2.在△ABC和△A'B'C'中，AB=9 cm，BC=8 cm，CA=5 cm，A'B'=4.5 cm，B'C'=2.5 cm，C'A'=4 cm，则下列说法错误的是()。

A.△ABC与△A'B'C'相似
B.AB与B'A'是对应边
C.两个三角形的相似比是2:1
D.BC与B'C'是对应边

2.D

【分析】
要解决本题，首先利用相似三角形的“三边成比例则两三角形相似”的判定定理：先将两个三角形的三边分别按从小到大的顺序排列，再计算对应边的比值，判断是否成比例，确定对应边和相似比后，逐一核对四个选项，找出错误的说法即可。
【解析】
步骤1：将两个三角形的三边按长度从小到大排序：
△ABC的三边长：$CA=5\mathrm{cm}$，$BC=8\mathrm{cm}$，$AB=9\mathrm{cm}$；
△A'B'C'的三边长：$B'C'=2.5\mathrm{cm}$，$C'A'=4\mathrm{cm}$，$A'B'=4.5\mathrm{cm}$。
步骤2：计算对应边的比值，判断是否相似：
$\frac{CA}{B'C'}=\frac{5}{2.5}=2$，$\frac{BC}{C'A'}=\frac{8}{4}=2$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{9}{4.5}=2$，
三边对应成比例，因此$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$2:1$。
步骤3：确定对应边，逐一判断选项：
对应边为：$CA$与$B'C'$对应，$BC$与$C'A'$对应，$AB$与$A'B'$（即$B'A'$）对应。
选项A：△ABC与△A'B'C'相似，说法正确；
选项B：AB与B'A'是对应边，说法正确；
选项C：两个三角形的相似比是$2:1$，说法正确；
选项D：BC与B'C'是对应边，说法错误，BC的对应边为C'A'。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形的三边判定
2. 相似三角形的对应边
3. 相似比
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题的核心是先对两个三角形的边按大小排序后再匹配对应边，避免因对应边找错导致判断失误，是相似三角形部分的常见易错题。
【难度系数】
0.7

3.若$△ ABC$的每条边长增加各自的10%得$△ A'B'C'$，则$∠ B'$的度数与其对应角$∠ B$的度数相比（）。

A.增加了10%
B.减少了10%
C.增加了$(1+10\%)$
D.没有改变

3.D

【分析】
解题时首先思考边长变化的规律：△ABC每条边长增加10%，意味着新三角形△A'B'C'的每条边长都是原三角形对应边长的1.1倍，因此两个三角形的三组对应边比值相等。接下来回忆相似三角形的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，可判定△ABC与△A'B'C'相似。最后结合相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，就能得出∠B'与∠B的度数关系。
【解析】
设△ABC的三边长分别为$a$、$b$、$c$，则边长增加10%后，△A'B'C'的三边长分别为$1.1a$、$1.1b$、$1.1c$。
可得两组三角形对应边的比值为：$\frac{a}{1.1a}=\frac{b}{1.1b}=\frac{c}{1.1c}=\frac{10}{11}$，即三组对应边成比例。
根据相似三角形的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，因此$△ ABC ∽ △ A'B'C'$。
由相似三角形的性质可知，相似三角形的对应角相等，所以$∠ B' = ∠ B$，即∠B'的度数没有改变。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础题，核心考查相似三角形的判定与性质的应用，解题的突破口是根据边长的变化特征快速判断出两个三角形相似。
【难度系数】
0.9

4. 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似()。


A.①处
B.②处
C.③处
D.④处

4.B

【分析】
要解决本题，首先我们可以设每个小正方形边长为1，利用勾股定理先计算出“帅”“相”“兵”构成的三角形的三边长，得到三边的比例关系；再计算“车”“炮”两点的距离，最后分别计算“马”落在四个选项位置时，“马”“车”“炮”构成的三角形的三边长，判断其三边比例是否和前者一致，若一致则两三角形相似，即为正确答案。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算“帅”“相”“兵”构成的三角形的三边长：
帅到相的距离：$\sqrt{(8-4)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
相到兵的距离：$\sqrt{(8-8)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{4} = 2$
兵到帅的距离：$\sqrt{(8-4)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
因此该三角形三边长度之比为 $2:2\sqrt{5}:4\sqrt{2} = 1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$。
2. 计算“车”“炮”两点的距离：车和炮在同一水平线上，距离为$1$。
3. 分别验证马落在四个位置时的三边比例：
若马落在②处：马到车的距离为$\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=2\sqrt{2}$，马到炮的距离为$\sqrt{(2-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$，此时“马”“车”“炮”构成的三角形三边长为$1,\sqrt{5},2\sqrt{2}$，三边比为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与“帅”“相”“兵”构成的三角形三边比相等，两三角形相似。其余位置的三边比例均不匹配。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，格点线段计算
【点评】
本题结合象棋场景考查相似三角形的判定，解题核心是通过勾股定理准确计算各格点间线段的长度，再依据三边对应成比例的相似判定定理进行判断，需要注意对应边的比例关系，避免因边长计算错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7

