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1. ★★★ (2026·襄阳期中)如图,学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用墙长为60 m),其他的边用总长70 m的不锈钢栅栏围成,左右两侧各开一个1 m的出口后,不锈钢栅栏状如“山”字形.(备注信息:在自行车车棚后面距教学楼后墙8 m处,规划有机动车停车位)
(1)设自行车车棚面积为$S\ \mathrm{m}^2$,车棚宽度$AB$为$x\ \mathrm{m}$,则$S$与$x$之间的函数表达式为
(2)若车棚面积为$285\ \mathrm{m}^2$,则自行车车棚的长为
(3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建,请问该车棚面积最大可达到多少?请通过计算说明.
(1)设自行车车棚面积为$S\ \mathrm{m}^2$,车棚宽度$AB$为$x\ \mathrm{m}$,则$S$与$x$之间的函数表达式为
$S=-3x^2+72x(4≤ x≤8)$
.(写出自变量$x$的取值范围)(2)若车棚面积为$285\ \mathrm{m}^2$,则自行车车棚的长为
57
m.(3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建,请问该车棚面积最大可达到多少?请通过计算说明.
答案
(1)$S=-3x^2+72x(4≤ x≤8)$
(2)57
(3)$S=-3x^2+72x=-3(x-12)^2+432$,$\because -3＜0$,$4≤ x≤8$,$\therefore$ 当$x=8$时,$S$有最大值为$-3×16+432=384$,$\therefore$ 自行车车棚面积最大可达到$384\ \mathrm{m}^2$.
(2)57
(3)$S=-3x^2+72x=-3(x-12)^2+432$,$\because -3＜0$,$4≤ x≤8$,$\therefore$ 当$x=8$时,$S$有最大值为$-3×16+432=384$,$\therefore$ 自行车车棚面积最大可达到$384\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
本题属于二次函数的实际应用类问题，解题思路如下：
1. 第一问求函数表达式：首先明确“山”字形栅栏的组成：3段垂直于墙的边和1段平行于墙的边BC，结合总栅栏长、两个1m出口的条件，先表示出平行于墙的边BC的长度，再根据矩形面积公式写出函数关系，再结合墙长限制、后方机动车停车位的宽度限制求出自变量x的取值范围。
2. 第二问已知面积求长：将S=285代入第一问的函数表达式，解一元二次方程得到x的解，结合自变量取值范围筛选符合条件的x，再计算对应的BC长度即可。
3. 第三问求最大面积：将二次函数解析式配方，结合开口方向和自变量的取值范围，判断函数在取值范围内的单调性，即可求出最大值。
【解析】
(1) 设AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，已知总栅栏长70m，左右各有1m出口，因此3段垂直于墙的栅栏总长度加平行于墙的栅栏BC长度为$70+2×1=72\ \mathrm{m}$，即$3x+BC=72$，因此$BC=(72-3x)\ \mathrm{m}$。
车棚面积$S=AB× BC=x(72-3x)=-3x^2+72x$。
求自变量范围：①后方距墙8m有机动车停车位，因此$x≤8$；②可利用墙长为60m，因此$BC≤60$，即$72-3x≤60$，解得$x≥4$，综上得$4≤ x≤8$。
(2) 令$S=285$，代入函数式得：$-3x^2+72x=285$，整理得$x^2-24x+95=0$，解得$x_1=5$，$x_2=19$。
因为$4≤ x≤8$，所以舍去$x_2=19$，取$x=5$，此时车棚的长$BC=72-3×5=57\ \mathrm{m}$。
(3) 将二次函数配方得：$S=-3x^2+72x=-3(x-12)^2+432$。
$\because -3＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=12$，且$4≤ x≤8$在对称轴左侧，$S$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=8$时，$S$取得最大值，最大值为$-3×(8-12)^2+432=384\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)$S=-3x^2+72x(4≤ x≤8)$
(2)$57$
(3)自行车车棚面积最大可达到$384\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程的应用，二次函数最值
【点评】
本题是典型的栅栏围矩形的实际应用问题，解题时要注意结合题目的多个限制条件确定自变量的取值范围，求最值时不能直接取抛物线顶点的函数值，要结合自变量范围判断函数的增减性再求解，避免忽略实际条件出错。
【难度系数】
0.6
本题属于二次函数的实际应用类问题，解题思路如下：
