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1. 在平面直角坐标系内,点$A(-1,0)$,点$B(0,1)$,若抛物线$y=ax^2 -x +1(a≠0)$与射线AB有两个不同的交点,则$a$的取值范围是
$a≤-2$ 或 $a＞0$
.答案
1. $a≤-2$ 或 $a＞0$
解析
【分析】
要解决抛物线与射线AB的交点问题，首先需要求出射线AB的解析式及自变量的取值范围，再将交点问题转化为联立方程的解的问题，最后结合射线的x的取值范围分类讨论a的取值即可。步骤如下：1. 用待定系数法求直线AB的解析式，明确射线AB的x的取值范围为x≥-1；2. 联立抛物线与直线AB的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的两个根；3. 由于其中一个根天然满足射线的x范围，只需判断另一个根是否符合x≥-1，分a＞0和a＜0两种情况讨论，解不等式得到a的取值范围。
【解析】
第一步：求射线AB的解析式和取值范围
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,0)$、$B(0,1)$代入得：
$\begin{cases}0=-k+b\\1=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=1\end{cases}$
因此直线AB的解析式为$y=x+1$，射线AB是从$A(-1,0)$出发过$B(0,1)$的射线，故自变量取值范围为$x≥-1$。
第二步：联立方程求根
联立抛物线$y=ax^2 -x +1$与直线$y=x+1$，得：
$ax^2 -x +1 = x+1$
整理得$ax^2 -2x=0$，因式分解为$x(ax-2)=0$
解得两个根：$x_1=0$，$x_2=\frac{2}{a}$（$a≠0$）
第三步：结合射线范围分类讨论
其中$x_1=0$满足$x≥-1$，要使抛物线与射线有两个不同交点，需$x_2=\frac{2}{a}$也满足$x≥-1$，且$x_1≠ x_2$（因$a≠0$，$x_2≠0$，天然满足两个根不同）：
1. 当$a＞0$时，$x_2=\frac{2}{a}＞0≥-1$，符合要求；
2. 当$a＜0$时，解不等式$\frac{2}{a}≥-1$，两边乘负数$a$，不等号变向，得$2≤ -a$，即$a≤-2$，此时$x_2=\frac{2}{a}≥-1$，符合要求；
若$-2＜a＜0$，则$\frac{2}{a}＜-1$，不在射线取值范围内，仅1个交点，不符合要求。
综上，$a$的取值范围是$a≤-2$或$a＞0$。
【答案】
$a≤-2$ 或 $a＞0$
【知识点】
1. 射线的函数表示
2. 函数交点与方程根的关系
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是抛物线与射线交点的典型题型，解题的关键是不能只关注方程的根的存在性，还要注意射线的自变量取值范围，避免忽略根的适用范围导致错解，分类讨论含参数的不等式时要注意不等号的变号规则。
【难度系数】
0.6
要解决抛物线与射线AB的交点问题，首先需要求出射线AB的解析式及自变量的取值范围，再将交点问题转化为联立方程的解的问题，最后结合射线的x的取值范围分类讨论a的取值即可。步骤如下：1. 用待定系数法求直线AB的解析式，明确射线AB的x的取值范围为x≥-1；2. 联立抛物线与直线AB的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的两个根；3. 由于其中一个根天然满足射线的x范围，只需判断另一个根是否符合x≥-1，分a＞0和a＜0两种情况讨论，解不等式得到a的取值范围。
【解析】
第一步：求射线AB的解析式和取值范围
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,0)$、$B(0,1)$代入得：
$\begin{cases}0=-k+b\\1=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=1\end{cases}$
因此直线AB的解析式为$y=x+1$，射线AB是从$A(-1,0)$出发过$B(0,1)$的射线，故自变量取值范围为$x≥-1$。
第二步：联立方程求根
联立抛物线$y=ax^2 -x +1$与直线$y=x+1$，得：
$ax^2 -x +1 = x+1$
整理得$ax^2 -2x=0$，因式分解为$x(ax-2)=0$
解得两个根：$x_1=0$，$x_2=\frac{2}{a}$（$a≠0$）
