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1. ★★★(2025·营口模拟)已知二次函数$y=x^2 -2ax +a^2 -4a +8$（其中$x$是自变量）的图象与$x$轴没有公共点，且当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，则实数$a$的取值范围是（
A.$a≤-1$
B.$a＞-1$
C.$-1＜a＜2$
D.$a＜2$
A
）A.$a≤-1$
B.$a＞-1$
C.$-1＜a＜2$
D.$a＜2$
答案
1. A
解析
【分析】
解题需结合二次函数的两个性质分别推导a的取值范围，再取交集：首先，二次函数图象与x轴无公共点，说明对应的一元二次方程根的判别式小于0，可据此列不等式求出a的第一个范围；其次，二次项系数为正，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，已知x＞-1时y随x增大而增大，说明对称轴需位于x=-1或其左侧，可求出a的第二个范围，联立两个范围即可得到最终结果。
【解析】
1. 由二次函数图象与x轴无公共点，得判别式Δ＜0：
对于二次函数$y=x^2 -2ax +a^2 -4a +8$，其中$A=1$，$B=-2a$，$C=a^2-4a+8$，
$\Delta=B^2-4AC=(-2a)^2 -4×1×(a^2-4a+8)=16a-32＜0$，
解得$a＜2$。
2. 分析函数增减性：
二次项系数$1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$x=-\frac{B}{2A}=a$，
开口向上时，$x≥ a$时y随x的增大而增大，
要满足$x＞-1$时y随x增大而增大，则对称轴需满足$a≤-1$。
3. 联立两个条件，取交集得$a≤-1$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质，根的判别式，抛物线与x轴的交点
【点评】
本题综合考查二次函数的图象性质，解题关键是明确判别式和抛物线与x轴交点的对应关系，同时结合开口方向准确判断对称轴和给定区间的位置关系，注意不要遗漏对称轴等于区间端点的特殊情况。
【难度系数】
0.6
解题需结合二次函数的两个性质分别推导a的取值范围，再取交集：首先，二次函数图象与x轴无公共点，说明对应的一元二次方程根的判别式小于0，可据此列不等式求出a的第一个范围；其次，二次项系数为正，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，已知x＞-1时y随x增大而增大，说明对称轴需位于x=-1或其左侧，可求出a的第二个范围，联立两个范围即可得到最终结果。
【解析】
1. 由二次函数图象与x轴无公共点，得判别式Δ＜0：
对于二次函数$y=x^2 -2ax +a^2 -4a +8$，其中$A=1$，$B=-2a$，$C=a^2-4a+8$，
$\Delta=B^2-4AC=(-2a)^2 -4×1×(a^2-4a+8)=16a-32＜0$，
解得$a＜2$。
2. 分析函数增减性：
二次项系数$1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$x=-\frac{B}{2A}=a$，
开口向上时，$x≥ a$时y随x的增大而增大，
要满足$x＞-1$时y随x增大而增大，则对称轴需满足$a≤-1$。
3. 联立两个条件，取交集得$a≤-1$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质，根的判别式，抛物线与x轴的交点
【点评】
本题综合考查二次函数的图象性质，解题关键是明确判别式和抛物线与x轴交点的对应关系，同时结合开口方向准确判断对称轴和给定区间的位置关系，注意不要遗漏对称轴等于区间端点的特殊情况。
【难度系数】
0.6
2. 已知抛物线$y=x^2+bx+c$，当$y＞0$时，$x$的取值范围是$x＜m-4$或$x＞10$，且抛物线经过$A(m,n)$，$B(m-2,n)$两点，则$n=$
-8
。答案
2. -8
解析
【分析】
首先，抛物线$y=x^2+bx+c$开口向上，$y＞0$时$x$的取值范围在对应一元二次方程的两根之外，可得方程$x^2+bx+c=0$的两根为$x=m-4$和$x=10$；其次，抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，可通过$A$、$B$两点横坐标求出对称轴表达式；同时二次函数的对称轴也是两根的中点，联立两个对称轴表达式即可求出$m$的值，最后将$m$代入得到抛物线的交点式，代入点$A$坐标即可求出$n$的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+bx+c$中$a=1＞0$，开口向上，且$y＞0$时$x$的取值范围是$x＜m-4$或$x＞10$
