4.点 C 是线段 AB 的中点,点 D 是线段AC 的三等分点。若线段 $AB=12\ \mathrm{cm},$求线段 BD 的长。

4.解:因为点 C 是线段 AB 的中点,$AB=12\ \mathrm{cm}$,
所以 $AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6(\mathrm{cm})$。
因为点 D 是线段 AC 的三等分点。
①当 $AD=\frac{1}{3}AC$ 时, $BD = BC + CD = BC + \frac{2}{3}AC = 6+4=10(\mathrm{cm})$;
②当 $AD=\frac{2}{3}AC$ 时, $BD = BC + CD = BC + \frac{1}{3}AC = 6+2=8(\mathrm{cm})$。
所以线段 BD 的长为 10 cm 或 8 cm。

【分析】
解题时先根据线段中点的性质求出AC、BC的长度，再注意线段AC的三等分点有2个，需分两种情况讨论：①D靠近A点，即AD为AC的$\frac{1}{3}$；②D靠近C点，即AD为AC的$\frac{2}{3}$。两种情况分别结合线段的和差关系计算BD的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
解：因为点C是线段AB的中点，$AB=12\ \mathrm{cm}$，
所以 $AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6(\mathrm{cm})$。
因为点D是线段AC的三等分点，分两种情况讨论：
①当 $AD=\frac{1}{3}AC$ 时，$CD=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}×6=4(\mathrm{cm})$，
$BD = BC + CD = 6+4=10(\mathrm{cm})$；
②当 $AD=\frac{2}{3}AC$ 时，$CD=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}×6=2(\mathrm{cm})$，
$BD = BC + CD = 6+2=8(\mathrm{cm})$。
【答案】
线段BD的长为10 cm或8 cm
【知识点】
1.线段中点定义 2.线段和差计算 3.分类讨论思想
【点评】
本题重点考查线段等分点的性质及线段和差的运算，解题的关键是明确三等分点存在两种不同位置，需分类讨论避免漏解，是线段计算中的典型题型。
【难度系数】
0.7

5.如图,海上有两艘军舰A和B,由A测得B的方向是()。


A.南偏东$30°$
B.南偏东$60°$
C.北偏西$30°$
D.北偏西$60°$

5.B

【分析】
解决方向角问题的核心是先明确观测点，本题观测点为A，所有方向判定都要以A的方位坐标为标准。首先观察B在A的右下方，属于东南区域，可直接排除北偏西相关的错误选项；再利用A、B两点的东西方向坐标轴互相平行的性质，通过内错角相等得到AB与A点正东方向的夹角为30°；最后结合正东、正南方向夹角为90°，换算出从正南方向向东偏转的角度，就能得到准确的方向描述。
【解析】
解：本题观测点为A，按照“上北下南，左西右东”的方向规则解题：
1. 初步判断B位于A的东南方向，排除C、D两个北偏西方向的选项；
2. A、B两点的东西方向线互相平行，根据平行线内错角相等的性质，可得AB与A点正东方向的夹角为30°，即B在A的东偏南30°方向；
3. 正东与正南方向夹角为90°，将东偏南30°换算为南偏东的表述时，角度为$90°-30°=60°$，即B在A的南偏东60°方向。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
方向角判断，平行线的性质
【点评】
本题是方向角的基础应用题型，易错点为混淆观测点，或者分不清东偏南、南偏东两类表述的角度换算关系，解题时优先确定观测点，再结合几何性质计算角度即可降低出错概率。
【难度系数】
0.7

6. 如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，下列各式正确的是（）。


A.$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOB$
B.$∠ AOD=\frac{2}{3}∠ AOB$
C.$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOD$
D.$∠ BOC=\frac{2}{3}∠ AOD$

