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下表是当$x$取不同值时多项式$mx - n$和$-2mx + n$($m,n$为实数,且$m≠0$)对应的值：
则关于$x$的方程$-mx + n = 2mx - n$的解为.
则关于$x$的方程$-mx + n = 2mx - n$的解为.
答案
$\boldsymbol{x=2}$
解析
【分析】
解题时首先可以利用表格中x和多项式mx-n的对应取值，求出参数m和n的值，再将m、n代入待解的一元一次方程中，按照解一元一次方程的步骤求解即可；也可以先对待解方程变形，结合表格中多项式的取值规律快速得到答案。
【解析】
1. 求参数m、n的值：
根据表格，当x=3时，$mx-n=0$，代入得：$3m - n = 0$，即$n=3m$。
再取x=1时，$mx-n=-2$，代入得：$m - n = -2$，将$n=3m$代入该式：
$m - 3m = -2$，即$-2m=-2$，解得$m=1$。
将$m=1$代入$n=3m$，得$n=3$。
2. 解关于x的方程：
把$m=1$，$n=3$代入方程$-mx +n = 2mx -n$，得：
$-x + 3 = 2x - 3$
移项，得：$-x -2x = -3 - 3$
合并同类项，得：$-3x = -6$
系数化为1，得：$x=2$。
【答案】
$\boldsymbol{x=2}$
【知识点】
代数式求值，解一元一次方程，方程的解
【点评】
本题结合表格考查代数式与方程的关联，解题的核心是通过表格的对应关系求出未知参数，也可通过变形方程结合表格数据直接得解，能够锻炼学生读取表格信息、转化方程的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先可以利用表格中x和多项式mx-n的对应取值，求出参数m和n的值，再将m、n代入待解的一元一次方程中，按照解一元一次方程的步骤求解即可；也可以先对待解方程变形，结合表格中多项式的取值规律快速得到答案。
【解析】
1. 求参数m、n的值：
根据表格，当x=3时，$mx-n=0$，代入得：$3m - n = 0$，即$n=3m$。
再取x=1时，$mx-n=-2$，代入得：$m - n = -2$，将$n=3m$代入该式：
$m - 3m = -2$，即$-2m=-2$，解得$m=1$。
将$m=1$代入$n=3m$，得$n=3$。
2. 解关于x的方程：
把$m=1$，$n=3$代入方程$-mx +n = 2mx -n$，得：
$-x + 3 = 2x - 3$
移项，得：$-x -2x = -3 - 3$
合并同类项，得：$-3x = -6$
系数化为1，得：$x=2$。
【答案】
$\boldsymbol{x=2}$
【知识点】
代数式求值，解一元一次方程，方程的解
【点评】
本题结合表格考查代数式与方程的关联，解题的核心是通过表格的对应关系求出未知参数，也可通过变形方程结合表格数据直接得解，能够锻炼学生读取表格信息、转化方程的能力。
【难度系数】
0.7
1.在①$x+1$；②$3x-2=-x$；③$|π -3|=π -3$；④$2m-n=0$中，是等式的有________，是方程的有________。(填写序号)
答案
②③④；②④
解析
【分析】
解题前先明确两个核心概念：1. 等式是指含有等号、表示相等关系的式子；2. 方程是指含有未知数的等式。解题时先判断所有式子是否符合等式的特征，再从等式中筛选出含有未知数的式子即为方程，分两步判断可避免出错。
【解析】
逐个分析4个式子的属性：
1. ①$x+1$：仅为代数式，不含等号，不表示相等关系，既不是等式也不是方程；
2. ②$3x-2=-x$：含有等号，属于等式，同时含有未知数$x$，属于方程；
3. ③$|π -3|=π -3$：含有等号，属于等式，$π$是固定常数，式子中无未知数，不属于方程；
4. ④$2m-n=0$：含有等号，属于等式，同时含有未知数$m、n$，属于方程。
因此等式为②③④，方程为②④。
【答案】
②③④；②④
【知识点】
等式的定义；方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是明确方程需要同时满足“是等式”和“含有未知数”两个条件，注意不要把不含未知数的等式错判为方程。
【难度系数】
0.9
解题前先明确两个核心概念：1. 等式是指含有等号、表示相等关系的式子；2. 方程是指含有未知数的等式。解题时先判断所有式子是否符合等式的特征，再从等式中筛选出含有未知数的式子即为方程，分两步判断可避免出错。
【解析】
逐个分析4个式子的属性：
1. ①$x+1$：仅为代数式，不含等号，不表示相等关系，既不是等式也不是方程；
2. ②$3x-2=-x$：含有等号，属于等式，同时含有未知数$x$，属于方程；
3. ③$|π -3|=π -3$：含有等号，属于等式，$π$是固定常数，式子中无未知数，不属于方程；
4. ④$2m-n=0$：含有等号，属于等式，同时含有未知数$m、n$，属于方程。
因此等式为②③④，方程为②④。
【答案】
②③④；②④
【知识点】
