三角形的判定学习打好基础。
【难度系数】
0.9
思考1.能用其他方法证明基本事实9吗？
答案
面积法。
解析
【分析】
首先明确基本事实9的内容为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。要证明该结论，可以寻找能关联线段比例关系的中间量，三角形面积与底、高的对应关系恰好能承担这个桥梁作用：同高的三角形面积比等于底的比，同时平行线间距离处处相等的性质可得到一组面积相等的三角形，通过面积的等量代换就能推导出对应线段成比例，这个方法就是面积法。
【解析】
基本事实9：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
面积法证明步骤：
1. 设三条平行线$ l_1 // l_2 // l_3 $，分别截直线$ m $于$ A、B、C $三点，截直线$ n $于$ D、E、F $三点；
2. 连接$ AE、BD、CE、BF $：
△ABE和△CBE以$ AB、BC $为底时高相等，因此$ \frac{S_{△ ABE}}{S_{△ CBE}}=\frac{AB}{BC} $；
△BDE和△BEF以$ DE、EF $为底时高相等，因此$ \frac{S_{△ BDE}}{S_{△ BEF}}=\frac{DE}{EF} $；
3. 由$ l_1 // l_2 $得△ABE和△DBE同底等高，故$ S_{△ ABE}=S_{△ DBE} $；由$ l_2 // l_3 $得△CBE和△FBE同底等高，故$ S_{△ CBE}=S_{△ FBE} $；
4. 综上可得$ \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF} $，完成证明，所用方法为面积法。
【答案】
面积法
【知识点】
平行线分线段成比例、三角形面积与底高的关系、平行线间距离的性质
【点评】
该证明方法以面积为中间桥梁，把线段比例关系转化为面积比例关系，推导过程简洁直观，体现了几何证明中的转化思想，降低了证明难度。
【难度系数】
0.6
首先明确基本事实9的内容为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。要证明该结论，可以寻找能关联线段比例关系的中间量，三角形面积与底、高的对应关系恰好能承担这个桥梁作用：同高的三角形面积比等于底的比，同时平行线间距离处处相等的性质可得到一组面积相等的三角形，通过面积的等量代换就能推导出对应线段成比例，这个方法就是面积法。
【解析】
基本事实9：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
面积法证明步骤：
1. 设三条平行线$ l_1 // l_2 // l_3 $，分别截直线$ m $于$ A、B、C $三点，截直线$ n $于$ D、E、F $三点；
2. 连接$ AE、BD、CE、BF $：
△ABE和△CBE以$ AB、BC $为底时高相等，因此$ \frac{S_{△ ABE}}{S_{△ CBE}}=\frac{AB}{BC} $；
△BDE和△BEF以$ DE、EF $为底时高相等，因此$ \frac{S_{△ BDE}}{S_{△ BEF}}=\frac{DE}{EF} $；
3. 由$ l_1 // l_2 $得△ABE和△DBE同底等高，故$ S_{△ ABE}=S_{△ DBE} $；由$ l_2 // l_3 $得△CBE和△FBE同底等高，故$ S_{△ CBE}=S_{△ FBE} $；
4. 综上可得$ \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF} $，完成证明，所用方法为面积法。
【答案】
面积法
【知识点】
平行线分线段成比例、三角形面积与底高的关系、平行线间距离的性质
【点评】
该证明方法以面积为中间桥梁，把线段比例关系转化为面积比例关系，推导过程简洁直观，体现了几何证明中的转化思想，降低了证明难度。
【难度系数】
0.6
1.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（
A.3
B.$\dfrac{21}{4}$
C.5
D.6
B
）。A.3
B.$\dfrac{21}{4}$
C.5
D.6
答案
1.B
解析
【分析】
首先观察图形特征，两条直线被三条平行线所截，满足平行线分线段成比例定理的使用条件。解题时先确定两组对应线段：左侧第一条与第二条平行线间的线段长为3，第二条与第三条平行线间的线段长为x；右侧第一条与第二条平行线间的线段长为4，第二条与第三条平行线间的线段长为7。根据定理中“对应线段成比例”的性质列出比例式，求解即可得到x的值。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
结合图形可得对应线段的比例关系：$\dfrac{3}{4}=\dfrac{x}{7}$
解比例式：
$4x=3×7$
$x=\dfrac{21}{4}$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理、解比例方程
