登录
例1 下列式子中是方程的有.
是一元一次方程的有.
①$3x - 2 = 7$； ②$4 + 8 = 12$； ③$3 - x$；
④$2m - 3n = 0$； ⑤$3x^2 - 2x - 1 = 0$；
⑥$x + 2 ≠ 3$； ⑦$\frac{1}{x} + 1 = 3$.
【思路导析】含有未知数的等式是方程；一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是1.
【请你解答】
是一元一次方程的有.
①$3x - 2 = 7$； ②$4 + 8 = 12$； ③$3 - x$；
④$2m - 3n = 0$； ⑤$3x^2 - 2x - 1 = 0$；
⑥$x + 2 ≠ 3$； ⑦$\frac{1}{x} + 1 = 3$.
【思路导析】含有未知数的等式是方程；一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是1.
【请你解答】
答案
是方程的填$\boldsymbol{①④⑤⑦}$，是一元一次方程的填$\boldsymbol{①}$。
解析
【分析】
解题时需先明确两类式子的判断标准，再逐一排查每个式子：①判断方程的核心是同时满足两个条件：含有未知数、是等式；②判断一元一次方程需先确定是方程，再额外满足三个条件：只含1个未知数、未知数的最高次数为1、等号两边都是整式。按照这个思路逐个验证7个式子即可得到结果。
【解析】
首先根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）逐个判断：
①$3x-2=7$：含有未知数$x$，是等式，属于方程；
②$4+8=12$：是等式但不含未知数，不属于方程；
③$3-x$：含有未知数但不是等式，不属于方程；
④$2m-3n=0$：含有未知数$m、n$，是等式，属于方程；
⑤$3x^2-2x-1=0$：含有未知数$x$，是等式，属于方程；
⑥$x+2≠3$：含有未知数但不是等式，不属于方程；
⑦$\frac{1}{x}+1=3$：含有未知数$x$，是等式，属于方程；
因此是方程的有①④⑤⑦。
再根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的方程），从上述方程中筛选：
①：仅含1个未知数$x$，$x$的次数为1，两边都是整式，属于一元一次方程；
④：含有$m、n$两个未知数，不符合“一元”要求，不属于；
⑤：$x$的最高次数为2，不符合“一次”要求，不属于；
⑦：左边的$\frac{1}{x}$是分式不是整式，不符合要求，不属于；
因此是一元一次方程的有①。
【答案】
是方程的填$\boldsymbol{①④⑤⑦}$，是一元一次方程的填$\boldsymbol{①}$
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是牢记相关定义的判定要素，逐一验证，尤其要注意一元一次方程中“等号两边是整式”“未知数次数为1”的隐藏要求，避免将分式方程、高次方程误判为一元一次方程。
【难度系数】
0.8
解题时需先明确两类式子的判断标准，再逐一排查每个式子：①判断方程的核心是同时满足两个条件：含有未知数、是等式；②判断一元一次方程需先确定是方程，再额外满足三个条件：只含1个未知数、未知数的最高次数为1、等号两边都是整式。按照这个思路逐个验证7个式子即可得到结果。
【解析】
首先根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）逐个判断：
①$3x-2=7$：含有未知数$x$，是等式，属于方程；
②$4+8=12$：是等式但不含未知数，不属于方程；
③$3-x$：含有未知数但不是等式，不属于方程；
④$2m-3n=0$：含有未知数$m、n$，是等式，属于方程；
⑤$3x^2-2x-1=0$：含有未知数$x$，是等式，属于方程；
⑥$x+2≠3$：含有未知数但不是等式，不属于方程；
⑦$\frac{1}{x}+1=3$：含有未知数$x$，是等式，属于方程；
因此是方程的有①④⑤⑦。
再根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的方程），从上述方程中筛选：
①：仅含1个未知数$x$，$x$的次数为1，两边都是整式，属于一元一次方程；
④：含有$m、n$两个未知数，不符合“一元”要求，不属于；
⑤：$x$的最高次数为2，不符合“一次”要求，不属于；
⑦：左边的$\frac{1}{x}$是分式不是整式，不符合要求，不属于；
因此是一元一次方程的有①。
【答案】
是方程的填$\boldsymbol{①④⑤⑦}$，是一元一次方程的填$\boldsymbol{①}$
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是牢记相关定义的判定要素，逐一验证，尤其要注意一元一次方程中“等号两边是整式”“未知数次数为1”的隐藏要求，避免将分式方程、高次方程误判为一元一次方程。
【难度系数】
0.8
例2 一个数的2倍减去1等于这个数加上5.
