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18（2025南京栖霞月考）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为(8,0)，将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标为
$(4,4\sqrt{3})$
。答案
18. $(4,4\sqrt{3})$
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质分析：旋转中心为点B，旋转前后对应边相等、旋转角为60°，可得到BC=BO，∠OBC=60°，由此判定△OBC是等边三角形；再通过作辅助线，过C向x轴作垂线，利用等边三角形三线合一和勾股定理求出C点到x轴、y轴的距离，即可得到C的坐标。
【解析】
解：
∵点B的坐标为(8,0)，
∴OB=8。
∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△DBC，
∴根据旋转的性质可得：BC=BO=8，∠OBC=60°，
∴△OBC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
过点C作CE⊥x轴于点E，
∵△OBC是等边三角形，CE⊥OB，
∴E为OB中点，即OE=BE=½OB=4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2 - BE^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=4\sqrt{3}$，
∴点C的坐标为$(4,4\sqrt{3})$。
【答案】
$(4,4\sqrt{3})$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是几何变换与平面直角坐标系结合的基础题型，解题的关键是利用旋转的性质推导出△OBC为等边三角形，再结合等边三角形的性质和勾股定理求解点坐标，能很好地考察学生对几何变换和三角形性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转的性质分析：旋转中心为点B，旋转前后对应边相等、旋转角为60°，可得到BC=BO，∠OBC=60°，由此判定△OBC是等边三角形；再通过作辅助线，过C向x轴作垂线，利用等边三角形三线合一和勾股定理求出C点到x轴、y轴的距离，即可得到C的坐标。
【解析】
解：
∵点B的坐标为(8,0)，
∴OB=8。
∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△DBC，
∴根据旋转的性质可得：BC=BO=8，∠OBC=60°，
∴△OBC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
过点C作CE⊥x轴于点E，
∵△OBC是等边三角形，CE⊥OB，
∴E为OB中点，即OE=BE=½OB=4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2 - BE^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=4\sqrt{3}$，
∴点C的坐标为$(4,4\sqrt{3})$。
【答案】
$(4,4\sqrt{3})$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是几何变换与平面直角坐标系结合的基础题型，解题的关键是利用旋转的性质推导出△OBC为等边三角形，再结合等边三角形的性质和勾股定理求解点坐标，能很好地考察学生对几何变换和三角形性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
19（2025苏州吴江月考）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，$△ ABC$的三个顶点均在格点上，现将$△ ABC$绕点B按逆时针方向旋转$90°$，则点A旋转后的坐标是
(-1,-6)
。答案
19. (-1,-6)
解析
【分析】
要解决这个问题，可按三步思考：第一步，根据网格和平面直角坐标系，确定旋转前点A以及旋转中心B的坐标；第二步，依据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角90°，结合网格特征找到点A绕点B逆时针旋转90°后的对应点位置；第三步，读出对应点的坐标即可。
【解析】
首先根据网格确定各点坐标：
由图可得，点A的坐标为$\boldsymbol{(-5,0)}$，旋转中心点B的坐标为$\boldsymbol{(0,-1)}$。
点A相对于点B的位置为：横向在B左侧5个单位，纵向在B上方1个单位。将线段BA绕点B逆时针旋转90°后，相对位置变为：横向在B左侧1个单位，纵向在B下方5个单位。