等式的定义；方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是明确方程需要同时满足“是等式”和“含有未知数”两个条件，注意不要把不含未知数的等式错判为方程。
【难度系数】
0.9
2.“比x的40%大6的数是13”用方程表示为。
答案
解：
x的40%可表示为$40\%x$，比$x$的40%大6的数为$40\%x + 6$，根据题意可得方程：
$40\%x + 6 = 13$
x的40%可表示为$40\%x$，比$x$的40%大6的数为$40\%x + 6$，根据题意可得方程：
$40\%x + 6 = 13$
解析
【分析】
解题时需逐步将文字表述转化为数学式子：首先先表示出x的40%，再根据“大6”的含义，在x的40%的基础上加6，最后根据“是13”即两者相等的关系，即可列出对应方程。
【解析】
首先，x的40%可表示为$40\%x$；比$x$的40%大6的数，就是在$40\%x$的基础上加上6，可表示为$40\%x + 6$；已知这个数等于13，因此可列方程为：$40\%x + 6 = 13$。
【答案】
$40\%x + 6 = 13$
【知识点】
用字母表示数，列一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考查将文字语言转化为数学表达式的能力，解题时抓住“的”“大”“是”这类关键词对应运算符号和等号即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时需逐步将文字表述转化为数学式子：首先先表示出x的40%，再根据“大6”的含义，在x的40%的基础上加6，最后根据“是13”即两者相等的关系，即可列出对应方程。
【解析】
首先，x的40%可表示为$40\%x$；比$x$的40%大6的数，就是在$40\%x$的基础上加上6，可表示为$40\%x + 6$；已知这个数等于13，因此可列方程为：$40\%x + 6 = 13$。
【答案】
$40\%x + 6 = 13$
【知识点】
用字母表示数，列一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考查将文字语言转化为数学表达式的能力，解题时抓住“的”“大”“是”这类关键词对应运算符号和等号即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3. 下列方程中，是一元一次方程的是()
A.$3x - y = 2$
B.$x + \frac{1}{x} - 2 = 0$
C.$\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$
D.$x^2 + 3x - 2 = 0$
A.$3x - y = 2$
B.$x + \frac{1}{x} - 2 = 0$
C.$\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$
D.$x^2 + 3x - 2 = 0$
答案
C
解析
【分析】
要判断方程是否为一元一次方程，首先需明确一元一次方程的3个核心判定条件：①仅含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③等号两边都是整式（分母不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照上述条件排查，全部符合的即为正确答案，不符合任意一个条件即可直接排除。
【解析】
一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。我们逐个分析选项：
A选项：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含1个未知数”的要求，不是一元一次方程；
B选项：分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不是一元一次方程；
C选项：仅含有未知数x，x的次数是1，等号两边都是整式，完全符合一元一次方程的定义；
D选项：未知数x的最高次数是2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，不是一元一次方程。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的判定、整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对一元一次方程定义的理解与运用，只要牢记一元一次方程的三个判定要点，逐一核对选项即可快速得出正确答案，学习时要注意区分不同类型方程的特征，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
要判断方程是否为一元一次方程，首先需明确一元一次方程的3个核心判定条件：①仅含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③等号两边都是整式（分母不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照上述条件排查，全部符合的即为正确答案，不符合任意一个条件即可直接排除。
