1.如图,要用“HL”判定$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$全等的条件是（）

A.$AC=DF,BC=EF$
B.$∠ A=∠ D,AB=DE$
C.$AC=DF,AB=DE$
D.$∠ B=∠ E,BC=EF$

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图

C

HL判定直角三角形全等的规则是：两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则两三角形全等。由图可知，$Rt△ABC$中直角为$∠C$，斜边是$AB$，直角边为$AC$、$BC$；$Rt△DEF$中直角为$∠F$，斜边是$DE$，直角边为$DF$、$EF$。选项A是两组直角边对应相等，属于SAS判定，不符合HL；选项B、D均包含角相等的条件，不符合HL仅用斜边和直角边判定的要求；选项C中$AC$、$DF$是对应直角边，$AB$、$DE$是对应斜边，满足斜边和一条直角边对应相等，符合HL判定条件。

2.如图所示，$BE⊥ AC$，$CF⊥ AB$，垂足分别是$E$，$F$.若$BE=CF$，则图中全等三角形有（）

A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

C

1. 第一对：在Rt△ABE和Rt△ACF中，∠AEB=∠AFC=90°，∠A为公共角，BE=CF，由AAS判定得Rt△ABE≌Rt△ACF，可得AB=AC，AE=AF。
2. 第二对：在Rt△BCE和Rt△CBF中，∠BEC=∠CFB=90°，BE=CF，BC为公共斜边，由HL判定得Rt△BCE≌Rt△CBF，可得CE=BF。
3. 第三对：设BE与CF交于点O，在△BOF和△COE中，∠BFO=∠CEO=90°，∠BOF=∠COE，BF=CE，由AAS判定得△BOF≌△COE。
综上共有3对全等三角形。

3.如图,已知$AB=DC$,下列条件中,不能使$△ ABC≌△ DCB$ 的是 （）

A.$AC=DB$
B.$∠ A=∠ D=90°$
C.$∠ ABC=∠ DCB$
D.$∠ ACB=∠ DBC$

D

已知AB=DC，BC是△ABC和△DCB的公共边，即BC=CB。逐一分析选项：
1. 选项A：若AC=DB，满足SSS全等判定条件，可证△ABC≌△DCB；
2. 选项B：若∠A=∠D=90°，两个三角形均为直角三角形，斜边BC=CB，直角边AB=DC，由HL直角三角形全等判定，可证Rt△ABC≌Rt△DCB；
3. 选项C：若∠ABC=∠DCB，满足SAS全等判定条件，可证△ABC≌△DCB；
4. 选项D：若∠ACB=∠DBC，属于两边及其中一边的对角相等（SSA），不能判定三角形全等。
因此不能使△ABC≌△DCB的是选项D。

4.如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中$∠ ABC=30°$），$OM⊥ AB$于点M，$ON⊥ BC$于点N.若$OM=ON$，则$∠ ABO=$.

$\boldsymbol{15°}$

解：连接OB
∵ $OM⊥AB$，$ON⊥BC$
∴ $∠ OMB = ∠ ONB = 90°$
在$\mathrm{Rt}△ OMB$和$\mathrm{Rt}△ ONB$中，
$\begin{cases}OB = BO \\OM = ON\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ OMB ≌ \mathrm{Rt}△ ONB$（HL）
∴ $∠ ABO = ∠ CBO$
∵ $∠ ABC = 30°$，即$∠ ABO + ∠ CBO = 30°$
∴ $∠ ABO = \frac{1}{2}∠ ABC = 15°$

5.如图，直线$ l $过正方形$ ABCD $的顶点$ B $，点$ A $，$ C $到直线$ l $的距离分别是1和2，则正方形的边长是。

解：
由题意得，$AM ⊥$直线$l$，$CN ⊥$直线$l$，
$\therefore ∠ AMB = ∠ BNC = 90°$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABM + ∠ CBN = 180° - ∠ ABC = 90°$。
又$\because ∠ ABM + ∠ BAM = 90°$，
$\therefore ∠ BAM = ∠ CBN$。
在$\mathrm{Rt}△ AMB$和$\mathrm{Rt}△ BNC$中，
$\begin{cases}∠ AMB = ∠ BNC \\∠ BAM = ∠ CBN \\AB = BC\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AMB ≌ \mathrm{Rt}△ BNC(\mathrm{AAS})$。
$\therefore BM = CN = 2$，
在$\mathrm{Rt}△ AMB$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AM^2 + BM^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$。
故正方形的边长是$\boldsymbol{\sqrt{5}}$。

6.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为$AC$的中点，$DE⊥ AB$，$DF⊥ BC$，垂足分别为$E$，$F$，且$DE=DF$.求证：$△ ABC$是等边三角形.

证明：
∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ BC$，
∴ $∠ AED = ∠ CFD = 90°$，
∴ $△ ADE$ 和 $△ CDF$ 都是直角三角形。
∵ $D$ 为 $AC$ 的中点，
∴ $AD = CD$。
又∵ $DE = DF$，
∴ $\mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF$（HL）。
∴ $∠ A = ∠ C$。
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
∴ $∠ A = ∠ B = ∠ C$。
∴ $AB = BC = AC$，
即 $△ ABC$ 是等边三角形。