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8.在学习相似多边形时,将边长为4,6,6的等腰三角形和长、宽分别为6,4的矩形按如图所示的方式向外扩张,各得到一个新图形,它们的对应边间距均为1,则下面对新图形和原图形是否为相似多边形的判断正确的是(
A.甲、乙两组都是
B.甲组是,乙组不是
C.甲组不是,乙组是
D.甲、乙两组都不是
B
)。A.甲、乙两组都是
B.甲组是,乙组不是
C.甲组不是,乙组是
D.甲、乙两组都不是
答案
8.B
解析
【分析】判断两个多边形是否相似，需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，二者缺一不可。解题时分别对甲、乙两组图形逐一验证这两个条件：
1. 针对甲组的三角形：扩张后新三角形的各边与原三角形对应边平行，可推出对应角全部相等，三角形满足对应角相等即可判定相似，因此甲组符合相似要求。
2. 针对乙组的矩形：扩张后新旧图形都是矩形，对应角都是直角满足相等条件，需要再验证对应边是否成比例，计算新旧图形的长宽比，对比比值是否相等即可判断是否相似。
【解析】根据相似多边形的判定规则：相似多边形需同时满足对应角相等、对应边成比例。
① 分析甲组：
原图形为等腰三角形，向外扩张后新三角形各边与原三角形对应边平行，因此两个三角形的三组对应角全部相等，由相似三角形的判定定理可知，两个三角形相似，即甲组新图形与原图形是相似多边形。
② 分析乙组：
原图形是长为6、宽为4的矩形，向外扩张后新图形仍为矩形，所有对应角均为90°，满足对应角相等的条件。
计算新矩形的边长：长 = 原长 + 左右间距和 = 6 + 1×2 = 8，宽 = 原宽 + 上下间距和 = 4 + 1×2 = 6。
原图形长宽比为 $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，新图形长宽比为 $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，二者比值不相等，即对应边不成比例，因此乙组新图形与原图形不是相似多边形。
综上，甲组是相似多边形，乙组不是。
【答案】B
【知识点】相似多边形的判定、相似三角形的判定
【点评】本题易错点是容易误认为所有矩形都相似，忽略相似多边形需要对应边成比例的要求，解题时要注意对两个判定条件逐一验证，不能遗漏。
【难度系数】
0.7
1. 针对甲组的三角形：扩张后新三角形的各边与原三角形对应边平行，可推出对应角全部相等，三角形满足对应角相等即可判定相似，因此甲组符合相似要求。
2. 针对乙组的矩形：扩张后新旧图形都是矩形，对应角都是直角满足相等条件，需要再验证对应边是否成比例，计算新旧图形的长宽比，对比比值是否相等即可判断是否相似。
【解析】根据相似多边形的判定规则：相似多边形需同时满足对应角相等、对应边成比例。
① 分析甲组：
原图形为等腰三角形，向外扩张后新三角形各边与原三角形对应边平行，因此两个三角形的三组对应角全部相等，由相似三角形的判定定理可知，两个三角形相似，即甲组新图形与原图形是相似多边形。
② 分析乙组：
原图形是长为6、宽为4的矩形，向外扩张后新图形仍为矩形，所有对应角均为90°，满足对应角相等的条件。
计算新矩形的边长：长 = 原长 + 左右间距和 = 6 + 1×2 = 8，宽 = 原宽 + 上下间距和 = 4 + 1×2 = 6。
原图形长宽比为 $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，新图形长宽比为 $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，二者比值不相等，即对应边不成比例，因此乙组新图形与原图形不是相似多边形。
综上，甲组是相似多边形，乙组不是。
【答案】B
【知识点】相似多边形的判定、相似三角形的判定
【点评】本题易错点是容易误认为所有矩形都相似，忽略相似多边形需要对应边成比例的要求，解题时要注意对两个判定条件逐一验证，不能遗漏。
【难度系数】
0.7
9.如图,由边长为1的25个小正方形组成的网格上有一个△ABC,在网格上画一个与△ABC相似且面积最大的△A₁B₁C₁,使它的三个顶点都在小正方形的顶点上。
答案
9.解:如图(答案不唯一)。
解析
【分析】
要画出与△ABC相似且面积最大的格点△A₁B₁C₁，可按以下思路思考：
1. 先利用勾股定理计算△ABC的三边长，得到三边的比值，相似三角形三边对应成比例，因此新三角形的三边也需满足这个比值；
2. 相似三角形面积比等于相似比的平方，要面积最大，就要让相似比尽可能大，即新三角形的边长要尽可能大，且顶点都在小正方形顶点上，因此边长需满足格点线段的特征（长度为两个整数平方和的算术平方根），同时不超出5×5网格的范围；
3. 找到符合比例的最大边长组合后，在网格中确定三个顶点的位置，顺次连接即可。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1。
① 计算△ABC的三边长：
AB = √(1² + 1²) = √2，BC = √(2² + 0²) = 2，AC = √(1² + 3²) = √10，
因此△ABC的三边比为AB:BC:AC = √2:2:√10 = 1:√2:√5。
② 确定最大相似三角形的边长：
要使△A₁B₁C₁面积最大，需相似比最大，即三边长度尽可能大，且满足三边比1:√2:√5，同时为格点线段。
5×5网格中最长的格点线段可到√(5²+5²)=5√2，结合比例关系，取最长边为√(3²+4²)=5，此时另外两边分别为√5、√10，恰好符合格点线段要求，三边比为√5:√10:5=1:√2:√5，与△ABC的三边比相等，因此两三角形相似，且是网格内能画出的最大的符合要求的三角形。
