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9.在正方形$ABCD$中，点$E$在直线$BC$上，$CE=\sqrt{2}AD$，连接$AE$，则$∠ EAD$的大小是。
答案
解：设正方形ABCD的边长为a，则$AD=AB=BC=CD=a$，$∠ BAD=90°$，
正方形对角线$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{2}a$，
由$CE=\sqrt{2}AD$，得$CE=\sqrt{2}a$，故$CE=AC$。
分两种情况讨论：
1. 当点E在BC的延长线（点C外侧，远离点B）时：
$\because AC$是正方形对角线，$\therefore ∠ ACB=45°$，
$\therefore ∠ ACE=180°-∠ ACB=135°$，
$\because AC=CE$，$\therefore △ ACE$为等腰三角形，
$\therefore ∠ CAE=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$，
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ EAD=∠ AEB$，
在$Rt△ ABE$中，$BE=BC+CE=a+\sqrt{2}a$，$AB=a$，
$\tan∠ AEB=\frac{AB}{BE}=\frac{a}{a+\sqrt{2}a}=\sqrt{2}-1=\tan22.5°$，
$\therefore ∠ EAD=22.5°$。
2. 当点E在CB的延长线（点B外侧，远离点C）时：
$\because ∠ ACB=45°$，$\therefore ∠ ACE=45°$，
$\because AC=CE$，$\therefore △ ACE$为等腰三角形，
$\therefore ∠ CAE=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ EAD + ∠ AEB=180°$，
在$Rt△ ABE$中，$BE=CE-BC=\sqrt{2}a-a$，$AB=a$，
$\tan∠ AEB=\frac{AB}{BE}=\frac{a}{\sqrt{2}a-a}=\sqrt{2}+1=\tan67.5°$，
$\therefore ∠ AEB=67.5°$，
$\therefore ∠ EAD=180°-67.5°=112.5°$。
综上，$∠ EAD$的大小是$\boldsymbol{22.5°}$或$\boldsymbol{112.5°}$。
正方形对角线$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{2}a$，
由$CE=\sqrt{2}AD$，得$CE=\sqrt{2}a$，故$CE=AC$。
分两种情况讨论：
1. 当点E在BC的延长线（点C外侧，远离点B）时：
$\because AC$是正方形对角线，$\therefore ∠ ACB=45°$，
$\therefore ∠ ACE=180°-∠ ACB=135°$，
$\because AC=CE$，$\therefore △ ACE$为等腰三角形，
$\therefore ∠ CAE=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$，
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ EAD=∠ AEB$，
在$Rt△ ABE$中，$BE=BC+CE=a+\sqrt{2}a$，$AB=a$，
$\tan∠ AEB=\frac{AB}{BE}=\frac{a}{a+\sqrt{2}a}=\sqrt{2}-1=\tan22.5°$，
$\therefore ∠ EAD=22.5°$。
2. 当点E在CB的延长线（点B外侧，远离点C）时：
$\because ∠ ACB=45°$，$\therefore ∠ ACE=45°$，
$\because AC=CE$，$\therefore △ ACE$为等腰三角形，
$\therefore ∠ CAE=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ EAD + ∠ AEB=180°$，
在$Rt△ ABE$中，$BE=CE-BC=\sqrt{2}a-a$，$AB=a$，
$\tan∠ AEB=\frac{AB}{BE}=\frac{a}{\sqrt{2}a-a}=\sqrt{2}+1=\tan67.5°$，
$\therefore ∠ AEB=67.5°$，
$\therefore ∠ EAD=180°-67.5°=112.5°$。
综上，$∠ EAD$的大小是$\boldsymbol{22.5°}$或$\boldsymbol{112.5°}$。
解析
【分析】
首先注意到题目中点E在直线BC上，因此要分E在BC延长线和CB延长线两种情况讨论，避免漏解。我们可以先设正方形边长为a，利用正方形性质求出对角线AC的长度，对比已知$CE=\sqrt{2}AD$，可发现$CE=AC$，得到等腰$△ ACE$，再结合正方形内角、平行线的性质以及锐角三角函数即可求出$∠ EAD$的度数。
【解析】
设正方形ABCD的边长为a，则$AD=AB=BC=CD=a$，$∠ BAD=90°$，
正方形对角线$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{2}a$，
由$CE=\sqrt{2}AD$，得$CE=\sqrt{2}a$，故$CE=AC$，分两种情况讨论：