第三步：结合射线范围分类讨论
其中$x_1=0$满足$x≥-1$，要使抛物线与射线有两个不同交点，需$x_2=\frac{2}{a}$也满足$x≥-1$，且$x_1≠ x_2$（因$a≠0$，$x_2≠0$，天然满足两个根不同）：
1. 当$a＞0$时，$x_2=\frac{2}{a}＞0≥-1$，符合要求；
2. 当$a＜0$时，解不等式$\frac{2}{a}≥-1$，两边乘负数$a$，不等号变向，得$2≤ -a$，即$a≤-2$，此时$x_2=\frac{2}{a}≥-1$，符合要求；
若$-2＜a＜0$，则$\frac{2}{a}＜-1$，不在射线取值范围内，仅1个交点，不符合要求。
综上，$a$的取值范围是$a≤-2$或$a＞0$。
【答案】
$a≤-2$ 或 $a＞0$
【知识点】
1. 射线的函数表示
2. 函数交点与方程根的关系
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是抛物线与射线交点的典型题型，解题的关键是不能只关注方程的根的存在性，还要注意射线的自变量取值范围，避免忽略根的适用范围导致错解，分类讨论含参数的不等式时要注意不等号的变号规则。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线$y=x^2 -2x -3$的顶点为A,与y轴交于点C,线段$CB// x$轴,交该抛物线于另一点B.平移抛物线$y=x^2 -2x -3$,使其顶点始终在直线AC上移动,当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时,设此时抛物线的顶点的横坐标为n,n的取值范围是
$1＜n≤4$ 或 $n=\frac{7}{8}$
. 答案
2. $1＜n≤4$ 或 $n=\frac{7}{8}$ 解析:$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4,\therefore$ 顶点A(1,-4),令x=0,则y=-3,$\therefore C(0,-3)$.当y=-3时,由$(x-1)^2-4=-3$,解得$x_1=0,x_2=2$,$\therefore B(2,-3)$.设直线AC的表达式为y=kx+b,$\therefore \begin{cases}k+b=-4,\\b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-3,\end{cases}$$\therefore y=-x-3$.
①
,当抛物线向左平移h个单位,则向上平移h个单位,$\therefore$ 平移后的抛物线表达式为$y=(x-1+h)^2-4+h$,设直线BA的表达式为$y=k'x+b'$,$\therefore \begin{cases}2k'+b'=-3,\\k'+b'=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k'=1,\\b'=-5,\end{cases}$$\therefore y=x-5$.联立方程组$\begin{cases}y=x-5,\\y=(x-1+h)^2-4+h,\end{cases}$整理得$x^2-(3-2h)x+h^2-h+2=0$,当$(3-2h)^2-4(h^2-h+2)=0$时,解得$h=\frac{1}{8}$,此时抛物线的顶点为$(\frac{7}{8},-\frac{31}{8})$,此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点.②
,当抛物线向右平移k个单位,则向下平移k个单位,$\therefore$ 平移后的抛物线表达式为$y=(x-1-k)^2-4-k$,当抛物线经过点B时,$(2-1-k)^2-4-k=-3$,解得k=0(舍)或k=3,此时抛物线的顶点坐标为(4,-7),此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点,当抛物线的顶点为(1,-4)时,抛物线与射线BA有两个公共点.综上所述,$1＜n≤4$ 或 $n=\frac{7}{8}$.解析
【分析】
解题时首先求出原抛物线的顶点A、与y轴交点C、以及平行于x轴的线段CB的端点B的坐标，再分别求出直线AC和射线BA所在直线的解析式；由于平移后抛物线的顶点始终在直线AC上，因此可将平移后抛物线的顶点用横坐标n表示，进而写出平移后的抛物线解析式；接下来分两种情况讨论：①平移后抛物线与射线BA所在直线相切，此时联立两个解析式得到的一元二次方程判别式为0，可求出对应n的值；②平移后抛物线与射线BA相交但只有一个公共点，此时找到抛物线经过点B时的n值，结合边界情况分析即可得到n的取值范围。