因此旋转后点A的横坐标为：$0-1=-1$，纵坐标为：$-1-5=-6$。
【答案】
$\boldsymbol{(-1,-6)}$
【知识点】
平面直角坐标系；旋转的性质；点的坐标确定
【点评】
本题是坐标与旋转结合的基础题型，解题核心是抓住旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度），结合网格的格点特征就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，可按三步思考：第一步，根据网格和平面直角坐标系，确定旋转前点A以及旋转中心B的坐标；第二步，依据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角90°，结合网格特征找到点A绕点B逆时针旋转90°后的对应点位置；第三步，读出对应点的坐标即可。
【解析】
首先根据网格确定各点坐标：
由图可得，点A的坐标为$\boldsymbol{(-5,0)}$，旋转中心点B的坐标为$\boldsymbol{(0,-1)}$。
点A相对于点B的位置为：横向在B左侧5个单位，纵向在B上方1个单位。将线段BA绕点B逆时针旋转90°后，相对位置变为：横向在B左侧1个单位，纵向在B下方5个单位。
因此旋转后点A的横坐标为：$0-1=-1$，纵坐标为：$-1-5=-6$。
【答案】
$\boldsymbol{(-1,-6)}$
【知识点】
平面直角坐标系；旋转的性质；点的坐标确定
【点评】
本题是坐标与旋转结合的基础题型，解题核心是抓住旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度），结合网格的格点特征就能快速求解。
【难度系数】
0.7
20（2025盐城东台期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（即三角形的顶点都在格点上）。
（1）画出△A₁B₁C₁，使△A₁B₁C₁与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）画出△A₂B₂C₂，使△A₂B₂C₂是△ABC绕点B逆时针旋转90°得到；
（3）画出△A₃B₃C₃，使△A₃B₃C₃与△ABC关于点O成中心对称；
（4）在直线l上找一点P，使点P到点A，B的距离之和最短。
（1）画出△A₁B₁C₁，使△A₁B₁C₁与△ABC关于直线l成轴对称；
（2）画出△A₂B₂C₂，使△A₂B₂C₂是△ABC绕点B逆时针旋转90°得到；
（3）画出△A₃B₃C₃，使△A₃B₃C₃与△ABC关于点O成中心对称；
（4）在直线l上找一点P，使点P到点A，B的距离之和最短。
答案
20. 解:(1) 如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求
.(2) 如图,$△ A_2B_2C_2$即为所求
.(3) 如图,$△ A_3B_3C_3$即为所求
.(4)如图,连接$AB_1$,交直线$l$于点$P$,则点$P$即为所求
.解析
【分析】
（1）作轴对称图形需利用轴对称性质：对称点连线被对称轴垂直平分。先确定△ABC三个顶点到直线l的距离，在直线l另一侧相同距离处找到各顶点的对称点，顺次连接对称点即可得到所求三角形。
（2）作旋转图形需利用旋转性质：旋转前后对应线段长度相等，对应线段的夹角等于旋转角。将BA、BC绕点B逆时针旋转90°得到对应线段，确定A、C的对应点（点B旋转后位置不变），顺次连接三点即可得到所求三角形。
（3）作中心对称图形需利用中心对称性质：对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。分别延长AO、BO、CO至原长度的2倍，得到三个顶点的对应点，顺次连接对应点即可得到所求三角形。
（4）找最短路径点需结合轴对称性质和两点之间线段最短原理：先找到点B关于直线l的对称点B₁，此时PB=PB₁，PA+PB=PA+PB₁，当A、P、B₁共线时距离和最短，因此AB₁与直线l的交点即为所求点P。
【解析】
（1）① 分别测量点A、B、C到直线l的水平距离，在直线l右侧相同距离处确定对称点A₁、B₁、C₁；② 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁。
（2）① 根据网格特征，将BA、BC分别绕点B逆时针旋转90°，确定点A的对应点A₂、点C的对应点C₂，点B旋转后不变即B₂与B重合；② 顺次连接BA₂、A₂C₂、C₂B，得到△A₂B₂C₂。
（3）① 分别延长AO、BO、CO，使OA₃=AO、OB₃=BO、OC₃=CO，得到对应点A₃、B₃、C₃；② 顺次连接A₃B₃、B₃C₃、C₃A₃，得到△A₃B₃C₃。
（4）连接点A与点B关于直线l的对称点B₁，线段AB₁与直线l的交点即为点P，此时PA+PB的和最小。
【答案】
