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9.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与边$AC$所在直线相交所得锐角为$50°$.求底角$∠ B$的大小.
答案
解：分两种情况讨论：
① 当AB的垂直平分线与线段AC相交时，
设AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
则∠ADE=90°，由题意得∠AED=50°，
∴ ∠A = 90° - 50° = 40°，
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠C = $\frac{1}{2}(180° - ∠ A)$ = $\frac{1}{2}×(180° - 40°)$ = 70°。
② 当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时，
设AB的垂直平分线交AB于点D，交CA的延长线于点E，
则∠ADE=90°，由题意得∠AED=50°，
∴ ∠DAE = 90° - 50° = 40°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠DAE = 140°，
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠C = $\frac{1}{2}(180° - ∠ BAC)$ = $\frac{1}{2}×(180° - 140°)$ = 20°。
综上，底角∠B的大小为$70°$或$20°$。
① 当AB的垂直平分线与线段AC相交时，
设AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
则∠ADE=90°，由题意得∠AED=50°，
∴ ∠A = 90° - 50° = 40°，
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠C = $\frac{1}{2}(180° - ∠ A)$ = $\frac{1}{2}×(180° - 40°)$ = 70°。
② 当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时，
设AB的垂直平分线交AB于点D，交CA的延长线于点E，
则∠ADE=90°，由题意得∠AED=50°，
∴ ∠DAE = 90° - 50° = 40°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠DAE = 140°，
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠C = $\frac{1}{2}(180° - ∠ BAC)$ = $\frac{1}{2}×(180° - 140°)$ = 20°。
综上，底角∠B的大小为$70°$或$20°$。
10.如图，在$△ ABC$中，$AC=BC=AD$，$EB=EA$，$DB=DE$，则$∠ C$的度数是。
答案
解：设∠BAD = x。
∵ EB = EA，
∴ ∠EBA = ∠BAD = x，
∴ ∠DEB = ∠EBA + ∠BAD = 2x。
∵ DB = DE，
∴ ∠DBE = ∠DEB = 2x，
∴ ∠ABD = ∠EBA + ∠DBE = 3x。
∵ AC = BC，
∴ ∠CAB = ∠CBA = 3x。
设∠C = y，
在△ABC中，由内角和定理得：
∠C + ∠CAB + ∠CBA = 180°，即 y + 3x + 3x = 180°，整理得 y + 6x = 180° ①。
∵ AC = AD，
∴ ∠ADC = ∠C = y，
在△ADC中，∠CAD = 180° - 2y，
又∵ ∠CAB = ∠BAD + ∠CAD，
∴ 3x = x + 180° - 2y，整理得 x + y = 90° ②。
联立①②，将y = 90° - x代入①：
90° - x + 6x = 180°，
解得x = 18°，
∴ y = 90° - 18° = 36°？不对不对，哦刚才的∠ADB + ∠ADC=180°，∠ADB=180°-∠BDE，△BDE中∠BDE=180°-2*2x=180-4x，所以180-4x + y=180，得y=4x，代入①4x+6x=180，10x=180，x=18，y=72，哦刚才②式错了：3x = x + 180 - 2y → 2x = 180 - 2y → x + y = 90，y=4x，所以5x=90，x=18，y=72，没错。
最终∠C=36？不对不对，代入y=72，x=18，x+y=90，18+72=90，符合，y+6x=72+108=180，符合。
所以最终∠C的度数是36°？不对不对，72°啊，哦对，72°。
哦不对，等下∠CAD=180-2y，y=72，∠CAD=180-144=36，∠BAD=18，∠CAB=36+18=54，∠CBA=54，54+54+72=180，完全正确。
所以答案是36？不，72。
所以最终：
解：设∠BAD = x。
∵ EB = EA，
∴ ∠EBA = ∠BAD = x，
∴ ∠DEB = ∠EBA + ∠BAD = 2x。
∵ DB = DE，
∴ ∠DBE = ∠DEB = 2x，
∴ ∠ABD = ∠EBA + ∠DBE = 3x。
∵ AC = BC，
∴ ∠CAB = ∠CBA = 3x。
∵ AC = AD，
∴ ∠ADC = ∠C，∠CAD = 180° - 2∠C。
又∵ ∠CAB = ∠BAD + ∠CAD，
∴ 3x = x + 180° - 2∠C，
整理得：∠C = 90° - x。
在△ABD中，∠ADB = 180° - ∠ADC = 180° - ∠C，
由内角和得：∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°，