【解析】
首先对原抛物线解析式变形：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，因此顶点$A(1,-4)$；
令$x=0$，得$y=-3$，因此$C(0,-3)$；
因为$CB// x$轴，令$y=-3$，代入抛物线得$(x-1)^2-4=-3$，解得$x_1=0,x_2=2$，因此$B(2,-3)$。
1. 求直线AC解析式：设$y=kx+b$，代入$A(1,-4)$、$C(0,-3)$得：
$\begin{cases}k+b=-4\\b=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=-3\end{cases}$，因此直线AC解析式为$y=-x-3$。
平移后的抛物线顶点在AC上，且顶点横坐标为n，因此顶点坐标为$(n, -n-3)$，平移后的抛物线解析式为$y=(x-n)^2 -n -3$。
2. 求直线BA解析式：设$y=k'x+b'$，代入$B(2,-3)$、$A(1,-4)$得：
$\begin{cases}2k'+b'=-3\\k'+b'=-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k'=1\\b'=-5\end{cases}$，因此直线BA解析式为$y=x-5$。
3. 分情况讨论平移后抛物线与射线BA的交点：
① 当平移后抛物线与直线BA相切时，联立$\begin{cases}y=x-5\\y=(x-n)^2 -n -3\end{cases}$，整理得$x^2-(2n+1)x +n^2 +n -2=0$，
令判别式$\Delta=(2n+1)^2-4(n^2 +n -2)=0$，解得$n=\frac{7}{8}$，此时抛物线与直线BA只有1个公共点，且该点在射线BA上，符合要求。
② 当抛物线过点$B(2,-3)$时，将B代入平移后抛物线解析式得：$(2-n)^2 -n -3=-3$，
整理得$n^2-5n+4=0$，解得$n_1=1$（此时顶点为原顶点A，抛物线与射线BA有A、B两个公共点，舍去），$n_2=4$；
当$1＜n≤4$时，平移后的抛物线与射线BA仅存在一个公共点，符合要求。
综上，n的取值范围是$1＜n≤4$ 或 $n=\frac{7}{8}$。
【答案】
$1＜n≤4$ 或 $n=\frac{7}{8}$
【知识点】
二次函数的平移；函数交点与方程的关系；根的判别式应用
【点评】
本题属于二次函数综合题，解题关键是掌握二次函数平移规律，明确函数交点个数与联立后方程根的个数的关系，解题时需注意题目限制的是射线BA而非整条直线，要注意分类讨论和边界值的取舍，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4
解题时首先求出原抛物线的顶点A、与y轴交点C、以及平行于x轴的线段CB的端点B的坐标，再分别求出直线AC和射线BA所在直线的解析式；由于平移后抛物线的顶点始终在直线AC上，因此可将平移后抛物线的顶点用横坐标n表示，进而写出平移后的抛物线解析式；接下来分两种情况讨论：①平移后抛物线与射线BA所在直线相切，此时联立两个解析式得到的一元二次方程判别式为0，可求出对应n的值；②平移后抛物线与射线BA相交但只有一个公共点，此时找到抛物线经过点B时的n值，结合边界情况分析即可得到n的取值范围。
【解析】
首先对原抛物线解析式变形：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，因此顶点$A(1,-4)$；
令$x=0$，得$y=-3$，因此$C(0,-3)$；
因为$CB// x$轴，令$y=-3$，代入抛物线得$(x-1)^2-4=-3$，解得$x_1=0,x_2=2$，因此$B(2,-3)$。
1. 求直线AC解析式：设$y=kx+b$，代入$A(1,-4)$、$C(0,-3)$得：
$\begin{cases}k+b=-4\\b=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=-3\end{cases}$，因此直线AC解析式为$y=-x-3$。
平移后的抛物线顶点在AC上，且顶点横坐标为n，因此顶点坐标为$(n, -n-3)$，平移后的抛物线解析式为$y=(x-n)^2 -n -3$。
2. 求直线BA解析式：设$y=k'x+b'$，代入$B(2,-3)$、$A(1,-4)$得：
