10（2025南通期末）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(a,0),B(0,b)$，且$a,b$满足$(a-8)^2 + \sqrt{b-4}=0$。
（1）求点$A,B$的坐标；
（2）若点$M$在直线$AB$上，且$S_{△ AOM}=2S_{△ BOM}$，求点$M$的横坐标；
（3）$P(t,-2)$是平面内的动点，若$△ ABP ≤ S_{△ AOB}$，直接写出$t$的取值范围。

10. 解:(1) 因为$(a-8)^2 + \sqrt{b-4}=0$,
所以$a-8=0,b-4=0$,解得$a=8,b=4$,
所以点$A$的坐标为$(8,0)$,点$B$的坐标为$(0,4)$.
(2) 设点$M$的横坐标为$m$.
当$M$在线段$AB$上时,
因为$S_{△ AOM}=2S_{△ BOM}$,
所以$S_{△ BOM}=\frac{1}{3}S_{△ BOA}$,
所以$\frac{1}{2}×4m=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×8$,
解得$m=\frac{8}{3}$;
当点$M$在线段$AB$的延长线上时,
因为$S_{△ AOM}=2S_{△ BOM}$,
所以$S_{△ BOA}=S_{△ BOM}$,
所以$\frac{1}{2}×4×(-m)=\frac{1}{2}×4×8$,
解得$m=-8$.
综上,点$M$的横坐标为$\frac{8}{3}$或$-8$.
(3) $t$的取值范围为$4≤ t≤20$且$t≠12$.

【分析】
（1）利用平方和算术平方根的非负性解题：两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此列方程求出a、b的值，即可得到A、B的坐标；
（2）分两种情况讨论点M的位置：①M在线段AB上，此时△AOM和△BOM同高，面积比等于底的比，结合面积关系可得△BOM与△AOB的面积关系，以OB为底、M的横坐标为高列方程求解；②M在线段AB过点B的延长线上，结合面积关系可得△BOM与△AOB面积相等，注意此时M横坐标为负，列方程求解即可；
（3）先求出直线AB的解析式，用含t的式子表示出△ABP的面积，结合面积不超过△AOB的面积列不等式求解，同时排除三点共线不能构成三角形的情况即可。
【解析】
(1) 因为$(a-8)^2≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，且$(a-8)^2 + \sqrt{b-4}=0$，
所以$a-8=0$，$b-4=0$，解得$a=8$，$b=4$，
所以点A的坐标为$(8,0)$，点B的坐标为$(0,4)$。
(2) 设点M的横坐标为$m$，$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×8×4=16$，
①当M在线段AB上时，
因为$S_{△ AOM}=2S_{△ BOM}$，且$S_{△ AOM}+S_{△ BOM}=S_{△ AOB}$，
所以$S_{△ BOM}=\frac{1}{3}S_{△ AOB}=\frac{16}{3}$，
以OB为底，△BOM的高为M的横坐标$m$，则$\frac{1}{2}×4×m=\frac{16}{3}$，
解得$m=\frac{8}{3}$；
②当点M在线段AB过点B的延长线上时，
因为$S_{△ AOM}=2S_{△ BOM}$，且$S_{△ AOM}-S_{△ BOM}=S_{△ AOB}$，
所以$S_{△ BOM}=S_{△ AOB}=16$，
此时M在y轴左侧，横坐标为负，高为$-m$，则$\frac{1}{2}×4×(-m)=16$，
解得$m=-8$。
综上，点M的横坐标为$\frac{8}{3}$或$-8$。
(3) 先求得直线AB的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$，通过割补法表示出$△ ABP$的面积，结合$S_{△ABP}≤S_{△AOB}=16$列不等式求解，当$t=12$时，P在直线AB上，三点共线无法构成三角形，需排除，最终得t的取值范围。
【答案】
(1) $A(8,0)$，$B(0,4)$；
(2) 点M的横坐标为$\frac{8}{3}$或$-8$；
(3) $4≤ t≤20$且$t≠12$。
【知识点】
非负数的性质，一次函数的应用，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查代数与几何的结合，解题时要注意分类讨论点的位置，避免漏解，同时要注意三角形的构成条件，排除三点共线的特殊情况，对分类讨论思想和计算能力有一定考查。
【难度系数】
0.6

11 (2026连云港海州期末)在平面直角坐标系$xOy$中，点$P(-2,3)$先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后的坐标为（）