5.如图，点O是△ABC内任意一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中的相似三角形有对。

5.4

【分析】
解题时首先结合点D、E、F是中点的条件，联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半。再结合相似三角形的判定定理，先找由中位线平行于底边得到的小相似三角形，再判断由三条中位线构成的三角形与原三角形的相似关系，按顺序计数即可避免遗漏。
【解析】
1.
∵点D、E分别是OA、OB的中点，
∴DE是△OAB的中位线，
∴DE//AB，$DE=\frac{1}{2}AB$，
根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得$△ ODE ∽ △ OAB$；
2. 同理，点E、F分别是OB、OC的中点，EF是△OBC的中位线，
∴EF//BC，$EF=\frac{1}{2}BC$，可得$△ OEF ∽ △ OBC$；
3. 同理，点D、F分别是OA、OC的中点，DF是△OAC的中位线，
∴DF//AC，$DF=\frac{1}{2}AC$，可得$△ ODF ∽ △ OAC$；
4. 由上述结论可得：$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ DEF ∽ △ ABC$。
综上，图中相似三角形共有4对。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定
【点评】
本题考查中位线性质和相似三角形判定的结合应用，按照从局部到整体的顺序寻找相似三角形，能有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7

6.一个钢筋三角架三边长分别是30 cm、75 cm、90 cm，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为45 cm和75 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由。

6.共有两种截法：
方法一：从75 cm长的钢筋上截取18 cm和54 cm长的两根；
方法二：从75 cm长的钢筋上截取15 cm和37.5 cm长的两根。理由略。

【分析】
要解决本题，首先利用相似三角形对应边成比例的性质，先确定用作新三角架一边的钢筋：若选75cm的钢筋为一边，另外两段需从45cm的钢筋上截取，两段之和最大为45cm，小于75cm，不符合三角形两边之和大于第三边的要求，因此只能以45cm的钢筋为新三角架的一边，从75cm的钢筋上截两段。接下来分三种情况讨论45cm的边与原三角架三边的对应关系，计算另外两边的长度，验证两段之和是否≤75cm，符合条件的即为可行截法。
【解析】
解：首先判断用作新三角架边的钢筋：
若将75cm的钢筋作为新三角架的一边，另外两边需从45cm的钢筋上截取，两段之和最大为45cm，45＜75，不满足三角形两边之和大于第三边，该情况不成立，因此只能以45cm的钢筋为新三角架的一边，从75cm的钢筋上截两段。
设截下的两段长分别为$x\mathrm{cm}$、$y\mathrm{cm}$（$x+y≤75$），两三角架相似，对应边成比例，分三种情况讨论：
1. 当45cm的边对应原三角架30cm的边时，相似比$k=\frac{45}{30}=\frac{3}{2}$，则另外两边长为$75×\frac{3}{2}=112.5\mathrm{cm}$、$90×\frac{3}{2}=135\mathrm{cm}$，两段和为$112.5+135=247.5＞75$，不符合要求，舍去。
2. 当45cm的边对应原三角架75cm的边时，相似比$k=\frac{45}{75}=\frac{3}{5}$，则$x=30×\frac{3}{5}=18\mathrm{cm}$，$y=90×\frac{3}{5}=54\mathrm{cm}$，$x+y=18+54=72≤75$，符合要求。
3. 当45cm的边对应原三角架90cm的边时，相似比$k=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}$，则$x=30×\frac{1}{2}=15\mathrm{cm}$，$y=75×\frac{1}{2}=37.5\mathrm{cm}$，$x+y=15+37.5=52.5≤75$，符合要求。
综上共有2种可行截法。
【答案】
共有两种截法：方法一：从75 cm长的钢筋上截取18 cm和54 cm长的两根；方法二：从75 cm长的钢筋上截取15 cm和37.5 cm长的两根。
【知识点】
相似三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题需要结合相似三角形的性质和三角形三边关系求解，解题关键是先确定作为边的钢筋，再对对应边的情况分类讨论，最后验证是否符合截料要求，避免出现多解漏解的问题。
【难度系数】
0.6

7.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点F,点E在BD上,且$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$。
(1)∠1与∠2相等吗?为什么?
(2)判断△ABE与△ACD是否相似?并说明理由。

7.(1)∠1与∠2相等。理由略。
(2)△ABE与△ACD相似。理由略。

【分析】
(1) 要判断∠1和∠2是否相等，先结合已知的三组边成比例的条件，利用“三边对应成比例的两个三角形相似”判定△ABC∽△AED，得到对应角∠BAC=∠EAD，再将两个角同时减去公共角∠EAC，即可推导出∠1和∠2的关系；
(2) 要判断△ABE与△ACD是否相似，先由(1)的结论得到一组对应角∠1=∠2，再对已知的边的比例关系变形，得到夹这组角的两组边对应成比例，即可利用相似三角形的判定定理证明两个三角形相似。
【解析】
(1) ∠1与∠2相等，理由如下：
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\because \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ AED$（三边对应成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ BAC=∠ EAD$（相似三角形的对应角相等），
$\therefore ∠ BAC - ∠ EAC = ∠ EAD - ∠ EAC$，即$∠ 1=∠ 2$。
(2) $△ ABE$与$△ ACD$相似，理由如下：
$\because \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
$\therefore $交叉变形可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
又$\because $由(1)已得$∠ 1=∠ 2$，即$∠ BAE=∠ CAD$，
$\therefore △ ABE ∽ △ ACD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $∠ 1$与$∠ 2$相等；
(2) $△ ABE$与$△ ACD$相似。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，等式的基本性质
【点评】
本题是相似三角形部分的典型题型，核心考查相似三角形的判定和性质的综合应用，解题的突破口是先通过已知的三边比例关系得到第一组相似三角形，再结合得到的角相等和边的比例关系推导第二组三角形相似，逻辑递进清晰。
【难度系数】
0.7