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9.将一张多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是（
A.5
B.6
C.7
D.8
D
）。A.5
B.6
C.7
D.8
答案
9.D
解析
【分析】
解题时需要用到分类讨论的思想，先明确多边形沿直线剪下一个三角形的三种不同裁剪情况，结合裁剪后得到六边形的条件，逆向推导原多边形可能的边数，即可选出不可能的选项。裁剪的三种情况分别为：①截线经过原多边形2个顶点；②截线经过原多边形1个顶点和1条边的非顶点位置；③截线经过原多边形2条边的非顶点位置，不同情况对应裁剪后边数的不同变化。
【解析】
设原多边形的边数为$n$，分三种情况讨论：
1. 若截线经过原多边形的2个顶点：裁剪后多边形边数比原多边形少1，可得$n-1=6$，解得$n=7$；
2. 若截线经过原多边形的1个顶点和1条边的非端点位置：裁剪后多边形边数和原多边形相等，可得$n=6$；
3. 若截线经过原多边形的2条边的非端点位置：裁剪后多边形边数比原多边形多1，可得$n+1=6$，解得$n=5$。
因此原多边形边数可能为5、6、7，不可能是8。
【答案】
D
【知识点】
多边形的认识；图形剪拼
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，易错点是容易遗漏部分裁剪情况，只有全面考虑所有可能的剪法，才能准确判断原多边形的边数范围。
【难度系数】
0.6
解题时需要用到分类讨论的思想，先明确多边形沿直线剪下一个三角形的三种不同裁剪情况，结合裁剪后得到六边形的条件，逆向推导原多边形可能的边数，即可选出不可能的选项。裁剪的三种情况分别为：①截线经过原多边形2个顶点；②截线经过原多边形1个顶点和1条边的非顶点位置；③截线经过原多边形2条边的非顶点位置，不同情况对应裁剪后边数的不同变化。
【解析】
设原多边形的边数为$n$，分三种情况讨论：
1. 若截线经过原多边形的2个顶点：裁剪后多边形边数比原多边形少1，可得$n-1=6$，解得$n=7$；
2. 若截线经过原多边形的1个顶点和1条边的非端点位置：裁剪后多边形边数和原多边形相等，可得$n=6$；
3. 若截线经过原多边形的2条边的非端点位置：裁剪后多边形边数比原多边形多1，可得$n+1=6$，解得$n=5$。
因此原多边形边数可能为5、6、7，不可能是8。
【答案】
D
【知识点】
多边形的认识；图形剪拼
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，易错点是容易遗漏部分裁剪情况，只有全面考虑所有可能的剪法，才能准确判断原多边形的边数范围。
【难度系数】
0.6
10.如图，阴影部分扇形的圆心角度数是
$36°$
。答案
10.$36°$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确扇形统计图的基本性质：整个圆代表整体，对应圆心角为周角360°，各部分占整体的百分比之和为100%（即1）。解题思路分为两步：第一步先求出阴影部分占整体的百分比，用单位“1”减去已知两个部分的百分比即可；第二步用周角360°乘以阴影部分的百分比，就能得到阴影部分扇形的圆心角度数。
【解析】
首先计算阴影部分占整体的百分比：
$1 - 64\% - 26\% = 10\%$
再根据扇形圆心角的计算方法，阴影部分圆心角度数为：
$360° × 10\% = 36°$
【答案】
$36°$
【知识点】
扇形统计图、百分数计算、圆心角计算
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用题，核心考查扇形统计图中各部分占比与对应圆心角的换算关系，解题关键是牢记扇形统计图总占比为1、整圆对应圆心角为360°。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先明确扇形统计图的基本性质：整个圆代表整体，对应圆心角为周角360°，各部分占整体的百分比之和为100%（即1）。解题思路分为两步：第一步先求出阴影部分占整体的百分比，用单位“1”减去已知两个部分的百分比即可；第二步用周角360°乘以阴影部分的百分比，就能得到阴影部分扇形的圆心角度数。
【解析】
首先计算阴影部分占整体的百分比：
$1 - 64\% - 26\% = 10\%$
再根据扇形圆心角的计算方法，阴影部分圆心角度数为：
$360° × 10\% = 36°$
【答案】
$36°$
【知识点】
扇形统计图、百分数计算、圆心角计算
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用题，核心考查扇形统计图中各部分占比与对应圆心角的换算关系，解题关键是牢记扇形统计图总占比为1、整圆对应圆心角为360°。
【难度系数】
0.9
11.如图，在三角形广场ABC的三个角处各建一个半径相等的扇形草坪，草坪的半径为20 m，求草坪的总面积。（结果保留π）
（第11题）
（第11题）答案
11.解:$S_{\mathrm{草坪}}=\frac{180π×20^2}{360}=200π(\mathrm{m}^2)$,
故草坪的总面积为 $200π\ \mathrm{m}^2$。
故草坪的总面积为 $200π\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，扇形的面积由圆心角和半径决定，题目中三个扇形草坪的半径都相等，均为20m；其次，三个扇形的圆心角正好是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和为180°，可知三个扇形的圆心角之和是180°；因此我们不需要分别计算三个扇形的面积，直接把它们的总面积转化为圆心角为180°、半径为20m的扇形的面积（也就是半圆的面积）计算即可。
【解析】
解：
∵ 三角形的内角和为180°，且三个扇形的半径均为20m，
∴ 三块草坪的总面积等于圆心角为180°、半径为20m的扇形的面积。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=180$，$r=20$得：
