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1. 已知$x_1,x_2$为抛物线$y=2x^2 -5x$与$x$轴相交的两个交点的横坐标，则$2x_1^2 -5x_1 +6x_1x_2$的值为
0
。答案
1. 0
解析
【分析】
解题时先明确：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。首先利用x₁是交点横坐标的性质，将x₁代入抛物线解析式，可直接求出2x₁²-5x₁的值；再根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之积x₁x₂的值；最后将两个结果整体代入待求代数式计算即可，无需单独求解x₁、x₂的具体数值，简化计算过程。
【解析】
∵x₁是抛物线$y=2x^2 -5x$与x轴交点的横坐标，
∴当$x=x_1$时，$y=0$，即$2x_1^2 -5x_1=0$。
又
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$2x^2 -5x=0$的两个实数根，
根据韦达定理，对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
本题中$a=2$，$c=0$，因此$x_1x_2=\frac{0}{2}=0$。
将$2x_1^2 -5x_1=0$、$x_1x_2=0$代入待求式：
$2x_1^2 -5x_1 +6x_1x_2=0+6×0=0$。
【答案】
0
【知识点】
二次函数与坐标轴交点，韦达定理，代数式求值
【点评】
本题核心是利用二次函数与一元二次方程的关联解题，无需计算两根的具体值，通过整体代入的思路即可快速求解，能有效考察学生对知识点的综合应用能力和简便计算意识。
【难度系数】
0.7
解题时先明确：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。首先利用x₁是交点横坐标的性质，将x₁代入抛物线解析式，可直接求出2x₁²-5x₁的值；再根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之积x₁x₂的值；最后将两个结果整体代入待求代数式计算即可，无需单独求解x₁、x₂的具体数值，简化计算过程。
【解析】
∵x₁是抛物线$y=2x^2 -5x$与x轴交点的横坐标，
∴当$x=x_1$时，$y=0$，即$2x_1^2 -5x_1=0$。
又
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$2x^2 -5x=0$的两个实数根，
根据韦达定理，对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
本题中$a=2$，$c=0$，因此$x_1x_2=\frac{0}{2}=0$。
将$2x_1^2 -5x_1=0$、$x_1x_2=0$代入待求式：
$2x_1^2 -5x_1 +6x_1x_2=0+6×0=0$。
【答案】
0
【知识点】
二次函数与坐标轴交点，韦达定理，代数式求值
【点评】
本题核心是利用二次函数与一元二次方程的关联解题，无需计算两根的具体值，通过整体代入的思路即可快速求解，能有效考察学生对知识点的综合应用能力和简便计算意识。
【难度系数】
0.7
2. 抛物线$y=x^2 -2x +c$与$x$轴交于$A(x_1,0),B(x_2,0)$两点，若$2≤ AB≤5$，则$c$的最大值是
0
.答案
2. 0
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确抛物线与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的两个实根，两点距离AB等于两根差的绝对值。解题思路如下：1. 先根据根与系数的关系写出方程两根的和与积；2. 利用完全平方公式的变形，将两根差的绝对值转化为用两根和、两根积表示的形式，得到AB关于c的表达式；3. 结合AB的取值范围列不等式，解出c的取值范围；4. 从取值范围中确定c的最大值，同时注意抛物线与x轴有两个交点的前提是判别式大于0。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2 -2x +c$与x轴交于$A(x_1,0),B(x_2,0)$两点
∴ 一元二次方程$x^2 -2x +c=0$有两个不相等的实数根$x_1、x_2$
根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=c$
两点间距离$AB=|x_1-x_2|$，由完全平方公式变形可得：
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{2^2-4c}=\sqrt{4-4c}$
已知$2≤ AB≤5$，即$2≤\sqrt{4-4c}≤5$
对不等式两边同时平方（两边均为非负数，平方后不等号方向不变）：
左边不等式：$2^2≤4-4c$，即$4≤4-4c$，解得$c≤0$
右边不等式：$4-4c≤5^2$，即$4-4c≤25$，解得$c≥-\frac{21}{4}$
同时方程有两个不等实根，判别式$\Delta=4-4c＞0$，即$c＜1$，与上述结果一致
综上，$c$的取值范围是$-\frac{21}{4}≤c≤0$，因此$c$的最大值为0。
【答案】
0