∴方程$x^2+bx+c=0$的两个实数根为$x_1=m-4$，$x_2=10$
∵抛物线过$A(m,n)$、$B(m-2,n)$两点，两点纵坐标相同
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{m+(m-2)}{2}=m-1$
又
∵二次函数的对称轴为两根的中点，即$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{(m-4)+10}{2}=\frac{m+6}{2}$
∴联立得：$m-1=\frac{m+6}{2}$
解得：$m=8$
∴方程的两根为$x_1=8-4=4$，$x_2=10$，抛物线解析式可写为交点式：$y=(x-4)(x-10)$
将$A(8,n)$代入解析式得：
$n=(8-4)×(8-10)=4×(-2)=-8$
【答案】
$-8$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；交点式求解析式
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题核心是利用两种不同方式表示抛物线对称轴求出参数$m$，再结合交点式快速计算函数值，解题时注意灵活运用二次函数的对称性质简化计算。
【难度系数】
0.6
首先，抛物线$y=x^2+bx+c$开口向上，$y＞0$时$x$的取值范围在对应一元二次方程的两根之外，可得方程$x^2+bx+c=0$的两根为$x=m-4$和$x=10$；其次，抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，可通过$A$、$B$两点横坐标求出对称轴表达式；同时二次函数的对称轴也是两根的中点，联立两个对称轴表达式即可求出$m$的值，最后将$m$代入得到抛物线的交点式，代入点$A$坐标即可求出$n$的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+bx+c$中$a=1＞0$，开口向上，且$y＞0$时$x$的取值范围是$x＜m-4$或$x＞10$
∴方程$x^2+bx+c=0$的两个实数根为$x_1=m-4$，$x_2=10$
∵抛物线过$A(m,n)$、$B(m-2,n)$两点，两点纵坐标相同
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{m+(m-2)}{2}=m-1$
又
∵二次函数的对称轴为两根的中点，即$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{(m-4)+10}{2}=\frac{m+6}{2}$
∴联立得：$m-1=\frac{m+6}{2}$
解得：$m=8$
∴方程的两根为$x_1=8-4=4$，$x_2=10$，抛物线解析式可写为交点式：$y=(x-4)(x-10)$
将$A(8,n)$代入解析式得：
$n=(8-4)×(8-10)=4×(-2)=-8$
【答案】
$-8$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；交点式求解析式
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题核心是利用两种不同方式表示抛物线对称轴求出参数$m$，再结合交点式快速计算函数值，解题时注意灵活运用二次函数的对称性质简化计算。
【难度系数】
0.6
3. 若抛物线$y=x^2 -4x +c$与坐标轴只有1个交点，则字母c应满足的条件是
c＞4
；与坐标轴只有2个交点，则字母c应满足的条件是c=0或4
；与坐标轴有3个交点，则字母c应满足的条件是c＜4且c≠0
。答案
3. c＞4 c=0或4 c＜4且c≠0
解析
【分析】
首先明确抛物线与y轴恒有1个交点$(0,c)$，该抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=2$，顶点横坐标为2，因此顶点不可能在y轴上，仅当$c=0$时，y轴交点$(0,0)$同时为x轴的交点。解题时结合一元二次方程根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数，分三类情况讨论：①仅1个交点：需抛物线与x轴无交点，仅保留y轴交点；②仅2个交点：分两种情形，一是与x轴仅1个交点（$\Delta=0$），二是与x轴有2个交点但其中1个与y轴交点重合（即$c=0$）；③3个交点：需与x轴有2个不同交点，且不过原点避免交点重合。
