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1.某种商品每件进价为20元，调查发现：在某段时间内若以每件$ x $元（$ 20 ≤ x ≤ 30 $，且$ x $为整数）出售，可卖出$ (30 - x) $件，要使利润最大，每件的售价应为（
A.24元
B.25元
C.28元
D.30元
B
）A.24元
B.25元
C.28元
D.30元
答案
1.B
解析
【分析】
解决本题首先要明确利润问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量。首先根据题目给出的进价、售价、销量的关系，列出总利润关于售价x的函数表达式，再结合二次函数的图像性质，在x的取值范围内找到使利润最大的x值即可。
【解析】
设总利润为$ w $元。
由题意得，每件商品的利润为$ (x-20) $元，销售量为$ (30-x) $件，因此总利润：
$ w=(x-20)(30-x) $
展开整理得：$ w=-x^2+50x-600 $
该函数是二次函数，其中$ a=-1＜0 $，抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
对称轴为$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{50}{2×(-1)}=25 $，
又因为$ 20≤ x≤30 $且x为整数，25在取值范围内，因此当$ x=25 $时，利润$ w $最大。
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算；二次函数的性质；二次函数最值应用
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，核心是结合销售问题的等量关系构造二次函数，再利用二次函数的性质求最值，掌握利润计算公式和二次函数最值求法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确利润问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量。首先根据题目给出的进价、售价、销量的关系，列出总利润关于售价x的函数表达式，再结合二次函数的图像性质，在x的取值范围内找到使利润最大的x值即可。
【解析】
设总利润为$ w $元。
由题意得，每件商品的利润为$ (x-20) $元，销售量为$ (30-x) $件，因此总利润：
$ w=(x-20)(30-x) $
展开整理得：$ w=-x^2+50x-600 $
该函数是二次函数，其中$ a=-1＜0 $，抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
对称轴为$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{50}{2×(-1)}=25 $，
又因为$ 20≤ x≤30 $且x为整数，25在取值范围内，因此当$ x=25 $时，利润$ w $最大。
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算；二次函数的性质；二次函数最值应用
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，核心是结合销售问题的等量关系构造二次函数，再利用二次函数的性质求最值，掌握利润计算公式和二次函数最值求法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
2.将进货单价为50元的某种商品按零售价每个80元出售时，每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，应降价（
A.5元
B.10元
C.15元
D.20元
A
）A.5元
B.10元
C.15元
D.20元
答案
2.A 点拨:设降价 $x$ 元,利润为 $W$ 元,则$W=(80-x-50)(20+x)=-x^2+10x+600=-(x-5)^2+625$,所以要想获得最大利润,应降价5元.
解析
【分析】
这是销售类利润最值问题，解题核心是明确总利润的计算逻辑：总利润=单个商品利润×销售总量。首先设降价金额为未知数，分别表示出降价后的单个利润和日销售量，再列出总利润关于降价金额的函数关系式，得到的是开口向下的二次函数，顶点处即可取得最大利润，求出顶点对应的自变量值就是应降价的金额。
【解析】
解：设应降价$x$元，每天获得的总利润为$W$元。
单个商品的利润为：$80 - x - 50 = 30 - x$（元）
降价后的日销售量为：$20 + x$（个）
根据总利润计算公式可得：
$W=(30 - x)(20 + x)$
展开得：$W=-x^2 + 10x + 600$
配方为顶点式：$W=-(x - 5)^2 + 625$
∵二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，
∴当$x=5$时，$W$取得最大值625元。
即为了获得最大利润，应降价5元。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用；利润问题计算；二次函数最值
【点评】
本题是销售利润最值的常规题型，解题关键是准确梳理单个利润、销售量与降价金额的数量关系，正确构建二次函数模型，再结合二次函数的性质求最值即可。
【难度系数】
0.7
这是销售类利润最值问题，解题核心是明确总利润的计算逻辑：总利润=单个商品利润×销售总量。首先设降价金额为未知数，分别表示出降价后的单个利润和日销售量，再列出总利润关于降价金额的函数关系式，得到的是开口向下的二次函数，顶点处即可取得最大利润，求出顶点对应的自变量值就是应降价的金额。
【解析】
解：设应降价$x$元，每天获得的总利润为$W$元。
单个商品的利润为：$80 - x - 50 = 30 - x$（元）
降价后的日销售量为：$20 + x$（个）
根据总利润计算公式可得：
$W=(30 - x)(20 + x)$
展开得：$W=-x^2 + 10x + 600$
配方为顶点式：$W=-(x - 5)^2 + 625$
∵二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，
∴当$x=5$时，$W$取得最大值625元。
即为了获得最大利润，应降价5元。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用；利润问题计算；二次函数最值
【点评】
本题是销售利润最值的常规题型，解题关键是准确梳理单个利润、销售量与降价金额的数量关系，正确构建二次函数模型，再结合二次函数的性质求最值即可。
【难度系数】
0.7
3.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品.现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件不变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品，则增加
8
台机器可以使每天的生产总量最大，最大为30976
件.答案
3.8 30976 点拨:设增加 $x$ 台,此时生产总量为 $y$ 件,则 $y=(80+x)(384-4x)=-4x^2+64x+30720$,利用公式法或配方法求得.
