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17.如图，点E在ABCD的边CD的延长线上，连接BE，交AC于点O，交AD于点F。
(1)求证：△AOB∽△COE。
(2)求证：OB²=OF·OE。
(1)求证：△AOB∽△COE。
(2)求证：OB²=OF·OE。
答案
证明：(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
又∵ 点E在CD的延长线上，
∴ AB//CE，
∴ ∠OAB = ∠OCE，∠OBA = ∠OEC，
∴ △AOB∽△COE。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠OAF = ∠OCB，∠OFA = ∠OBC，
∴ △AOF∽△COB，
∴ $\frac{OB}{OF}=\frac{OC}{OA}$。
由(1)知△AOB∽△COE，
∴ $\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OA}$，
∴ $\frac{OB}{OF}=\frac{OE}{OB}$，
交叉相乘可得：$OB^2 = OF · OE$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
又∵ 点E在CD的延长线上，
∴ AB//CE，
∴ ∠OAB = ∠OCE，∠OBA = ∠OEC，
∴ △AOB∽△COE。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠OAF = ∠OCB，∠OFA = ∠OBC，
∴ △AOF∽△COB，
∴ $\frac{OB}{OF}=\frac{OC}{OA}$。
由(1)知△AOB∽△COE，
∴ $\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OA}$，
∴ $\frac{OB}{OF}=\frac{OE}{OB}$，
交叉相乘可得：$OB^2 = OF · OE$。
解析
【分析】
(1) 要证明△AOB∽△COE，可结合相似三角形的两角判定法分析：首先利用平行四边形对边平行的性质，可得AB//CE，进而推出两组对应角相等，即可证明两三角形相似。
(2) 要证明等积式OB²=OF·OE，通常先将其转化为比例式$\frac{OB}{OF}=\frac{OE}{OB}$，需通过两组相似三角形得到公共中间比完成推导：先由AD//BC证明△AOF∽△COB，得到比例$\frac{OB}{OF}=\frac{OC}{OA}$；再结合(1)中相似的结论得到$\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OA}$，通过中间比$\frac{OC}{OA}$等量代换得到目标比例式，交叉相乘即可得证。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
又
∵ 点E在CD的延长线上，
∴ AB//CE，
∴ ∠OAB = ∠OCE，∠OBA = ∠OEC，
∴ △AOB∽△COE。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠OAF = ∠OCB，∠OFA = ∠OBC，
∴ △AOF∽△COB，
∴ $\frac{OB}{OF}=\frac{OC}{OA}$。
由(1)知△AOB∽△COE，
∴ $\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OA}$，
∴ $\frac{OB}{OF}=\frac{OE}{OB}$，
交叉相乘可得：$OB^2 = OF · OE$。
【答案】
(1) 已证△AOB∽△COE；
(2) 已证$OB^2 = OF · OE$。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的典型题型，解题核心是灵活运用平行四边形对边平行的性质得到相等的角，进而证明三角形相似，再借助相似的比例性质找中间比完成等积式推导，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△AOB∽△COE，可结合相似三角形的两角判定法分析：首先利用平行四边形对边平行的性质，可得AB//CE，进而推出两组对应角相等，即可证明两三角形相似。
(2) 要证明等积式OB²=OF·OE，通常先将其转化为比例式$\frac{OB}{OF}=\frac{OE}{OB}$，需通过两组相似三角形得到公共中间比完成推导：先由AD//BC证明△AOF∽△COB，得到比例$\frac{OB}{OF}=\frac{OC}{OA}$；再结合(1)中相似的结论得到$\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OA}$，通过中间比$\frac{OC}{OA}$等量代换得到目标比例式，交叉相乘即可得证。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