6.D

【分析】
解决本题的核心是利用角平分线的性质梳理各角的数量关系，我们可以通过设最小角为未知数的方法，把所有相关的角都用同一个未知数表示，再逐一验证每个选项的等式是否成立，能有效避免混淆角之间的关系，思路更清晰。
【解析】
设$∠ COD = x$，
$\because$ OD是$∠ BOC$的平分线，
$\therefore ∠ BOD = ∠ COD = x$，$∠ BOC = ∠ BOD + ∠ COD = 2x$，
$\because$ OC是$∠ AOB$的平分线，
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC = 2x$，$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 4x$，
$\therefore ∠ AOD = ∠ AOC + ∠ COD = 2x + x = 3x$。
逐一分析选项：
A选项：$∠ COD = x$，$\frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×4x = 2x$，$x≠2x$，A错误；
B选项：$∠ AOD = 3x$，$\frac{2}{3}∠ AOB = \frac{2}{3}×4x = \frac{8}{3}x$，$3x≠\frac{8}{3}x$，B错误；
C选项：$∠ BOD = x$，$\frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2}×3x = \frac{3}{2}x$，$x≠\frac{3}{2}x$，C错误；
D选项：$∠ BOC = 2x$，$\frac{2}{3}∠ AOD = \frac{2}{3}×3x = 2x$，$∠ BOC=\frac{2}{3}∠ AOD$成立，D正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算
【点评】
本题是角平分线相关的基础题，通过设参数将抽象的角的关系转化为具体的数值关系，能快速准确判断各选项的正误，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7

7.钟表显示10时30分时,时针与分针的夹角为。

7.$135°$

【分析】
要计算10时30分时针与分针的夹角，首先需明确钟面的基本角度特征：钟面为周角360°，平均分成12个大格，每个大格对应30°。解题时先分别确定分针、时针的位置：分针指向对应分钟的刻度，时针会随分钟推移偏离整时刻度，最后计算两个指针之间的角度和即可。
【解析】
第一步：计算钟面每大格的度数
钟面一周为360°，共分12个大格，因此每个大格的角度为 $ 360° ÷ 12 = 30° $。
第二步：确定10时30分时分针和时针的位置
① 分针：30分时，分针指向刻度6的位置。
② 时针：1小时时针走1个大格（30°），30分钟是0.5小时，因此时针从10的刻度向11偏移的角度为 $ 30° × 0.5 = 15° $，即时针位于10和11刻度中间，偏离10刻度15°的位置。
第三步：计算夹角
刻度6到刻度10之间共有4个大格，对应角度为 $ 4 × 30° = 120° $，再加上时针偏离10刻度的15°，总夹角为 $ 120° + 15° = 135° $。
【答案】
$ 135° $
【知识点】
1. 钟面角计算
2. 角的和差运算
【点评】
本题是钟面角计算的基础题型，解题的易错点是忽略时针会随分钟移动，误将时针位置算成正好对准10的刻度，只要掌握钟面每大格的角度，准确判断两个指针的位置就能正确求解。
【难度系数】
0.7

8. 如图，AB 和 CD 都是直线，∠AOE = 90°, ∠3 = ∠FOD, ∠1 = 27°20', 求∠2, ∠3 的度数。

8.解:因为$∠ AOE=90°$,
所以 $∠ 2 = 90° - ∠ 1 = 90° - 27°20' = 62°40'$。
因为$∠ AOD = 180° - ∠ 1 = 180° - 27°20' = 152°40',∠ 3=∠ FOD$,
所以$∠ 3 = \frac{1}{2}∠ AOD = 76°20'$。

【分析】
解题时先从已知的直角∠AOE入手，∠1与∠2互余，因此可直接用90°减去∠1的度数得到∠2的度数。接下来求∠3：首先AB是直线，∠1与∠AOD互为邻补角，和为180°，先求出∠AOD的度数；再结合已知∠3=∠FOD，可知OF平分∠AOD，因此∠3等于∠AOD的一半，代入计算即可。计算过程中注意度分秒是60进制，借位时1°=60'。
【解析】
解：
∵ ∠AOE = 90°，
∴ ∠1 + ∠2 = 90°，
∴ ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 27°20' = 62°40'。
∵ AB为直线，
∴ ∠AOD = 180° - ∠1 = 180° - 27°20' = 152°40'，
又
∵ ∠3 = ∠FOD，
∴ ∠3 = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×152°40' = 76°20'。
【答案】
∠2=62°40'，∠3=76°20'
【知识点】
余角的计算，邻补角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，重点考查对互余、邻补角、角平分线等基础概念的理解和运用，计算时需注意度分秒的60进制换算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8