$\begin{cases}2k'+b'=-3\\k'+b'=-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k'=1\\b'=-5\end{cases}$，因此直线BA解析式为$y=x-5$。
3. 分情况讨论平移后抛物线与射线BA的交点：
① 当平移后抛物线与直线BA相切时，联立$\begin{cases}y=x-5\\y=(x-n)^2 -n -3\end{cases}$，整理得$x^2-(2n+1)x +n^2 +n -2=0$，
令判别式$\Delta=(2n+1)^2-4(n^2 +n -2)=0$，解得$n=\frac{7}{8}$，此时抛物线与直线BA只有1个公共点，且该点在射线BA上，符合要求。
② 当抛物线过点$B(2,-3)$时，将B代入平移后抛物线解析式得：$(2-n)^2 -n -3=-3$，
整理得$n^2-5n+4=0$，解得$n_1=1$（此时顶点为原顶点A，抛物线与射线BA有A、B两个公共点，舍去），$n_2=4$；
当$1＜n≤4$时，平移后的抛物线与射线BA仅存在一个公共点，符合要求。
综上，n的取值范围是$1＜n≤4$ 或 $n=\frac{7}{8}$。
【答案】
$1＜n≤4$ 或 $n=\frac{7}{8}$
【知识点】
二次函数的平移；函数交点与方程的关系；根的判别式应用
【点评】
本题属于二次函数综合题，解题关键是掌握二次函数平移规律，明确函数交点个数与联立后方程根的个数的关系，解题时需注意题目限制的是射线BA而非整条直线，要注意分类讨论和边界值的取舍，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4
3. 在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数,且$a＜0)$经过$A(-1,0)$和$B(5,0)$两点.已知点$M(1,7),N(6,7)$,若该抛物线与线段$MN$恰有一个公共点,则$a$的取值范围是（
A.$a=-\frac{7}{9}$或$a≤-\frac{7}{8}$
B.$a≤-\frac{7}{9}$
C.$a=-\frac{7}{9}$或$a＜-\frac{7}{8}$
D.$a＜-\frac{7}{9}$
C
）A.$a=-\frac{7}{9}$或$a≤-\frac{7}{8}$
B.$a≤-\frac{7}{9}$
C.$a=-\frac{7}{9}$或$a＜-\frac{7}{8}$
D.$a＜-\frac{7}{9}$
答案
3. C
解析
【分析】
已知抛物线过A(-1,0)、B(5,0)两点，可先设交点式简化计算，抛物线对称轴为两点横坐标的中点即x=2，且开口向下（a＜0）。线段MN的解析式为y=7，x的取值范围是1≤x≤6，问题可转化为抛物线与直线y=7在x∈[1,6]上恰有1个解。分两种情况讨论：①抛物线与y=7相切，且切点在[1,6]范围内；②抛物线与y=7有两个交点，仅1个交点落在[1,6]范围内，结合端点函数值分析即可求出a的取值范围。
【解析】
1. 设抛物线解析式
∵抛物线过A(-1,0)、B(5,0)，
∴设抛物线为$y=a(x+1)(x-5)$（$a＜0$），对称轴为$x=\frac{-1+5}{2}=2$。
2. 转化交点问题
线段MN对应的函数为$y=7$（$1≤x≤6$），题意等价于方程$a(x+1)(x-5)=7$在$x∈[1,6]$上恰有1个实数根。
3. 情况1：抛物线与直线$y=7$相切
整理方程得$ax^2-4ax-(5a+7)=0$，判别式$\Delta=(-4a)^2+4a(5a+7)=36a^2+28a=0$
∵$a≠0$，
∴$36a+28=0$，解得$a=-\frac{7}{9}$
此时切点横坐标为对称轴$x=2$，在$[1,6]$范围内，符合条件。
4. 情况2：抛物线与直线$y=7$有两个交点，仅1个在$[1,6]$内
∵$a＜0$，抛物线开口向下，当$x＞5$时，$(x+1)(x-5)＞0$，故$y=a(x+1)(x-5)＜0＜7$，因此两个交点都在$x＜5$的范围内。
若$a=-\frac{7}{8}$，代入$x=1$得$y=-8a=7$，此时方程的两个根为$x=1$和$x=3$，都在$[1,6]$内，有2个公共点，不符合要求。
因此要仅1个交点在$[1,6]$内，需$x=1$处的函数值大于7，即$-8a＞7$，解得$a＜-\frac{7}{8}$。
5. 综合两种情况，a的取值范围是$a=-\frac{7}{9}$或$a＜-\frac{7}{8}$。
【答案】
C
【知识点】
抛物线交点式，抛物线与线段交点，一元二次方程判别式
【点评】
