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3. 计算(结果保留两位小数)：
(1) $2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \frac{5}{6}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{3}$；
(2) $( \frac{\sqrt{5}}{3} )^3 × \sqrt{3} × \sqrt{5}$；
(3) $\sqrt{( -\frac{1}{4} )^{-2} + (\sqrt{10})^2}$；
(4) $(\sqrt{2})^3 + (\sqrt{2} × \sqrt{3})^2$。
(1) $2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \frac{5}{6}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{3}$；
(2) $( \frac{\sqrt{5}}{3} )^3 × \sqrt{3} × \sqrt{5}$；
(3) $\sqrt{( -\frac{1}{4} )^{-2} + (\sqrt{10})^2}$；
(4) $(\sqrt{2})^3 + (\sqrt{2} × \sqrt{3})^2$。
答案
3. (1) $-\frac{2}{3}\sqrt{3}\approx-1.15$. (2) $\frac{25}{27}\sqrt{3}\approx1.60$. (3) $\sqrt{26}\approx5.10$. (4) $2\sqrt{2}+6\approx8.83$.
解析
【分析】
本题是二次根式的混合运算类题目，解题思路如下：①对于同类二次根式的加减运算，只需将二次根式的系数相加减，根式部分保持不变；②涉及二次根式乘方、乘法运算时，先按照乘方法则计算乘方，再将系数相乘、被开方数相乘，最后化简；③遇到负整数指数幂时，根据“$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$”转化为正指数幂计算，再结合乘方、加法运算后开方；④所有运算完成后，代入无理数的近似值计算结果，按要求保留两位小数即可。
【解析】
(1) 本题为同类二次根式合并，将$\sqrt{3}$的系数相加减：
原式$=(2-3+\frac{5}{6}-\frac{1}{2})\sqrt{3}$
计算系数：$2-3=-1$，$\frac{5}{6}-\frac{1}{2}=\frac{5}{6}-\frac{3}{6}=\frac{1}{3}$，则$-1+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$
得原式$=-\frac{2}{3}\sqrt{3}$，代入$\sqrt{3}\approx1.732$，计算得$-\frac{2}{3}×1.732\approx-1.15$。
(2) 先算乘方，再算二次根式乘法：
先计算$(\frac{\sqrt{5}}{3})^3=\frac{(\sqrt{5})^3}{3^3}=\frac{5\sqrt{5}}{27}$
再计算乘法：$\frac{5\sqrt{5}}{27}×\sqrt{3}×\sqrt{5}=\frac{5×(\sqrt{5}×\sqrt{5})×\sqrt{3}}{27}=\frac{5×5×\sqrt{3}}{27}=\frac{25\sqrt{3}}{27}$
代入$\sqrt{3}\approx1.732$，计算得$\frac{25×1.732}{27}\approx1.60$。
(3) 先计算括号内的运算，再开方：
根据负指数幂规则，$(-\frac{1}{4})^{-2}=(-4)^2=16$，$(\sqrt{10})^2=10$
括号内求和：$16+10=26$，得原式$=\sqrt{26}\approx5.10$。
(4) 先分别计算乘方，再求和：
$(\sqrt{2})^3=(\sqrt{2})^2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，$(\sqrt{2}×\sqrt{3})^2=(\sqrt{6})^2=6$
得原式$=2\sqrt{2}+6$，代入$\sqrt{2}\approx1.414$，计算得$2×1.414+6\approx8.83$。
【答案】
(1) $-\frac{2}{3}\sqrt{3}\approx-1.15$；(2) $\frac{25}{27}\sqrt{3}\approx1.60$；(3) $\sqrt{26}\approx5.10$；(4) $2\sqrt{2}+6\approx8.83$
【知识点】
二次根式运算，负整数指数幂，近似值计算
【点评】
本题重点考察二次根式的基础运算能力，解题时要注意运算顺序，先算乘方、再算乘除、最后算加减，同类二次根式合并时只需计算系数，计算近似值时要严格按照保留两位小数的要求取近似值，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.75
本题是二次根式的混合运算类题目，解题思路如下：①对于同类二次根式的加减运算，只需将二次根式的系数相加减，根式部分保持不变；②涉及二次根式乘方、乘法运算时，先按照乘方法则计算乘方，再将系数相乘、被开方数相乘，最后化简；③遇到负整数指数幂时，根据“$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$”转化为正指数幂计算，再结合乘方、加法运算后开方；④所有运算完成后，代入无理数的近似值计算结果，按要求保留两位小数即可。
【解析】
(1) 本题为同类二次根式合并，将$\sqrt{3}$的系数相加减：
原式$=(2-3+\frac{5}{6}-\frac{1}{2})\sqrt{3}$