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，不等式求解
【点评】
本题属于二次函数与一元二次方程结合的典型题型，解题核心是将两点距离转化为用方程根的表达式表示，求解过程中要注意根号下的代数式非负的隐含条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确抛物线与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的两个实根，两点距离AB等于两根差的绝对值。解题思路如下：1. 先根据根与系数的关系写出方程两根的和与积；2. 利用完全平方公式的变形，将两根差的绝对值转化为用两根和、两根积表示的形式，得到AB关于c的表达式；3. 结合AB的取值范围列不等式，解出c的取值范围；4. 从取值范围中确定c的最大值，同时注意抛物线与x轴有两个交点的前提是判别式大于0。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2 -2x +c$与x轴交于$A(x_1,0),B(x_2,0)$两点
∴ 一元二次方程$x^2 -2x +c=0$有两个不相等的实数根$x_1、x_2$
根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=c$
两点间距离$AB=|x_1-x_2|$，由完全平方公式变形可得：
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{2^2-4c}=\sqrt{4-4c}$
已知$2≤ AB≤5$，即$2≤\sqrt{4-4c}≤5$
对不等式两边同时平方（两边均为非负数，平方后不等号方向不变）：
左边不等式：$2^2≤4-4c$，即$4≤4-4c$，解得$c≤0$
右边不等式：$4-4c≤5^2$，即$4-4c≤25$，解得$c≥-\frac{21}{4}$
同时方程有两个不等实根，判别式$\Delta=4-4c＞0$，即$c＜1$，与上述结果一致
综上，$c$的取值范围是$-\frac{21}{4}≤c≤0$，因此$c$的最大值为0。
【答案】
0
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，不等式求解
【点评】
本题属于二次函数与一元二次方程结合的典型题型，解题核心是将两点距离转化为用方程根的表达式表示，求解过程中要注意根号下的代数式非负的隐含条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
3. 设二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的图象与$x$轴的两个交点为$A(x_1,0),B(x_2,0)$,抛物线的顶点为$C$,显然$△ ABC$为等腰三角形.
(1)当$△ ABC$为等腰直角三角形时,求$b^2-4ac$的值.
(2)当$△ ABC$为等边三角形时,求$b^2-4ac$的值.
(3)设抛物线$y=x^2+kx+1$与$x$轴的两个交点为$A,B$,顶点为$C$,且$∠ ACB=90°$,试问如何平移此抛物线,才能使$∠ ACB=60°$?
(1)当$△ ABC$为等腰直角三角形时,求$b^2-4ac$的值.
(2)当$△ ABC$为等边三角形时,求$b^2-4ac$的值.
(3)设抛物线$y=x^2+kx+1$与$x$轴的两个交点为$A,B$,顶点为$C$,且$∠ ACB=90°$,试问如何平移此抛物线,才能使$∠ ACB=60°$?
答案
3. (1)当△ABC为等腰直角三角形时,过C作CD⊥AB于D,则
$CD=\left|\frac{b^2-4ac}{4a}\right|,AB=2CD.$
∵抛物线与x轴有两个交点,$\therefore b^2-4ac＞0,\therefore |b^2-4ac|=b^2-4ac.$
∵$AB=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$,又
∵$CD=\frac{1}{2}AB,\therefore CD=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|},a≠0,\therefore \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}=\frac{b^2-4ac}{4|a|}$,即$b^2-4ac=\frac{(b^2-4ac)^2}{4}.\because b^2-4ac＞0,\therefore b^2-4ac=4.$
(2)当$△ABC$为等边三角形时,$b^2-4ac=12.$(解法同(1))
(3)$\because ∠ACB=90°,\therefore b^2-4ac=4$,即$k^2-4=4,\therefore k=±2\sqrt{2}.$
∵向左或向右平移时$∠ACB$的度数不变,
∴需将抛物线$y=x^2±2\sqrt{2}x+1$向上或向下平移使$∠ACB=60°$,然后向左或向右平移任意个单位长度即可.设向上或向下平移后的抛物线的表达式为$y=x^2±2\sqrt{2}x+1+m.$
∵平移后$∠ACB=60°,\therefore b^2-4ac=12,\therefore m=-2$,
∴抛物线$y=x^2+kx+1$向下平移2个单位长度后,向左或向右平移任意个单位长度都能使$∠ACB$的度数由$90°$变为$60°$.
