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8.计算：$(-9\frac{1}{3})÷1.7+(-5\frac{2}{3})÷1.7-2÷1.7$
答案
8.原式$=(-9\ \frac{1}{3})×\frac{10}{17}+(-5\ \frac{2}{3})×\frac{10}{17}-2×\frac{10}{17}=(-9\ \frac{1}{3}-5\ \frac{2}{3}-2)×\frac{10}{17}=-17×\frac{10}{17}=-10.$
解析
【分析】
观察算式可发现，三个运算项的除数均为1.7，我们可以先根据有理数除法法则，将除法运算统一转化为乘法运算，转化后三个乘法项存在相同的因数$\frac{10}{17}$，此时逆用乘法分配律，先将所有不同的因数合并计算，再与共同因数相乘，即可简化运算过程，同时注意带分数加减时可优先凑整，进一步降低计算难度。
【解析】
根据除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，先将除法转化为乘法：
原式$=(-9\frac{1}{3})×\frac{10}{17}+(-5\frac{2}{3})×\frac{10}{17}-2×\frac{10}{17}$
逆用乘法分配律提取公因数$\frac{10}{17}$：
$=(-9\frac{1}{3}-5\frac{2}{3}-2)×\frac{10}{17}$
先计算括号内的加减运算，其中$-9\frac{1}{3}-5\frac{2}{3}=-(9\frac{1}{3}+5\frac{2}{3})=-15$，继续计算得：
$=(-15-2)×\frac{10}{17}$
$=-17×\frac{10}{17}$
约分后得结果：
$=-10$
【答案】
$-10$
【知识点】
有理数除法法则，乘法分配律逆用，有理数加减运算
【点评】
本题属于有理数混合运算的基础简便计算题，解题核心是通过观察算式特征，合理运用运算律简化计算，避免分步计算的繁琐，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
观察算式可发现，三个运算项的除数均为1.7，我们可以先根据有理数除法法则，将除法运算统一转化为乘法运算，转化后三个乘法项存在相同的因数$\frac{10}{17}$，此时逆用乘法分配律，先将所有不同的因数合并计算，再与共同因数相乘，即可简化运算过程，同时注意带分数加减时可优先凑整，进一步降低计算难度。
【解析】
根据除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，先将除法转化为乘法：
原式$=(-9\frac{1}{3})×\frac{10}{17}+(-5\frac{2}{3})×\frac{10}{17}-2×\frac{10}{17}$
逆用乘法分配律提取公因数$\frac{10}{17}$：
$=(-9\frac{1}{3}-5\frac{2}{3}-2)×\frac{10}{17}$
先计算括号内的加减运算，其中$-9\frac{1}{3}-5\frac{2}{3}=-(9\frac{1}{3}+5\frac{2}{3})=-15$，继续计算得：
$=(-15-2)×\frac{10}{17}$
$=-17×\frac{10}{17}$
约分后得结果：
$=-10$
【答案】
$-10$
【知识点】
有理数除法法则，乘法分配律逆用，有理数加减运算
【点评】
本题属于有理数混合运算的基础简便计算题，解题核心是通过观察算式特征，合理运用运算律简化计算，避免分步计算的繁琐，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
9.有一个填写运算符号的游戏:在“1269”中的每个内,填入“＋，－，×，÷”中的某一个符号(可重复使用),然后计算结果.
(1)计算:$1+2÷6-9$.
(2)若$1×2-6□9=5$,请推算内的符号.
(3)在“126－9”的内填入符号后,使计算结果最大,直接写出这个最大结果.
(1)计算:$1+2÷6-9$.
(2)若$1×2-6□9=5$,请推算内的符号.
(3)在“126－9”的内填入符号后,使计算结果最大,直接写出这个最大结果.
答案
9.(1)原式$=1+\frac{1}{3}-9=-7\ \frac{2}{3}.$
(2)因为$1×2-6□9=5$,所以$2-6□9=5$.
①里填“÷”,结果不可能为整数;
②里填“×”,结果为负数;
③里填“－”,结果为负数;
④里填“＋”,原式成立.