【解析】
对于抛物线$y=x^2-4x+c$，对应一元二次方程$x^2-4x+c=0$的判别式$\Delta=(-4)^2-4×1× c=16-4c$。
1. 与坐标轴只有1个交点：
此时抛物线与x轴无交点，仅和y轴有1个交点，因此$\Delta＜0$，即$16-4c＜0$，解得$c＞4$。
2. 与坐标轴只有2个交点：
分两种情况：
① 抛物线与x轴仅有1个交点（顶点在x轴上），此时$\Delta=0$，即$16-4c=0$，解得$c=4$，此时交点为$(2,0)$和$(0,4)$，共2个；
② 抛物线过原点，此时y轴交点与x轴其中一个交点重合，代入$(0,0)$得$c=0$，此时交点为$(0,0)$和$(4,0)$，共2个；
因此$c=0$或$c=4$。
3. 与坐标轴有3个交点：
此时抛物线与x轴有2个不同交点，且不过原点，因此$\Delta＞0$且$c≠0$，即$16-4c＞0$且$c≠0$，解得$c＜4$且$c≠0$。
【答案】
$c＞4$；$c=0$或$4$；$c＜4$且$c≠0$
【知识点】
抛物线与坐标轴交点判定；一元二次方程判别式的应用
【点评】
本题易错点是忽略$c=0$时y轴交点与x轴交点重合的情况，解题时先确定抛物线与y轴的固定交点，再分情况讨论x轴交点个数和重合情形，即可避免漏解。
【难度系数】
0.65
首先明确抛物线与y轴恒有1个交点$(0,c)$，该抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=2$，顶点横坐标为2，因此顶点不可能在y轴上，仅当$c=0$时，y轴交点$(0,0)$同时为x轴的交点。解题时结合一元二次方程根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数，分三类情况讨论：①仅1个交点：需抛物线与x轴无交点，仅保留y轴交点；②仅2个交点：分两种情形，一是与x轴仅1个交点（$\Delta=0$），二是与x轴有2个交点但其中1个与y轴交点重合（即$c=0$）；③3个交点：需与x轴有2个不同交点，且不过原点避免交点重合。
【解析】
对于抛物线$y=x^2-4x+c$，对应一元二次方程$x^2-4x+c=0$的判别式$\Delta=(-4)^2-4×1× c=16-4c$。
1. 与坐标轴只有1个交点：
此时抛物线与x轴无交点，仅和y轴有1个交点，因此$\Delta＜0$，即$16-4c＜0$，解得$c＞4$。
2. 与坐标轴只有2个交点：
分两种情况：
① 抛物线与x轴仅有1个交点（顶点在x轴上），此时$\Delta=0$，即$16-4c=0$，解得$c=4$，此时交点为$(2,0)$和$(0,4)$，共2个；
② 抛物线过原点，此时y轴交点与x轴其中一个交点重合，代入$(0,0)$得$c=0$，此时交点为$(0,0)$和$(4,0)$，共2个；
因此$c=0$或$c=4$。
3. 与坐标轴有3个交点：
此时抛物线与x轴有2个不同交点，且不过原点，因此$\Delta＞0$且$c≠0$，即$16-4c＞0$且$c≠0$，解得$c＜4$且$c≠0$。
【答案】
$c＞4$；$c=0$或$4$；$c＜4$且$c≠0$
【知识点】
抛物线与坐标轴交点判定；一元二次方程判别式的应用
【点评】
本题易错点是忽略$c=0$时y轴交点与x轴交点重合的情况，解题时先确定抛物线与y轴的固定交点，再分情况讨论x轴交点个数和重合情形，即可避免漏解。
【难度系数】
0.65
4. （2026·北京期中）已知关于x的函数$y=(m-1)x^2 + 2\sqrt{2}x + m$的图象与坐标轴有且只有2个交点，则$m=$
1或0或-1或2
。答案
4. 1或0或-1或2
解析
【分析】
解题时需先按函数类型分类讨论：①当函数为一次函数时，二次项系数为0，判断此时一次函数与坐标轴的交点数是否符合要求；②当函数为二次函数时，二次项系数不为0，二次函数必与y轴有1个交点，要满足总交点数为2，分两种子情况：一是二次函数与x轴只有1个交点（判别式Δ=0），此时与y轴交点不与x轴交点重合，共2个交点；二是二次函数过原点（与y轴交点为原点），此时原点为x、y轴公共交点，再加上与x轴的另1个交点，总共有2个交点，分别计算各情况的m值即可。
【解析】
分情况讨论：
1. 当函数为一次函数时：
令二次项系数$m-1=0$，解得$m=1$，
此时函数为$y=2\sqrt{2}x +1$，与x轴交于$(-\frac{\sqrt{2}}{4},0)$，与y轴交于$(0,1)$，共2个交点，符合题意。