计算系数：$2-3=-1$，$\frac{5}{6}-\frac{1}{2}=\frac{5}{6}-\frac{3}{6}=\frac{1}{3}$，则$-1+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$
得原式$=-\frac{2}{3}\sqrt{3}$，代入$\sqrt{3}\approx1.732$，计算得$-\frac{2}{3}×1.732\approx-1.15$。
(2) 先算乘方，再算二次根式乘法：
先计算$(\frac{\sqrt{5}}{3})^3=\frac{(\sqrt{5})^3}{3^3}=\frac{5\sqrt{5}}{27}$
再计算乘法：$\frac{5\sqrt{5}}{27}×\sqrt{3}×\sqrt{5}=\frac{5×(\sqrt{5}×\sqrt{5})×\sqrt{3}}{27}=\frac{5×5×\sqrt{3}}{27}=\frac{25\sqrt{3}}{27}$
代入$\sqrt{3}\approx1.732$，计算得$\frac{25×1.732}{27}\approx1.60$。
(3) 先计算括号内的运算，再开方：
根据负指数幂规则，$(-\frac{1}{4})^{-2}=(-4)^2=16$，$(\sqrt{10})^2=10$
括号内求和：$16+10=26$，得原式$=\sqrt{26}\approx5.10$。
(4) 先分别计算乘方，再求和：
$(\sqrt{2})^3=(\sqrt{2})^2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，$(\sqrt{2}×\sqrt{3})^2=(\sqrt{6})^2=6$
得原式$=2\sqrt{2}+6$，代入$\sqrt{2}\approx1.414$，计算得$2×1.414+6\approx8.83$。
【答案】
(1) $-\frac{2}{3}\sqrt{3}\approx-1.15$；(2) $\frac{25}{27}\sqrt{3}\approx1.60$；(3) $\sqrt{26}\approx5.10$；(4) $2\sqrt{2}+6\approx8.83$
【知识点】
二次根式运算，负整数指数幂，近似值计算
【点评】
本题重点考察二次根式的基础运算能力，解题时要注意运算顺序，先算乘方、再算乘除、最后算加减，同类二次根式合并时只需计算系数，计算近似值时要严格按照保留两位小数的要求取近似值，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.75
4. 如图，某公园里有一块边长为10 m的正方形绿地（如图所示的正方形ABCD），在绿地中划出一块区域（扇形EAF）举办花展. 若花展区域面积占正方形绿地面积的一半，求AF的长（π取3.14，结果精确到0.1 m）.
答案
4. AF 的长为 8.0 m.
解析
【分析】
首先明确已知条件：正方形边长为10m，扇形EAF的圆心角为正方形的内角90°，扇形面积是正方形面积的一半，AF为扇形的半径。解题思路为：第一步先计算正方形的面积，进而得到扇形的面积；第二步利用圆心角为90°的扇形面积等于四分之一圆的面积的特点，代入扇形面积公式，建立关于半径AF的方程，求解后对结果按精度要求取近似值即可。
【解析】
1. 计算正方形ABCD的面积：
正方形边长为10m，因此面积$S_{正方形}=10×10=100(\mathrm{m}^2)$
2. 计算扇形EAF的面积：
由题意，扇形面积占正方形面积的一半，因此$S_{扇形}=\frac{1}{2}S_{正方形}=\frac{1}{2}×100=50(\mathrm{m}^2)$
3. 设AF的长为$r$ m，扇形EAF的圆心角$∠ A=90°$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数），代入已知条件得：
$\frac{90×3.14× r^2}{360}=50$
化简得：$\frac{3.14r^2}{4}=50$
整理得：$r^2=\frac{50×4}{3.14}\approx63.69$
开方得：$r=\sqrt{63.69}\approx8.0(\mathrm{m})$
【答案】
8.0 m
【知识点】
正方形面积计算、扇形面积计算、开方运算
【点评】
本题结合生活实际考查几何面积的计算，解题的核心是抓住扇形与正方形的面积等量关系，明确扇形的圆心角度数，代入公式列方程求解即可，计算时需注意按要求保留近似值。
【难度系数】
0.7
首先明确已知条件：正方形边长为10m，扇形EAF的圆心角为正方形的内角90°，扇形面积是正方形面积的一半，AF为扇形的半径。解题思路为：第一步先计算正方形的面积，进而得到扇形的面积；第二步利用圆心角为90°的扇形面积等于四分之一圆的面积的特点，代入扇形面积公式，建立关于半径AF的方程，求解后对结果按精度要求取近似值即可。
【解析】
1. 计算正方形ABCD的面积：
正方形边长为10m，因此面积$S_{正方形}=10×10=100(\mathrm{m}^2)$
2. 计算扇形EAF的面积：
由题意，扇形面积占正方形面积的一半，因此$S_{扇形}=\frac{1}{2}S_{正方形}=\frac{1}{2}×100=50(\mathrm{m}^2)$
3. 设AF的长为$r$ m，扇形EAF的圆心角$∠ A=90°$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数），代入已知条件得：
$\frac{90×3.14× r^2}{360}=50$
化简得：$\frac{3.14r^2}{4}=50$
整理得：$r^2=\frac{50×4}{3.14}\approx63.69$
开方得：$r=\sqrt{63.69}\approx8.0(\mathrm{m})$
【答案】
8.0 m
【知识点】
正方形面积计算、扇形面积计算、开方运算
【点评】
本题结合生活实际考查几何面积的计算，解题的核心是抓住扇形与正方形的面积等量关系，明确扇形的圆心角度数，代入公式列方程求解即可，计算时需注意按要求保留近似值。
【难度系数】
0.7