1. 当点E在BC的延长线（点C外侧，远离点B）时：
$\because AC$是正方形对角线，$\therefore ∠ ACB=45°$，
$\therefore ∠ ACE=180°-∠ ACB=135°$，
$\because AC=CE$，$\therefore △ ACE$为等腰三角形，
$\therefore ∠ CAE=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$，
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ EAD=∠ AEB$，
在$Rt△ ABE$中，$BE=BC+CE=a+\sqrt{2}a$，$AB=a$，
$\tan∠ AEB=\frac{AB}{BE}=\frac{a}{a+\sqrt{2}a}=\sqrt{2}-1=\tan22.5°$，
$\therefore ∠ EAD=22.5°$。
2. 当点E在CB的延长线（点B外侧，远离点C）时：
$\because ∠ ACB=45°$，$\therefore ∠ ACE=45°$，
$\because AC=CE$，$\therefore △ ACE$为等腰三角形，
$\therefore ∠ CAE=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ EAD + ∠ AEB=180°$，
在$Rt△ ABE$中，$BE=CE-BC=\sqrt{2}a-a$，$AB=a$，
$\tan∠ AEB=\frac{AB}{BE}=\frac{a}{\sqrt{2}a-a}=\sqrt{2}+1=\tan67.5°$，
$\therefore ∠ AEB=67.5°$，
$\therefore ∠ EAD=180°-67.5°=112.5°$。
综上，$∠ EAD$的大小为$22.5°$或$112.5°$。
【答案】
$22.5°$或$112.5°$
【知识点】
正方形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“点E在直线BC上”的条件，只考虑其中一种情况导致漏解。解题时需结合正方形、等腰三角形的性质，灵活运用分类讨论思想分析不同位置下的角度关系。
【难度系数】
0.5
首先注意到题目中点E在直线BC上，因此要分E在BC延长线和CB延长线两种情况讨论，避免漏解。我们可以先设正方形边长为a，利用正方形性质求出对角线AC的长度，对比已知$CE=\sqrt{2}AD$，可发现$CE=AC$，得到等腰$△ ACE$，再结合正方形内角、平行线的性质以及锐角三角函数即可求出$∠ EAD$的度数。
【解析】
设正方形ABCD的边长为a，则$AD=AB=BC=CD=a$，$∠ BAD=90°$，
正方形对角线$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{2}a$，
由$CE=\sqrt{2}AD$，得$CE=\sqrt{2}a$，故$CE=AC$，分两种情况讨论：
1. 当点E在BC的延长线（点C外侧，远离点B）时：
$\because AC$是正方形对角线，$\therefore ∠ ACB=45°$，
$\therefore ∠ ACE=180°-∠ ACB=135°$，
$\because AC=CE$，$\therefore △ ACE$为等腰三角形，
$\therefore ∠ CAE=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$，
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ EAD=∠ AEB$，
在$Rt△ ABE$中，$BE=BC+CE=a+\sqrt{2}a$，$AB=a$，
$\tan∠ AEB=\frac{AB}{BE}=\frac{a}{a+\sqrt{2}a}=\sqrt{2}-1=\tan22.5°$，
$\therefore ∠ EAD=22.5°$。
2. 当点E在CB的延长线（点B外侧，远离点C）时：
$\because ∠ ACB=45°$，$\therefore ∠ ACE=45°$，
$\because AC=CE$，$\therefore △ ACE$为等腰三角形，
$\therefore ∠ CAE=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ EAD + ∠ AEB=180°$，
在$Rt△ ABE$中，$BE=CE-BC=\sqrt{2}a-a$，$AB=a$，
$\tan∠ AEB=\frac{AB}{BE}=\frac{a}{\sqrt{2}a-a}=\sqrt{2}+1=\tan67.5°$，
$\therefore ∠ AEB=67.5°$，
$\therefore ∠ EAD=180°-67.5°=112.5°$。
综上，$∠ EAD$的大小为$22.5°$或$112.5°$。
【答案】
$22.5°$或$112.5°$
【知识点】
正方形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“点E在直线BC上”的条件，只考虑其中一种情况导致漏解。解题时需结合正方形、等腰三角形的性质，灵活运用分类讨论思想分析不同位置下的角度关系。
【难度系数】
0.5
10.用长28 m的铁丝围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园,使菜园的面积为96 m²。在平行于墙的一边开一个长2 m的小门(小门用其他材料)。设该矩形菜园垂直于墙的边长为x m,则可列方程为。
答案