1. 第一问求函数表达式：首先明确“山”字形栅栏的组成：3段垂直于墙的边和1段平行于墙的边BC，结合总栅栏长、两个1m出口的条件，先表示出平行于墙的边BC的长度，再根据矩形面积公式写出函数关系，再结合墙长限制、后方机动车停车位的宽度限制求出自变量x的取值范围。
2. 第二问已知面积求长：将S=285代入第一问的函数表达式，解一元二次方程得到x的解，结合自变量取值范围筛选符合条件的x，再计算对应的BC长度即可。
3. 第三问求最大面积：将二次函数解析式配方，结合开口方向和自变量的取值范围，判断函数在取值范围内的单调性，即可求出最大值。
【解析】
(1) 设AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，已知总栅栏长70m，左右各有1m出口，因此3段垂直于墙的栅栏总长度加平行于墙的栅栏BC长度为$70+2×1=72\ \mathrm{m}$，即$3x+BC=72$，因此$BC=(72-3x)\ \mathrm{m}$。
车棚面积$S=AB× BC=x(72-3x)=-3x^2+72x$。
求自变量范围：①后方距墙8m有机动车停车位，因此$x≤8$；②可利用墙长为60m，因此$BC≤60$，即$72-3x≤60$，解得$x≥4$，综上得$4≤ x≤8$。
(2) 令$S=285$，代入函数式得：$-3x^2+72x=285$，整理得$x^2-24x+95=0$，解得$x_1=5$，$x_2=19$。
因为$4≤ x≤8$，所以舍去$x_2=19$，取$x=5$，此时车棚的长$BC=72-3×5=57\ \mathrm{m}$。
(3) 将二次函数配方得：$S=-3x^2+72x=-3(x-12)^2+432$。
$\because -3＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=12$，且$4≤ x≤8$在对称轴左侧，$S$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=8$时，$S$取得最大值，最大值为$-3×(8-12)^2+432=384\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)$S=-3x^2+72x(4≤ x≤8)$
(2)$57$
(3)自行车车棚面积最大可达到$384\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程的应用，二次函数最值
【点评】
本题是典型的栅栏围矩形的实际应用问题，解题时要注意结合题目的多个限制条件确定自变量的取值范围，求最值时不能直接取抛物线顶点的函数值，要结合自变量范围判断函数的增减性再求解，避免忽略实际条件出错。
【难度系数】
0.6
2. （2025·武汉期中）某花圃基地计划将如图①所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉，其中花卉B区是正方形（边长不超过15 m），育苗区一边与花卉B区重合，另一边长是10 m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是100元，200元，300元.
（1）设花卉B区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：
花卉A区的种植面积是
（2）花卉B区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）如图②，为了方便游客拍照，基地计划在花卉A，B区铺设一条宽为a m（0＜a＜3）且与大矩形边平行的小路，若小路铺设完成后，A，B，C三种花卉的总产值之和最小值为73 000元，则a的值为
②
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P10 专题10
（1）设花卉B区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：
花卉A区的种植面积是
$(-x^2+10x+200)$
m²，花卉B区的种植面积是$x^2$
m²，花卉C区的种植面积是$(x^2-50x+600)$
m².（2）花卉B区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）如图②，为了方便游客拍照，基地计划在花卉A，B区铺设一条宽为a m（0＜a＜3）且与大矩形边平行的小路，若小路铺设完成后，A，B，C三种花卉的总产值之和最小值为73 000元，则a的值为
2
.②
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P10 专题10
答案
(1)$(-x^2+10x+200)$ $x^2$ $(x^2-50x+600)$
(2)$\because A,B$两种花卉每平方米的产值分别是100元,200元,$A,B$两种花卉的总产值相等,$\therefore 100(-x^2+10x+200)=200x^2$.化简得$3x^2-10x-200=0$.解得$x=10$或$x=-\dfrac{20}{3}$(舍去).故花卉$B$区的边长为10 m时,$A,B$两种花卉的总产值相等.