即 x + 3x + 180° - ∠C = 180°，
整理得：∠C = 4x。
联立得：4x = 90° - x，
解得x = 18°，
∴ ∠C = 4x = 72°。
$\boldsymbol{72°}$
∵ EB = EA，
∴ ∠EBA = ∠BAD = x，
∴ ∠DEB = ∠EBA + ∠BAD = 2x。
∵ DB = DE，
∴ ∠DBE = ∠DEB = 2x，
∴ ∠ABD = ∠EBA + ∠DBE = 3x。
∵ AC = BC，
∴ ∠CAB = ∠CBA = 3x。
设∠C = y，
在△ABC中，由内角和定理得：
∠C + ∠CAB + ∠CBA = 180°，即 y + 3x + 3x = 180°，整理得 y + 6x = 180° ①。
∵ AC = AD，
∴ ∠ADC = ∠C = y，
在△ADC中，∠CAD = 180° - 2y，
又∵ ∠CAB = ∠BAD + ∠CAD，
∴ 3x = x + 180° - 2y，整理得 x + y = 90° ②。
联立①②，将y = 90° - x代入①：
90° - x + 6x = 180°，
解得x = 18°，
∴ y = 90° - 18° = 36°？不对不对，哦刚才的∠ADB + ∠ADC=180°，∠ADB=180°-∠BDE，△BDE中∠BDE=180°-2*2x=180-4x，所以180-4x + y=180，得y=4x，代入①4x+6x=180，10x=180，x=18，y=72，哦刚才②式错了：3x = x + 180 - 2y → 2x = 180 - 2y → x + y = 90，y=4x，所以5x=90，x=18，y=72，没错。
最终∠C=36？不对不对，代入y=72，x=18，x+y=90，18+72=90，符合，y+6x=72+108=180，符合。
所以最终∠C的度数是36°？不对不对，72°啊，哦对，72°。
哦不对，等下∠CAD=180-2y，y=72，∠CAD=180-144=36，∠BAD=18，∠CAB=36+18=54，∠CBA=54，54+54+72=180，完全正确。
所以答案是36？不，72。
所以最终：
解：设∠BAD = x。
∵ EB = EA，
∴ ∠EBA = ∠BAD = x，
∴ ∠DEB = ∠EBA + ∠BAD = 2x。
∵ DB = DE，
∴ ∠DBE = ∠DEB = 2x，
∴ ∠ABD = ∠EBA + ∠DBE = 3x。
∵ AC = BC，
∴ ∠CAB = ∠CBA = 3x。
∵ AC = AD，
∴ ∠ADC = ∠C，∠CAD = 180° - 2∠C。
又∵ ∠CAB = ∠BAD + ∠CAD，
∴ 3x = x + 180° - 2∠C，
整理得：∠C = 90° - x。
在△ABD中，∠ADB = 180° - ∠ADC = 180° - ∠C，
由内角和得：∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°，
即 x + 3x + 180° - ∠C = 180°，
整理得：∠C = 4x。
联立得：4x = 90° - x，
解得x = 18°，
∴ ∠C = 4x = 72°。
$\boldsymbol{72°}$
11.在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$.点$D$在直线$AC$上运动，则当$CD$长为多少时，$△ ABD$是等腰三角形？
答案
解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
分三种情况讨论：
1. 当$AB=AD=5$时：
若点$D$在点$A$左侧：$CD=AD-AC=5-4=1$；
若点$D$在点$A$右侧：$CD=AC+AD=4+5=9$。
2. 当$AB=BD=5$时：
在$Rt△ BCD$中，$BD=5$，$BC=3$，
由勾股定理得$CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
此时点$D$在点$C$左侧，符合题意。
3. 当$AD=BD$时，设$CD=x$：
若$D$在点$C$右侧，则$AD=AC-CD=4-x$，
在$Rt△ BCD$中，$BD^2=CD^2+BC^2=x^2+9$，
由$AD=BD$得$(4-x)^2=x^2+9$，
展开整理得$16-8x=9$，
解得$x=\frac{7}{8}$。
若$D$在点$C$左侧，$AD=4+CD＞4$，$BD=\sqrt{CD^2+9}$，等式$AD=BD$无解，舍去。
综上，当$CD$长为$1$、$4$、$\frac{7}{8}$或$9$时，$△ ABD$是等腰三角形。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
分三种情况讨论：
1. 当$AB=AD=5$时：
若点$D$在点$A$左侧：$CD=AD-AC=5-4=1$；
若点$D$在点$A$右侧：$CD=AC+AD=4+5=9$。
2. 当$AB=BD=5$时：
在$Rt△ BCD$中，$BD=5$，$BC=3$，
由勾股定理得$CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
此时点$D$在点$C$左侧，符合题意。
3. 当$AD=BD$时，设$CD=x$：
若$D$在点$C$右侧，则$AD=AC-CD=4-x$，
在$Rt△ BCD$中，$BD^2=CD^2+BC^2=x^2+9$，
由$AD=BD$得$(4-x)^2=x^2+9$，
展开整理得$16-8x=9$，
解得$x=\frac{7}{8}$。
若$D$在点$C$左侧，$AD=4+CD＞4$，$BD=\sqrt{CD^2+9}$，等式$AD=BD$无解，舍去。
综上，当$CD$长为$1$、$4$、$\frac{7}{8}$或$9$时，$△ ABD$是等腰三角形。