又
∵ 点E在CD的延长线上，
∴ AB//CE，
∴ ∠OAB = ∠OCE，∠OBA = ∠OEC，
∴ △AOB∽△COE。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠OAF = ∠OCB，∠OFA = ∠OBC，
∴ △AOF∽△COB，
∴ $\frac{OB}{OF}=\frac{OC}{OA}$。
由(1)知△AOB∽△COE，
∴ $\frac{OE}{OB}=\frac{OC}{OA}$，
∴ $\frac{OB}{OF}=\frac{OE}{OB}$，
交叉相乘可得：$OB^2 = OF · OE$。
【答案】
(1) 已证△AOB∽△COE；
(2) 已证$OB^2 = OF · OE$。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的典型题型，解题核心是灵活运用平行四边形对边平行的性质得到相等的角，进而证明三角形相似，再借助相似的比例性质找中间比完成等积式推导，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
18.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点。
(1)求证:BM=CM。
(2)当AB:AD的值为多少时,四边形MENF是正方形?请说明理由。
(1)求证:BM=CM。
(2)当AB:AD的值为多少时,四边形MENF是正方形?请说明理由。
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，$AB = CD$。
∵ M是AD的中点，
∴ $AM = DM$。
在$△ ABM$和$△ DCM$中，
$\begin{cases}AB = DC \\∠ A = ∠ D \\AM = DM\end{cases}$
∴ $△ ABM ≌ △ DCM$（SAS），
∴ $BM = CM$。
---
(2) 解：当$AB:AD = 1:2$时，四边形MENF是正方形，理由如下：
∵ E,N分别是BM,BC的中点，
∴ EN是$△ BMC$的中位线，
∴ $EN // CM$，$EN = \frac{1}{2}CM$。
∵ F是CM的中点，
∴ $MF = \frac{1}{2}CM$，
∴ $EN // MF$，$EN = MF$，
∴ 四边形MENF是平行四边形。
由(1)知$BM = CM$，
∵ E,F分别是BM,CM的中点，
∴ $ME = \frac{1}{2}BM$，$MF = \frac{1}{2}CM$，
∴ $ME = MF$，
∴ 平行四边形MENF是菱形。
∵ $AB:AD = 1:2$，$AM = \frac{1}{2}AD$，
∴ $AD = 2AB$，$AM = AB$。
∵ $∠ A = 90°$，
∴ $△ ABM$是等腰直角三角形，$∠ AMB = 45°$。
同理可得$∠ DMC = 45°$，
∴ $∠ EMF = 180° - ∠ AMB - ∠ DMC = 90°$，
∴ 菱形MENF是正方形。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，$AB = CD$。
∵ M是AD的中点，
∴ $AM = DM$。
在$△ ABM$和$△ DCM$中，
$\begin{cases}AB = DC \\∠ A = ∠ D \\AM = DM\end{cases}$
∴ $△ ABM ≌ △ DCM$（SAS），
∴ $BM = CM$。
---
(2) 解：当$AB:AD = 1:2$时，四边形MENF是正方形，理由如下：
∵ E,N分别是BM,BC的中点，
∴ EN是$△ BMC$的中位线，
∴ $EN // CM$，$EN = \frac{1}{2}CM$。
∵ F是CM的中点，
∴ $MF = \frac{1}{2}CM$，
∴ $EN // MF$，$EN = MF$，
∴ 四边形MENF是平行四边形。
由(1)知$BM = CM$，
∵ E,F分别是BM,CM的中点，
∴ $ME = \frac{1}{2}BM$，$MF = \frac{1}{2}CM$，
∴ $ME = MF$，
∴ 平行四边形MENF是菱形。
∵ $AB:AD = 1:2$，$AM = \frac{1}{2}AD$，
∴ $AD = 2AB$，$AM = AB$。
∵ $∠ A = 90°$，
∴ $△ ABM$是等腰直角三角形，$∠ AMB = 45°$。
同理可得$∠ DMC = 45°$，
∴ $∠ EMF = 180° - ∠ AMB - ∠ DMC = 90°$，
∴ 菱形MENF是正方形。
解析
【分析】
(1) 要证明BM=CM，可通过证明△ABM和△DCM全等得到。首先利用矩形的性质得到AB=CD、∠A=∠D=90°，再结合M是AD中点得到AM=DM，用SAS即可证明两三角形全等，从而得到对应边BM=CM。