本题考查抛物线与线段的交点问题，用交点式简化解析式是解题的基础，结合相切和端点取值分类讨论是解题核心，注意排除出现两个交点的特殊边界情况。
【难度系数】
0.6
已知抛物线过A(-1,0)、B(5,0)两点，可先设交点式简化计算，抛物线对称轴为两点横坐标的中点即x=2，且开口向下（a＜0）。线段MN的解析式为y=7，x的取值范围是1≤x≤6，问题可转化为抛物线与直线y=7在x∈[1,6]上恰有1个解。分两种情况讨论：①抛物线与y=7相切，且切点在[1,6]范围内；②抛物线与y=7有两个交点，仅1个交点落在[1,6]范围内，结合端点函数值分析即可求出a的取值范围。
【解析】
1. 设抛物线解析式
∵抛物线过A(-1,0)、B(5,0)，
∴设抛物线为$y=a(x+1)(x-5)$（$a＜0$），对称轴为$x=\frac{-1+5}{2}=2$。
2. 转化交点问题
线段MN对应的函数为$y=7$（$1≤x≤6$），题意等价于方程$a(x+1)(x-5)=7$在$x∈[1,6]$上恰有1个实数根。
3. 情况1：抛物线与直线$y=7$相切
整理方程得$ax^2-4ax-(5a+7)=0$，判别式$\Delta=(-4a)^2+4a(5a+7)=36a^2+28a=0$
∵$a≠0$，
∴$36a+28=0$，解得$a=-\frac{7}{9}$
此时切点横坐标为对称轴$x=2$，在$[1,6]$范围内，符合条件。
4. 情况2：抛物线与直线$y=7$有两个交点，仅1个在$[1,6]$内
∵$a＜0$，抛物线开口向下，当$x＞5$时，$(x+1)(x-5)＞0$，故$y=a(x+1)(x-5)＜0＜7$，因此两个交点都在$x＜5$的范围内。
若$a=-\frac{7}{8}$，代入$x=1$得$y=-8a=7$，此时方程的两个根为$x=1$和$x=3$，都在$[1,6]$内，有2个公共点，不符合要求。
因此要仅1个交点在$[1,6]$内，需$x=1$处的函数值大于7，即$-8a＞7$，解得$a＜-\frac{7}{8}$。
5. 综合两种情况，a的取值范围是$a=-\frac{7}{9}$或$a＜-\frac{7}{8}$。
【答案】
C
【知识点】
抛物线交点式，抛物线与线段交点，一元二次方程判别式
【点评】
本题考查抛物线与线段的交点问题，用交点式简化解析式是解题的基础，结合相切和端点取值分类讨论是解题核心，注意排除出现两个交点的特殊边界情况。
【难度系数】
0.6
4. 已知抛物线$y=x^2 -kx -k$，$A(1,-2)$，$B(4,10)$。抛物线与线段AB（包括A，B两点）有两个交点，则k的取值范围为
$-6+2\sqrt{11}＜k≤\frac{6}{5}$
。答案
4. $-6+2\sqrt{11}＜k≤\frac{6}{5}$
解析
【分析】
要解决抛物线与线段AB的交点问题，首先先求出线段AB对应的一次函数解析式，再将其与抛物线解析式联立，转化为一元二次方程在区间[1,4]上有两个不同实根的问题，最后结合二次函数根的分布的相关条件列不等式求解即可，解题时要注意线段的x取值范围限制，以及端点处的取值情况。
【解析】
1. 求线段AB的函数解析式
设直线AB的解析式为$y=mx+n$，将$A(1,-2)$、$B(4,10)$代入得：
$\begin{cases}m+n=-2\\4m+n=10\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=4\\n=-6\end{cases}$
因此线段AB对应的函数为$y=4x-6$（$1≤ x≤4$）。
2. 联立方程转化为根的分布问题
联立抛物线$y=x^2-kx-k$与直线AB的解析式，消去y得：
$x^2 -kx -k = 4x -6$
整理得：$x^2 -(k+4)x + (6 -k) = 0$
设$f(x)=x^2 -(k+4)x + 6 -k$，抛物线与线段AB有两个交点等价于$f(x)$在$x\in[1,4]$上有两个不同的零点，需满足以下条件：
（1）判别式$\Delta＞0$（保证有两个不同实根）：
$\Delta=(k+4)^2 -4×1×(6 -k) = k^2 +12k -8＞0$
解不等式得：$k＜-6-2\sqrt{11}$或$k＞-6+2\sqrt{11}$
（2）对称轴在区间$(1,4)$内：
对称轴$x=\frac{k+4}{2}$，故$1＜\frac{k+4}{2}＜4$，解得$-2＜k＜4$
（3）区间端点处函数值非负：
$f(1)=1-(k+4)+6-k=3-2k≥0$，解得$k≤\frac{3}{2}$
$f(4)=16-4(k+4)+6-k=6-5k≥0$，解得$k≤\frac{6}{5}$