【思路导析】设这个数为$x$.
【请你解答】
【思路导析】设这个数为$x$.
【请你解答】
答案
解：设这个数为$x$。
根据题意列方程，得
$2x - 1 = x + 5$
方程两边同时减去$x$，得
$x - 1 = 5$
方程两边同时加上1，得
$x = 6$
答：这个数是6。
根据题意列方程，得
$2x - 1 = x + 5$
方程两边同时减去$x$，得
$x - 1 = 5$
方程两边同时加上1，得
$x = 6$
答：这个数是6。
解析
【分析】
解答这类求未知量的题目时，首先用字母设出未知的数，再将题目中的文字描述逐句转化为对应的数学式子：“一个数的2倍”即2x，“减去1”可得2x-1，“这个数加上5”即x+5，根据两者相等的关系列出方程，再根据等式的基本性质对等式两边做相同变形，逐步将未知数单独放在等式一侧即可求出结果。
【解析】
解：设这个数为$x$。
根据题意列方程，得
$2x - 1 = x + 5$
方程两边同时减去$x$，得
$x - 1 = 5$
方程两边同时加上1，得
$x = 6$
答：这个数是6。
【答案】
这个数是6
【知识点】
一元一次方程的应用，等式的基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于方程入门基础题型，重点考查将文字表述转化为数学表达式的转译能力，以及运用等式性质解简易一元一次方程的运算能力，掌握列方程的基本步骤和等式的性质即可顺利解答，是后续学习复杂方程应用的基础。
【难度系数】
0.8
解答这类求未知量的题目时，首先用字母设出未知的数，再将题目中的文字描述逐句转化为对应的数学式子：“一个数的2倍”即2x，“减去1”可得2x-1，“这个数加上5”即x+5，根据两者相等的关系列出方程，再根据等式的基本性质对等式两边做相同变形，逐步将未知数单独放在等式一侧即可求出结果。
【解析】
解：设这个数为$x$。
根据题意列方程，得
$2x - 1 = x + 5$
方程两边同时减去$x$，得
$x - 1 = 5$
方程两边同时加上1，得
$x = 6$
答：这个数是6。
【答案】
这个数是6
【知识点】
一元一次方程的应用，等式的基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于方程入门基础题型，重点考查将文字表述转化为数学表达式的转译能力，以及运用等式性质解简易一元一次方程的运算能力，掌握列方程的基本步骤和等式的性质即可顺利解答，是后续学习复杂方程应用的基础。
【难度系数】
0.8
例3 判断$x=-2,x=4$是不是方程
$\frac{1}{2}x+1=x-1$的解.
【思路导析】把$x=-2,x=4$分别代入方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$验算,若使方程左右两边的值相等,则该值是方程的解.
【请你解答】
互动探究 ▶▶ 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 求字母的值
$\frac{1}{2}x+1=x-1$的解.
【思路导析】把$x=-2,x=4$分别代入方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$验算,若使方程左右两边的值相等,则该值是方程的解.
【请你解答】
互动探究 ▶▶ 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 求字母的值
答案
解：
把$x=-2$代入方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$：
左边$=\frac{1}{2}×(-2)+1=-1+1=0$，
右边$=-2-1=-3$，
左边$≠$右边，
所以$x=-2$不是方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$的解。
把$x=4$代入方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$：
左边$=\frac{1}{2}×4+1=2+1=3$，
右边$=4-1=3$，
左边$=$右边，
所以$x=4$是方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$的解。
把$x=-2$代入方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$：
左边$=\frac{1}{2}×(-2)+1=-1+1=0$，
右边$=-2-1=-3$，
左边$≠$右边，
所以$x=-2$不是方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$的解。
把$x=4$代入方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$：
左边$=\frac{1}{2}×4+1=2+1=3$，
右边$=4-1=3$，
左边$=$右边，
所以$x=4$是方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$的解。
解析
【分析】
判断一个数是不是方程的解，依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题时需将给定的两个x值分别代入方程的左右两边，分别计算两边的结果，再比较左右两边数值是否相等，相等则是方程的解，不相等就不是方程的解。
【解析】
把$x=-2$代入方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$：
左边$=\frac{1}{2}×(-2)+1=-1+1=0$，
右边$=-2-1=-3$，
左边$≠$右边，
所以$x=-2$不是方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$的解。
把$x=4$代入方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$：
左边$=\frac{1}{2}×4+1=2+1=3$，
右边$=4-1=3$，
左边$=$右边，
所以$x=4$是方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$的解。
【答案】
$x=-2$不是方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$的解，$x=4$是方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$的解。
【知识点】
1.方程的解的定义 2.代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程解的检验方法，牢记“代入求值→比较左右两边结果→判断是否为解”的固定步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
判断一个数是不是方程的解，依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题时需将给定的两个x值分别代入方程的左右两边，分别计算两边的结果，再比较左右两边数值是否相等，相等则是方程的解，不相等就不是方程的解。
【解析】
把$x=-2$代入方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$：
左边$=\frac{1}{2}×(-2)+1=-1+1=0$，
右边$=-2-1=-3$，
左边$≠$右边，
所以$x=-2$不是方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$的解。
把$x=4$代入方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$：
左边$=\frac{1}{2}×4+1=2+1=3$，
右边$=4-1=3$，
左边$=$右边，
所以$x=4$是方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$的解。
【答案】
$x=-2$不是方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$的解，$x=4$是方程$\frac{1}{2}x+1=x-1$的解。
【知识点】
1.方程的解的定义 2.代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程解的检验方法，牢记“代入求值→比较左右两边结果→判断是否为解”的固定步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
例4 若方程$(|m|-2)x^2-(m+2)x-6=0$是关于$x$的一元一次方程.
