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拓展与思考
5. 已知点A、B、C在数轴上，其中点A、B分别表示数1、$\sqrt{2}$(如图)，点C与原点O的距离等于点A与点B的距离.
（1）求点C所表示的数；
（2）若点B关于点C的对称点为D，求点D所表示的数.
5. 已知点A、B、C在数轴上，其中点A、B分别表示数1、$\sqrt{2}$(如图)，点C与原点O的距离等于点A与点B的距离.
（1）求点C所表示的数；
（2）若点B关于点C的对称点为D，求点D所表示的数.
答案
5. (1) 由题意，可知$OC=AB=\sqrt{2}-1$，即点C所表示的数的绝对值是$\sqrt{2}-1$，所以这个数是$\sqrt{2}-1$或$1-\sqrt{2}$.
(2) 当点C所表示的数是$\sqrt{2}-1$时，由对称可得$DC=BC=\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)=1$. 所以点D所表示的数为$(\sqrt{2}-1)-1=\sqrt{2}-2$；
当点C所表示的数是$1-\sqrt{2}$时，由对称可得$DC=BC=\sqrt{2}-(1-\sqrt{2})=2\sqrt{2}-1$. 所以点D所表示的数为$(1-\sqrt{2})-(2\sqrt{2}-1)=2-3\sqrt{2}$.
(2) 当点C所表示的数是$\sqrt{2}-1$时，由对称可得$DC=BC=\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)=1$. 所以点D所表示的数为$(\sqrt{2}-1)-1=\sqrt{2}-2$；
当点C所表示的数是$1-\sqrt{2}$时，由对称可得$DC=BC=\sqrt{2}-(1-\sqrt{2})=2\sqrt{2}-1$. 所以点D所表示的数为$(1-\sqrt{2})-(2\sqrt{2}-1)=2-3\sqrt{2}$.
解析
【分析】
（1）先计算数轴上A、B两点的距离，数轴上右侧点对应的数减去左侧点对应的数即为两点间的距离；再结合点C到原点的距离等于AB的长度，根据绝对值的几何意义，可知到原点距离相等的点有两个，分别在原点两侧，即可求出点C对应的两个数。
（2）点B关于点C的对称点为D，说明C是线段BD的中点，B、D到点C的距离相等，需分点C为$\sqrt{2}-1$和$1-\sqrt{2}$两种情况分别讨论，计算出对应D点表示的数即可。
【解析】
（1）计算A、B两点的距离：
∵点A表示数1，点B表示数$\sqrt{2}$，且$\sqrt{2}＞1$
∴$AB=\sqrt{2}-1$
由题意得点C到原点的距离$OC=AB=\sqrt{2}-1$，即点C表示的数的绝对值为$\sqrt{2}-1$
∴点C表示的数为$\sqrt{2}-1$或$-(\sqrt{2}-1)=1-\sqrt{2}$
（2）点B关于点C的对称点为D，故$BC=CD$，分两种情况计算：
①当点C表示的数为$\sqrt{2}-1$时：
$BC=\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)=1$
点D在点C左侧，距离点C1个单位长度，因此D表示的数为$(\sqrt{2}-1)-1=\sqrt{2}-2$
②当点C表示的数为$1-\sqrt{2}$时：
$BC=\sqrt{2}-(1-\sqrt{2})=2\sqrt{2}-1$
点D在点C左侧，距离点C$2\sqrt{2}-1$个单位长度，因此D表示的数为$(1-\sqrt{2})-(2\sqrt{2}-1)=2-3\sqrt{2}$
【答案】
（1）点C所表示的数为$\sqrt{2}-1$或$1-\sqrt{2}$；
（2）点D所表示的数为$\sqrt{2}-2$或$2-3\sqrt{2}$。
【知识点】
数轴两点距离计算，绝对值的几何意义，中心对称性质
【点评】
本题考查数轴相关的运算，需要运用分类讨论思想解题，易错点是求解点C的数值时容易遗漏原点左侧的解，做题时要注意到数轴上到原点距离相等的点有两个，分别位于原点两侧。
【难度系数】
0.7
（1）先计算数轴上A、B两点的距离，数轴上右侧点对应的数减去左侧点对应的数即为两点间的距离；再结合点C到原点的距离等于AB的长度，根据绝对值的几何意义，可知到原点距离相等的点有两个，分别在原点两侧，即可求出点C对应的两个数。
（2）点B关于点C的对称点为D，说明C是线段BD的中点，B、D到点C的距离相等，需分点C为$\sqrt{2}-1$和$1-\sqrt{2}$两种情况分别讨论，计算出对应D点表示的数即可。
【解析】
（1）计算A、B两点的距离：
∵点A表示数1，点B表示数$\sqrt{2}$，且$\sqrt{2}＞1$
∴$AB=\sqrt{2}-1$
由题意得点C到原点的距离$OC=AB=\sqrt{2}-1$，即点C表示的数的绝对值为$\sqrt{2}-1$
∴点C表示的数为$\sqrt{2}-1$或$-(\sqrt{2}-1)=1-\sqrt{2}$
（2）点B关于点C的对称点为D，故$BC=CD$，分两种情况计算：
①当点C表示的数为$\sqrt{2}-1$时：
$BC=\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)=1$
点D在点C左侧，距离点C1个单位长度，因此D表示的数为$(\sqrt{2}-1)-1=\sqrt{2}-2$
②当点C表示的数为$1-\sqrt{2}$时：