【解析】
一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。我们逐个分析选项：
A选项：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含1个未知数”的要求，不是一元一次方程；
B选项：分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不是一元一次方程；
C选项：仅含有未知数x，x的次数是1，等号两边都是整式，完全符合一元一次方程的定义；
D选项：未知数x的最高次数是2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，不是一元一次方程。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的判定、整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对一元一次方程定义的理解与运用，只要牢记一元一次方程的三个判定要点，逐一核对选项即可快速得出正确答案，学习时要注意区分不同类型方程的特征，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
4.下列说法正确的是()
A.$x=1$是方程$4x+3=0$的解
B.$m=-1$是方程$9m+4m=13$的解
C.$x=1$是方程$3x-2=3$的解
D.$y=0$是方程$0.5(y+3)=1.5$的解
A.$x=1$是方程$4x+3=0$的解
B.$m=-1$是方程$9m+4m=13$的解
C.$x=1$是方程$3x-2=3$的解
D.$y=0$是方程$0.5(y+3)=1.5$的解
答案
D
解析
【分析】要判断一个数值是不是对应方程的解，核心方法是代入检验法：把选项给出的未知数的值分别代入方程的左右两边计算，若左右两边计算结果相等，则该数值是方程的解，反之则不是。我们只需按这个方法逐个验证四个选项就能选出正确答案。
【解析】我们逐一验证各选项：
A选项：将$x=1$代入方程$4x+3=0$，左边$=4×1 + 3=7$，右边$=0$，左边≠右边，所以$x=1$不是该方程的解，A错误；
B选项：将$m=-1$代入方程$9m+4m=13$，左边$=9×(-1)+4×(-1)=-13$，右边$=13$，左边≠右边，所以$m=-1$不是该方程的解，B错误；
C选项：将$x=1$代入方程$3x-2=3$，左边$=3×1 -2=1$，右边$=3$，左边≠右边，所以$x=1$不是该方程的解，C错误；
D选项：将$y=0$代入方程$0.5(y+3)=1.5$，左边$=0.5×(0+3)=1.5$，右边$=1.5$，左边=右边，所以$y=0$是该方程的解，D正确。
【答案】D
【知识点】方程的解；代入检验法
【点评】本题属于基础题型，核心考查方程解的判断逻辑，只要掌握代入验证的方法，仔细计算左右两边的结果就能顺利选出正确答案。
【难度系数】0.9
【解析】我们逐一验证各选项：
A选项：将$x=1$代入方程$4x+3=0$，左边$=4×1 + 3=7$，右边$=0$，左边≠右边，所以$x=1$不是该方程的解，A错误；
B选项：将$m=-1$代入方程$9m+4m=13$，左边$=9×(-1)+4×(-1)=-13$，右边$=13$，左边≠右边，所以$m=-1$不是该方程的解，B错误；
C选项：将$x=1$代入方程$3x-2=3$，左边$=3×1 -2=1$，右边$=3$，左边≠右边，所以$x=1$不是该方程的解，C错误；
D选项：将$y=0$代入方程$0.5(y+3)=1.5$，左边$=0.5×(0+3)=1.5$，右边$=1.5$，左边=右边，所以$y=0$是该方程的解，D正确。
【答案】D
【知识点】方程的解；代入检验法
【点评】本题属于基础题型，核心考查方程解的判断逻辑，只要掌握代入验证的方法，仔细计算左右两边的结果就能顺利选出正确答案。
【难度系数】0.9
5. 对方程“$2(\dfrac{1}{3}m + 2)=4$”的解释正确的是（）
A.m的三分之一与2的和的二倍
B.m的三分之一与2的和的2倍等于4
C.m与2的和的$\dfrac{2}{3}$倍等于4
D.m与2的和的三分之一等于4
A.m的三分之一与2的和的二倍
B.m的三分之一与2的和的2倍等于4
C.m与2的和的$\dfrac{2}{3}$倍等于4
D.m与2的和的三分之一等于4
答案
B
解析
【分析】
解决这道题的核心是按照运算顺序拆解方程的结构，先分析括号内的运算，再分析括号外的运算，最后结合等式的含义，逐一匹配选项即可。首先明确运算顺序：先算乘法（$\frac{1}{3}$乘$m$），再算加法（加2），接着算括号外的乘法（乘2），最后整个式子的结果等于4，按照这个顺序对应文字描述就能选出正确选项。
【解析】
我们逐步拆解方程$2(\dfrac{1}{3}m + 2)=4$的含义：
1. 先看括号内的$\dfrac{1}{3}m + 2$：表示$m$的三分之一与2的和；
2. 再看括号外的乘2：表示上述“和”的2倍；