(2) 要判断四边形MENF是正方形时AB:AD的比值，需按照正方形的判定逻辑逐步推导：先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再结合BM=CM证明它是菱形，最后要使菱形为正方形，需有一个内角为90°，由此反推AB和AD的数量关系即可得到比值。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，$AB = CD$。
∵ M是AD的中点，
∴ $AM = DM$。
在$△ ABM$和$△ DCM$中，
$\begin{cases}AB = DC \\∠ A = ∠ D \\AM = DM\end{cases}$
∴ $△ ABM ≌ △ DCM$（SAS），
∴ $BM = CM$。
(2) 解：当$AB:AD = 1:2$时，四边形MENF是正方形，理由如下：
∵ E,N分别是BM,BC的中点，
∴ EN是$△ BMC$的中位线，
∴ $EN // CM$，$EN = \frac{1}{2}CM$。
∵ F是CM的中点，
∴ $MF = \frac{1}{2}CM$，
∴ $EN // MF$，$EN = MF$，
∴ 四边形MENF是平行四边形。
由(1)知$BM = CM$，
∵ E,F分别是BM,CM的中点，
∴ $ME = \frac{1}{2}BM$，$MF = \frac{1}{2}CM$，
∴ $ME = MF$，
∴ 平行四边形MENF是菱形。
∵ $AB:AD = 1:2$，$AM = \frac{1}{2}AD$，
∴ $AD = 2AB$，$AM = AB$。
∵ $∠ A = 90°$，
∴ $△ ABM$是等腰直角三角形，$∠ AMB = 45°$。
同理可得$∠ DMC = 45°$，
∴ $∠ EMF = 180° - ∠ AMB - ∠ DMC = 90°$，
∴ 菱形MENF是正方形。
【答案】
(1) BM=CM，证明成立；
(2) $AB:AD=1:2$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，考查了全等三角形、三角形中位线、特殊四边形的性质与判定，解题时需理清特殊四边形的递进判定逻辑，熟练运用各几何图形的性质推导边、角关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明BM=CM，可通过证明△ABM和△DCM全等得到。首先利用矩形的性质得到AB=CD、∠A=∠D=90°，再结合M是AD中点得到AM=DM，用SAS即可证明两三角形全等，从而得到对应边BM=CM。
(2) 要判断四边形MENF是正方形时AB:AD的比值，需按照正方形的判定逻辑逐步推导：先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再结合BM=CM证明它是菱形，最后要使菱形为正方形，需有一个内角为90°，由此反推AB和AD的数量关系即可得到比值。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，$AB = CD$。
∵ M是AD的中点，
∴ $AM = DM$。
在$△ ABM$和$△ DCM$中，
$\begin{cases}AB = DC \\∠ A = ∠ D \\AM = DM\end{cases}$
∴ $△ ABM ≌ △ DCM$（SAS），
∴ $BM = CM$。
(2) 解：当$AB:AD = 1:2$时，四边形MENF是正方形，理由如下：
∵ E,N分别是BM,BC的中点，
∴ EN是$△ BMC$的中位线，
∴ $EN // CM$，$EN = \frac{1}{2}CM$。
∵ F是CM的中点，
∴ $MF = \frac{1}{2}CM$，
∴ $EN // MF$，$EN = MF$，
∴ 四边形MENF是平行四边形。
由(1)知$BM = CM$，
∵ E,F分别是BM,CM的中点，
∴ $ME = \frac{1}{2}BM$，$MF = \frac{1}{2}CM$，
∴ $ME = MF$，
∴ 平行四边形MENF是菱形。
∵ $AB:AD = 1:2$，$AM = \frac{1}{2}AD$，
∴ $AD = 2AB$，$AM = AB$。
∵ $∠ A = 90°$，
∴ $△ ABM$是等腰直角三角形，$∠ AMB = 45°$。
同理可得$∠ DMC = 45°$，
∴ $∠ EMF = 180° - ∠ AMB - ∠ DMC = 90°$，
∴ 菱形MENF是正方形。
【答案】
(1) BM=CM，证明成立；
(2) $AB:AD=1:2$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，考查了全等三角形、三角形中位线、特殊四边形的性质与判定，解题时需理清特殊四边形的递进判定逻辑，熟练运用各几何图形的性质推导边、角关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