③ 在网格中找到对应格点，顺次连接得到△A₁B₁C₁即可。
【答案】
如图(答案不唯一)。
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，网格作图
【点评】
本题需要结合勾股定理、相似三角形的性质进行分析，既考查了基础定理的应用，也锻炼了学生的动手作图能力和逻辑分析能力，需要注意结合网格的特点确定最大边长，避免出现边超出网格范围或顶点不在格点上的错误。
【难度系数】
0.6
要画出与△ABC相似且面积最大的格点△A₁B₁C₁，可按以下思路思考：
1. 先利用勾股定理计算△ABC的三边长，得到三边的比值，相似三角形三边对应成比例，因此新三角形的三边也需满足这个比值；
2. 相似三角形面积比等于相似比的平方，要面积最大，就要让相似比尽可能大，即新三角形的边长要尽可能大，且顶点都在小正方形顶点上，因此边长需满足格点线段的特征（长度为两个整数平方和的算术平方根），同时不超出5×5网格的范围；
3. 找到符合比例的最大边长组合后，在网格中确定三个顶点的位置，顺次连接即可。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1。
① 计算△ABC的三边长：
AB = √(1² + 1²) = √2，BC = √(2² + 0²) = 2，AC = √(1² + 3²) = √10，
因此△ABC的三边比为AB:BC:AC = √2:2:√10 = 1:√2:√5。
② 确定最大相似三角形的边长：
要使△A₁B₁C₁面积最大，需相似比最大，即三边长度尽可能大，且满足三边比1:√2:√5，同时为格点线段。
5×5网格中最长的格点线段可到√(5²+5²)=5√2，结合比例关系，取最长边为√(3²+4²)=5，此时另外两边分别为√5、√10，恰好符合格点线段要求，三边比为√5:√10:5=1:√2:√5，与△ABC的三边比相等，因此两三角形相似，且是网格内能画出的最大的符合要求的三角形。
③ 在网格中找到对应格点，顺次连接得到△A₁B₁C₁即可。
【答案】
如图(答案不唯一)。
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，网格作图
【点评】
本题需要结合勾股定理、相似三角形的性质进行分析，既考查了基础定理的应用，也锻炼了学生的动手作图能力和逻辑分析能力，需要注意结合网格的特点确定最大边长，避免出现边超出网格范围或顶点不在格点上的错误。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC=10 cm,BC=16 cm。点 D 由点 A 出发沿 AB 方向向点 B 匀速运动,同时点 E 由点 B 出发沿 BC 方向向点 C 匀速运动,它们的速度均为 1 cm/s。连接 DE,设运动时间为 t s(0＜t＜10),解答下列问题:
(1)当 t 为何值时,△BDE 的面积为 7.5 cm²。
(2)在点 D,E 的运动中,是否存在时间 t,使得△BDE 与△ABC 相似?若存在,请求出对应的时间 t;若不存在,请说明理由。
(1)当 t 为何值时,△BDE 的面积为 7.5 cm²。
(2)在点 D,E 的运动中,是否存在时间 t,使得△BDE 与△ABC 相似?若存在,请求出对应的时间 t;若不存在,请说明理由。
答案
10. 解：(1) 当 t = 5 s 时，△BDE 的面积为7.5 cm²。
(2)存在。
①当 BE=DE 时，△BDE∽△BCA，
所以$\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{BC}$,即$\frac{t}{10}=\frac{10-t}{16}$。
解得$t=\frac{50}{13}$；
②当 BD=DE 时，△BDE∽△BAC，
$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB}$,即$\frac{t}{16}=\frac{10-t}{10}$,
解得$t=\frac{80}{13}$。
答:当 t 为$\frac{50}{13}$ s 或$\frac{80}{13}$ s 时，△BDE 与△ABC相似。
(2)存在。
①当 BE=DE 时，△BDE∽△BCA，
所以$\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{BC}$,即$\frac{t}{10}=\frac{10-t}{16}$。
解得$t=\frac{50}{13}$；
②当 BD=DE 时，△BDE∽△BAC，
$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB}$,即$\frac{t}{16}=\frac{10-t}{10}$,
解得$t=\frac{80}{13}$。
答:当 t 为$\frac{50}{13}$ s 或$\frac{80}{13}$ s 时，△BDE 与△ABC相似。
解析
【分析】
(1) 要求△BDE的面积为7.5cm²时的t值，首先需要表示出△BDE的底和高：先利用等腰三角形三线合一求出△ABC底边BC上的高，再过D作BC的垂线，通过相似三角形的比例关系表示出△BDE底边BE上的高，最后结合三角形面积公式列方程求解即可。
(2) 两个三角形有公共角∠B，相似时对应关系分两种情况：分别对应△BDE∽△BAC、△BDE∽△BCA，根据相似三角形对应边成比例列方程，结合t的取值范围验证解是否合理即可。
【解析】
过点A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=10cm，BC=16cm，