A.$(-3,-1)$
B.$(-1,-1)$
C.$(-3,1)$
D.$(-1,1)$

11. C

【分析】
要解决平面直角坐标系中点平移后的坐标问题，首先需要牢记点平移的坐标变化规律：横坐标平移遵循“右加左减”（向右平移对应横坐标加，向左平移对应横坐标减），纵坐标平移遵循“上加下减”（向上平移对应纵坐标加，向下平移对应纵坐标减）。解题时按照题目给出的平移顺序，分别对横坐标和纵坐标进行计算即可。
【解析】
根据点平移的坐标变化规律逐步计算：
1. 点$P(-2,3)$先向下平移2个单位长度：向下平移仅改变纵坐标，纵坐标减去平移距离，即$3 - 2 = 1$，此时点的坐标为$(-2,1)$；
2. 再向左平移1个单位长度：向左平移仅改变横坐标，横坐标减去平移距离，即$-2 - 1 = -3$；
最终平移后得到的点坐标为$(-3,1)$。
【答案】
C
【知识点】
1. 点的坐标平移规律
2. 平面直角坐标系基础
【点评】
本题属于基础题型，核心考查点平移时的坐标变化规则，只要准确记忆“左减右加、上加下减”的规律，区分清楚横纵坐标对应的平移规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

12（2025南通海安期中）如图，已知$A(2,0),B(5,m)$，若将线段$AB$平移至$CD$，其中$C(-2,1)$，$D(a,n)$，则$n-m$的值为（）

A.$-3$
B.$1$
C.$-1$
D.$3$

12. B

【分析】
解决本题的核心是利用平移的性质：线段平移时，线段上所有点的平移规律完全相同，即对应点的横坐标变化量相等、纵坐标变化量相等。首先找到已知的对应点A和C，计算出平移过程中纵坐标的变化量，再根据该变化量推导n和m的关系，即可求出n-m的值，无需计算横坐标相关的未知量，可简化计算。
【解析】
∵线段AB平移得到CD，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，
∴两点平移时纵坐标的变化量相同。
点A(2,0)平移到C(-2,1)，纵坐标增加了$1-0=1$，
∴点B(5,m)平移到D(a,n)时，纵坐标也增加1，即$n=m+1$，
∴$n-m=1$。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质，坐标与图形变化-平移
【点评】
本题考查平移性质的基础应用，解题的关键是抓住平移前后对应点的坐标变化规律一致，本题无需计算横坐标的变化，直接通过纵坐标的变化量即可快速得到结果，降低了计算量。
【难度系数】
0.8

13（2026宿迁沭阳期末）如图，已知点$A(-4,0)$，$B(-1,0)$。将线段$AB$平移后得到线段$CD$，点$A$的对应点$D$恰好落在$y$轴上，且四边形$ABCD$的面积为9，则点$C$的坐标为。

13. (3,3)

【分析】
解题可按以下思路展开：首先根据平移的性质可知四边形ABCD是平行四边形，先计算出AB的长度作为平行四边形的底；再结合平行四边形面积公式求出高，也就是平移的纵向距离；接着根据点A的对应点D在y轴上，确定平移的横向距离，得到平移规律；最后将点B按平移规律计算即可得到点C的坐标。
【解析】
1. 计算AB的长度：
已知点$A(-4,0)$，$B(-1,0)$，两点都在x轴上，因此$AB=|-1-(-4)|=3$。
2. 求平移的纵向距离：
线段AB平移得到CD，因此四边形ABCD是平行四边形，平行四边形面积=底×高，已知面积为9，底$AB=3$，因此高$h=9÷3=3$，即平移后纵坐标增加了3。
3. 确定平移规律：
点A的对应点D在y轴上，因此D的横坐标为0，横坐标的变化量为$0-(-4)=4$，纵坐标变化量为$3-0=3$，即平移规律为：向右平移4个单位，向上平移3个单位。
4. 计算点C的坐标：
点B的对应点是C，将$B(-1,0)$按平移规律计算：横坐标为$-1+4=3$，纵坐标为$0+3=3$，因此点C坐标为$(3,3)$。
【答案】
$(3,3)$
【知识点】
平移的性质，平行四边形面积计算，点的平移规律
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查平移的相关应用，解题的核心是先通过平行四边形面积求出纵向平移距离，再结合D点的位置确定完整的平移规律，整体难度不高，注重对基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7

14（2025常州模拟）点A(1,2025)关于y轴的对称点是 （）

A.(-1,2025)
B.(1,-2025)
C.(-1,-2025)
D.(2025,1)

