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9.如图①,将一张A4纸折叠2次,发现第一次的折痕与A4纸的较长边重合。如图②,将1张A4纸对折,使其较长边一分为二,沿折痕剪开,可得2张A5纸。
(1)求A4纸较长边与较短边的比。
(2)A4纸与A5纸是否为相似图形?请说明理由。
(1)求A4纸较长边与较短边的比。
(2)A4纸与A5纸是否为相似图形?请说明理由。
答案
(1)A4纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$。
(2)A4纸与A5纸是相似图形。理由略。
(2)A4纸与A5纸是相似图形。理由略。
解析
【分析】
(1) 求解A4纸长宽比，可先设短边长为$x$，长边长为$y$，结合折叠前后对应边相等的性质，可知折叠后形成的直角三角形为等腰直角三角形，两条直角边等于短边长度，斜边等于长边长度，借助勾股定理即可推导长宽的比值。
(2) 判断两个图形是否相似，需满足对应角相等、对应边成比例两个条件。A4和A5均为矩形，对应角均为直角天然相等，只需结合第一问的长宽比，验证二者对应边的比值是否相等即可。
【解析】
(1) 设A4纸的较短边长度为$x$，较长边长度为$y$。
根据折叠的性质，折叠后短边与长边的一部分重合，形成的等腰直角三角形两条直角边长度均为$x$，斜边长度等于A4的长边$y$。
由勾股定理得：$x^2 + x^2 = y^2$，即$y^2=2x^2$。
因为边长为正数，因此$y=\sqrt{2}x$，故$\frac{y}{x}=\sqrt{2}$，即长宽比为$\sqrt{2}:1$。
(2) A4纸与A5纸是相似图形，理由：
由题意得，A5纸的长边等于A4的短边$x$，A5的短边等于A4长边的一半$\frac{y}{2}$。
则A5纸的长宽比为$\frac{x}{\frac{y}{2}}=\frac{2x}{y}$，将$y=\sqrt{2}x$代入得$\frac{2x}{\sqrt{2}x}=\sqrt{2}$，与A4纸的长宽比相等。
又因为A4、A5均为矩形，所有内角都是$90°$，对应角相等，对应边成比例，因此二者是相似图形。
【答案】
(1) A4纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$。
(2) A4纸与A5纸是相似图形。
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；相似图形的判定
【点评】
本题结合生活中常见的纸张规格命题，既考查了基础几何性质的应用，也引导学生关注生活中的数学现象，能有效锻炼学生的逻辑推导能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解A4纸长宽比，可先设短边长为$x$，长边长为$y$，结合折叠前后对应边相等的性质，可知折叠后形成的直角三角形为等腰直角三角形，两条直角边等于短边长度，斜边等于长边长度，借助勾股定理即可推导长宽的比值。
(2) 判断两个图形是否相似，需满足对应角相等、对应边成比例两个条件。A4和A5均为矩形，对应角均为直角天然相等，只需结合第一问的长宽比，验证二者对应边的比值是否相等即可。
【解析】
(1) 设A4纸的较短边长度为$x$，较长边长度为$y$。
根据折叠的性质，折叠后短边与长边的一部分重合，形成的等腰直角三角形两条直角边长度均为$x$，斜边长度等于A4的长边$y$。
由勾股定理得：$x^2 + x^2 = y^2$，即$y^2=2x^2$。
因为边长为正数，因此$y=\sqrt{2}x$，故$\frac{y}{x}=\sqrt{2}$，即长宽比为$\sqrt{2}:1$。
(2) A4纸与A5纸是相似图形，理由：
由题意得，A5纸的长边等于A4的短边$x$，A5的短边等于A4长边的一半$\frac{y}{2}$。
则A5纸的长宽比为$\frac{x}{\frac{y}{2}}=\frac{2x}{y}$，将$y=\sqrt{2}x$代入得$\frac{2x}{\sqrt{2}x}=\sqrt{2}$，与A4纸的长宽比相等。
又因为A4、A5均为矩形，所有内角都是$90°$，对应角相等，对应边成比例，因此二者是相似图形。
【答案】
(1) A4纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$。