$S_{\mathrm{草坪}}=\frac{180π × 20^2}{360}=\frac{180π × 400}{360}=200π (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$200π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
三角形内角和；扇形面积计算
【点评】
本题运用转化思想，将三个分散的小扇形面积转化为一个半圆的面积求解，避免了分别计算每个扇形面积的繁琐，解题的核心是发现三个扇形圆心角之和为180°的特点。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，扇形的面积由圆心角和半径决定，题目中三个扇形草坪的半径都相等，均为20m；其次，三个扇形的圆心角正好是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和为180°，可知三个扇形的圆心角之和是180°；因此我们不需要分别计算三个扇形的面积，直接把它们的总面积转化为圆心角为180°、半径为20m的扇形的面积（也就是半圆的面积）计算即可。
【解析】
解：
∵ 三角形的内角和为180°，且三个扇形的半径均为20m，
∴ 三块草坪的总面积等于圆心角为180°、半径为20m的扇形的面积。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=180$，$r=20$得：
$S_{\mathrm{草坪}}=\frac{180π × 20^2}{360}=\frac{180π × 400}{360}=200π (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$200π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
三角形内角和；扇形面积计算
【点评】
本题运用转化思想，将三个分散的小扇形面积转化为一个半圆的面积求解，避免了分别计算每个扇形面积的繁琐，解题的核心是发现三个扇形圆心角之和为180°的特点。
【难度系数】
0.7
12.观察下面的图形，并阅读图形下面的相关文字：
四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条。
通过分析上面的材料，请你说说十边形的对角线有多少条。你能总结出n边形的对角线有多少条吗？
四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条。
通过分析上面的材料，请你说说十边形的对角线有多少条。你能总结出n边形的对角线有多少条吗？
答案
12.解:十边形的对角线有 $\frac{10×(10-3)}{2}=5×7=35$(条),$n$ 边形的对角线有 $\frac{n(n-3)}{2}$ 条。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以从对角线的定义出发推导计数规律：首先，多边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，对于n边形的任意一个顶点，不能和自身、相邻的2个顶点连对角线，因此每个顶点可连(n-3)条对角线；n个顶点共得到n(n-3)条，但每条对角线会被2个顶点各统计1次，存在重复计算，所以要除以2得到实际总条数。我们可以先用题目给出的四边形、五边形、六边形验证规律是否正确，再代入n=10计算十边形的对角线条数，最后总结n边形的通用公式。
【解析】
1. 推导对角线计数公式：
对于n边形，每个顶点可引出的对角线数量为$n-3$（排除自身和2个相邻顶点）；
n个顶点共引出$n(n-3)$条对角线，由于每条对角线被两个顶点各计算1次，因此实际对角线总数为$\frac{n(n-3)}{2}$。
2. 验证公式：
代入$n=4$：$\frac{4×(4-3)}{2}=2$，与题目给出的四边形对角线条数一致；
代入$n=5$：$\frac{5×(5-3)}{2}=5$，与五边形对角线条数一致；
代入$n=6$：$\frac{6×(6-3)}{2}=9$，与六边形对角线条数一致，公式成立。
3. 计算十边形对角线条数：
将$n=10$代入公式，得$\frac{10×(10-3)}{2}=\frac{10×7}{2}=35$（条）。
【答案】
十边形的对角线有35条，$n$边形的对角线有$\frac{n(n-3)}{2}$条。
【知识点】
多边形的对角线；规律探究；列代数式
【点评】
本题从特殊多边形的对角线数量出发，引导学生归纳通用规律，核心是理解对角线计数时的去重逻辑，既考查了学生的归纳推理能力，也为后续多边形相关性质的学习打下基础。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以从对角线的定义出发推导计数规律：首先，多边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，对于n边形的任意一个顶点，不能和自身、相邻的2个顶点连对角线，因此每个顶点可连(n-3)条对角线；n个顶点共得到n(n-3)条，但每条对角线会被2个顶点各统计1次，存在重复计算，所以要除以2得到实际总条数。我们可以先用题目给出的四边形、五边形、六边形验证规律是否正确，再代入n=10计算十边形的对角线条数，最后总结n边形的通用公式。
【解析】
1. 推导对角线计数公式：
对于n边形，每个顶点可引出的对角线数量为$n-3$（排除自身和2个相邻顶点）；
n个顶点共引出$n(n-3)$条对角线，由于每条对角线被两个顶点各计算1次，因此实际对角线总数为$\frac{n(n-3)}{2}$。
2. 验证公式：
代入$n=4$：$\frac{4×(4-3)}{2}=2$，与题目给出的四边形对角线条数一致；
代入$n=5$：$\frac{5×(5-3)}{2}=5$，与五边形对角线条数一致；
代入$n=6$：$\frac{6×(6-3)}{2}=9$，与六边形对角线条数一致，公式成立。
3. 计算十边形对角线条数：
将$n=10$代入公式，得$\frac{10×(10-3)}{2}=\frac{10×7}{2}=35$（条）。
【答案】
十边形的对角线有35条，$n$边形的对角线有$\frac{n(n-3)}{2}$条。
【知识点】
多边形的对角线；规律探究；列代数式
【点评】
本题从特殊多边形的对角线数量出发，引导学生归纳通用规律，核心是理解对角线计数时的去重逻辑，既考查了学生的归纳推理能力，也为后续多边形相关性质的学习打下基础。
【难度系数】
0.7