3. 最后结合等号右边的4：表示这个2倍的结果等于4。
接下来逐一判断选项：
A选项：仅描述了左边的代数式，没有提及等于4，不符合方程的含义，错误；
B选项：“$m$的三分之一与2的和的2倍等于4”，完全符合方程的结构，正确；
C选项：描述的代数式为$\dfrac{2}{3}(m+2)$，和原方程结构不同，错误；
D选项：描述的代数式为$\dfrac{1}{3}(m+2)$，既没有乘2也没有等于4，错误。
【答案】
B
【知识点】
代数式的意义；方程的含义
【点评】
本题考查将代数方程转化为文字叙述的能力，解题关键是准确把握运算的先后顺序，不要遗漏方程中“等于4”的等式属性。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是按照运算顺序拆解方程的结构，先分析括号内的运算，再分析括号外的运算，最后结合等式的含义，逐一匹配选项即可。首先明确运算顺序：先算乘法（$\frac{1}{3}$乘$m$），再算加法（加2），接着算括号外的乘法（乘2），最后整个式子的结果等于4，按照这个顺序对应文字描述就能选出正确选项。
【解析】
我们逐步拆解方程$2(\dfrac{1}{3}m + 2)=4$的含义：
1. 先看括号内的$\dfrac{1}{3}m + 2$：表示$m$的三分之一与2的和；
2. 再看括号外的乘2：表示上述“和”的2倍；
3. 最后结合等号右边的4：表示这个2倍的结果等于4。
接下来逐一判断选项：
A选项：仅描述了左边的代数式，没有提及等于4，不符合方程的含义，错误；
B选项：“$m$的三分之一与2的和的2倍等于4”，完全符合方程的结构，正确；
C选项：描述的代数式为$\dfrac{2}{3}(m+2)$，和原方程结构不同，错误；
D选项：描述的代数式为$\dfrac{1}{3}(m+2)$，既没有乘2也没有等于4，错误。
【答案】
B
【知识点】
代数式的意义；方程的含义
【点评】
本题考查将代数方程转化为文字叙述的能力，解题关键是准确把握运算的先后顺序，不要遗漏方程中“等于4”的等式属性。
【难度系数】
0.9
6. 一花户，要用26 m长的篱笆围成一边靠住房墙(墙长12 m)的面积为80 m²的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1 m的门(如图)，设垂直于住房墙的其中一边长为x m，则可列为方程()
A.$x(\dfrac{27-x}{2})=80$
B.$x(26-2x)=80$
C.$x(\dfrac{26-x}{2})=80$
D.$x(27-2x)=80$
A.$x(\dfrac{27-x}{2})=80$
B.$x(26-2x)=80$
C.$x(\dfrac{26-x}{2})=80$
D.$x(27-2x)=80$
答案
D
解析
【分析】
这是一道利用方程解决几何围建的实际问题，解题核心是抓住“长方形面积=长×宽”的等量关系：第一步先明确垂直于墙的边长为x m；第二步正确推导平行于墙的边长：因为篱笆总长26m，还有1m宽的门不需要围篱笆，因此两个垂直边的总长度+平行边的长度=篱笆总长+门的宽度，由此可求出平行于墙的边长；最后根据面积公式列方程即可得到答案。
【解析】
解：设垂直于住房墙的边长为x m。
垂直于墙的边共有2条，加上1m宽的门不需要围篱笆，因此平行于住房墙的边长为：
$26+1-2x=(27-2x)\ \mathrm{m}$
根据长方形面积公式，已知面积为$80\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$x(27-2x)=80$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
列方程解应用题、长方形面积计算、周长实际应用
【点评】
本题是篱笆围建的经典题型，易错点是容易忽略1m宽的门，错误计算平行于墙的边长，解题时需结合图形理清各边长度和篱笆总长的关系，准确找到等量关系列方程。
【难度系数】
0.7
这是一道利用方程解决几何围建的实际问题，解题核心是抓住“长方形面积=长×宽”的等量关系：第一步先明确垂直于墙的边长为x m；第二步正确推导平行于墙的边长：因为篱笆总长26m，还有1m宽的门不需要围篱笆，因此两个垂直边的总长度+平行边的长度=篱笆总长+门的宽度，由此可求出平行于墙的边长；最后根据面积公式列方程即可得到答案。
【解析】
解：设垂直于住房墙的边长为x m。
垂直于墙的边共有2条，加上1m宽的门不需要围篱笆，因此平行于住房墙的边长为：
$26+1-2x=(27-2x)\ \mathrm{m}$
根据长方形面积公式，已知面积为$80\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$x(27-2x)=80$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
列方程解应用题、长方形面积计算、周长实际应用
【点评】
本题是篱笆围建的经典题型，易错点是容易忽略1m宽的门，错误计算平行于墙的边长，解题时需结合图形理清各边长度和篱笆总长的关系，准确找到等量关系列方程。
【难度系数】
0.7