(1)求$m$的值；
(2)判断$x=3,x=-\dfrac{3}{2},x=\dfrac{2}{3}$是不是方程的解.
【思路导析】(1)当$|m|-2=0$且$-(m+2)≠0$时,方程是一元一次方程.(2)确定一元一次方程,并把$x=3,x=-\dfrac{3}{2},x=\dfrac{2}{3}$代入方程检验.
【规范解答】(1)依题意知$|m|-2=0$,即$|m|=2$,解得$m=\pm2$.
当$m=-2$时,$-(m+2)=-(-2+2)=0$,舍去.
故$m=2$,此时方程为$-4x-6=0$.
(2)当$x=3$时,$-4×3-6=-18≠0$.所以$x=3$不是方程的解；
当$x=-\dfrac{3}{2}$时,$-4×(-\dfrac{3}{2})-6=0$,所以$x=-\dfrac{3}{2}$是方程的解；
当$x=\dfrac{2}{3}$时,$-4×\dfrac{2}{3}-6=-\dfrac{26}{3}$,所以$x=\dfrac{2}{3}$不是方程的解.
(1)求$m$的值；
(2)判断$x=3,x=-\dfrac{3}{2},x=\dfrac{2}{3}$是不是方程的解.
【思路导析】(1)当$|m|-2=0$且$-(m+2)≠0$时,方程是一元一次方程.(2)确定一元一次方程,并把$x=3,x=-\dfrac{3}{2},x=\dfrac{2}{3}$代入方程检验.
【规范解答】(1)依题意知$|m|-2=0$,即$|m|=2$,解得$m=\pm2$.
当$m=-2$时,$-(m+2)=-(-2+2)=0$,舍去.
故$m=2$,此时方程为$-4x-6=0$.
(2)当$x=3$时,$-4×3-6=-18≠0$.所以$x=3$不是方程的解；
当$x=-\dfrac{3}{2}$时,$-4×(-\dfrac{3}{2})-6=0$,所以$x=-\dfrac{3}{2}$是方程的解；
当$x=\dfrac{2}{3}$时,$-4×\dfrac{2}{3}-6=-\dfrac{26}{3}$,所以$x=\dfrac{2}{3}$不是方程的解.