解：设该矩形菜园垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则两条垂直于墙的边总长度为$2x\ \mathrm{m}$。
由于平行于墙的对边开有长$2\ \mathrm{m}$的小门，无需使用铁丝，因此平行于墙的矩形边长为$(28 - 2x + 2)\ \mathrm{m}$，即$(30-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，可列方程：
$x(30-2x)=96$
由于平行于墙的对边开有长$2\ \mathrm{m}$的小门，无需使用铁丝，因此平行于墙的矩形边长为$(28 - 2x + 2)\ \mathrm{m}$，即$(30-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，可列方程：
$x(30-2x)=96$
解析
【分析】
解题时首先需要明确矩形两条边的长度表达式：第一步先根据所设垂直于墙的边长，表示出两条垂直边的总长度；第二步重点分析平行于墙的边长，由于平行边有2m的小门无需使用铁丝，说明平行边的长度比铁丝用于围这部分的长度多2m，因此平行边长度为铁丝总长减去两条垂直边长度后再加小门的2m；最后结合矩形面积公式即可列出对应方程。
【解析】
设该矩形菜园垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则两条垂直于墙的边总长度为$2x\ \mathrm{m}$。
由于平行于墙的一边开有长$2\ \mathrm{m}$的小门，无需使用铁丝，因此平行于墙的矩形边长为$(28 - 2x + 2)\ \mathrm{m}$，即$(30-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式“面积=长×宽”，可列方程：
$x(30-2x)=96$
【答案】
$x(30-2x)=96$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；列代数式
【点评】
本题是方程在实际几何问题中的典型题型，解题的关键是正确理解小门对平行于墙的边长的影响，避免误将小门长度从边长中扣除，只要准确表示出矩形两条边的长度，结合面积公式就能顺利列出方程。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要明确矩形两条边的长度表达式：第一步先根据所设垂直于墙的边长，表示出两条垂直边的总长度；第二步重点分析平行于墙的边长，由于平行边有2m的小门无需使用铁丝，说明平行边的长度比铁丝用于围这部分的长度多2m，因此平行边长度为铁丝总长减去两条垂直边长度后再加小门的2m；最后结合矩形面积公式即可列出对应方程。
【解析】
设该矩形菜园垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则两条垂直于墙的边总长度为$2x\ \mathrm{m}$。
由于平行于墙的一边开有长$2\ \mathrm{m}$的小门，无需使用铁丝，因此平行于墙的矩形边长为$(28 - 2x + 2)\ \mathrm{m}$，即$(30-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式“面积=长×宽”，可列方程：
$x(30-2x)=96$
【答案】
$x(30-2x)=96$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；列代数式
【点评】
本题是方程在实际几何问题中的典型题型，解题的关键是正确理解小门对平行于墙的边长的影响，避免误将小门长度从边长中扣除，只要准确表示出矩形两条边的长度，结合面积公式就能顺利列出方程。
【难度系数】
0.7
11.如图,已知直线$a// b// c$,直线AC交a,b,c于点A,B,C,直线DF交a,b,c于点D,E,F。若$DE=2EF$,$AC=6$,则AB的长为。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
遇到一组平行线截两条直线的题型，首先想到应用平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。本题中三条平行线a、b、c截直线AC、DF，可得AB与BC的比等于DE与EF的比。结合已知DE=2EF可得到AB和BC的比值，再利用AC=AB+BC=6的条件，即可计算出AB的长度。
【解析】
解：
∵ $a// b// c$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
已知$DE=2EF$，则$\frac{DE}{EF}=\frac{2}{1}$，即$\frac{AB}{BC}=2$，也就是$AB=2BC$。
又
∵ $AC=AB+BC=6$，将$AB=2BC$代入得：
$2BC+BC=6$
$3BC=6$，解得$BC=2$
∴ $AB=2BC=2×2=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，线段和差计算
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是准确识别被截直线上的对应线段，正确列出比例式，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
遇到一组平行线截两条直线的题型，首先想到应用平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。本题中三条平行线a、b、c截直线AC、DF，可得AB与BC的比等于DE与EF的比。结合已知DE=2EF可得到AB和BC的比值，再利用AC=AB+BC=6的条件，即可计算出AB的长度。