(3)$1+2×6-9=4.$
(2)因为$1×2-6□9=5$,所以$2-6□9=5$.
①里填“÷”,结果不可能为整数;
②里填“×”,结果为负数;
③里填“－”,结果为负数;
④里填“＋”,原式成立.
(3)$1+2×6-9=4.$
解析
【分析】
(1) 本题考查有理数混合运算，遵循“先乘除，后加减”的运算顺序计算即可。
(2) 先计算出已知部分的结果，将式子简化后，逐一尝试四种运算符号，找出符合等式的符号即可。
(3) 式子后半部分是固定的“-9”，要使最终结果最大，只需让前半部分“126”的计算结果最大即可，结合四则运算的特点选择合适的运算符号计算。
【解析】
(1) 按照先算除法，再算加减的顺序计算：
原式$=1+\frac{1}{3}-9 = \frac{4}{3} - 9 = -7\frac{2}{3}$
(2) 先计算已知的乘法部分：$1×2=2$，原式简化为$2 - 6□9=5$，即$-6□9=3$。
逐一验证运算符号：
① 若填“÷”，则$-6÷9=-\frac{2}{3}≠3$，不符合；
② 若填“×”，则$-6×9=-54≠3$，不符合；
③ 若填“－”，则$-6-9=-15≠3$，不符合；
④ 若填“＋”，则$-6+9=3$，符合等式要求。
故内的符号为“＋”。
(3) 要使计算结果最大，需让“126”的结果尽可能大：乘法能放大数值，优先选择乘法，$2×6=12$，再加上1得到最大值13，最终结果为$1+2×6-9=13-9=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7\frac{2}{3}}$；(2) $\boldsymbol{+}$；(3) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
有理数混合运算、四则运算法则、最值计算
【点评】
本题以运算符号填空的形式考查有理数的四则运算，基础易懂，需要熟练掌握有理数混合运算的顺序，第三问需要先明确最值的构造逻辑，再合理选择运算符号即可求解。
【难度系数】
0.8
(1) 本题考查有理数混合运算，遵循“先乘除，后加减”的运算顺序计算即可。
(2) 先计算出已知部分的结果，将式子简化后，逐一尝试四种运算符号，找出符合等式的符号即可。
(3) 式子后半部分是固定的“-9”，要使最终结果最大，只需让前半部分“126”的计算结果最大即可，结合四则运算的特点选择合适的运算符号计算。
【解析】
(1) 按照先算除法，再算加减的顺序计算：
原式$=1+\frac{1}{3}-9 = \frac{4}{3} - 9 = -7\frac{2}{3}$
(2) 先计算已知的乘法部分：$1×2=2$，原式简化为$2 - 6□9=5$，即$-6□9=3$。
逐一验证运算符号：
① 若填“÷”，则$-6÷9=-\frac{2}{3}≠3$，不符合；
② 若填“×”，则$-6×9=-54≠3$，不符合；
③ 若填“－”，则$-6-9=-15≠3$，不符合；
④ 若填“＋”，则$-6+9=3$，符合等式要求。
故内的符号为“＋”。
(3) 要使计算结果最大，需让“126”的结果尽可能大：乘法能放大数值，优先选择乘法，$2×6=12$，再加上1得到最大值13，最终结果为$1+2×6-9=13-9=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7\frac{2}{3}}$；(2) $\boldsymbol{+}$；(3) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
有理数混合运算、四则运算法则、最值计算
【点评】
本题以运算符号填空的形式考查有理数的四则运算，基础易懂，需要熟练掌握有理数混合运算的顺序，第三问需要先明确最值的构造逻辑，再合理选择运算符号即可求解。
【难度系数】
0.8
10.阅读材料,回答下列问题.
一个正整数 $ n $ 可以分解为两个正整数 $ p,q $ 的积,即 $ n = p × q $（规定 $ p ≤ q $）.在 $ n $ 的所有这种分解中,如果两个乘数 $ p,q $ 之差的绝对值最小,则称 $ p × q $ 是 $ n $ 的最优分解,称 $ \frac{p}{q} $ 为 $ n $ 的最优分解比.