(1) 如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) 如图,$△ A_2B_2C_2$即为所求。
(3) 如图,$△ A_3B_3C_3$即为所求。
(4)如图,连接$AB_1$,交直线$l$于点$P$,则点$P$即为所求。
【知识点】
轴对称作图，旋转作图，最短路径问题
【点评】
本题是网格作图类常规综合题，覆盖了三类图形变换的作图方法和最短路径的应用，解题核心是熟练掌握各类变换的性质，结合网格特点快速定位对应点的位置。
【难度系数】
0.7
（1）作轴对称图形需利用轴对称性质：对称点连线被对称轴垂直平分。先确定△ABC三个顶点到直线l的距离，在直线l另一侧相同距离处找到各顶点的对称点，顺次连接对称点即可得到所求三角形。
（2）作旋转图形需利用旋转性质：旋转前后对应线段长度相等，对应线段的夹角等于旋转角。将BA、BC绕点B逆时针旋转90°得到对应线段，确定A、C的对应点（点B旋转后位置不变），顺次连接三点即可得到所求三角形。
（3）作中心对称图形需利用中心对称性质：对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。分别延长AO、BO、CO至原长度的2倍，得到三个顶点的对应点，顺次连接对应点即可得到所求三角形。
（4）找最短路径点需结合轴对称性质和两点之间线段最短原理：先找到点B关于直线l的对称点B₁，此时PB=PB₁，PA+PB=PA+PB₁，当A、P、B₁共线时距离和最短，因此AB₁与直线l的交点即为所求点P。
【解析】
（1）① 分别测量点A、B、C到直线l的水平距离，在直线l右侧相同距离处确定对称点A₁、B₁、C₁；② 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁。
（2）① 根据网格特征，将BA、BC分别绕点B逆时针旋转90°，确定点A的对应点A₂、点C的对应点C₂，点B旋转后不变即B₂与B重合；② 顺次连接BA₂、A₂C₂、C₂B，得到△A₂B₂C₂。
（3）① 分别延长AO、BO、CO，使OA₃=AO、OB₃=BO、OC₃=CO，得到对应点A₃、B₃、C₃；② 顺次连接A₃B₃、B₃C₃、C₃A₃，得到△A₃B₃C₃。
（4）连接点A与点B关于直线l的对称点B₁，线段AB₁与直线l的交点即为点P，此时PA+PB的和最小。
【答案】
(1) 如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求
。(2) 如图,$△ A_2B_2C_2$即为所求
。(3) 如图,$△ A_3B_3C_3$即为所求
。(4)如图,连接$AB_1$,交直线$l$于点$P$,则点$P$即为所求
。【知识点】
轴对称作图，旋转作图，最短路径问题
【点评】
本题是网格作图类常规综合题，覆盖了三类图形变换的作图方法和最短路径的应用，解题核心是熟练掌握各类变换的性质，结合网格特点快速定位对应点的位置。
【难度系数】
0.7
21 新趋势 新定义（2025南京秦淮月考）【阅读材料】定义:在平面直角坐标系$xOy$中,对于任意一点$P(a,b)$,如果把点$P$平移,得到点$Q(a+t,b-t)$,那么就把$Q$叫作点$P$的“$t$型平移”点.例如:当$t=-5$时,点$M(2,4)$的“$-5$型平移”点的坐标就是$N(-3,9)$.
【问题解决】(1) 点$A(3,2)$的“3型平移”点的坐标为
(2) 已知线段$AB$的两个端点分别是$A(1,1),B(3,1)$.
①端点$A,B$的“$-1$型平移”点分别是$A_1,B_1$,请在图中画出线段$AB$及线段$A_1B_1$;
②若线段$AB$上的每个点作“$t$型平移”后,得到的线段与坐标轴有公共点,求$t$的取值范围.
【问题解决】(1) 点$A(3,2)$的“3型平移”点的坐标为
(6,-1)
;若点$(4,4)$的“$t$型平移”点的坐标是$(6,m)$,则$t=$2
,$m=$2
;(2) 已知线段$AB$的两个端点分别是$A(1,1),B(3,1)$.
①端点$A,B$的“$-1$型平移”点分别是$A_1,B_1$,请在图中画出线段$AB$及线段$A_1B_1$;
②若线段$AB$上的每个点作“$t$型平移”后,得到的线段与坐标轴有公共点,求$t$的取值范围.
答案
21. 解:(1) $(6,-1)$ $2$ $2$
(2) ①因为端点 A,B 的“$-1$ 型平移”点分别是$A_1,B_1$,
所以$B_1(3-1,1+1),A_1(1-1,1+1)$,
即$A_1(0,2),B_1(2,2)$.
如图,线段 AB,线段$A_1B_1$即为所求
.②当平移后得到的线段与坐标轴有公共点时,则
$\begin{cases} 1+t≤0,\\3+t≥0 \end{cases}$或$1-t=0$,
解得$-3≤ t≤-1$或$t=1$,
即当线段 AB 上的每个点作“t 型平移”后,得到的线段与坐标轴有公共点时,t 的取值范围是$-3≤ t≤-1$或$t=1$.