∴BH=½BC=8cm，在Rt△ABH中，由勾股定理得AH=√(AB²-BH²)=√(10²-8²)=6cm。
过点D作DF⊥BC于F，
∴DF//AH，可得△BDF∽△BAH，
∴$\frac{DF}{AH}=\frac{BD}{AB}$。
由题意知：AD=BE=t cm，
∴BD=(10-t)cm，代入得$DF=\frac{6(10-t)}{10}=\frac{3(10-t)}{5}$cm。
(1) 求△BDE面积为7.5cm²时的t值
由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}·BE·DF=7.5$
代入BE=t、$DF=\frac{3(10-t)}{5}$，得：
$\frac{1}{2}×t×\frac{3(10-t)}{5}=7.5$
整理得$t²-10t+25=0$，解得$t=5$，符合0＜t＜10的取值范围。
(2) 判断是否存在t使△BDE与△ABC相似
存在，∠B为两三角形公共角，分两种情况讨论：
① 当△BDE∽△BCA时，对应边成比例$\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{BC}$，代入得：
$\frac{t}{10}=\frac{10-t}{16}$
解得$t=\frac{50}{13}$，符合0＜t＜10；
② 当△BDE∽△BAC时，对应边成比例$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB}$，代入得：
$\frac{t}{16}=\frac{10-t}{10}$
解得$t=\frac{80}{13}$，符合0＜t＜10。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=5\ \mathrm{s}}$时，△BDE的面积为7.5 cm²；
(2) 存在，当t为$\boldsymbol{\frac{50}{13}\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\frac{80}{13}\ \mathrm{s}}$时，△BDE与△ABC相似。
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用
【点评】
本题为动点与相似三角形结合的综合题，解题时需准确用含t的代数式表示动线段长度，注意相似三角形对应边不唯一，要分类讨论避免漏解，最后需验证解是否符合题目给出的取值范围。
【难度系数】
0.65
(1) 要求△BDE的面积为7.5cm²时的t值，首先需要表示出△BDE的底和高：先利用等腰三角形三线合一求出△ABC底边BC上的高，再过D作BC的垂线，通过相似三角形的比例关系表示出△BDE底边BE上的高，最后结合三角形面积公式列方程求解即可。
(2) 两个三角形有公共角∠B，相似时对应关系分两种情况：分别对应△BDE∽△BAC、△BDE∽△BCA，根据相似三角形对应边成比例列方程，结合t的取值范围验证解是否合理即可。
【解析】
过点A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=10cm，BC=16cm，
∴BH=½BC=8cm，在Rt△ABH中，由勾股定理得AH=√(AB²-BH²)=√(10²-8²)=6cm。
过点D作DF⊥BC于F，
∴DF//AH，可得△BDF∽△BAH，
∴$\frac{DF}{AH}=\frac{BD}{AB}$。
由题意知：AD=BE=t cm，
∴BD=(10-t)cm，代入得$DF=\frac{6(10-t)}{10}=\frac{3(10-t)}{5}$cm。
(1) 求△BDE面积为7.5cm²时的t值
由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}·BE·DF=7.5$
代入BE=t、$DF=\frac{3(10-t)}{5}$，得：
$\frac{1}{2}×t×\frac{3(10-t)}{5}=7.5$
整理得$t²-10t+25=0$，解得$t=5$，符合0＜t＜10的取值范围。
(2) 判断是否存在t使△BDE与△ABC相似
存在，∠B为两三角形公共角，分两种情况讨论：
① 当△BDE∽△BCA时，对应边成比例$\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{BC}$，代入得：
$\frac{t}{10}=\frac{10-t}{16}$
解得$t=\frac{50}{13}$，符合0＜t＜10；
② 当△BDE∽△BAC时，对应边成比例$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB}$，代入得：
$\frac{t}{16}=\frac{10-t}{10}$
解得$t=\frac{80}{13}$，符合0＜t＜10。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=5\ \mathrm{s}}$时，△BDE的面积为7.5 cm²；
(2) 存在，当t为$\boldsymbol{\frac{50}{13}\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\frac{80}{13}\ \mathrm{s}}$时，△BDE与△ABC相似。
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用
【点评】
本题为动点与相似三角形结合的综合题，解题时需准确用含t的代数式表示动线段长度，注意相似三角形对应边不唯一，要分类讨论避免漏解，最后需验证解是否符合题目给出的取值范围。
【难度系数】
0.65