答案
解：
(1) 根据一元一次方程的定义，可得
$|m|-2=0$，且$-(m+2)≠0$
由$|m|-2=0$，得$|m|=2$，解得$m=\pm2$。
当$m=-2$时，$-(m+2)=-(-2+2)=0$，不符合一次项系数不为0的要求，舍去。
故$m=2$，此时原方程为$-4x-6=0$。
(2) 当$x=3$时，代入方程左边得：$-4×3-6=-18≠0$，左边不等于右边，所以$x=3$不是方程的解；
当$x=-\dfrac{3}{2}$时，代入方程左边得：$-4×(-\dfrac{3}{2})-6=0$，左边等于右边，所以$x=-\dfrac{3}{2}$是方程的解；
当$x=\dfrac{2}{3}$时，代入方程左边得：$-4×\dfrac{2}{3}-6=-\dfrac{26}{3}≠0$，左边不等于右边，所以$x=\dfrac{2}{3}$不是方程的解。
(1) 根据一元一次方程的定义，可得
$|m|-2=0$，且$-(m+2)≠0$
由$|m|-2=0$，得$|m|=2$，解得$m=\pm2$。
当$m=-2$时，$-(m+2)=-(-2+2)=0$，不符合一次项系数不为0的要求，舍去。
故$m=2$，此时原方程为$-4x-6=0$。
(2) 当$x=3$时，代入方程左边得：$-4×3-6=-18≠0$，左边不等于右边，所以$x=3$不是方程的解；
当$x=-\dfrac{3}{2}$时，代入方程左边得：$-4×(-\dfrac{3}{2})-6=0$，左边等于右边，所以$x=-\dfrac{3}{2}$是方程的解；
当$x=\dfrac{2}{3}$时，代入方程左边得：$-4×\dfrac{2}{3}-6=-\dfrac{26}{3}≠0$，左边不等于右边，所以$x=\dfrac{2}{3}$不是方程的解。
解析
【分析】
(1) 求解m的值需结合一元一次方程的定义思考：一元一次方程要求只含一个未知数、未知数最高次数为1，且一次项系数不为0。因此本题中的二次项系数必须为0，同时一次项系数不能为0，根据这两个限制条件列式子求解即可。(2) 判断x的值是不是方程的解，只需将x代入方程左右两边，若左边计算结果等于右边，就是方程的解，反之则不是。先通过第一问的结果确定具体的一元一次方程，再分别代入三个x的值验证即可。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义，可得
$|m|-2=0$，且$-(m+2)≠0$
由$|m|-2=0$，得$|m|=2$，解得$m=\pm2$。
当$m=-2$时，$-(m+2)=-(-2+2)=0$，不符合一次项系数不为0的要求，舍去。
故$m=2$，此时原方程为$-4x-6=0$。
(2) 当$x=3$时，代入方程左边得：$-4×3-6=-18≠0$，左边不等于右边，所以$x=3$不是方程的解；
当$x=-\dfrac{3}{2}$时，代入方程左边得：$-4×(-\dfrac{3}{2})-6=0$，左边等于右边，所以$x=-\dfrac{3}{2}$是方程的解；
当$x=\dfrac{2}{3}$时，代入方程左边得：$-4×\dfrac{2}{3}-6=-\dfrac{26}{3}≠0$，左边不等于右边，所以$x=\dfrac{2}{3}$不是方程的解。
【答案】
(1) $m=2$；
(2) $x=-\dfrac{3}{2}$是方程的解，$x=3$、$x=\dfrac{2}{3}$不是方程的解。
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的解的判定
【点评】
本题侧重考查一元一次方程的概念及解的检验方法，易错点是求解m时容易遗漏一次项系数不为0的限制条件，误将m=-2计入结果，牢固掌握概念的隐含要求是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 求解m的值需结合一元一次方程的定义思考：一元一次方程要求只含一个未知数、未知数最高次数为1，且一次项系数不为0。因此本题中的二次项系数必须为0，同时一次项系数不能为0，根据这两个限制条件列式子求解即可。(2) 判断x的值是不是方程的解，只需将x代入方程左右两边，若左边计算结果等于右边，就是方程的解，反之则不是。先通过第一问的结果确定具体的一元一次方程，再分别代入三个x的值验证即可。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义，可得
$|m|-2=0$，且$-(m+2)≠0$
由$|m|-2=0$，得$|m|=2$，解得$m=\pm2$。
当$m=-2$时，$-(m+2)=-(-2+2)=0$，不符合一次项系数不为0的要求，舍去。
故$m=2$，此时原方程为$-4x-6=0$。
(2) 当$x=3$时，代入方程左边得：$-4×3-6=-18≠0$，左边不等于右边，所以$x=3$不是方程的解；
当$x=-\dfrac{3}{2}$时，代入方程左边得：$-4×(-\dfrac{3}{2})-6=0$，左边等于右边，所以$x=-\dfrac{3}{2}$是方程的解；
当$x=\dfrac{2}{3}$时，代入方程左边得：$-4×\dfrac{2}{3}-6=-\dfrac{26}{3}≠0$，左边不等于右边，所以$x=\dfrac{2}{3}$不是方程的解。
【答案】
(1) $m=2$；
(2) $x=-\dfrac{3}{2}$是方程的解，$x=3$、$x=\dfrac{2}{3}$不是方程的解。
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的解的判定
【点评】
本题侧重考查一元一次方程的概念及解的检验方法，易错点是求解m时容易遗漏一次项系数不为0的限制条件，误将m=-2计入结果，牢固掌握概念的隐含要求是解题的关键。
【难度系数】
0.8