解析
【分析】
本题属于新定义类坐标运算题，解题核心是先准确理解“t型平移”的规则：点$P(a,b)$的“t型平移”点为$Q(a+t, b-t)$，即横坐标加t，纵坐标减t。(1)问直接套用规则计算或列方程求解即可；(2)①先按规则算出$A_1$、$B_1$的坐标，再描点连线画图；②需分平移后线段与y轴相交、与x轴相交两种情况讨论，结合线段坐标的取值范围列不等式（组）求解。
【解析】
(1) ①根据“t型平移”规则，点$A(3,2)$的“3型平移”点横坐标为$3+3=6$，纵坐标为$2-3=-1$，即坐标为$(6,-1)$；
②已知点$(4,4)$的“t型平移”点为$(6,m)$，横坐标满足$4+t=6$，解得$t=2$；纵坐标满足$m=4-t=4-2=2$。
(2) ①端点$A(1,1)$的“$-1$型平移”点$A_1$：横坐标为$1+(-1)=0$，纵坐标为$1-(-1)=2$，即$A_1(0,2)$；端点$B(3,1)$的“$-1$型平移”点$B_1$：横坐标为$3+(-1)=2$，纵坐标为$1-(-1)=2$，即$B_1(2,2)$。在坐标系中描出$A(1,1)$、$B(3,1)$连线得线段$AB$，描出$A_1$、$B_1$连线得线段$A_1B_1$即可。
②线段$AB$上所有点的纵坐标均为1，横坐标取值范围为$1≤x≤3$，平移后点的坐标为$(x+t, 1-t)$，分两种情况讨论：
若平移后线段与y轴（$x=0$）有公共点：则平移后横坐标的取值范围$[1+t, 3+t]$需包含0，即$\begin{cases}1+t≤0 \\3+t≥0 \end{cases}$，解得$-3≤t≤-1$；
若平移后线段与x轴（$y=0$）有公共点：则平移后纵坐标$1-t=0$，解得$t=1$，此时平移后线段的纵坐标均为0，横坐标为$2≤x≤4$，与x轴重合，符合要求。
综上，t的取值范围是$-3≤ t≤-1$或$t=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(6,-1)}$；$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{2}$
(2) ①$A_1(0,2),B_1(2,2)$，线段$AB$、$A_1B_1$如图：
②t的取值范围为$\boldsymbol{-3≤ t≤-1}$或$\boldsymbol{t=1}$
【知识点】
新定义坐标变换；点的平移；不等式组应用
【点评】
本题是新定义类创新题型，考查知识迁移应用能力，解题关键是准确理解“t型平移”的坐标变换规则，再结合线段与坐标轴相交的条件分情况讨论，需要注意不要漏解与x轴相交的情况。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义类坐标运算题，解题核心是先准确理解“t型平移”的规则：点$P(a,b)$的“t型平移”点为$Q(a+t, b-t)$，即横坐标加t，纵坐标减t。(1)问直接套用规则计算或列方程求解即可；(2)①先按规则算出$A_1$、$B_1$的坐标，再描点连线画图；②需分平移后线段与y轴相交、与x轴相交两种情况讨论，结合线段坐标的取值范围列不等式（组）求解。
【解析】
(1) ①根据“t型平移”规则，点$A(3,2)$的“3型平移”点横坐标为$3+3=6$，纵坐标为$2-3=-1$，即坐标为$(6,-1)$；
②已知点$(4,4)$的“t型平移”点为$(6,m)$，横坐标满足$4+t=6$，解得$t=2$；纵坐标满足$m=4-t=4-2=2$。
(2) ①端点$A(1,1)$的“$-1$型平移”点$A_1$：横坐标为$1+(-1)=0$，纵坐标为$1-(-1)=2$，即$A_1(0,2)$；端点$B(3,1)$的“$-1$型平移”点$B_1$：横坐标为$3+(-1)=2$，纵坐标为$1-(-1)=2$，即$B_1(2,2)$。在坐标系中描出$A(1,1)$、$B(3,1)$连线得线段$AB$，描出$A_1$、$B_1$连线得线段$A_1B_1$即可。
②线段$AB$上所有点的纵坐标均为1，横坐标取值范围为$1≤x≤3$，平移后点的坐标为$(x+t, 1-t)$，分两种情况讨论：
若平移后线段与y轴（$x=0$）有公共点：则平移后横坐标的取值范围$[1+t, 3+t]$需包含0，即$\begin{cases}1+t≤0 \\3+t≥0 \end{cases}$，解得$-3≤t≤-1$；
若平移后线段与x轴（$y=0$）有公共点：则平移后纵坐标$1-t=0$，解得$t=1$，此时平移后线段的纵坐标均为0，横坐标为$2≤x≤4$，与x轴重合，符合要求。
综上，t的取值范围是$-3≤ t≤-1$或$t=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(6,-1)}$；$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{2}$
(2) ①$A_1(0,2),B_1(2,2)$，线段$AB$、$A_1B_1$如图：
②t的取值范围为$\boldsymbol{-3≤ t≤-1}$或$\boldsymbol{t=1}$
【知识点】
新定义坐标变换；点的平移；不等式组应用
【点评】
本题是新定义类创新题型，考查知识迁移应用能力，解题关键是准确理解“t型平移”的坐标变换规则，再结合线段与坐标轴相交的条件分情况讨论，需要注意不要漏解与x轴相交的情况。
【难度系数】
0.7