$BC=\sqrt{2}-(1-\sqrt{2})=2\sqrt{2}-1$
点D在点C左侧，距离点C$2\sqrt{2}-1$个单位长度，因此D表示的数为$(1-\sqrt{2})-(2\sqrt{2}-1)=2-3\sqrt{2}$
【答案】
（1）点C所表示的数为$\sqrt{2}-1$或$1-\sqrt{2}$；
（2）点D所表示的数为$\sqrt{2}-2$或$2-3\sqrt{2}$。
【知识点】
数轴两点距离计算，绝对值的几何意义，中心对称性质
【点评】
本题考查数轴相关的运算，需要运用分类讨论思想解题，易错点是求解点C的数值时容易遗漏原点左侧的解，做题时要注意到数轴上到原点距离相等的点有两个，分别位于原点两侧。
【难度系数】
0.7
1. 用科学记数法表示下列各数：
(1) 578 000；
(2) $-366243000$；
(3) $0.0001109$；
(4) $-0.000000647$。
(1) 578 000；
(2) $-366243000$；
(3) $0.0001109$；
(4) $-0.000000647$。
答案
1. (1) $5.78×10^5$. (2) $-3.66243×10^8$. (3) $1.109×10^{-4}$. (4) $-6.47×10^{-7}$.
解析
【分析】
科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题思路如下：①先保留原数的正负号；②确定$a$：将原数的小数点移动到最高位非零数字的后方，得到符合取值要求的$a$；③确定$n$：若原数绝对值≥1，$n$等于原数的整数位数减1；若原数绝对值＜1，$n$为负整数，其绝对值等于原数第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）。按照该规则逐个计算4个小题即可。
【解析】
(1) 处理578000：原数为正且绝对值大于1，将小数点移到最高位数字5的后方得$a=5.78$，原数整数位数共6位，故$n=6-1=5$，因此$578000=5.78×10^5$。
(2) 处理$-366243000$：原数为负，先保留负号，将小数点移到最高位数字3的后方得$a=3.66243$，原数整数位数共9位，故$n=9-1=8$，因此$-366243000=-3.66243×10^8$。
(3) 处理$0.0001109$：原数为正且绝对值小于1，将小数点移到第一个非零数字1的后方得$a=1.109$，第一个非零数字1前方共有4个零（含小数点前的零），故$n=-4$，因此$0.0001109=1.109×10^{-4}$。
(4) 处理$-0.000000647$：原数为负，先保留负号，将小数点移到第一个非零数字6的后方得$a=6.47$，第一个非零数字6前方共有7个零（含小数点前的零），故$n=-7$，因此$-0.000000647=-6.47×10^{-7}$。
【答案】
(1) $5.78×10^5$；(2) $-3.66243×10^8$；(3) $1.109×10^{-4}$；(4) $-6.47×10^{-7}$
【知识点】
科学记数法；大数的科学记数表示；小数的科学记数表示
【点评】
本题是科学记数法的基础应用类题目，解题核心是准确掌握$a$的取值要求和$n$的计算规则，注意不要遗漏原数的负号，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.85
科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题思路如下：①先保留原数的正负号；②确定$a$：将原数的小数点移动到最高位非零数字的后方，得到符合取值要求的$a$；③确定$n$：若原数绝对值≥1，$n$等于原数的整数位数减1；若原数绝对值＜1，$n$为负整数，其绝对值等于原数第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）。按照该规则逐个计算4个小题即可。
【解析】
(1) 处理578000：原数为正且绝对值大于1，将小数点移到最高位数字5的后方得$a=5.78$，原数整数位数共6位，故$n=6-1=5$，因此$578000=5.78×10^5$。
(2) 处理$-366243000$：原数为负，先保留负号，将小数点移到最高位数字3的后方得$a=3.66243$，原数整数位数共9位，故$n=9-1=8$，因此$-366243000=-3.66243×10^8$。
(3) 处理$0.0001109$：原数为正且绝对值小于1，将小数点移到第一个非零数字1的后方得$a=1.109$，第一个非零数字1前方共有4个零（含小数点前的零），故$n=-4$，因此$0.0001109=1.109×10^{-4}$。
(4) 处理$-0.000000647$：原数为负，先保留负号，将小数点移到第一个非零数字6的后方得$a=6.47$，第一个非零数字6前方共有7个零（含小数点前的零），故$n=-7$，因此$-0.000000647=-6.47×10^{-7}$。
【答案】
(1) $5.78×10^5$；(2) $-3.66243×10^8$；(3) $1.109×10^{-4}$；(4) $-6.47×10^{-7}$
【知识点】
科学记数法；大数的科学记数表示；小数的科学记数表示
【点评】
本题是科学记数法的基础应用类题目，解题核心是准确掌握$a$的取值要求和$n$的计算规则，注意不要遗漏原数的负号，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.85