2. 当函数为二次函数时，$m≠1$：
二次函数与y轴恒有交点$(0,m)$，要满足总交点数为2，分两种情况：
（1）二次函数与x轴仅1个交点，即判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(2\sqrt{2})^2 -4(m-1)m=8-4m(m-1)=0$
化简得$m^2 -m -2=0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$
解得$m=2$或$m=-1$，均满足$m≠1$，符合题意。
（2）二次函数过原点（原点为x、y轴公共交点，与x轴另有1个交点，总交点数为2）：
令$x=0$时$y=0$，得$m=0$，
此时函数为$y=-x^2+2\sqrt{2}x$，与坐标轴交点为$(0,0)$、$(2\sqrt{2},0)$，共2个交点，符合题意。
综上，$m$的取值为1或0或-1或2。
【答案】
1或0或-1或2
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数与坐标轴交点；根的判别式应用
【点评】
本题考查函数与坐标轴交点问题，核心是运用分类讨论思想，解题时注意不要遗漏一次函数的情况以及二次函数过原点的特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.4
解题时需先按函数类型分类讨论：①当函数为一次函数时，二次项系数为0，判断此时一次函数与坐标轴的交点数是否符合要求；②当函数为二次函数时，二次项系数不为0，二次函数必与y轴有1个交点，要满足总交点数为2，分两种子情况：一是二次函数与x轴只有1个交点（判别式Δ=0），此时与y轴交点不与x轴交点重合，共2个交点；二是二次函数过原点（与y轴交点为原点），此时原点为x、y轴公共交点，再加上与x轴的另1个交点，总共有2个交点，分别计算各情况的m值即可。
【解析】
分情况讨论：
1. 当函数为一次函数时：
令二次项系数$m-1=0$，解得$m=1$，
此时函数为$y=2\sqrt{2}x +1$，与x轴交于$(-\frac{\sqrt{2}}{4},0)$，与y轴交于$(0,1)$，共2个交点，符合题意。
2. 当函数为二次函数时，$m≠1$：
二次函数与y轴恒有交点$(0,m)$，要满足总交点数为2，分两种情况：
（1）二次函数与x轴仅1个交点，即判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(2\sqrt{2})^2 -4(m-1)m=8-4m(m-1)=0$
化简得$m^2 -m -2=0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$
解得$m=2$或$m=-1$，均满足$m≠1$，符合题意。
（2）二次函数过原点（原点为x、y轴公共交点，与x轴另有1个交点，总交点数为2）：
令$x=0$时$y=0$，得$m=0$，
此时函数为$y=-x^2+2\sqrt{2}x$，与坐标轴交点为$(0,0)$、$(2\sqrt{2},0)$，共2个交点，符合题意。
综上，$m$的取值为1或0或-1或2。
【答案】
1或0或-1或2
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数与坐标轴交点；根的判别式应用
【点评】
本题考查函数与坐标轴交点问题，核心是运用分类讨论思想，解题时注意不要遗漏一次函数的情况以及二次函数过原点的特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.4
5. 无论k为何值，直线$y=kx-2k+2$与抛物线$y=ax^2-2ax-3a$总有公共点，则a的取值范围是（
A.$a≥ -\dfrac{3}{2}$
B.$a≤ -\dfrac{3}{2}$或$a＞0$
C.$a≥ -\dfrac{2}{3}$
D.$a≤ -\dfrac{2}{3}$或$a＞0$
D
）A.$a≥ -\dfrac{3}{2}$
B.$a≤ -\dfrac{3}{2}$或$a＞0$
C.$a≥ -\dfrac{2}{3}$
D.$a≤ -\dfrac{2}{3}$或$a＞0$
答案
5. D 解析:由题意得,
∵无论k为何值,直线$y=kx-2k+2$与抛物线$y=ax^2-2ax-3a$总有公共点,
∴将$y=kx-2k+2$代入$y=ax^2-2ax-3a$得$ax^2-2ax-3a = kx-2k+2$,整理得$ax^2-(2a+k)x-3a+2k-2=0$,
∴$(2a+k)^2-4a(2k-3a-2)=(2a-k)^2+12a^2+8a≥0$,
∴$12a^2+8a≥0$.