【解析】
解：
∵ $a// b// c$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
已知$DE=2EF$，则$\frac{DE}{EF}=\frac{2}{1}$，即$\frac{AB}{BC}=2$，也就是$AB=2BC$。
又
∵ $AC=AB+BC=6$，将$AB=2BC$代入得：
$2BC+BC=6$
$3BC=6$，解得$BC=2$
∴ $AB=2BC=2×2=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，线段和差计算
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是准确识别被截直线上的对应线段，正确列出比例式，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
12. 提升题 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。若AE：AD=1：5，BE，AC相交于点F，则$\frac{AF}{OC}$的值为。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
【分析】
求解本题首先利用矩形的性质：矩形对边平行且相等、对角线互相平分，可得AD与BC平行且相等，OC为AC的一半；再由AD//BC可判定△AEF与△CBF相似，结合已知AE:AD的比值得到AF与FC的比例关系，进而推出AF与AC的关系，最终求出$\frac{AF}{OC}$的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，对角线AC、BD互相平分，即$OC=\frac{1}{2}AC$。
∵$AE:AD=1:5$，且$AD=BC$，
∴$AE:BC=1:5$。
∵$AD//BC$，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF（两直线平行，内错角相等），
∴△AEF∽△CBF（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{5}$，
设$AF=k$，则$FC=5k$，
∴$AC=AF+FC=6k$，
∴$OC=\frac{1}{2}AC=3k$，
∴$\frac{AF}{OC}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是矩形与相似三角形结合的基础综合题，解题核心是通过矩形对边平行的性质构造相似三角形，再结合线段比例关系推导所求比值，是几何中常见的比例求解题型。
【难度系数】
0.6
求解本题首先利用矩形的性质：矩形对边平行且相等、对角线互相平分，可得AD与BC平行且相等，OC为AC的一半；再由AD//BC可判定△AEF与△CBF相似，结合已知AE:AD的比值得到AF与FC的比例关系，进而推出AF与AC的关系，最终求出$\frac{AF}{OC}$的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，对角线AC、BD互相平分，即$OC=\frac{1}{2}AC$。
∵$AE:AD=1:5$，且$AD=BC$，
∴$AE:BC=1:5$。
∵$AD//BC$，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF（两直线平行，内错角相等），
∴△AEF∽△CBF（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{5}$，
设$AF=k$，则$FC=5k$，
∴$AC=AF+FC=6k$，
∴$OC=\frac{1}{2}AC=3k$，
∴$\frac{AF}{OC}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是矩形与相似三角形结合的基础综合题，解题核心是通过矩形对边平行的性质构造相似三角形，再结合线段比例关系推导所求比值，是几何中常见的比例求解题型。
【难度系数】
0.6
三、解答题
13.解下列方程：
(1)$x^2 - 2x - 3 = 0$；
(2)$5x^2 - 3x = x + 1$。
13.解下列方程：
(1)$x^2 - 2x - 3 = 0$；
(2)$5x^2 - 3x = x + 1$。
答案
解：
(1) 对$x^2 - 2x - 3 = 0$因式分解，得
$(x-3)(x+1)=0$
$\therefore x-3=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=3$，$x_2=-1$。
(2) 将原方程$5x^2 - 3x = x + 1$整理为一般形式：
$5x^2 -4x -1 = 0$
因式分解，得
$(5x+1)(x-1)=0$
$\therefore 5x+1=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{5}$。
(1) 对$x^2 - 2x - 3 = 0$因式分解，得
$(x-3)(x+1)=0$
$\therefore x-3=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=3$，$x_2=-1$。
(2) 将原方程$5x^2 - 3x = x + 1$整理为一般形式：
$5x^2 -4x -1 = 0$
因式分解，得
$(5x+1)(x-1)=0$