(1)已知 $ n^2 - n $ 的最优分解是 $ (n-1) × n $,则 $ n^2 - n $ 的最优分解比为
(2)$ n $ 是一个正整数($ 20 ≤ n ≤ 40 $),已知它的最优分解比为 1,则 $ n $ 的值为
(3)$ n $ 是一个正整数($ 1 ≤ n ≤ 10 $),已知 $ n^2 - 2n +9 $ 的最优分解比为 $ \frac{1}{n^2 -2n +9} $,求 $ n $ 的最小值,写出简要过程.
一个正整数 $ n $ 可以分解为两个正整数 $ p,q $ 的积,即 $ n = p × q $（规定 $ p ≤ q $）.在 $ n $ 的所有这种分解中,如果两个乘数 $ p,q $ 之差的绝对值最小,则称 $ p × q $ 是 $ n $ 的最优分解,称 $ \frac{p}{q} $ 为 $ n $ 的最优分解比.
(1)已知 $ n^2 - n $ 的最优分解是 $ (n-1) × n $,则 $ n^2 - n $ 的最优分解比为
$\frac{n-1}{n}$
.(2)$ n $ 是一个正整数($ 20 ≤ n ≤ 40 $),已知它的最优分解比为 1,则 $ n $ 的值为
25或36
.(3)$ n $ 是一个正整数($ 1 ≤ n ≤ 10 $),已知 $ n^2 - 2n +9 $ 的最优分解比为 $ \frac{1}{n^2 -2n +9} $,求 $ n $ 的最小值,写出简要过程.
答案
10.(1)$\frac{n-1}{n}$
(2)25或36
解析:因为$25=5×5$,$36=6×6$,$\frac{5}{5}=1$,$\frac{6}{6}=1$,
所以在20到40之间,25和36的最优分解比为1.
(3)因为$n^2-2n+9$的最优分解比为$\frac{1}{n^2-2n+9}$,
所以$n^2-2n+9$是质数.
又因为$1≤n≤10$,
所以①$n=1$时,$n^2-2n+9=8$,不是质数,不符合题意;
②$n=2$时,$n^2-2n+9=9$,不是质数,不符合题意;
③$n=3$时,$n^2-2n+9=12$,不是质数,不符合题意;
④$n=4$时,$n^2-2n+9=17$,是质数,符合题意.
所以$n$的最小值是4.
(2)25或36
解析:因为$25=5×5$,$36=6×6$,$\frac{5}{5}=1$,$\frac{6}{6}=1$,
所以在20到40之间,25和36的最优分解比为1.
(3)因为$n^2-2n+9$的最优分解比为$\frac{1}{n^2-2n+9}$,
所以$n^2-2n+9$是质数.
又因为$1≤n≤10$,
所以①$n=1$时,$n^2-2n+9=8$,不是质数,不符合题意;
②$n=2$时,$n^2-2n+9=9$,不是质数,不符合题意;
③$n=3$时,$n^2-2n+9=12$,不是质数,不符合题意;
④$n=4$时,$n^2-2n+9=17$,是质数,符合题意.
所以$n$的最小值是4.