【点评】
本题是基础应用题，核心考查平行线分线段成比例定理的运用，解题的关键是准确识别对应线段，避免因对应关系找错导致列错比例式，掌握定理内容即可轻松解答。
【难度系数】
0.75
首先观察图形特征，两条直线被三条平行线所截，满足平行线分线段成比例定理的使用条件。解题时先确定两组对应线段：左侧第一条与第二条平行线间的线段长为3，第二条与第三条平行线间的线段长为x；右侧第一条与第二条平行线间的线段长为4，第二条与第三条平行线间的线段长为7。根据定理中“对应线段成比例”的性质列出比例式，求解即可得到x的值。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
结合图形可得对应线段的比例关系：$\dfrac{3}{4}=\dfrac{x}{7}$
解比例式：
$4x=3×7$
$x=\dfrac{21}{4}$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理、解比例方程
【点评】
本题是基础应用题，核心考查平行线分线段成比例定理的运用，解题的关键是准确识别对应线段，避免因对应关系找错导致列错比例式，掌握定理内容即可轻松解答。
【难度系数】
0.75
2.如图,已知$l_1// l_2// l_3$,根据“平行线分线段成比例定理”,则下列比例式中不正确的是(
A.$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$
B.$\frac{AD}{BC}=\frac{DF}{CE}$
C.$\frac{AB}{CD}=\frac{CD}{EF}$
D.$\frac{AF}{AD}=\frac{BE}{BC}$
C
)。A.$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$
B.$\frac{AD}{BC}=\frac{DF}{CE}$
C.$\frac{AB}{CD}=\frac{CD}{EF}$
D.$\frac{AF}{AD}=\frac{BE}{BC}$
答案
2.C
解析
【分析】
解决本题首先要回忆平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。首先明确本题中两条被截直线上的对应线段：右截线（过A、D、F）上，$l_1$到$l_2$的线段是AD，$l_2$到$l_3$的线段是DF，$l_1$到$l_3$的全长是AF；左截线（过B、C、E）上，$l_1$到$l_2$的对应线段是BC，$l_2$到$l_3$的对应线段是CE，$l_1$到$l_3$的全长对应BE。再逐一验证每个选项的比例是否符合对应线段成比例的要求，即可找出不正确的选项。
【解析】
已知$l_1// l_2// l_3$，根据平行线分线段成比例定理，两条被截直线上的对应线段成比例，可得对应关系：$AD$对应$BC$，$DF$对应$CE$，$AF$对应$BE$。
选项A：$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，符合“上/下=上/下”的对应比例关系，该式正确，不符合题意；
选项B：将选项A的比例式根据比例的基本性质变形，交叉相乘得$AD· CE=BC· DF$，两边同时除以$BC· CE$可得$\frac{AD}{BC}=\frac{DF}{CE}$，该式正确，不符合题意；
选项C：平行线分线段成比例定理描述的是两条被截直线上的线段成比例，$AB$、$CD$、$EF$分别是三条平行线上的线段，无定理支持该比例成立，该式错误，符合题意；
选项D：根据对应线段成比例可得$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BC}$，交叉变形可得$\frac{AF}{AD}=\frac{BE}{BC}$，符合“全长/上段=全长/上段”的对应比例关系，该式正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例定理；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查对平行线分线段成比例定理的理解与应用，解题的关键是找准两条被截直线上的对应线段，避免混淆平行线上的线段和被截线上的线段的比例关系。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。首先明确本题中两条被截直线上的对应线段：右截线（过A、D、F）上，$l_1$到$l_2$的线段是AD，$l_2$到$l_3$的线段是DF，$l_1$到$l_3$的全长是AF；左截线（过B、C、E）上，$l_1$到$l_2$的对应线段是BC，$l_2$到$l_3$的对应线段是CE，$l_1$到$l_3$的全长对应BE。再逐一验证每个选项的比例是否符合对应线段成比例的要求，即可找出不正确的选项。
【解析】
已知$l_1// l_2// l_3$，根据平行线分线段成比例定理，两条被截直线上的对应线段成比例，可得对应关系：$AD$对应$BC$，$DF$对应$CE$，$AF$对应$BE$。