$CD=\left|\frac{b^2-4ac}{4a}\right|,AB=2CD.$
∵抛物线与x轴有两个交点,$\therefore b^2-4ac＞0,\therefore |b^2-4ac|=b^2-4ac.$
∵$AB=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$,又
∵$CD=\frac{1}{2}AB,\therefore CD=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|},a≠0,\therefore \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}=\frac{b^2-4ac}{4|a|}$,即$b^2-4ac=\frac{(b^2-4ac)^2}{4}.\because b^2-4ac＞0,\therefore b^2-4ac=4.$
(2)当$△ABC$为等边三角形时,$b^2-4ac=12.$(解法同(1))
(3)$\because ∠ACB=90°,\therefore b^2-4ac=4$,即$k^2-4=4,\therefore k=±2\sqrt{2}.$
∵向左或向右平移时$∠ACB$的度数不变,
∴需将抛物线$y=x^2±2\sqrt{2}x+1$向上或向下平移使$∠ACB=60°$,然后向左或向右平移任意个单位长度即可.设向上或向下平移后的抛物线的表达式为$y=x^2±2\sqrt{2}x+1+m.$
∵平移后$∠ACB=60°,\therefore b^2-4ac=12,\therefore m=-2$,
∴抛物线$y=x^2+kx+1$向下平移2个单位长度后,向左或向右平移任意个单位长度都能使$∠ACB$的度数由$90°$变为$60°$.
解析
【分析】
本题属于二次函数与三角形性质结合的综合题，解题思路可按以下步骤梳理：
1. 明确核心量：二次函数与x轴两交点的距离AB，可由根与系数的关系推导为$AB=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$；顶点C到x轴的距离CD为顶点纵坐标的绝对值，因$a＞0$且抛物线与x轴有两交点，$b^2-4ac＞0$，故$CD=\frac{b^2-4ac}{4a}$。
2. 前两问根据等腰直角三角形、等边三角形中高与边长的数量关系，列关于$b^2-4ac$的方程求解即可。
3. 第三问先利用第一问的结论求出k值，再结合平移性质：左右平移不改变抛物线的开口大小、与x轴交点距离、顶点到x轴的距离，因此∠ACB度数不变，只有上下平移会改变CD的长度，因此设上下平移后的解析式，利用第二问等边三角形的判别式结论求出平移距离即可。
【解析】
(1) 过顶点C作$CD⊥AB$于D，
∵△ABC为等腰三角形，
∴D为AB中点。
当△ABC为等腰直角三角形时，$CD=\frac{1}{2}AB$。
由二次函数性质得：
$AB=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$（$a＞0$）；
$CD=\left|\frac{4ac-b^2}{4a}\right|=\frac{b^2-4ac}{4a}$（$b^2-4ac＞0$）。
代入$CD=\frac{1}{2}AB$得：
$\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{1}{2}·\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$
两边同乘$4a$，令$t=\sqrt{b^2-4ac}$（$t＞0$），得$t^2=2t$，解得$t=2$，故$b^2-4ac=t^2=4$。
(2) 当△ABC为等边三角形时，等边三角形的高$CD=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，代入AB和CD的表达式：
$\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{\sqrt{3}}{2}·\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$
两边同乘$4a$，令$t=\sqrt{b^2-4ac}$（$t＞0$），得$t^2=2\sqrt{3}t$，解得$t=2\sqrt{3}$，故$b^2-4ac=t^2=12$。
(3)
∵∠ACB=90°，由(1)的结论得$\Delta=b^2-4ac=4$，代入$a=1,b=k,c=1$得：
$k^2-4×1×1=4$，解得$k=\pm2\sqrt{2}$。
∵左右平移抛物线时，抛物线形状不变，与x轴交点距离、顶点到x轴的距离均不变，故∠ACB的度数不变，因此只需上下平移改变CD的长度，使∠ACB=60°（即等边三角形）。
设上下平移后的抛物线解析式为$y=x^2\pm2\sqrt{2}x+1+m$，此时要满足∠ACB=60°，由(2)得$\Delta=12$：
$\Delta=(\pm2\sqrt{2})^2-4×1×(1+m)=8-4-4m=4-4m=12$
解得$m=-2$，即向下平移2个单位，之后左右平移任意单位长度均可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{12}$；(3) 将抛物线向下平移2个单位长度后，再向左或向右平移任意个单位长度即可。
【知识点】
二次函数图象性质；特殊三角形性质；二次函数平移规律
【点评】
本题将二次函数根系关系、顶点坐标的代数知识与特殊三角形边长高的几何关系结合考查，核心是找到“交点距离、顶点高度”两个核心量的对应关系，平移部分需要明确左右平移不改变抛物线形状，仅上下平移会改变顶点到x轴的距离，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题属于二次函数与三角形性质结合的综合题，解题思路可按以下步骤梳理：