解析
【分析】
（1）根据最优分解比的定义，最优分解比是最优分解中较小乘数$p$除以较大乘数$q$，题目已经给出$n^2-n$的最优分解是$(n-1)× n$，直接将$p=n-1$、$q=n$代入计算即可。
（2）最优分解比为1，说明$\frac{p}{q}=1$，即$p=q$，也就是$n$是两个相等正整数的乘积，即$n$是完全平方数，只需找出20到40之间的完全平方数即可。
（3）最优分解比为$\frac{1}{n^2-2n+9}$，说明该数的最优分解是$1×(n^2-2n+9)$，也就是$n^2-2n+9$除了1和它本身外没有其他正因数，即这个数是质数。接下来从最小的$n=1$开始依次代入计算，判断结果是否为质数，第一个符合条件的$n$就是所求最小值。
【解析】
（1）已知$n^2-n$的最优分解为$(n-1)× n$，其中$p=n-1$，$q=n$，根据最优分解比的定义可得：最优分解比$=\frac{p}{q}=\frac{n-1}{n}$。
（2）若最优分解比为1，则$\frac{p}{q}=1$，即$p=q$，因此$n$为完全平方数。在$20\le n\le40$范围内，$5^2=25$，$6^2=36$，$7^2=49＞40$不符合要求，因此$n$的值为25或36。
（3）$\because n^2-2n+9$的最优分解比为$\frac{1}{n^2-2n+9}$，说明它的最优分解为$1×(n^2-2n+9)$，即$n^2-2n+9$是质数（除1和自身外没有其他正因数）。
又$\because 1\le n\le10$，逐一代入验证：
①当$n=1$时，$n^2-2n+9=1-2+9=8$，8还有因数2、4，不是质数，不符合题意；
②当$n=2$时，$n^2-2n+9=4-4+9=9$，9还有因数3，不是质数，不符合题意；
③当$n=3$时，$n^2-2n+9=9-6+9=12$，12还有其他因数，不是质数，不符合题意；
④当$n=4$时，$n^2-2n+9=16-8+9=17$，17只有1和17两个因数，是质数，符合题意。
因此$n$的最小值是4。
【答案】
(1)$\frac{n-1}{n}$；(2)25或36；(3)4
【知识点】
新定义理解，完全平方数，质数判定
【点评】
本题以“最优分解”“最优分解比”的新定义为载体，考查了数的分解、完全平方数、质数的相关知识，解题核心是准确理解新定义的含义，将新定义问题转化为已学的数的性质类问题求解，第三问通过从小到大逐一验证即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
（1）根据最优分解比的定义，最优分解比是最优分解中较小乘数$p$除以较大乘数$q$，题目已经给出$n^2-n$的最优分解是$(n-1)× n$，直接将$p=n-1$、$q=n$代入计算即可。
（2）最优分解比为1，说明$\frac{p}{q}=1$，即$p=q$，也就是$n$是两个相等正整数的乘积，即$n$是完全平方数，只需找出20到40之间的完全平方数即可。
（3）最优分解比为$\frac{1}{n^2-2n+9}$，说明该数的最优分解是$1×(n^2-2n+9)$，也就是$n^2-2n+9$除了1和它本身外没有其他正因数，即这个数是质数。接下来从最小的$n=1$开始依次代入计算，判断结果是否为质数，第一个符合条件的$n$就是所求最小值。
【解析】
（1）已知$n^2-n$的最优分解为$(n-1)× n$，其中$p=n-1$，$q=n$，根据最优分解比的定义可得：最优分解比$=\frac{p}{q}=\frac{n-1}{n}$。
（2）若最优分解比为1，则$\frac{p}{q}=1$，即$p=q$，因此$n$为完全平方数。在$20\le n\le40$范围内，$5^2=25$，$6^2=36$，$7^2=49＞40$不符合要求，因此$n$的值为25或36。
（3）$\because n^2-2n+9$的最优分解比为$\frac{1}{n^2-2n+9}$，说明它的最优分解为$1×(n^2-2n+9)$，即$n^2-2n+9$是质数（除1和自身外没有其他正因数）。
又$\because 1\le n\le10$，逐一代入验证：
①当$n=1$时，$n^2-2n+9=1-2+9=8$，8还有因数2、4，不是质数，不符合题意；
②当$n=2$时，$n^2-2n+9=4-4+9=9$，9还有因数3，不是质数，不符合题意；
③当$n=3$时，$n^2-2n+9=9-6+9=12$，12还有其他因数，不是质数，不符合题意；
④当$n=4$时，$n^2-2n+9=16-8+9=17$，17只有1和17两个因数，是质数，符合题意。
因此$n$的最小值是4。
【答案】
(1)$\frac{n-1}{n}$；(2)25或36；(3)4
【知识点】
新定义理解，完全平方数，质数判定
【点评】
本题以“最优分解”“最优分解比”的新定义为载体，考查了数的分解、完全平方数、质数的相关知识，解题核心是准确理解新定义的含义，将新定义问题转化为已学的数的性质类问题求解，第三问通过从小到大逐一验证即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