(2) A4纸与A5纸是相似图形。
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；相似图形的判定
【点评】
本题结合生活中常见的纸张规格命题，既考查了基础几何性质的应用，也引导学生关注生活中的数学现象，能有效锻炼学生的逻辑推导能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
10.综合与实践
学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动方案如下：
| 活动任务 | 设计数学文化节展板 |
| --- | --- |
| 成员 | 组长:×××
组员:×××,×××,××× |
| 基本信息 | 有两张标准矩形KT板(一种制作展板的常用材料),尺寸为120 cm×240 cm。 |
| 版面规划 | 用矩形ABCD(AB＜BC)表示整张KT板。
展板一:如图①,在展板上下边缘各留宽为a cm的空白,左右边缘各留宽为b cm的空白,中间(即矩形EFGH)为图案区域。
展板二:如图②,在展板上下边缘各留宽为a cm的空白,左右边缘各留宽为b cm的空白,中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域,且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为b cm。
图①
图② |
| 问题解决 | 确定版面图案区域的具体信息,如下:…
(1)根据版面规划,若展板一中a=10,且图案区域与整块展板相似(即矩形EFGH∽矩形ABCD),求b的值;
(2)根据版面规划,若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似(如矩形MNGH∽矩形ABCD),直接写出$\frac{a}{b}$的值。 |
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动方案如下：
| 活动任务 | 设计数学文化节展板 |
| --- | --- |
| 成员 | 组长:×××
组员:×××,×××,××× |
| 基本信息 | 有两张标准矩形KT板(一种制作展板的常用材料),尺寸为120 cm×240 cm。 |
| 版面规划 | 用矩形ABCD(AB＜BC)表示整张KT板。
展板一:如图①,在展板上下边缘各留宽为a cm的空白,左右边缘各留宽为b cm的空白,中间(即矩形EFGH)为图案区域。
展板二:如图②,在展板上下边缘各留宽为a cm的空白,左右边缘各留宽为b cm的空白,中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域,且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为b cm。
图①
图② |
| 问题解决 | 确定版面图案区域的具体信息,如下:…
(1)根据版面规划,若展板一中a=10,且图案区域与整块展板相似(即矩形EFGH∽矩形ABCD),求b的值;
(2)根据版面规划,若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似(如矩形MNGH∽矩形ABCD),直接写出$\frac{a}{b}$的值。 |
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
(1)$b$的值为20。
(2)$\frac{5}{4}$。
(2)$\frac{5}{4}$。
解析
【分析】
本题主要利用相似多边形的性质（对应边成比例）解题，首先明确矩形KT板的边长：AB=120cm，BC=240cm，且AB＜BC。
(1) 求解b的值时，先表示出展板一图案区域的长和宽，再根据相似多边形对应边成比例列方程，代入a=10即可计算。
(2) 求解$\frac{a}{b}$的值时，先表示出展板二中小矩形图案的长和宽，注意4个矩形之间有3个间隔，再根据相似对应边成比例列等式，整理即可得到比值，解题核心是找准对应边，避免对应关系混淆。
【解析】
已知矩形ABCD中，AB=120cm，BC=240cm，AB＜BC。
(1) 展板一的图案区域EFGH中：
垂直方向边长为$AB-2a=120-2a$，水平方向边长为$BC-2b=240-2b$。