1. 明确核心量：二次函数与x轴两交点的距离AB，可由根与系数的关系推导为$AB=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$；顶点C到x轴的距离CD为顶点纵坐标的绝对值，因$a＞0$且抛物线与x轴有两交点，$b^2-4ac＞0$，故$CD=\frac{b^2-4ac}{4a}$。
2. 前两问根据等腰直角三角形、等边三角形中高与边长的数量关系，列关于$b^2-4ac$的方程求解即可。
3. 第三问先利用第一问的结论求出k值，再结合平移性质：左右平移不改变抛物线的开口大小、与x轴交点距离、顶点到x轴的距离，因此∠ACB度数不变，只有上下平移会改变CD的长度，因此设上下平移后的解析式，利用第二问等边三角形的判别式结论求出平移距离即可。
【解析】
(1) 过顶点C作$CD⊥AB$于D，
∵△ABC为等腰三角形，
∴D为AB中点。
当△ABC为等腰直角三角形时，$CD=\frac{1}{2}AB$。
由二次函数性质得：
$AB=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$（$a＞0$）；
$CD=\left|\frac{4ac-b^2}{4a}\right|=\frac{b^2-4ac}{4a}$（$b^2-4ac＞0$）。
代入$CD=\frac{1}{2}AB$得：
$\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{1}{2}·\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$
两边同乘$4a$，令$t=\sqrt{b^2-4ac}$（$t＞0$），得$t^2=2t$，解得$t=2$，故$b^2-4ac=t^2=4$。
(2) 当△ABC为等边三角形时，等边三角形的高$CD=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，代入AB和CD的表达式：
$\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{\sqrt{3}}{2}·\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$
两边同乘$4a$，令$t=\sqrt{b^2-4ac}$（$t＞0$），得$t^2=2\sqrt{3}t$，解得$t=2\sqrt{3}$，故$b^2-4ac=t^2=12$。
(3)
∵∠ACB=90°，由(1)的结论得$\Delta=b^2-4ac=4$，代入$a=1,b=k,c=1$得：
$k^2-4×1×1=4$，解得$k=\pm2\sqrt{2}$。
∵左右平移抛物线时，抛物线形状不变，与x轴交点距离、顶点到x轴的距离均不变，故∠ACB的度数不变，因此只需上下平移改变CD的长度，使∠ACB=60°（即等边三角形）。
设上下平移后的抛物线解析式为$y=x^2\pm2\sqrt{2}x+1+m$，此时要满足∠ACB=60°，由(2)得$\Delta=12$：
$\Delta=(\pm2\sqrt{2})^2-4×1×(1+m)=8-4-4m=4-4m=12$
解得$m=-2$，即向下平移2个单位，之后左右平移任意单位长度均可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{12}$；(3) 将抛物线向下平移2个单位长度后，再向左或向右平移任意个单位长度即可。
【知识点】
二次函数图象性质；特殊三角形性质；二次函数平移规律
【点评】
本题将二次函数根系关系、顶点坐标的代数知识与特殊三角形边长高的几何关系结合考查，核心是找到“交点距离、顶点高度”两个核心量的对应关系，平移部分需要明确左右平移不改变抛物线形状，仅上下平移会改变顶点到x轴的距离，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
4. (2025·武汉期中)抛物线 $ y = x^2 + kx + 4k $ 在直线 $ y = 16 $ 下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，则 $ k $ 的值不可能是（
A.2
B.$ \sqrt{5} $
C.13
D.$ 4π + 1 $
C
）A.2
B.$ \sqrt{5} $
C.13
D.$ 4π + 1 $
答案
4. C 解析:将抛物线$y=x^2+kx+4k$和直线$y=16$联立,得$x^2+kx+4k=16$,即$x^2+kx+4k-16=0$,$\therefore x=\frac{-k±\sqrt{k^2-4×1×(4k-16)}}{2×1}$,化简,得$x=\frac{-k±\sqrt{k^2-16k+64}}{2}$,解得$x_1=-4,x_2=-k+4$.当$-k+4＞-4$时,
∵抛物线$y=x^2+kx+4k$在直线$y=16$下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点,
∴这五个点的横坐标为$-3,-2,-1,0,1$,$\therefore \begin{cases}-k+4＞1,\\-k+4≤2,\end{cases}$解得$2≤k＜3$,$\therefore k$的值可以是$2,\sqrt{5}$,故选项A,B不符合题意;当$-k+4＜-4$时,
∵抛物线$y=x^2+kx+4k$在直线$y=16$下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点,
∴这五个点的横坐标为$-5,-6,-7,-8,-9$,$\therefore \begin{cases}-k+4＜-9,\\-k+4≥-10,\end{cases}$解得$13＜k≤14$,$\therefore k$的值不可以是13,可以是$4π+1$,故选项C符合题意,选项D不符合题意.故选C.