当$a＞0$时,$12a+8≥0$,解得$a≥-\dfrac{2}{3}$,$\therefore a＞0$;当$a＜0$时,$12a+8≤0$,解得$a≤-\dfrac{2}{3}$,$\therefore a$的取值范围是$a≤-\dfrac{2}{3}$或$a＞0$.故选D.
∵无论k为何值,直线$y=kx-2k+2$与抛物线$y=ax^2-2ax-3a$总有公共点,
∴将$y=kx-2k+2$代入$y=ax^2-2ax-3a$得$ax^2-2ax-3a = kx-2k+2$,整理得$ax^2-(2a+k)x-3a+2k-2=0$,
∴$(2a+k)^2-4a(2k-3a-2)=(2a-k)^2+12a^2+8a≥0$,
∴$12a^2+8a≥0$.
当$a＞0$时,$12a+8≥0$,解得$a≥-\dfrac{2}{3}$,$\therefore a＞0$;当$a＜0$时,$12a+8≤0$,解得$a≤-\dfrac{2}{3}$,$\therefore a$的取值范围是$a≤-\dfrac{2}{3}$或$a＞0$.故选D.
解析
【分析】
要解决直线与抛物线总有公共点的问题，首先需将两个函数解析式联立，转化为一元二次方程总有实数根的问题；再计算该方程的判别式，由于对任意k值都成立，需将判别式整理为含k的完全平方式加仅含a的代数式的形式，利用平方的非负性可知，只要仅含a的部分恒非负即可满足判别式恒≥0；最后结合抛物线二次项系数不为0的隐含条件，解不等式得到a的取值范围。
【解析】
∵抛物线解析式为$y=ax^2-2ax-3a$，
∴$a≠0$。
将直线$y=kx-2k+2$代入抛物线解析式，得：
$ax^2-2ax-3a = kx-2k+2$
整理为关于x的一元二次方程：$ax^2-(2a+k)x-3a+2k-2=0$
∵无论k为何值，直线与抛物线总有公共点，
∴上述方程对任意k总有实数根，即判别式$\Delta≥0$对任意k恒成立。
计算判别式：
$\Delta=[-(2a+k)]^2 - 4a×(-3a+2k-2)$
$=(2a+k)^2 -4a(2k-3a-2)$
展开整理得：$\Delta=(k-2a)^2 +12a^2+8a$
∵$(k-2a)^2≥0$对任意实数k恒成立，要使$\Delta≥0$恒成立，只需$12a^2+8a≥0$，即$4a(3a+2)≥0$：
①当$a＞0$时，不等号方向不变，得$3a+2≥0$，解得$a≥-\frac{2}{3}$，结合$a＞0$，得$a＞0$；
②当$a＜0$时，不等号方向改变，得$3a+2≤0$，解得$a≤-\frac{2}{3}$，结合$a＜0$，得$a≤-\frac{2}{3}$。
综上，a的取值范围是$a≤-\frac{2}{3}$或$a＞0$。
【答案】D
【知识点】函数交点与方程根的关系；一元二次方程根的判别式；不等式求解
【点评】本题是一次函数与二次函数交点的综合题，解题关键是将“恒有公共点”转化为判别式恒非负，再利用平方的非负性消去参数k，解题时需注意抛物线二次项系数不为0的隐含条件，避免漏解或错解。
【难度系数】0.6
要解决直线与抛物线总有公共点的问题，首先需将两个函数解析式联立，转化为一元二次方程总有实数根的问题；再计算该方程的判别式，由于对任意k值都成立，需将判别式整理为含k的完全平方式加仅含a的代数式的形式，利用平方的非负性可知，只要仅含a的部分恒非负即可满足判别式恒≥0；最后结合抛物线二次项系数不为0的隐含条件，解不等式得到a的取值范围。
【解析】
∵抛物线解析式为$y=ax^2-2ax-3a$，
∴$a≠0$。
将直线$y=kx-2k+2$代入抛物线解析式，得：
$ax^2-2ax-3a = kx-2k+2$
整理为关于x的一元二次方程：$ax^2-(2a+k)x-3a+2k-2=0$
∵无论k为何值，直线与抛物线总有公共点，
∴上述方程对任意k总有实数根，即判别式$\Delta≥0$对任意k恒成立。
计算判别式：