∵矩形$EFGH ∼$矩形$ABCD$，相似多边形对应边成比例
∴$\frac{EFGH的短边}{EFGH的长边}=\frac{ABCD的短边}{ABCD的长边}$，即$\frac{120-2a}{240-2b}=\frac{120}{240}=\frac{1}{2}$
代入$a=10$得：
$\frac{120-2×10}{240-2b}=\frac{1}{2}$
$\frac{100}{240-2b}=\frac{1}{2}$
交叉相乘得：$240-2b=200$
解得$b=20$。
(2) 展板二的每个小矩形图案中：
垂直方向高度为$AB-2a=120-2a$；
水平方向总留白和间隔总长为$2b+3b=5b$，故每个小矩形的宽度为$\frac{240-5b}{4}$。
∵小矩形与矩形ABCD相似，小矩形的垂直边为长边，水平边为短边，对应ABCD的长边BC、短边AB
∴$\frac{小矩形长边}{小矩形短边}=\frac{ABCD长边}{ABCD短边}$，即$\frac{120-2a}{\frac{240-5b}{4}}=\frac{240}{120}=2$
化简得：$120-2a=\frac{240-5b}{4}×2$
$120-2a=\frac{240-5b}{2}$
两边同乘2得：$240-4a=240-5b$
移项整理得：$4a=5b$
∴$\frac{a}{b}=\frac{5}{4}$。
【答案】
(1)$b$的值为20；(2)$\frac{5}{4}$
【知识点】
1. 相似多边形的性质
2. 比例方程计算
3. 矩形边长计算
【点评】
本题结合实际设计场景考查相似图形的应用，难度适中，解题的关键是结合图形准确表示出各区域的边长，找准相似图形的对应边关系，避免因对应边混淆导致列错比例式。
【难度系数】
0.6
本题主要利用相似多边形的性质（对应边成比例）解题，首先明确矩形KT板的边长：AB=120cm，BC=240cm，且AB＜BC。
(1) 求解b的值时，先表示出展板一图案区域的长和宽，再根据相似多边形对应边成比例列方程，代入a=10即可计算。
(2) 求解$\frac{a}{b}$的值时，先表示出展板二中小矩形图案的长和宽，注意4个矩形之间有3个间隔，再根据相似对应边成比例列等式，整理即可得到比值，解题核心是找准对应边，避免对应关系混淆。
【解析】
已知矩形ABCD中，AB=120cm，BC=240cm，AB＜BC。
(1) 展板一的图案区域EFGH中：
垂直方向边长为$AB-2a=120-2a$，水平方向边长为$BC-2b=240-2b$。
∵矩形$EFGH ∼$矩形$ABCD$，相似多边形对应边成比例
∴$\frac{EFGH的短边}{EFGH的长边}=\frac{ABCD的短边}{ABCD的长边}$，即$\frac{120-2a}{240-2b}=\frac{120}{240}=\frac{1}{2}$
代入$a=10$得：
$\frac{120-2×10}{240-2b}=\frac{1}{2}$
$\frac{100}{240-2b}=\frac{1}{2}$
交叉相乘得：$240-2b=200$
解得$b=20$。
(2) 展板二的每个小矩形图案中：
垂直方向高度为$AB-2a=120-2a$；
水平方向总留白和间隔总长为$2b+3b=5b$，故每个小矩形的宽度为$\frac{240-5b}{4}$。
∵小矩形与矩形ABCD相似，小矩形的垂直边为长边，水平边为短边，对应ABCD的长边BC、短边AB
∴$\frac{小矩形长边}{小矩形短边}=\frac{ABCD长边}{ABCD短边}$，即$\frac{120-2a}{\frac{240-5b}{4}}=\frac{240}{120}=2$
化简得：$120-2a=\frac{240-5b}{4}×2$
$120-2a=\frac{240-5b}{2}$
两边同乘2得：$240-4a=240-5b$
移项整理得：$4a=5b$
∴$\frac{a}{b}=\frac{5}{4}$。
【答案】
(1)$b$的值为20；(2)$\frac{5}{4}$
【知识点】
1. 相似多边形的性质
2. 比例方程计算
3. 矩形边长计算
【点评】
本题结合实际设计场景考查相似图形的应用，难度适中，解题的关键是结合图形准确表示出各区域的边长，找准相似图形的对应边关系，避免因对应边混淆导致列错比例式。
【难度系数】
0.6