∵抛物线$y=x^2+kx+4k$在直线$y=16$下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点,
∴这五个点的横坐标为$-3,-2,-1,0,1$,$\therefore \begin{cases}-k+4＞1,\\-k+4≤2,\end{cases}$解得$2≤k＜3$,$\therefore k$的值可以是$2,\sqrt{5}$,故选项A,B不符合题意;当$-k+4＜-4$时,
∵抛物线$y=x^2+kx+4k$在直线$y=16$下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点,
∴这五个点的横坐标为$-5,-6,-7,-8,-9$,$\therefore \begin{cases}-k+4＜-9,\\-k+4≥-10,\end{cases}$解得$13＜k≤14$,$\therefore k$的值不可以是13,可以是$4π+1$,故选项C符合题意,选项D不符合题意.故选C.
解析
【分析】
解题时先明确抛物线开口向上，y＜16的区域对应x的范围在抛物线与直线y=16的两个交点横坐标之间，因此第一步先联立两个解析式解一元二次方程，求出两个交点的横坐标，发现其中一个交点横坐标固定为-4，另一个交点横坐标为4-k。接下来分两种情况讨论：当另一个交点在-4右侧时，五个整数横坐标在-4的右侧依次排列，据此确定另一个交点的取值区间列不等式组；当另一个交点在-4左侧时，五个整数横坐标在-4的左侧依次排列，同理列不等式组，求出k的取值范围后比对选项即可判断不可能的取值。
【解析】
联立抛物线$y=x^2+kx+4k$与直线$y=16$，得方程：
$x^2+kx+4k=16$，整理为$x^2+kx+4k-16=0$
对左边因式分解得：$(x+4)(x + k - 4)=0$，解得两个根为$x_1=-4$，$x_2=4 - k$
∵抛物线开口向上，
∴$y＜16$的图象对应的x范围在两个交点横坐标之间。
情况1：当$4 - k ＞ -4$（即另一个交点在-4右侧）时，要满足下方图象恰好有5个横坐标为整数的点，这5个整数为-3、-2、-1、0、1，因此另一个交点需满足：
$\begin{cases}4 - k ＞ 1 \\4 - k ≤ 2 \end{cases}$
解不等式组得：$2≤ k ＜ 3$
选项A的2、选项B的$\sqrt{5}\approx2.236$都在该范围内，不符合题意。
情况2：当$4 - k ＜ -4$（即另一个交点在-4左侧）时，要满足下方图象恰好有5个横坐标为整数的点，这5个整数为-5、-6、-7、-8、-9，因此另一个交点需满足：
$\begin{cases}4 - k ＜ -9 \\4 - k ≥ -10 \end{cases}$
解不等式组得：$13 ＜ k ≤14$
选项C的13不在该范围内，选项D的$4π +1\approx4×3.14 +1=13.56$在该范围内，故C符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；一元二次方程求解；不等式组应用
【点评】
本题是二次函数与方程、不等式结合的典型题型，需要结合图象特征分类讨论交点位置，易错点是确定交点区间时不等号的方向以及端点值的取舍，解题时结合数轴判断整数点的分布会更清晰。
【难度系数】
0.4
解题时先明确抛物线开口向上，y＜16的区域对应x的范围在抛物线与直线y=16的两个交点横坐标之间，因此第一步先联立两个解析式解一元二次方程，求出两个交点的横坐标，发现其中一个交点横坐标固定为-4，另一个交点横坐标为4-k。接下来分两种情况讨论：当另一个交点在-4右侧时，五个整数横坐标在-4的右侧依次排列，据此确定另一个交点的取值区间列不等式组；当另一个交点在-4左侧时，五个整数横坐标在-4的左侧依次排列，同理列不等式组，求出k的取值范围后比对选项即可判断不可能的取值。
【解析】
联立抛物线$y=x^2+kx+4k$与直线$y=16$，得方程：
$x^2+kx+4k=16$，整理为$x^2+kx+4k-16=0$
对左边因式分解得：$(x+4)(x + k - 4)=0$，解得两个根为$x_1=-4$，$x_2=4 - k$
∵抛物线开口向上，
∴$y＜16$的图象对应的x范围在两个交点横坐标之间。
情况1：当$4 - k ＞ -4$（即另一个交点在-4右侧）时，要满足下方图象恰好有5个横坐标为整数的点，这5个整数为-3、-2、-1、0、1，因此另一个交点需满足：
$\begin{cases}4 - k ＞ 1 \\4 - k ≤ 2 \end{cases}$
解不等式组得：$2≤ k ＜ 3$
选项A的2、选项B的$\sqrt{5}\approx2.236$都在该范围内，不符合题意。
情况2：当$4 - k ＜ -4$（即另一个交点在-4左侧）时，要满足下方图象恰好有5个横坐标为整数的点，这5个整数为-5、-6、-7、-8、-9，因此另一个交点需满足：
$\begin{cases}4 - k ＜ -9 \\4 - k ≥ -10 \end{cases}$
解不等式组得：$13 ＜ k ≤14$
选项C的13不在该范围内，选项D的$4π +1\approx4×3.14 +1=13.56$在该范围内，故C符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；一元二次方程求解；不等式组应用
【点评】
本题是二次函数与方程、不等式结合的典型题型，需要结合图象特征分类讨论交点位置，易错点是确定交点区间时不等号的方向以及端点值的取舍，解题时结合数轴判断整数点的分布会更清晰。
【难度系数】
0.4
5. ★★ | 改编题 已知关于$x$的方程$x^2+(2m-1)x+4-2m=0$.