3. 综合所有条件取交集
结合上述所有不等式，取公共部分得取值范围。
【答案】
$-6+2\sqrt{11}＜k≤\frac{6}{5}$
【知识点】
一次函数解析式求法；二次函数根的分布；抛物线与线段交点
【点评】
本题的核心是将几何交点问题转化为代数的二次方程根的分布问题，解题时需注意线段的取值范围限制，同时不要遗漏端点的等号取值判断，是代数与几何结合的典型题型。
【难度系数】
0.4
要解决抛物线与线段AB的交点问题，首先先求出线段AB对应的一次函数解析式，再将其与抛物线解析式联立，转化为一元二次方程在区间[1,4]上有两个不同实根的问题，最后结合二次函数根的分布的相关条件列不等式求解即可，解题时要注意线段的x取值范围限制，以及端点处的取值情况。
【解析】
1. 求线段AB的函数解析式
设直线AB的解析式为$y=mx+n$，将$A(1,-2)$、$B(4,10)$代入得：
$\begin{cases}m+n=-2\\4m+n=10\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=4\\n=-6\end{cases}$
因此线段AB对应的函数为$y=4x-6$（$1≤ x≤4$）。
2. 联立方程转化为根的分布问题
联立抛物线$y=x^2-kx-k$与直线AB的解析式，消去y得：
$x^2 -kx -k = 4x -6$
整理得：$x^2 -(k+4)x + (6 -k) = 0$
设$f(x)=x^2 -(k+4)x + 6 -k$，抛物线与线段AB有两个交点等价于$f(x)$在$x\in[1,4]$上有两个不同的零点，需满足以下条件：
（1）判别式$\Delta＞0$（保证有两个不同实根）：
$\Delta=(k+4)^2 -4×1×(6 -k) = k^2 +12k -8＞0$
解不等式得：$k＜-6-2\sqrt{11}$或$k＞-6+2\sqrt{11}$
（2）对称轴在区间$(1,4)$内：
对称轴$x=\frac{k+4}{2}$，故$1＜\frac{k+4}{2}＜4$，解得$-2＜k＜4$
（3）区间端点处函数值非负：
$f(1)=1-(k+4)+6-k=3-2k≥0$，解得$k≤\frac{3}{2}$
$f(4)=16-4(k+4)+6-k=6-5k≥0$，解得$k≤\frac{6}{5}$
3. 综合所有条件取交集
结合上述所有不等式，取公共部分得取值范围。
【答案】
$-6+2\sqrt{11}＜k≤\frac{6}{5}$
【知识点】
一次函数解析式求法；二次函数根的分布；抛物线与线段交点
【点评】
本题的核心是将几何交点问题转化为代数的二次方程根的分布问题，解题时需注意线段的取值范围限制，同时不要遗漏端点的等号取值判断，是代数与几何结合的典型题型。
【难度系数】
0.4
5. （2026·南通期中）在平面直角坐标系中，抛物线$y=x^2+bx+c$（$b,c$为常数）的对称轴为直线$x=1$，与$y$轴交点的坐标为$(0,-2)$，点$A$、点$B$均在这个抛物线上（点$A$在点$B$的左侧），点$A$的横坐标为$m$，点$B$的横坐标为$1-2m$.
(1)求此抛物线对应的函数表达式.
(2)将此抛物线上$A,B$两点之间的部分(包括$A,B$两点)记为图象$G$.设点$E$的坐标为$(-2-2m,1)$,点$F$的坐标为$(-2-2m,-3-2m)$,连结$EF$,当线段$EF$和图象$G$有公共点时,求$m$的取值范围.
(1)求此抛物线对应的函数表达式.
(2)将此抛物线上$A,B$两点之间的部分(包括$A,B$两点)记为图象$G$.设点$E$的坐标为$(-2-2m,1)$,点$F$的坐标为$(-2-2m,-3-2m)$,连结$EF$,当线段$EF$和图象$G$有公共点时,求$m$的取值范围.
答案
5. (1)$\because$ 抛物线$y=x^2+bx+c(b,c$为常数)的对称轴为直线$x=1$,与$y$轴交点的坐标为$(0,-2)$,$\therefore -\frac{b}{2}=1$,$c=-2$,$\therefore b=-2$,$\therefore$ 此抛物线对应的函数表达式为$y=x^2-2x-2$.
(2)由题意得$m＜1-2m$,即$m＜\frac{1}{3}$,当线段$EF$与图象$G$有公共点时,$m≤-2-2m≤1-2m$,解得$m≤-\frac{2}{3}$,当$x=-2-2m$时,代入抛物线表达式可得$y=(-2-2m)^2-2(-2-2m)-2=4m^2+12m+6$,设线段$EF$与抛物线的交点为$P$,则$P(-2-2m,4m^2+12m+6)$,由题意可知点$P$在线段$EF$上.