$\Delta=[-(2a+k)]^2 - 4a×(-3a+2k-2)$
$=(2a+k)^2 -4a(2k-3a-2)$
展开整理得：$\Delta=(k-2a)^2 +12a^2+8a$
∵$(k-2a)^2≥0$对任意实数k恒成立，要使$\Delta≥0$恒成立，只需$12a^2+8a≥0$，即$4a(3a+2)≥0$：
①当$a＞0$时，不等号方向不变，得$3a+2≥0$，解得$a≥-\frac{2}{3}$，结合$a＞0$，得$a＞0$；
②当$a＜0$时，不等号方向改变，得$3a+2≤0$，解得$a≤-\frac{2}{3}$，结合$a＜0$，得$a≤-\frac{2}{3}$。
综上，a的取值范围是$a≤-\frac{2}{3}$或$a＞0$。
【答案】D
【知识点】函数交点与方程根的关系；一元二次方程根的判别式；不等式求解
【点评】本题是一次函数与二次函数交点的综合题，解题关键是将“恒有公共点”转化为判别式恒非负，再利用平方的非负性消去参数k，解题时需注意抛物线二次项系数不为0的隐含条件，避免漏解或错解。
【难度系数】0.6
6. 一段抛物线$L: y=-x(x-3)+c(0 ≤ x ≤ 3)$与直线$l: y=x+2$有唯一公共点,则$c$的取值范围为
2＜c≤5或c=1
.答案
6. 2＜c≤5或c=1 解析:抛物线L:$y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)$与直线l:$y=x+2$有唯一公共点,①
,抛物线与直线相切,联立表达式,得$x^2-2x+2-c=0$,$(-2)^2-4(2-c)=0$,解得$c=1$;②
,抛物线与直线不相切,但在$0≤x≤3$上只有一个交点,此时两个临界点分别为$(0,2)$和$(3,5)$,$\therefore 2＜c≤5$.综上,$c$的取值范围是$2＜c≤5$或$c=1$.解析
【分析】
解决限定区间内抛物线与直线有唯一公共点的问题，需分两类讨论：第一类是抛物线和直线相切，此时联立两个解析式得到的一元二次方程有两个相等实根，可通过判别式Δ=0求解c，再验证解是否在0≤x≤3的区间内；第二类是二者不相切，但在限定区间内只有一个交点，此时结合区间端点的函数值，借助图像判断c的取值范围，最终综合两类情况得到结果。
【解析】
将直线$y=x+2$代入抛物线解析式$y=-x(x-3)+c$，联立得：
$\begin{cases}y=x+2\\y=-x(x-3)+c\end{cases}$
消去y整理得：$x^2-2x+2-c=0$
① 当抛物线与直线相切时，上述一元二次方程有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(2-c)=0$
解得：$4-8+4c=0$，即$c=1$
此时方程的解为$x=1$，满足$0≤ x≤3$，符合要求。
② 当抛物线与直线不相切，但在$0≤ x≤3$上仅存在一个交点时：
分别代入区间端点x=0和x=3计算临界值：
当x=0时，直线对应y值为2，抛物线对应y值为c，要保证区间内仅一个交点，需$c＞2$；
当x=3时，直线对应y值为$3+2=5$，抛物线对应y值为c，要保证区间内仅一个交点，需$c≤5$；
因此该类情况对应的c的范围为$2＜c≤5$。
综上，c的取值范围是$2＜c≤5$或$c=1$。
【答案】
2＜c≤5或c=1 解析:抛物线L:$y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)$与直线l:$y=x+2$有唯一公共点,①,抛物线与直线相切,
联立表达式,得$x^2-2x+2-c=0$,$(-2)^2-4(2-c)=0$,解得$c=1$;②,抛物线与直线不相切,但在$0≤x≤3$上只有一个交点,此时两个临界点分别为$(0,2)$和$(3,5)$,$\therefore 2＜c≤5$.综上,$c$的取值范围是$2＜c≤5$或$c=1$.