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求最值的实际应用题，解题思路如下：第一步，明确变量，设增加的机器台数为自变量x，每天生产总量为因变量y；第二步，找等量关系：生产总量=机器总台数×每台机器日产量，其中增加x台后机器总台数为(80+x)台，每台机器日产量因新增x台减少4x件，即为(384-4x)件；第三步，根据等量关系列出y关于x的二次函数解析式；第四步，结合二次函数性质，因二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，计算顶点横坐标即为最优增加台数，代入解析式可得最大总产量，最后验证自变量取值符合实际意义即可。
【解析】
设增加x台机器，每天的生产总量为y件。
根据生产总量的计算关系列解析式：
$y=(80+x)(384-4x)$
展开并整理为一般式：
$y=-4x^2+64x+30720$
采用配方法转化为顶点式求解：
$y=-4(x^2-16x)+30720$
$=-4(x^2-16x+64-64)+30720$
$=-4(x-8)^2+256+30720$
$=-4(x-8)^2+30976$
$\because a=-4＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=8$时，y取得最大值，最大值为30976。
经检验，$x=8$时每台机器日产量为$384-4×8=352＞0$，符合生产实际。
【答案】
8；30976
【知识点】
1. 二次函数最值计算
2. 列二次函数解析式
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数最值在生产场景中的典型应用，解题核心是准确梳理数量关系列出正确的函数解析式，计算最值时要注意验证自变量的取值是否符合实际要求，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求最值的实际应用题，解题思路如下：第一步，明确变量，设增加的机器台数为自变量x，每天生产总量为因变量y；第二步，找等量关系：生产总量=机器总台数×每台机器日产量，其中增加x台后机器总台数为(80+x)台，每台机器日产量因新增x台减少4x件，即为(384-4x)件；第三步，根据等量关系列出y关于x的二次函数解析式；第四步，结合二次函数性质，因二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，计算顶点横坐标即为最优增加台数，代入解析式可得最大总产量，最后验证自变量取值符合实际意义即可。
【解析】
设增加x台机器，每天的生产总量为y件。
根据生产总量的计算关系列解析式：
$y=(80+x)(384-4x)$
展开并整理为一般式：
$y=-4x^2+64x+30720$
采用配方法转化为顶点式求解：
$y=-4(x^2-16x)+30720$
$=-4(x^2-16x+64-64)+30720$
$=-4(x-8)^2+256+30720$
$=-4(x-8)^2+30976$
$\because a=-4＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=8$时，y取得最大值，最大值为30976。
经检验，$x=8$时每台机器日产量为$384-4×8=352＞0$，符合生产实际。
【答案】
8；30976
【知识点】
1. 二次函数最值计算
2. 列二次函数解析式
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数最值在生产场景中的典型应用，解题核心是准确梳理数量关系列出正确的函数解析式，计算最值时要注意验证自变量的取值是否符合实际要求，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
4.【传统文化】甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是中华优秀传统文化的根脉.甲骨文文创产品也日益成为甲骨文文化传播的使者，增加了人们理解甲骨文文化的途径.一家文创店购进某款甲骨文纪念品，进价为每件30元，如果以单价60元销售，每天可卖出20件.调查发现，该纪念品的销售单价每降价1元，日销售量就会增加2件.设该纪念品每件降低$ m $元($ m $为正整数)，日销售利润为$ w $元.