(3)2 解析:设$A,B,C$三种花卉的总产值之和为$y$百元.$\because$ 花卉$A,B$区铺设一条宽为$a\ \mathrm{m}(0＜a＜3)$且与大矩形边平行的小路,$\therefore$ 花卉$A$区种植面积:$-x^2+10x+200-a(20-x)=[-x^2+(a+10)x+200-20a]\mathrm{m}^2$.花卉$B$区种植面积:$(x^2-ax)\mathrm{m}^2$.则$y=-x^2+10x+200-a(20-x)+2(x^2-ax)+3(x^2-50x+600)=4x^2-(a+140)x-20a+2\ 000=4(x-\dfrac{a+140}{8})^2+\dfrac{-a^2-600a+12\ 400}{16}$.$\therefore y=4x^2-(a+140)x-20a+2\ 000$的对称轴为直线$x=\dfrac{a+140}{8}$,在对称轴直线$x=\dfrac{a+140}{8}$的左侧,$y$随$x$的增大而减小.$\because 0＜a＜3$,$\therefore 17.5＜\dfrac{a+140}{8}＜17.875$.$\because$ 花卉$B$区是正方形(边长不超过15 m),即$x≤15$,$\therefore$ 当$x=15$时,$y$有最小值,$\therefore 4×15^2-(a+140)×15-20a+2\ 000=\dfrac{73\ 000}{100}$.解得$a=2$.故答案为2.
(2)$\because A,B$两种花卉每平方米的产值分别是100元,200元,$A,B$两种花卉的总产值相等,$\therefore 100(-x^2+10x+200)=200x^2$.化简得$3x^2-10x-200=0$.解得$x=10$或$x=-\dfrac{20}{3}$(舍去).故花卉$B$区的边长为10 m时,$A,B$两种花卉的总产值相等.
(3)2 解析:设$A,B,C$三种花卉的总产值之和为$y$百元.$\because$ 花卉$A,B$区铺设一条宽为$a\ \mathrm{m}(0＜a＜3)$且与大矩形边平行的小路,$\therefore$ 花卉$A$区种植面积:$-x^2+10x+200-a(20-x)=[-x^2+(a+10)x+200-20a]\mathrm{m}^2$.花卉$B$区种植面积:$(x^2-ax)\mathrm{m}^2$.则$y=-x^2+10x+200-a(20-x)+2(x^2-ax)+3(x^2-50x+600)=4x^2-(a+140)x-20a+2\ 000=4(x-\dfrac{a+140}{8})^2+\dfrac{-a^2-600a+12\ 400}{16}$.$\therefore y=4x^2-(a+140)x-20a+2\ 000$的对称轴为直线$x=\dfrac{a+140}{8}$,在对称轴直线$x=\dfrac{a+140}{8}$的左侧,$y$随$x$的增大而减小.$\because 0＜a＜3$,$\therefore 17.5＜\dfrac{a+140}{8}＜17.875$.$\because$ 花卉$B$区是正方形(边长不超过15 m),即$x≤15$,$\therefore$ 当$x=15$时,$y$有最小值,$\therefore 4×15^2-(a+140)×15-20a+2\ 000=\dfrac{73\ 000}{100}$.解得$a=2$.故答案为2.
解析
【分析】
（1）首先根据花卉B区是边长为x m的正方形，可直接得到B区面积；再观察图形确定A区的长和宽，结合矩形面积公式求出A区面积；最后通过总面积减去其余区域面积，即可推导得到C区面积。
（2）根据“A、B两种花卉总产值相等”的等量关系，将（1）中得到的面积代数式乘以对应产值列方程，求解后舍去不符合实际意义的根，验证边长限制条件即可。
（3）先计算铺设小路后A、B两区的实际种植面积，再列出三种花卉总产值的二次函数表达式，结合x的取值范围和二次函数的单调性，确定总产值取最小值时x的取值，代入最小值列方程求解a即可。
【解析】
（1）花卉B区是边长为x m的正方形，故B区面积为$x^2\ \mathrm{m}^2$；
花卉A区的长为$(x+10)\mathrm{m}$，宽为$(20-x)\mathrm{m}$，面积为$(x+10)(20-x)=-x^2+10x+200\ \mathrm{m}^2$；
大矩形总面积为$40×20=800\ \mathrm{m}^2$，育苗区面积为$10x\ \mathrm{m}^2$，活动区面积为$x(40-x-10)=(30x-x^2)\ \mathrm{m}^2$，因此C区面积为$800-(-x^2+10x+200)-x^2-10x-(30x-x^2)=x^2-50x+600\ \mathrm{m}^2$。
（2）已知A、B每平方米产值分别为100元、200元，当两者总产值相等时：