$\therefore 5x+1=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{5}$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，优先选用因式分解法简化计算：①对于第(1)题，方程已经是一般形式，观察二次项系数、一次项系数、常数项的特征，可通过十字相乘法将左侧多项式因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”转化为两个一元一次方程求解；②对于第(2)题，先通过移项、合并同类项将方程整理为一元二次方程的一般形式，再用十字相乘法因式分解，后续步骤同第(1)题。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x - 3 = 0$因式分解，得
$(x-3)(x+1)=0$
$\therefore x-3=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=3$，$x_2=-1$。
(2) 将原方程$5x^2 - 3x = x + 1$整理为一般形式：
$5x^2 -4x -1 = 0$
因式分解，得
$(5x+1)(x-1)=0$
$\therefore 5x+1=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{5}$。
【答案】
(1) $x_1=3$，$x_2=-1$；(2) $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{5}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查因式分解法的应用，解题时需注意先将非一般形式的方程整理为标准形式再进行因式分解，计算过程难度较低，认真审题、细心运算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的求解，优先选用因式分解法简化计算：①对于第(1)题，方程已经是一般形式，观察二次项系数、一次项系数、常数项的特征，可通过十字相乘法将左侧多项式因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”转化为两个一元一次方程求解；②对于第(2)题，先通过移项、合并同类项将方程整理为一元二次方程的一般形式，再用十字相乘法因式分解，后续步骤同第(1)题。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x - 3 = 0$因式分解，得
$(x-3)(x+1)=0$
$\therefore x-3=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=3$，$x_2=-1$。
(2) 将原方程$5x^2 - 3x = x + 1$整理为一般形式：
$5x^2 -4x -1 = 0$
因式分解，得
$(5x+1)(x-1)=0$
$\therefore 5x+1=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{5}$。
【答案】
(1) $x_1=3$，$x_2=-1$；(2) $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{5}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查因式分解法的应用，解题时需注意先将非一般形式的方程整理为标准形式再进行因式分解，计算过程难度较低，认真审题、细心运算即可得分。
【难度系数】
0.9
14.已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 -5x +2k -1=0$的两个实数根。
(1)求$k$的取值范围。
(2)若$x_1^2 +x_2^2=17$，求$k$的值。
(1)求$k$的取值范围。
(2)若$x_1^2 +x_2^2=17$，求$k$的值。
答案
解：
(1) ∵方程$x^2 -5x +2k -1=0$有两个实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥ 0$，
其中$a=1$，$b=-5$，$c=2k-1$，代入得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×(2k-1) ≥ 0$
$25 - 8k +4 ≥ 0$
$29 -8k ≥ 0$
解得：$k ≤ \frac{29}{8}$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = 5$，$x_1x_2 = 2k -1$，
∵$x_1^2 + x_2^2 = 17$，且$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：
$5^2 - 2(2k-1) =17$
$25 -4k +2 =17$
$27 -4k =17$
解得$k=\frac{5}{2}$，
∵$\frac{5}{2} ≤ \frac{29}{8}$，满足(1)中k的取值范围，
∴$k$的值为$\frac{5}{2}$。
(1) ∵方程$x^2 -5x +2k -1=0$有两个实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥ 0$，
其中$a=1$，$b=-5$，$c=2k-1$，代入得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×(2k-1) ≥ 0$