(1)若方程的两个不同的根都在$-2＜x＜0$的范围内,则$m$的取值范围是
(2)若方程的一个根大于$-5$且小于$-4$,另一个根大于$0$且小于$1$,则$m$的取值范围是
(1)若方程的两个不同的根都在$-2＜x＜0$的范围内,则$m$的取值范围是
$\frac{3}{2}＜m＜\frac{5}{3}$
.(2)若方程的一个根大于$-5$且小于$-4$,另一个根大于$0$且小于$1$,则$m$的取值范围是
$\frac{12}{5}＜m＜\frac{17}{6}$
.答案
5. (1)$\frac{3}{2}＜m＜\frac{5}{3}$ (2)$\frac{12}{5}＜m＜\frac{17}{6}$
解析
【分析】
本题属于一元二次方程根的分布问题，可转化为二次函数的零点问题求解：设二次函数$f(x)=x^2+(2m-1)x+4-2m$，其图像开口向上。
(1) 若两个不同的根都在$(-2,0)$内，需同时满足：① 判别式大于0（保证有两个不同实根）；② 对称轴落在区间$(-2,0)$内（保证两个根都在区间范围内）；③ 区间端点$x=-2$、$x=0$处的函数值均大于0（开口向上，根在区间内时端点函数值为正），联立不等式组求解取交集即可。
(2) 若两根分别落在$(-5,-4)$和$(0,1)$内，根据开口向上的二次函数零点性质：零点两侧函数值异号，因此需满足$f(-5)＞0$、$f(-4)＜0$、$f(0)＜0$、$f(1)＞0$，联立不等式组求解取交集即可。
【解析】
设二次函数$f(x)=x^2+(2m-1)x+4-2m$，二次项系数为$1＞0$，函数图像开口向上。
(1) 方程有两个不同的根都在$-2＜x＜0$范围内，需同时满足以下条件：
① 判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(2m-1)^2-4×1×(4-2m)=4m^2+4m-15＞0$
因式分解得$(2m-3)(2m+5)＞0$，解得$m＞\frac{3}{2}$或$m＜-\frac{5}{2}$。
② 对称轴在$(-2,0)$内：
对称轴$x=\frac{1-2m}{2}$，故$-2＜\frac{1-2m}{2}＜0$
左边：$-4＜1-2m\implies m＜\frac{5}{2}$；右边：$1-2m＜0\implies m＞\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}＜m＜\frac{5}{2}$。
③ 端点函数值大于0：
$f(-2)=4-2(2m-1)+4-2m=10-6m＞0\implies m＜\frac{5}{3}$
$f(0)=4-2m＞0\implies m＜2$
取以上所有解集的公共部分，得$\frac{3}{2}＜m＜\frac{5}{3}$。
(2) 方程一个根在$(-5,-4)$，另一个根在$(0,1)$，需满足：
$\begin{cases}f(-5)＞0 \\ f(-4)＜0 \\ f(0)＜0 \\ f(1)＞0\end{cases}$
分别计算：
$f(-5)=25-5(2m-1)+4-2m=34-12m＞0\implies m＜\frac{17}{6}$
$f(-4)=16-4(2m-1)+4-2m=24-10m＜0\implies m＞\frac{12}{5}$
$f(0)=4-2m＜0\implies m＞2$
$f(1)=1+(2m-1)+4-2m=4＞0$，对任意$m$恒成立。
取以上解集的公共部分，得$\frac{12}{5}＜m＜\frac{17}{6}$。
【答案】
(1)$\frac{3}{2}＜m＜\frac{5}{3}$；(2)$\frac{12}{5}＜m＜\frac{17}{6}$
【知识点】
二次函数图像性质，一元二次方程根的分布，一元一次不等式组求解
【点评】
本题核心是利用二次函数与一元二次方程的对应关系，结合图像特征列不等式组求解，解题时需注意所有约束条件要同时满足，最终解集取各不等式解集的交集，计算过程中要注意符号运算避免出错。
【难度系数】
0.6
本题属于一元二次方程根的分布问题，可转化为二次函数的零点问题求解：设二次函数$f(x)=x^2+(2m-1)x+4-2m$，其图像开口向上。