(1)当$ m $的值为多少时，日销售利润保持不变？
(2)当$ m $的值为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
(1)当$ m $的值为多少时，日销售利润保持不变？
(2)当$ m $的值为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
答案
4.解:(1)由题意,得
$(60-30-m)(20+2m)=(60-30)×20$,
整理,得 $m^2-20m=0$,
解得 $m_1=20,m_2=0$(舍去).
答:当 $m=20$ 时,日销售利润保持不变.
(2)$w=(60-30-m)(20+2m)=-2m^2+40m+600=-2(m-10)^2+800$,
$\because -2＜0$,
$\therefore$ 当 $m=10$ 时,$w$ 有最大值,最大值为 800.
答:当 $m=10$ 时,日销售利润最大,最大利润为 800 元.
$(60-30-m)(20+2m)=(60-30)×20$,
整理,得 $m^2-20m=0$,
解得 $m_1=20,m_2=0$(舍去).
答:当 $m=20$ 时,日销售利润保持不变.
(2)$w=(60-30-m)(20+2m)=-2m^2+40m+600=-2(m-10)^2+800$,
$\because -2＜0$,
$\therefore$ 当 $m=10$ 时,$w$ 有最大值,最大值为 800.
答:当 $m=10$ 时,日销售利润最大,最大利润为 800 元.
解析
【分析】
（1）要解决日销售利润保持不变的问题，首先明确原日销售利润为固定值，即原单件利润乘原日销量。降价$m$元后，单件利润为（原售价-进价-降价金额），日销量为（原销量+降价后增加的销量），根据“降价后的日利润=原日利润”列一元二次方程求解，结合$m$是正整数的要求舍去不符合题意的解即可。
（2）根据“日销售利润=单件利润×日销量”列出$w$关于$m$的二次函数表达式，由于二次项系数小于0，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，通过配方法求出顶点坐标即可得到最大利润及对应的$m$值。
【解析】
(1) 原日销售利润为$(60-30)×20=600$元，根据题意列方程：
$\quad(60-30-m)(20+2m)=(60-30)×20$
整理得：$m^2-20m=0$
解得$m_1=20$，$m_2=0$
$\because m$为正整数，$\therefore m_2=0$舍去
(2) 由题意得日销售利润$w$的表达式：
$\quad w=(60-30-m)(20+2m)$
整理得：$w=-2m^2+40m+600$
配方得：$w=-2(m-10)^2+800$
$\because -2＜0$，$\therefore$ 当$m=10$时，$w$有最大值，最大值为800
【答案】
(1) 当$m=20$时，日销售利润保持不变；
(2) 当$m=10$时，日销售利润最大，最大利润为800元。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，销售利润计算
【点评】
本题结合甲骨文文创传播的现实背景出题，贴合生活实际，核心考查销售类问题中等量关系的梳理，以及一元二次方程、二次函数最值的应用，解题时需注意结合自变量的实际意义对结果进行取舍。
【难度系数】
0.7
（1）要解决日销售利润保持不变的问题，首先明确原日销售利润为固定值，即原单件利润乘原日销量。降价$m$元后，单件利润为（原售价-进价-降价金额），日销量为（原销量+降价后增加的销量），根据“降价后的日利润=原日利润”列一元二次方程求解，结合$m$是正整数的要求舍去不符合题意的解即可。
（2）根据“日销售利润=单件利润×日销量”列出$w$关于$m$的二次函数表达式，由于二次项系数小于0，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，通过配方法求出顶点坐标即可得到最大利润及对应的$m$值。
【解析】
(1) 原日销售利润为$(60-30)×20=600$元，根据题意列方程：
$\quad(60-30-m)(20+2m)=(60-30)×20$
整理得：$m^2-20m=0$
解得$m_1=20$，$m_2=0$
$\because m$为正整数，$\therefore m_2=0$舍去
(2) 由题意得日销售利润$w$的表达式：
$\quad w=(60-30-m)(20+2m)$
整理得：$w=-2m^2+40m+600$
配方得：$w=-2(m-10)^2+800$