14. A

【分析】
要解决求已知点关于y轴的对称点的问题，首先回忆关于y轴对称的点的坐标变化规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。接下来只需将点A的横坐标取相反数，纵坐标保持不变，即可得到对称点坐标，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征：两点关于y轴对称时，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
已知点A的坐标为(1,2025)，横坐标1的相反数是-1，纵坐标2025不变，因此点A关于y轴的对称点坐标为(-1,2025)，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，主要考查对平面直角坐标系中对称点坐标变化规律的掌握，熟记不同对称轴对应的坐标变化规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9

15 (2025 常州武进一模)若点$P(m,-4)$关于原点对称的点是$P'(2,n)$，则$m+n$的值是（）

A.$-2$
B.$2$
C.$-6$
D.$6$

15. B

【分析】
解决这道题首先要明确考点是关于原点对称的点的坐标规律，解题思路分为两步：第一步回忆关于原点对称的两个点的坐标关系，第二步根据对应坐标的关系求出m、n的值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若点$(x,y)$关于原点对称的点为$(x',y')$，则两点的横、纵坐标均互为相反数，即$x'=-x$，$y'=-y$。
已知点$P(m,-4)$关于原点对称的点是$P'(2,n)$，因此可得：
$2=-m$，解得$m=-2$；
$n=-(-4)$，解得$n=4$。
将$m=-2$、$n=4$代入$m+n$，得$m+n=-2+4=2$。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的坐标规律，掌握对应坐标互为相反数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

16（2025扬州期末）在平面直角坐标系中，点$P(-2,a)$与点$Q(b,3)$关于$x$轴对称，则$-a+b$的值为。

16. 1

【分析】
解决本题的核心是牢记平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律：两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。首先根据该规律结合已知点P、Q的坐标，分别求出a、b的值，再将a、b代入代数式$-a+b$计算即可得到结果。
【解析】
∵ 平面直角坐标系中，关于x轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，
又
∵ 点$P(-2,a)$与点$Q(b,3)$关于x轴对称，
∴ $b=-2$，$a=-3$，
将$a=-3$，$b=-2$代入$-a+b$得：
$-a+b=-(-3)+(-2)=3-2=1$。
【答案】
1
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查对称点的坐标变化规律，解题时需注意区分关于x轴、y轴对称的坐标性质的差异，避免混淆规律导致计算错误。
【难度系数】
0.8

17 (2025 苏州工业园区月考)已知点A的坐标是$(-2,3)$，将线段OA绕点O顺时针旋转$90°$后，点A的对应点的坐标为。

17. (3,2)

【分析】
解题可通过两种思路展开：①几何推导法：结合旋转的性质，通过构造全等三角形推导对应点坐标，符合八年级已学全等知识的应用逻辑；②规律应用法：直接运用平面直角坐标系内点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律求解。首先明确原点点A的横、纵坐标，若用几何法，先过原点点A、旋转后对应点分别向x轴作垂线，利用旋转前后线段长度相等、角度互余的关系证明两个直角三角形全等，再根据对应边相等结合旋转后点所在象限确定坐标符号即可。
【解析】
设点A(-2,3)绕原点O顺时针旋转90°后的对应点为A'。
过点A作AB⊥x轴于点B，过点A'作A'C⊥x轴于点C，
则∠ABO=∠OCA'=90°。
由旋转的性质可知：∠AOA'=90°，OA=OA'，
∴∠AOB+∠A'OC=90°，
又
∵∠AOB+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠A'OC。
在△AOB和△OA'C中：
$\{\begin{array}{l}∠ABO=∠OCA'\\∠OAB=∠A'OC\\OA=OA'\end{array} $
∴△AOB≌△OA'C（AAS）。
∵A(-2,3)，
∴AB=3，OB=2，
∴OC=AB=3，A'C=OB=2。
又
∵旋转后A'落在第一象限，横纵坐标均为正，
∴A'的坐标为(3,2)。
也可直接用旋转规律：点$(x,y)$绕原点顺时针旋转90°后对应点坐标为$(y,-x)$，将A(-2,3)代入得对应点坐标为$(3,-(-2))=(3,2)$。
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
坐标与图形变化-旋转；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系内点的旋转变换，两种解题方法都符合学段知识要求，解题时需注意区分旋转方向，准确判断旋转后点所在象限，避免坐标符号出错。
【难度系数】
0.7