【知识点】
函数交点问题，一元二次方程判别式，数形结合思想
【点评】
本题考查限定区间内二次函数与一次函数的交点个数问题，解题时需分类讨论相切和区间端点相交两类情况，注意验证相切时的解是否在给定区间内，同时要准确判断端点值的取舍，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
解决限定区间内抛物线与直线有唯一公共点的问题，需分两类讨论：第一类是抛物线和直线相切，此时联立两个解析式得到的一元二次方程有两个相等实根，可通过判别式Δ=0求解c，再验证解是否在0≤x≤3的区间内；第二类是二者不相切，但在限定区间内只有一个交点，此时结合区间端点的函数值，借助图像判断c的取值范围，最终综合两类情况得到结果。
【解析】
将直线$y=x+2$代入抛物线解析式$y=-x(x-3)+c$，联立得：
$\begin{cases}y=x+2\\y=-x(x-3)+c\end{cases}$
消去y整理得：$x^2-2x+2-c=0$
① 当抛物线与直线相切时，上述一元二次方程有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(2-c)=0$
解得：$4-8+4c=0$，即$c=1$
此时方程的解为$x=1$，满足$0≤ x≤3$，符合要求。
② 当抛物线与直线不相切，但在$0≤ x≤3$上仅存在一个交点时：
分别代入区间端点x=0和x=3计算临界值：
当x=0时，直线对应y值为2，抛物线对应y值为c，要保证区间内仅一个交点，需$c＞2$；
当x=3时，直线对应y值为$3+2=5$，抛物线对应y值为c，要保证区间内仅一个交点，需$c≤5$；
因此该类情况对应的c的范围为$2＜c≤5$。
综上，c的取值范围是$2＜c≤5$或$c=1$。
【答案】
2＜c≤5或c=1 解析:抛物线L:$y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)$与直线l:$y=x+2$有唯一公共点,①
,抛物线与直线相切,联立表达式,得$x^2-2x+2-c=0$,$(-2)^2-4(2-c)=0$,解得$c=1$;②
,抛物线与直线不相切,但在$0≤x≤3$上只有一个交点,此时两个临界点分别为$(0,2)$和$(3,5)$,$\therefore 2＜c≤5$.综上,$c$的取值范围是$2＜c≤5$或$c=1$.【知识点】
函数交点问题，一元二次方程判别式，数形结合思想
【点评】
本题考查限定区间内二次函数与一次函数的交点个数问题，解题时需分类讨论相切和区间端点相交两类情况，注意验证相切时的解是否在给定区间内，同时要准确判断端点值的取舍，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
7. （2025·宣城期中）在平面直角坐标系中，随着$m$取值的变化，一次函数$y=2x+m$与函数$y=\begin{cases}(x-2)^2 -3&(x≤3),\\(x-4)^2 -3&(x＞3)\end{cases}$的图象的公共点可以有 ______ 个.