$\because -2＜0$，$\therefore$ 当$m=10$时，$w$有最大值，最大值为800
【答案】
(1) 当$m=20$时，日销售利润保持不变；
(2) 当$m=10$时，日销售利润最大，最大利润为800元。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，销售利润计算
【点评】
本题结合甲骨文文创传播的现实背景出题，贴合生活实际，核心考查销售类问题中等量关系的梳理，以及一元二次方程、二次函数最值的应用，解题时需注意结合自变量的实际意义对结果进行取舍。
【难度系数】
0.7
1.【安全意识】一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶。在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶。已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为(
A.60元
B.65元
C.70元
D.75元
C
)A.60元
B.65元
C.70元
D.75元
答案
1.C
解析
【分析】
这是典型的销售利润最值问题，解题核心是利用“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系建立二次函数模型，再通过二次函数的性质求最大值。思考步骤如下：首先设降价金额为自变量，分别表示出降价后的单件利润和月销售量；其次列出总利润关于自变量的二次函数解析式；最后根据二次函数开口向下的特点，找到函数取最大值时对应的自变量取值，进而计算出此时的售价。
【解析】
解：设每顶头盔降价$x$元，每月获得的总利润为$y$元。
根据题意可得：
降价后每顶头盔的单件利润为：$80 - x - 50 = (30 - x)$元
降价后每月的销售量为：$(200 + 20x)$顶
因此总利润的函数解析式为：
$y = (30 - x)(200 + 20x)$
展开整理得：$y = -20x^2 + 400x + 6000$
该函数是二次函数，且$a=-20＜0$，函数图像开口向下，在对称轴处取得最大值。
对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，代入$a=-20$，$b=400$得：
$x = -\frac{400}{2×(-20)} = 10$
即当降价10元时，每月利润最大，此时每顶头盔的售价为$80 - 10 = 70$元。
【答案】
C
【知识点】
1.销售利润计算 2.二次函数的最值 3.二次函数的实际应用
【点评】
本题是利润类最值问题的常考题型，解题的关键是找准数量关系正确列出二次函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，解题过程中要注意自变量的实际意义。
【难度系数】
0.7
这是典型的销售利润最值问题，解题核心是利用“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系建立二次函数模型，再通过二次函数的性质求最大值。思考步骤如下：首先设降价金额为自变量，分别表示出降价后的单件利润和月销售量；其次列出总利润关于自变量的二次函数解析式；最后根据二次函数开口向下的特点，找到函数取最大值时对应的自变量取值，进而计算出此时的售价。
【解析】
解：设每顶头盔降价$x$元，每月获得的总利润为$y$元。
根据题意可得：
降价后每顶头盔的单件利润为：$80 - x - 50 = (30 - x)$元
降价后每月的销售量为：$(200 + 20x)$顶
因此总利润的函数解析式为：
$y = (30 - x)(200 + 20x)$
展开整理得：$y = -20x^2 + 400x + 6000$
该函数是二次函数，且$a=-20＜0$，函数图像开口向下，在对称轴处取得最大值。
对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，代入$a=-20$，$b=400$得：
$x = -\frac{400}{2×(-20)} = 10$
即当降价10元时，每月利润最大，此时每顶头盔的售价为$80 - 10 = 70$元。
【答案】
C
【知识点】
1.销售利润计算 2.二次函数的最值 3.二次函数的实际应用
【点评】
本题是利润类最值问题的常考题型，解题的关键是找准数量关系正确列出二次函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，解题过程中要注意自变量的实际意义。
【难度系数】
0.7