当$1＞-3-2m$,即$m＞-2$时,则点$E$在点$F$上方,$\therefore -3-2m≤4m^2+12m+6≤1$,又$m≤-\frac{2}{3}$,解得$\frac{-7+\sqrt{13}}{4}≤m≤-\frac{2}{3}$;
当$1＜-3-2m$,即$m＜-2$时,则点$E$在点$F$下方,$\therefore 1≤4m^2+12m+6≤-3-2m$,又$m≤-\frac{2}{3}$,解得$-\frac{7+\sqrt{13}}{4}≤m≤-\frac{5}{2}$.综上所述,$-\frac{7+\sqrt{13}}{4}≤m≤-\frac{5}{2}$或$\frac{-7+\sqrt{13}}{4}≤m≤-\frac{2}{3}$.
(2)由题意得$m＜1-2m$,即$m＜\frac{1}{3}$,当线段$EF$与图象$G$有公共点时,$m≤-2-2m≤1-2m$,解得$m≤-\frac{2}{3}$,当$x=-2-2m$时,代入抛物线表达式可得$y=(-2-2m)^2-2(-2-2m)-2=4m^2+12m+6$,设线段$EF$与抛物线的交点为$P$,则$P(-2-2m,4m^2+12m+6)$,由题意可知点$P$在线段$EF$上.
当$1＞-3-2m$,即$m＞-2$时,则点$E$在点$F$上方,$\therefore -3-2m≤4m^2+12m+6≤1$,又$m≤-\frac{2}{3}$,解得$\frac{-7+\sqrt{13}}{4}≤m≤-\frac{2}{3}$;
当$1＜-3-2m$,即$m＜-2$时,则点$E$在点$F$下方,$\therefore 1≤4m^2+12m+6≤-3-2m$,又$m≤-\frac{2}{3}$,解得$-\frac{7+\sqrt{13}}{4}≤m≤-\frac{5}{2}$.综上所述,$-\frac{7+\sqrt{13}}{4}≤m≤-\frac{5}{2}$或$\frac{-7+\sqrt{13}}{4}≤m≤-\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知二次项系数$a=1$，结合给出的对称轴和y轴交点两个条件，利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可求出$b$的值，y轴交点的纵坐标即为$c$的值，代入即可得到函数表达式。
(2) 首先根据点A在点B左侧，得到A的横坐标小于B的横坐标，先确定$m$的初步范围；线段EF是横坐标固定的竖直线段，要和图象G有公共点，首先EF的横坐标要在A、B的横坐标之间，得到$m$的第二个范围；再求出抛物线在该横坐标处的函数值，该函数值需要落在E、F两点的纵坐标之间，此处需分E在F上方和E在F下方两种情况讨论，分别解不等式组，最后结合前置范围合并得到$m$的最终取值范围。
【解析】
(1) 已知抛物线$y=x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，与y轴交点坐标为$(0,-2)$，
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=1$，
$\therefore -\frac{b}{2×1}=1$，解得$b=-2$，
又$\because$ 抛物线与y轴交点的纵坐标等于$c$，$\therefore c=-2$，
$\therefore$ 此抛物线对应的函数表达式为$y=x^2-2x-2$。
(2) $\because$ 点A在点B左侧，点A横坐标为$m$，点B横坐标为$1-2m$，
$\therefore m ＜ 1-2m$，解得$m ＜ \frac{1}{3}$。
线段EF的横坐标均为$-2-2m$，为竖直线段，要使EF与图象G有公共点，首先横坐标需在A、B的横坐标之间，即：
$m ≤ -2-2m ≤ 1-2m$，
右侧不等式$-2-2m ≤ 1-2m$恒成立，解左侧不等式得$m ≤ -\frac{2}{3}$。
将$x=-2-2m$代入抛物线解析式，得对应函数值：
$y=(-2-2m)^2 - 2(-2-2m) - 2 = 4m^2 + 12m + 6$，
设线段EF与抛物线的交点为$P(-2-2m,4m^2+12m+6)$，则P需在线段EF上，分两种情况讨论：
① 当$1 ＞ -3-2m$，即$m ＞ -2$时，点E在点F上方，P的纵坐标满足：
$-3-2m ≤ 4m^2 + 12m + 6 ≤ 1$，
结合$m ≤ -\frac{2}{3}$，解不等式组得$\frac{-7+\sqrt{13}}{4} ≤ m ≤ -\frac{2}{3}$；
② 当$1 ＜ -3-2m$，即$m ＜ -2$时，点E在点F下方，P的纵坐标满足：
$1 ≤ 4m^2 + 12m + 6 ≤ -3-2m$，