(1) 若两个不同的根都在$(-2,0)$内，需同时满足：① 判别式大于0（保证有两个不同实根）；② 对称轴落在区间$(-2,0)$内（保证两个根都在区间范围内）；③ 区间端点$x=-2$、$x=0$处的函数值均大于0（开口向上，根在区间内时端点函数值为正），联立不等式组求解取交集即可。
(2) 若两根分别落在$(-5,-4)$和$(0,1)$内，根据开口向上的二次函数零点性质：零点两侧函数值异号，因此需满足$f(-5)＞0$、$f(-4)＜0$、$f(0)＜0$、$f(1)＞0$，联立不等式组求解取交集即可。
【解析】
设二次函数$f(x)=x^2+(2m-1)x+4-2m$，二次项系数为$1＞0$，函数图像开口向上。
(1) 方程有两个不同的根都在$-2＜x＜0$范围内，需同时满足以下条件：
① 判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(2m-1)^2-4×1×(4-2m)=4m^2+4m-15＞0$
因式分解得$(2m-3)(2m+5)＞0$，解得$m＞\frac{3}{2}$或$m＜-\frac{5}{2}$。
② 对称轴在$(-2,0)$内：
对称轴$x=\frac{1-2m}{2}$，故$-2＜\frac{1-2m}{2}＜0$
左边：$-4＜1-2m\implies m＜\frac{5}{2}$；右边：$1-2m＜0\implies m＞\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}＜m＜\frac{5}{2}$。
③ 端点函数值大于0：
$f(-2)=4-2(2m-1)+4-2m=10-6m＞0\implies m＜\frac{5}{3}$
$f(0)=4-2m＞0\implies m＜2$
取以上所有解集的公共部分，得$\frac{3}{2}＜m＜\frac{5}{3}$。
(2) 方程一个根在$(-5,-4)$，另一个根在$(0,1)$，需满足：
$\begin{cases}f(-5)＞0 \\ f(-4)＜0 \\ f(0)＜0 \\ f(1)＞0\end{cases}$
分别计算：
$f(-5)=25-5(2m-1)+4-2m=34-12m＞0\implies m＜\frac{17}{6}$
$f(-4)=16-4(2m-1)+4-2m=24-10m＜0\implies m＞\frac{12}{5}$
$f(0)=4-2m＜0\implies m＞2$
$f(1)=1+(2m-1)+4-2m=4＞0$，对任意$m$恒成立。
取以上解集的公共部分，得$\frac{12}{5}＜m＜\frac{17}{6}$。
【答案】
(1)$\frac{3}{2}＜m＜\frac{5}{3}$；(2)$\frac{12}{5}＜m＜\frac{17}{6}$
【知识点】
二次函数图像性质，一元二次方程根的分布，一元一次不等式组求解
【点评】
本题核心是利用二次函数与一元二次方程的对应关系，结合图像特征列不等式组求解，解题时需注意所有约束条件要同时满足，最终解集取各不等式解集的交集，计算过程中要注意符号运算避免出错。
【难度系数】
0.6
6. (2025·杭州期中)已知抛物线$y=-x^2+bx+c$的顶点坐标为$(2,5)$，若关于$x$的方程$-x^2+bx+c-k=0$在$-1≤ x≤4$范围内有两个不同的实数根，则实数$k$的取值范围是
$1≤k＜5$
。答案
6. $1≤k＜5$ 解析:
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$的顶点坐标为$(2,5)$,$\therefore y=-(x-2)^2+5$,即$y=-x^2+4x+1$,$\therefore b=4,c=1$,将$b=4,c=1$代入$-x^2+bx+c-k=0$中得$-x^2+4x+1-k=0$.
∵方程在$-1≤x≤4$范围内有两个不同的实数根,$\therefore b^2-4ac=16-4(k-1)=20-4k＞0$,对应二次函数对称轴为$x=-\frac{4}{2×(-1)}=2$,$\therefore k＜5$.
∵抛物线开口向下,顶点坐标为$(2,5-k)$,
∴顶点处的函数值最大,要使抛物线在$-1≤x≤4$范围内与$x$轴有两个交点,需要满足$\begin{cases}k+4≥0,\\k-1≥0,\\k＜5,\end{cases}$解得$1≤k＜5$.