选项A：$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，符合“上/下=上/下”的对应比例关系，该式正确，不符合题意；
选项B：将选项A的比例式根据比例的基本性质变形，交叉相乘得$AD· CE=BC· DF$，两边同时除以$BC· CE$可得$\frac{AD}{BC}=\frac{DF}{CE}$，该式正确，不符合题意；
选项C：平行线分线段成比例定理描述的是两条被截直线上的线段成比例，$AB$、$CD$、$EF$分别是三条平行线上的线段，无定理支持该比例成立，该式错误，符合题意；
选项D：根据对应线段成比例可得$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BC}$，交叉变形可得$\frac{AF}{AD}=\frac{BE}{BC}$，符合“全长/上段=全长/上段”的对应比例关系，该式正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例定理；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查对平行线分线段成比例定理的理解与应用，解题的关键是找准两条被截直线上的对应线段，避免混淆平行线上的线段和被截线上的线段的比例关系。
【难度系数】
0.8
思考 2.“过三角形一边中点并与另一边平行的直线必平分第三边”是真命题吗？请说明理由。
答案
真命题，利用基本事实9可得。
解析
【分析】
要判断该命题是否为真命题，首先将文字命题转化为几何证明题型，先明确已知条件和待证结论：已知在△ABC中，D是AB边的中点，过D作DE//BC交AC于点E，待证E是AC的中点。思考时，看到“平行于三角形一边的直线”这一条件，可联想到平行线分线段成比例的基本事实（基本事实9）的推论：平行于三角形一边的直线截三角形的另外两边，所得的对应线段成比例，再结合中点给出的线段比例关系，即可推导出第三边上的线段比例，从而证得结论，判断命题真假。
【解析】
我们通过几何证明验证：
已知：在△ABC中，D为AB的中点，DE//BC，DE交AC于点E。
求证：E是AC的中点。
证明：
∵ D是AB的中点，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$。
∵ DE//BC，根据基本事实9（平行线分线段成比例）的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
代入$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$AE=\frac{1}{2}AC$，
∴ E为AC的中点，即直线DE平分第三边AC。
因此该命题是真命题。
【答案】
是真命题，利用基本事实9可得。
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 命题真假判断
【点评】
本题主要考查几何文字命题的证明思路，以及对平行线分线段成比例基本事实的应用，解题时要先把文字命题转化为规范的几何已知、求证形式，再结合对应的几何定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
要判断该命题是否为真命题，首先将文字命题转化为几何证明题型，先明确已知条件和待证结论：已知在△ABC中，D是AB边的中点，过D作DE//BC交AC于点E，待证E是AC的中点。思考时，看到“平行于三角形一边的直线”这一条件，可联想到平行线分线段成比例的基本事实（基本事实9）的推论：平行于三角形一边的直线截三角形的另外两边，所得的对应线段成比例，再结合中点给出的线段比例关系，即可推导出第三边上的线段比例，从而证得结论，判断命题真假。
【解析】
我们通过几何证明验证：
已知：在△ABC中，D为AB的中点，DE//BC，DE交AC于点E。
求证：E是AC的中点。
证明：
∵ D是AB的中点，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$。
∵ DE//BC，根据基本事实9（平行线分线段成比例）的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
代入$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$AE=\frac{1}{2}AC$，
∴ E为AC的中点，即直线DE平分第三边AC。
因此该命题是真命题。
【答案】
是真命题，利用基本事实9可得。
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 命题真假判断
【点评】
本题主要考查几何文字命题的证明思路，以及对平行线分线段成比例基本事实的应用，解题时要先把文字命题转化为规范的几何已知、求证形式，再结合对应的几何定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