$25 - 8k +4 ≥ 0$
$29 -8k ≥ 0$
解得：$k ≤ \frac{29}{8}$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = 5$，$x_1x_2 = 2k -1$，
∵$x_1^2 + x_2^2 = 17$，且$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：
$5^2 - 2(2k-1) =17$
$25 -4k +2 =17$
$27 -4k =17$
解得$k=\frac{5}{2}$，
∵$\frac{5}{2} ≤ \frac{29}{8}$，满足(1)中k的取值范围，
∴$k$的值为$\frac{5}{2}$。
解析
【分析】
(1) 已知一元二次方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，当$\Delta ≥ 0$时方程有两个实根，因此只需代入方程的系数计算判别式，解不等式即可得到k的取值范围。
(2) 要求k的值，已知两根的平方和，可利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再结合一元二次方程根与系数的关系求出两根和、两根积关于k的表达式，代入变形后的等式求解k，最后要检验所求k是否满足(1)中的取值范围，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1)
∵方程$x^2 -5x +2k -1=0$有两个实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥ 0$，
其中$a=1$，$b=-5$，$c=2k-1$，代入得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×(2k-1) ≥ 0$
$25 - 8k +4 ≥ 0$
$29 -8k ≥ 0$
解得：$k ≤ \frac{29}{8}$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = 5$，$x_1x_2 = 2k -1$，
∵$x_1^2 + x_2^2 = 17$，且$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：
$5^2 - 2(2k-1) =17$
$25 -4k +2 =17$
$27 -4k =17$
解得$k=\frac{5}{2}$，
∵$\frac{5}{2} ≤ \frac{29}{8}$，满足(1)中k的取值范围，
∴$k$的值为$\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $k ≤ \frac{29}{8}$；(2) $k=\frac{5}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常规题型，重点考察判别式和韦达定理的应用，解题时需注意第二问求解出k值后要验证是否满足根存在的条件，避免出现不符合题意的增根，整体解题思路清晰，属于基础考点。
【难度系数】
0.75
(1) 已知一元二次方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，当$\Delta ≥ 0$时方程有两个实根，因此只需代入方程的系数计算判别式，解不等式即可得到k的取值范围。
(2) 要求k的值，已知两根的平方和，可利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再结合一元二次方程根与系数的关系求出两根和、两根积关于k的表达式，代入变形后的等式求解k，最后要检验所求k是否满足(1)中的取值范围，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1)
∵方程$x^2 -5x +2k -1=0$有两个实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥ 0$，
其中$a=1$，$b=-5$，$c=2k-1$，代入得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×(2k-1) ≥ 0$
$25 - 8k +4 ≥ 0$
$29 -8k ≥ 0$
解得：$k ≤ \frac{29}{8}$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = 5$，$x_1x_2 = 2k -1$，
∵$x_1^2 + x_2^2 = 17$，且$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：
$5^2 - 2(2k-1) =17$
$25 -4k +2 =17$
$27 -4k =17$
解得$k=\frac{5}{2}$，
∵$\frac{5}{2} ≤ \frac{29}{8}$，满足(1)中k的取值范围，
∴$k$的值为$\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $k ≤ \frac{29}{8}$；(2) $k=\frac{5}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常规题型，重点考察判别式和韦达定理的应用，解题时需注意第二问求解出k值后要验证是否满足根存在的条件，避免出现不符合题意的增根，整体解题思路清晰，属于基础考点。
【难度系数】
0.75