结合$m ≤ -\frac{2}{3}$，解不等式组得$-\frac{7+\sqrt{13}}{4} ≤ m ≤ -\frac{5}{2}$。
综上所述，$m$的取值范围为$-\frac{7+\sqrt{13}}{4} ≤ m ≤ -\frac{5}{2}$或$\frac{-7+\sqrt{13}}{4} ≤ m ≤ -\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-2$；
(2) $-\frac{7+\sqrt{13}}{4} ≤ m ≤ -\frac{5}{2}$或$\frac{-7+\sqrt{13}}{4} ≤ m ≤ -\frac{2}{3}$
【知识点】
二次函数解析式确定，二次函数与线段交点，不等式组求解
【点评】
本题属于二次函数综合题，解题关键是先明确抛物线的基本性质，再结合线段与抛物线有交点的条件，先限定横坐标范围，再分类讨论纵坐标的取值范围，易错点是忽略E、F两点的上下位置分类，以及前置的m的取值范围限制。
【难度系数】
0.3
(1) 求抛物线解析式时，已知二次项系数$a=1$，结合给出的对称轴和y轴交点两个条件，利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可求出$b$的值，y轴交点的纵坐标即为$c$的值，代入即可得到函数表达式。
(2) 首先根据点A在点B左侧，得到A的横坐标小于B的横坐标，先确定$m$的初步范围；线段EF是横坐标固定的竖直线段，要和图象G有公共点，首先EF的横坐标要在A、B的横坐标之间，得到$m$的第二个范围；再求出抛物线在该横坐标处的函数值，该函数值需要落在E、F两点的纵坐标之间，此处需分E在F上方和E在F下方两种情况讨论，分别解不等式组，最后结合前置范围合并得到$m$的最终取值范围。
【解析】
(1) 已知抛物线$y=x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，与y轴交点坐标为$(0,-2)$，
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=1$，
$\therefore -\frac{b}{2×1}=1$，解得$b=-2$，
又$\because$ 抛物线与y轴交点的纵坐标等于$c$，$\therefore c=-2$，
$\therefore$ 此抛物线对应的函数表达式为$y=x^2-2x-2$。
(2) $\because$ 点A在点B左侧，点A横坐标为$m$，点B横坐标为$1-2m$，
$\therefore m ＜ 1-2m$，解得$m ＜ \frac{1}{3}$。
线段EF的横坐标均为$-2-2m$，为竖直线段，要使EF与图象G有公共点，首先横坐标需在A、B的横坐标之间，即：
$m ≤ -2-2m ≤ 1-2m$，
右侧不等式$-2-2m ≤ 1-2m$恒成立，解左侧不等式得$m ≤ -\frac{2}{3}$。
将$x=-2-2m$代入抛物线解析式，得对应函数值：
$y=(-2-2m)^2 - 2(-2-2m) - 2 = 4m^2 + 12m + 6$，
设线段EF与抛物线的交点为$P(-2-2m,4m^2+12m+6)$，则P需在线段EF上，分两种情况讨论：
① 当$1 ＞ -3-2m$，即$m ＞ -2$时，点E在点F上方，P的纵坐标满足：
$-3-2m ≤ 4m^2 + 12m + 6 ≤ 1$，
结合$m ≤ -\frac{2}{3}$，解不等式组得$\frac{-7+\sqrt{13}}{4} ≤ m ≤ -\frac{2}{3}$；
② 当$1 ＜ -3-2m$，即$m ＜ -2$时，点E在点F下方，P的纵坐标满足：
$1 ≤ 4m^2 + 12m + 6 ≤ -3-2m$，
结合$m ≤ -\frac{2}{3}$，解不等式组得$-\frac{7+\sqrt{13}}{4} ≤ m ≤ -\frac{5}{2}$。
综上所述，$m$的取值范围为$-\frac{7+\sqrt{13}}{4} ≤ m ≤ -\frac{5}{2}$或$\frac{-7+\sqrt{13}}{4} ≤ m ≤ -\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-2$；
(2) $-\frac{7+\sqrt{13}}{4} ≤ m ≤ -\frac{5}{2}$或$\frac{-7+\sqrt{13}}{4} ≤ m ≤ -\frac{2}{3}$
【知识点】
二次函数解析式确定，二次函数与线段交点，不等式组求解
【点评】
本题属于二次函数综合题，解题关键是先明确抛物线的基本性质，再结合线段与抛物线有交点的条件，先限定横坐标范围，再分类讨论纵坐标的取值范围，易错点是忽略E、F两点的上下位置分类，以及前置的m的取值范围限制。
【难度系数】
0.3
