15.如图,在$Rt△ ABC$和$Rt△ ACD$中,
$∠ B=∠ ACD=90°$,AC平分$∠ BAD$。
(1)求证:$△ ABC∽△ ACD$。
(2)若$AB=4,AC=5$,求$BC$和$CD$
的长。

(1) 证明：
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠BAC = ∠CAD，
又∵ ∠B = ∠ACD = 90°，
∴ △ABC ∽ △ACD（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，AC=5，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
∵ △ABC ∽ △ACD，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}$，
将AB=4，AC=5，BC=3代入得：
$\frac{4}{5}=\frac{3}{CD}$，
解得 $CD=\frac{15}{4}$。
综上，BC的长为3，CD的长为$\frac{15}{4}$。

【分析】
(1) 要证明△ABC∽△ACD，首先回忆相似三角形的判定定理，题中已经给出∠B=∠ACD=90°，即有一组角相等，再结合AC平分∠BAD，可得到另一组对应角∠BAC=∠CAD，满足两角分别相等的相似判定条件，即可完成证明。
(2) 求BC的长时，Rt△ABC中已知两条边AB和AC的长度，直接用勾股定理计算即可；求CD的长时，利用第(1)问证得的相似三角形性质，对应边成比例，代入已知的AB、AC、BC的长度，即可求解CD。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠BAC = ∠CAD，
又
∵ ∠B = ∠ACD = 90°，
∴ △ABC ∽ △ACD（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，AC=5，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
∵ △ABC ∽ △ACD，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}$，
将AB=4，AC=5，BC=3代入得：
$\frac{4}{5}=\frac{3}{CD}$，
解得 $CD=\frac{15}{4}$。
【答案】
(1) 已证△ABC∽△ACD；
(2) BC的长为3，CD的长为$\frac{15}{4}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是先利用角平分线性质和直角条件证明三角形相似，再结合勾股定理、相似三角形对应边成比例的性质求解未知边长，是几何部分的常规考题，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7

16. 如图,在$△ ABC$中,点 D,E,F 分别在AB,BC,AC边上,已知$DE// AC$,$EF// AB$。
(1)求证:$△ BDE ∽ △ EFC$。
(2)已知$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$。
①若$BC=12$,求线段 BE 的长。
②若$△ EFC$的面积是 20,求四边形 ADEF 的面积。

(1) 证明：
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ BED = ∠ C$。
∵ $EF// AB$，
∴ $∠ B = ∠ FEC$。
∴ $△ BDE ∽ △ EFC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
---
(2) ① 解：
∵ $EF// AB$，
∴ $\frac{CE}{BE}=\frac{FC}{AF}=2$，即 $CE=2BE$。
∵ $BE + CE = BC = 12$，
∴ $BE + 2BE = 12$，
解得 $BE=4$。
---
② 解：
∵ $EF// AB$，
∴ $△ EFC ∽ △ BAC$。
∴ $\frac{S_{△ EFC}}{S_{△ BAC}}=(\frac{FC}{AC})^2$。
∵ $\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{FC}{AC}=\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}$，
∴ $\frac{S_{△ EFC}}{S_{△ BAC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
∵ $S_{△ EFC}=20$，
∴ $S_{△ BAC}=20×\frac{9}{4}=45$。
∵ $DE// AC$，
∴ $△ BDE ∽ △ BAC$。
又∵ $\frac{BE}{BC}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{S_{△ BDE}}{S_{△ BAC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∴ $S_{△ BDE}=45×\frac{1}{9}=5$。
∴ $S_{\mathrm{四边形}ADEF}=S_{△ ABC}-S_{△ EFC}-S_{△ BDE}=45-20-5=20$。
答：① 线段$BE$的长为$4$；② 四边形$ADEF$的面积为$20$。

【分析】
(1) 要证明两个三角形相似，可优先考虑两角分别相等的判定方法。已知两组平行线，利用“两直线平行，同位角相等”可分别得到△BDE和△EFC的两组对应角相等，即可完成证明。
(2) ① 已知$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，结合$EF// AB$，根据平行线分线段成比例定理可得到$BE$与$EC$的比例关系，再结合$BC=12$的总长度，列方程即可求出$BE$的长。
② 求四边形$ADEF$的面积，可通过“大三角形面积减去两个小三角形面积”的思路计算。首先由$EF// AB$得△EFC∽△BAC，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的总面积；再由$DE// AC$得△BDE∽△BAC，同理求出△BDE的面积，最终作差得到四边形面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ $DE// AC$，
∴ $∠BED = ∠C$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $EF// AB$，
∴ $∠B = ∠FEC$（两直线平行，同位角相等）。
∴ $△BDE ∽ △EFC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) ① 解：
∵ $EF// AB$，
∴ $\frac{CE}{BE}=\frac{FC}{AF}=2$，即 $CE=2BE$。
∵ $BE + CE = BC = 12$，
∴ $BE + 2BE = 12$，
解得 $BE=4$。
② 解：
∵ $EF// AB$，
∴ $△EFC ∽ △BAC$。
∴ $\frac{S_{△EFC}}{S_{△BAC}}=(\frac{FC}{AC})^2$。
∵ $\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{FC}{AC}=\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}$，
∴ $\frac{S_{△EFC}}{S_{△BAC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
∵ $S_{△EFC}=20$，
∴ $S_{△BAC}=20×\frac{9}{4}=45$。
∵ $DE// AC$，
∴ $△BDE ∽ △BAC$。
又
∵ $\frac{BE}{BC}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{S_{△BDE}}{S_{△BAC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∴ $S_{△BDE}=45×\frac{1}{9}=5$。
∴ $S_{\mathrm{四边形}ADEF}=S_{△ABC}-S_{△EFC}-S_{△BDE}=45-20-5=20$。
【答案】
(1) $△BDE ∽ △EFC$得证；
(2) ① $BE=4$；
② 四边形$ADEF$的面积为$20$。
【知识点】
相似三角形的判定、平行线分线段成比例、相似三角形的性质
【点评】
本题围绕相似三角形的判定与性质展开考查，结合平行线的性质推导角相等和线段比例关系，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，以及相似比和面积比的对应关系，整体解题思路清晰，属于常考的基础综合题型。
【难度系数】
0.7