进一步挑战进阶专题：P7 专题7
进一步挑战进阶专题：P7 专题7
答案
7. 0或1或2 解析:当$x≤3$时,联立$\begin{cases}y=2x+m,\\y=(x-2)^2-3,\end{cases}$得到$(x-2)^2-3=2x+m$,即$x^2-6x+1-m=0$,此时$b^2-4ac=36-4×1×(1-m)=32+4m$,当$32+4m=0$,即$m=-8$时,有一个交点;当$x＞3$时,联立$\begin{cases}y=2x+m,\\y=(x-4)^2-3,\end{cases}$得到$(x-4)^2-3=2x+m$,即$x^2-10x+13-m=0$,此时$b^2-4ac=100-4×1×(13-m)=48+4m$,当$48+4m=0$,即$m=-12$时,有一个交点;作出$y=2x,y=(x-2)^2-3(x≤3),y=(x-4)^2-3(x＞3)$,$y=2x-8,y=2x-12$的图象,
,可知,当$m＜-12$时,无交点;当$m＞-12$时,有两个交点;当$m=-12$时,有一个交点.故公共点可以是0或1或2个.解析
【分析】
要解决一次函数与分段二次函数的交点个数问题，首先需结合分段函数的自变量取值范围，分两段分别联立两个函数的解析式，将交点问题转化为一元二次方程的实根问题；再分别计算两段对应方程的判别式，找到判别式为0时m的临界取值；最后结合函数图象分析不同m取值范围内的交点总数，即可得到可能的公共点个数。
【解析】
解：分两种情况联立方程求解：
1. 当$x≤3$时，联立$\begin{cases}y=2x+m\\y=(x-2)^2-3\end{cases}$，
整理得$x^2-6x+1-m=0$，
该方程的判别式$\Delta_1=(-6)^2-4×1×(1-m)=32+4m$，
当$\Delta_1=0$时，解得$m=-8$，此时方程有1个实根$x=3$，符合$x≤3$的取值要求。
2. 当$x＞3$时，联立$\begin{cases}y=2x+m\\y=(x-4)^2-3\end{cases}$，
整理得$x^2-10x+13-m=0$，
该方程的判别式$\Delta_2=(-10)^2-4×1×(13-m)=48+4m$，
当$\Delta_2=0$时，解得$m=-12$，此时方程有1个符合$x＞3$要求的实根。
结合图象分析：
当$m＜-12$时，两个分段函数与一次函数均无交点，公共点总数为0；
当$m=-12$时，仅$x＞3$段的函数与一次函数有1个公共点，公共点总数为1；
当$m＞-12$时，两个分段函数与一次函数共有2个公共点，公共点总数为2。
【答案】
0或1或2
【知识点】
函数交点问题；分段函数；根的判别式
【点评】
本题综合考查一次函数、分段二次函数与一元二次方程的相关知识，解题时要注意分段函数的自变量取值范围，结合判别式找到参数临界值后，借助图象分析能更直观地得到不同参数范围下的交点个数，降低解题难度。
【难度系数】
0.6
要解决一次函数与分段二次函数的交点个数问题，首先需结合分段函数的自变量取值范围，分两段分别联立两个函数的解析式，将交点问题转化为一元二次方程的实根问题；再分别计算两段对应方程的判别式，找到判别式为0时m的临界取值；最后结合函数图象分析不同m取值范围内的交点总数，即可得到可能的公共点个数。
【解析】
解：分两种情况联立方程求解：
1. 当$x≤3$时，联立$\begin{cases}y=2x+m\\y=(x-2)^2-3\end{cases}$，
整理得$x^2-6x+1-m=0$，
该方程的判别式$\Delta_1=(-6)^2-4×1×(1-m)=32+4m$，
当$\Delta_1=0$时，解得$m=-8$，此时方程有1个实根$x=3$，符合$x≤3$的取值要求。
2. 当$x＞3$时，联立$\begin{cases}y=2x+m\\y=(x-4)^2-3\end{cases}$，
整理得$x^2-10x+13-m=0$，
该方程的判别式$\Delta_2=(-10)^2-4×1×(13-m)=48+4m$，
当$\Delta_2=0$时，解得$m=-12$，此时方程有1个符合$x＞3$要求的实根。
结合图象
分析：当$m＜-12$时，两个分段函数与一次函数均无交点，公共点总数为0；
当$m=-12$时，仅$x＞3$段的函数与一次函数有1个公共点，公共点总数为1；
当$m＞-12$时，两个分段函数与一次函数共有2个公共点，公共点总数为2。
【答案】
0或1或2
【知识点】
函数交点问题；分段函数；根的判别式
【点评】
本题综合考查一次函数、分段二次函数与一元二次方程的相关知识，解题时要注意分段函数的自变量取值范围，结合判别式找到参数临界值后，借助图象分析能更直观地得到不同参数范围下的交点个数，降低解题难度。
【难度系数】
0.6
