7.如图,在长方形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F,连结EF.若AB=6,BC=4√6,则FD的长为 ()

A.2
B.4
C.√6
D.2√3

B

1. 由折叠性质得：EG=AE，∠BGE=∠A=90°，故∠EGF=90°，BG=AB=6。
2. 因为E是AD中点，所以AE=ED，因此EG=ED。
3. 在Rt△EDF和Rt△EGF中，ED=EG，EF为公共斜边，根据HL判定定理得Rt△EDF≌Rt△EGF，故FD=FG。
4. 设FD=x，则FG=x，FC=6-x，BF=BG+FG=6+x。
5. 在Rt△BCF中，∠C=90°，由勾股定理得：$BC^2 + FC^2 = BF^2$，代入$BC=4\sqrt{6}$：
$(4\sqrt{6})^2 + (6-x)^2 = (6+x)^2$
展开计算得$96 + 36 -12x +x^2 = 36 +12x +x^2$，化简得24x=96，解得x=4，即FD=4。

8.如图，D是BC上的一点，$DF⊥AB$，$DH⊥AC$，垂足分别为F，H，且$DF=DH$，$DE=DG$.若$△ ADG$和$△ AED$的面积分别为10和6，则$△ EDF$的面积为.

解：
∵ $DF⊥AB$，$DH⊥AC$，$DF=DH$，
∴ $AD$平分$∠BAC$，$∠AFD=∠AHD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ ADH$中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DF=DH \end{array} $
∴ $\mathrm{Rt}△ ADF ≌ \mathrm{Rt}△ ADH \ (\mathrm{HL})$，
∴ $S_{△ ADF}=S_{△ ADH}$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$和$\mathrm{Rt}△ DGH$中，
$\{\begin{array}{l} DE=DG \\ DF=DH \end{array} $
∴ $\mathrm{Rt}△ DEF ≌ \mathrm{Rt}△ DGH \ (\mathrm{HL})$，
∴ $S_{△ EDF}=S_{△ GDH}$。
设$S_{△ EDF}=x$，则$S_{△ GDH}=x$，
$S_{△ ADF}=S_{△ AED} + S_{△ EDF}=6+x$，
$S_{△ ADH}=S_{△ ADG} - S_{△ GDH}=10-x$，
由$S_{△ ADF}=S_{△ ADH}$得：
$6+x=10-x$，
解得$x=2$。
∴ $△ EDF$的面积为$\boldsymbol{2}$。

9.已知:点 O 到△ABC 的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.
(1)如图1所示,点O在BC上.求证:AB=AC.
(2)如图2所示,点O在△ABC的内部.求证:AB=AC.

证明：(1) 过点O作$OF⊥ AB$于点F，$OE⊥ AC$于点E，
由题意得 $OF=OE$，$∠ OFB=∠ OEC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OFB$和$\mathrm{Rt}△ OEC$中，
$\begin{cases}OB=OC \\OF=OE\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OFB ≌ \mathrm{Rt}△ OEC \ (\mathrm{HL})$
$\therefore ∠ B = ∠ C$
$\therefore AB=AC$（等角对等边）
(2) 过点O作$OF⊥ AB$于点F，$OE⊥ AC$于点E，
由题意得 $OF=OE$，$∠ OFB=∠ OEC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OFB$和$\mathrm{Rt}△ OEC$中，
$\begin{cases}OB=OC \\OF=OE\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OFB ≌ \mathrm{Rt}△ OEC \ (\mathrm{HL})$
$\therefore BF=CE$
连接$AO$，在$\mathrm{Rt}△ AFO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中，
$\begin{cases}AO=AO \\OF=OE\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AFO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO \ (\mathrm{HL})$
$\therefore AF=AE$
$\therefore AF + BF = AE + CE$
即 $AB=AC$

10.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,BD是$Rt△ ABC$的一条角平分线,点O,E,F分别在BD,BC,AC上,且四边形OECF是正方形.
(1)求证:点O在$∠ BAC$的平分线上.
(2)若$AC=5$,$BC=12$,求OE的长.

(1) 证明：
过点O作$OG ⊥ AB$于点G，连接AO。
∵ 四边形OECF是正方形，
∴ $OE ⊥ BC$，$OF ⊥ AC$，$OE=OF$。
∵ BD平分$∠ ABC$，$OG ⊥ AB$，$OE ⊥ BC$，
∴ $OE=OG$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ $OF=OG$。
在$\mathrm{Rt}△ AFO$和$\mathrm{Rt}△ AGO$中：
$\begin{cases} AO=AO \\ OF=OG \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AFO ≌ \mathrm{Rt}△ AGO$（HL），
∴ $∠ FAO=∠ GAO$，即AO平分$∠ BAC$，
∴ 点O在$∠ BAC$的平分线上。
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(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5$，$BC=12$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
同理可证$\mathrm{Rt}△ BOG ≌ \mathrm{Rt}△ BOE$（HL），
∴ $BG=BE$。
由(1)得$AG=AF$。
设$OE=x$，∵ 四边形OECF是正方形，
∴ $CE=CF=OE=x$，
∴ $BE=BC-CE=12-x$，$AF=AC-CF=5-x$，
即$BG=12-x$，$AG=5-x$。
∵ $BG+AG=AB=13$，
∴ $(12-x)+(5-x)=13$，
解得$x=2$。
答：OE的长为2。