$100(-x^2+10x+200)=200x^2$
化简得$3x^2-10x-200=0$，解得$x=10$或$x=-\dfrac{20}{3}$（边长为正，舍去），且$10＜15$，符合题意。
（3）设三种花卉总产值之和为y元，铺设宽为a m的小路后：
A区实际种植面积为$-x^2+10x+200-a(20-x)=-x^2+(a+10)x+200-20a\ \mathrm{m}^2$，
B区实际种植面积为$(x^2-ax)\ \mathrm{m}^2$，C区面积不变。
则总产值：
$y=100[-x^2+(a+10)x+200-20a]+200(x^2-ax)+300(x^2-50x+600)$
整理得$y=400x^2-100(a+140)x+200000-2000a$，这是开口向上的二次函数，对称轴为$x=\dfrac{a+140}{8}$。
由$0＜a＜3$得$17.5＜\dfrac{a+140}{8}＜17.875$，又$x≤15$，在对称轴左侧y随x增大而减小，故$x=15$时y取最小值73000元。
代入得$400×15^2-100(a+140)×15+200000-2000a=73000$，解得$a=2$。
【答案】
(1) $-x^2+10x+200$；$x^2$；$x^2-50x+600$
(2) 10 m
(3) 2
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；二次函数最值应用
【点评】
本题是几何图形与代数运算结合的实际应用题，需要准确分析图形各边的数量关系，正确列代数式、方程和函数表达式，解题时要格外注意自变量的取值范围对结果和最值的影响。
【难度系数】
0.4
（1）首先根据花卉B区是边长为x m的正方形，可直接得到B区面积；再观察图形确定A区的长和宽，结合矩形面积公式求出A区面积；最后通过总面积减去其余区域面积，即可推导得到C区面积。
（2）根据“A、B两种花卉总产值相等”的等量关系，将（1）中得到的面积代数式乘以对应产值列方程，求解后舍去不符合实际意义的根，验证边长限制条件即可。
（3）先计算铺设小路后A、B两区的实际种植面积，再列出三种花卉总产值的二次函数表达式，结合x的取值范围和二次函数的单调性，确定总产值取最小值时x的取值，代入最小值列方程求解a即可。
【解析】
（1）花卉B区是边长为x m的正方形，故B区面积为$x^2\ \mathrm{m}^2$；
花卉A区的长为$(x+10)\mathrm{m}$，宽为$(20-x)\mathrm{m}$，面积为$(x+10)(20-x)=-x^2+10x+200\ \mathrm{m}^2$；
大矩形总面积为$40×20=800\ \mathrm{m}^2$，育苗区面积为$10x\ \mathrm{m}^2$，活动区面积为$x(40-x-10)=(30x-x^2)\ \mathrm{m}^2$，因此C区面积为$800-(-x^2+10x+200)-x^2-10x-(30x-x^2)=x^2-50x+600\ \mathrm{m}^2$。
（2）已知A、B每平方米产值分别为100元、200元，当两者总产值相等时：
$100(-x^2+10x+200)=200x^2$
化简得$3x^2-10x-200=0$，解得$x=10$或$x=-\dfrac{20}{3}$（边长为正，舍去），且$10＜15$，符合题意。
（3）设三种花卉总产值之和为y元，铺设宽为a m的小路后：
A区实际种植面积为$-x^2+10x+200-a(20-x)=-x^2+(a+10)x+200-20a\ \mathrm{m}^2$，
B区实际种植面积为$(x^2-ax)\ \mathrm{m}^2$，C区面积不变。
则总产值：
$y=100[-x^2+(a+10)x+200-20a]+200(x^2-ax)+300(x^2-50x+600)$
整理得$y=400x^2-100(a+140)x+200000-2000a$，这是开口向上的二次函数，对称轴为$x=\dfrac{a+140}{8}$。
由$0＜a＜3$得$17.5＜\dfrac{a+140}{8}＜17.875$，又$x≤15$，在对称轴左侧y随x增大而减小，故$x=15$时y取最小值73000元。
代入得$400×15^2-100(a+140)×15+200000-2000a=73000$，解得$a=2$。
【答案】
(1) $-x^2+10x+200$；$x^2$；$x^2-50x+600$
(2) 10 m
(3) 2
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；二次函数最值应用
【点评】
本题是几何图形与代数运算结合的实际应用题，需要准确分析图形各边的数量关系，正确列代数式、方程和函数表达式，解题时要格外注意自变量的取值范围对结果和最值的影响。
【难度系数】
0.4