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$的顶点坐标为$(2,5)$,$\therefore y=-(x-2)^2+5$,即$y=-x^2+4x+1$,$\therefore b=4,c=1$,将$b=4,c=1$代入$-x^2+bx+c-k=0$中得$-x^2+4x+1-k=0$.
∵方程在$-1≤x≤4$范围内有两个不同的实数根,$\therefore b^2-4ac=16-4(k-1)=20-4k＞0$,对应二次函数对称轴为$x=-\frac{4}{2×(-1)}=2$,$\therefore k＜5$.
∵抛物线开口向下,顶点坐标为$(2,5-k)$,
∴顶点处的函数值最大,要使抛物线在$-1≤x≤4$范围内与$x$轴有两个交点,需要满足$\begin{cases}k+4≥0,\\k-1≥0,\\k＜5,\end{cases}$解得$1≤k＜5$.
解析
【分析】
解题时首先根据已知的抛物线顶点坐标，用顶点式求出抛物线的具体解析式；再将关于x的方程有两个不同实根的问题，转化为抛物线与水平直线$y=k$在指定区间内有两个不同交点的问题；接下来结合二次函数的开口方向、对称轴位置、区间端点的函数值逐步推导k的取值范围，注意验证端点值是否满足条件。
【解析】
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$的顶点坐标为$(2,5)$，
∴抛物线的顶点式为$y=-(x-2)^2+5$，展开得$y=-x^2+4x+1$，即$b=4$，$c=1$。
将$b=4,c=1$代入方程$-x^2+bx+c-k=0$，得$-x^2+4x+1-k=0$。
该方程在$-1≤x≤4$范围内有两个不同的实数根，等价于二次函数$y=-x^2+4x+1$与直线$y=k$在$-1≤x≤4$范围内有两个不同交点：
1. 抛物线开口向下，顶点坐标为$(2,5)$，要存在两个不同交点，需$k＜5$（$k=5$时仅有1个交点即顶点，不符合要求）；
2. 计算区间端点的函数值：
当$x=4$时，$y=-4^2+4×4+1=1$；
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2+4×(-1)+1=-4$；
要保证两个交点都落在$-1≤x≤4$范围内，需$k≥1$（若$k＜1$，仅有1个交点落在区间内，另一个交点在$x＜-1$的区域，不符合要求）。
综上，实数k的取值范围是$1≤k＜5$。
【答案】
$1≤k＜5$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数根的分布
【点评】
本题将一元二次方程根的分布问题与二次函数图象性质结合考查，解题的关键是完成方程问题到函数图象交点问题的转化，分析时要结合开口方向、对称轴、区间端点函数值综合判断，尤其注意端点取值的取舍，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知的抛物线顶点坐标，用顶点式求出抛物线的具体解析式；再将关于x的方程有两个不同实根的问题，转化为抛物线与水平直线$y=k$在指定区间内有两个不同交点的问题；接下来结合二次函数的开口方向、对称轴位置、区间端点的函数值逐步推导k的取值范围，注意验证端点值是否满足条件。
【解析】
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$的顶点坐标为$(2,5)$，
∴抛物线的顶点式为$y=-(x-2)^2+5$，展开得$y=-x^2+4x+1$，即$b=4$，$c=1$。
将$b=4,c=1$代入方程$-x^2+bx+c-k=0$，得$-x^2+4x+1-k=0$。
该方程在$-1≤x≤4$范围内有两个不同的实数根，等价于二次函数$y=-x^2+4x+1$与直线$y=k$在$-1≤x≤4$范围内有两个不同交点：
1. 抛物线开口向下，顶点坐标为$(2,5)$，要存在两个不同交点，需$k＜5$（$k=5$时仅有1个交点即顶点，不符合要求）；
2. 计算区间端点的函数值：
当$x=4$时，$y=-4^2+4×4+1=1$；
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2+4×(-1)+1=-4$；
要保证两个交点都落在$-1≤x≤4$范围内，需$k≥1$（若$k＜1$，仅有1个交点落在区间内，另一个交点在$x＜-1$的区域，不符合要求）。
综上，实数k的取值范围是$1≤k＜5$。
【答案】
$1≤k＜5$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数根的分布
【点评】
本题将一元二次方程根的分布问题与二次函数图象性质结合考查，解题的关键是完成方程问题到函数图象交点问题的转化，分析时要结合开口方向、对称轴、区间端点函数值综合判断，尤其注意端点取值的取舍，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.6
