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10 下列说法中，错误的是 （
A.$\sqrt{\dfrac{1}{4}}$是有理数
B.$\sqrt{3}$是无理数
C.$-\sqrt[3]{-27}$是正实数
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$是分数
D
）A.$\sqrt{\dfrac{1}{4}}$是有理数
B.$\sqrt{3}$是无理数
C.$-\sqrt[3]{-27}$是正实数
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$是分数
答案
10. D
解析
【分析】
本题考查实数相关概念的辨析，解题时需先掌握有理数、无理数、正实数、分数的定义，再对每个选项中的根式先化简，再结合定义判断其所属类别，最终选出说法错误的选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 先化简$\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{2}$是有理数，该说法正确，不符合题意；
B. $\sqrt{3}$是无限不循环小数，属于无理数，该说法正确，不符合题意；
C. 先化简$-\sqrt[3]{-27}=-(-3)=3$，3是正实数，该说法正确，不符合题意；
D. 分数属于有理数，本质是两个整数的比值（分母不为0），而$\sqrt{2}$是无理数，因此$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，不属于分数，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
实数的分类，无理数的定义，根式化简
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是误认为带有分数线的数都是分数，需明确分数的前提是有理数，本质为整数之比，含开方开不尽的数的根式（无理数）与整数的比值仍为无理数，不属于分数。
【难度系数】
0.7
本题考查实数相关概念的辨析，解题时需先掌握有理数、无理数、正实数、分数的定义，再对每个选项中的根式先化简，再结合定义判断其所属类别，最终选出说法错误的选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 先化简$\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{2}$是有理数，该说法正确，不符合题意；
B. $\sqrt{3}$是无限不循环小数，属于无理数，该说法正确，不符合题意；
C. 先化简$-\sqrt[3]{-27}=-(-3)=3$，3是正实数，该说法正确，不符合题意；
D. 分数属于有理数，本质是两个整数的比值（分母不为0），而$\sqrt{2}$是无理数，因此$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，不属于分数，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
实数的分类，无理数的定义，根式化简
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是误认为带有分数线的数都是分数，需明确分数的前提是有理数，本质为整数之比，含开方开不尽的数的根式（无理数）与整数的比值仍为无理数，不属于分数。
【难度系数】
0.7
11（2025镇江丹阳期末）如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕表示1的点顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数分别为a，b，则$b-a=$
$3-\sqrt{7}$
.答案
11. $3-\sqrt{7}$
解析
【分析】
要求$b-a$的值，需先确定数轴上点A、D对应的数$a$、$b$。首先根据正方形面积和边长的关系，求出两个正方形的边长$OA$、$OD$；再结合旋转的性质，旋转前后边长不变，且点O对应数轴上的数1，点A、D都在点O右侧，因此用点O的数加上对应边长即可得到$a$、$b$，最后作差计算即可。
【解析】
解：
∵正方形OABC的面积为7，正方形的面积等于边长的平方，
∴边长$OA=\sqrt{7}$，
∵正方形ODEF的面积为9，
∴边长$OD=\sqrt{9}=3$，
由题意可知，点O对应数轴上的数为1，旋转后OA、OD都落在数轴正方向，
∴点A对应的数$a=1+\sqrt{7}$，点D对应的数$b=1+3=4$，
∴$b-a=4-(1+\sqrt{7})=3-\sqrt{7}$。
【答案】
$3-\sqrt{7}$
【知识点】
算术平方根的计算，实数与数轴，正方形面积公式
【点评】
本题综合考查了正方形性质、算术平方根的意义及数轴上点与实数的对应关系，解题核心是抓住旋转前后边长不变，准确表示出数轴上两点对应的数，是实数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要求$b-a$的值，需先确定数轴上点A、D对应的数$a$、$b$。首先根据正方形面积和边长的关系，求出两个正方形的边长$OA$、$OD$；再结合旋转的性质，旋转前后边长不变，且点O对应数轴上的数1，点A、D都在点O右侧，因此用点O的数加上对应边长即可得到$a$、$b$，最后作差计算即可。
【解析】
解：
∵正方形OABC的面积为7，正方形的面积等于边长的平方，
∴边长$OA=\sqrt{7}$，
∵正方形ODEF的面积为9，
∴边长$OD=\sqrt{9}=3$，
由题意可知，点O对应数轴上的数为1，旋转后OA、OD都落在数轴正方向，
∴点A对应的数$a=1+\sqrt{7}$，点D对应的数$b=1+3=4$，
∴$b-a=4-(1+\sqrt{7})=3-\sqrt{7}$。
【答案】
$3-\sqrt{7}$
【知识点】
算术平方根的计算，实数与数轴，正方形面积公式
【点评】
本题综合考查了正方形性质、算术平方根的意义及数轴上点与实数的对应关系，解题核心是抓住旋转前后边长不变，准确表示出数轴上两点对应的数，是实数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
12 如图，数轴上表示$1,\sqrt{2}$的对应点分别为A，B，$AB=AC$，则点C所表示的数是
$2-\sqrt{2}$
.答案
12. $2-\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先明确数轴上两点的距离等于右边点表示的数减去左边点表示的数，先求出线段AB的长度；再结合AB=AC得到AC的长度，最后根据点C在点A左侧，用点A表示的数减去AC的长度即可得到点C表示的数。
【解析】
∵数轴上表示1、$\sqrt{2}$的对应点分别为A、B，
∴$AB = \sqrt{2} - 1$，
又
∵$AB=AC$，
∴$AC = \sqrt{2} - 1$，
∵点C在点A的左侧，
∴点C表示的数为：$1 - (\sqrt{2} - 1) = 1 - \sqrt{2} + 1 = 2 - \sqrt{2}$。
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算，实数加减运算，实数与数轴对应
【点评】
本题是实数与数轴结合的基础题型，解题核心是掌握数轴上两点距离的计算方法，同时注意点的位置对最终数值的影响，属于考试中常见的基础得分题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确数轴上两点的距离等于右边点表示的数减去左边点表示的数，先求出线段AB的长度；再结合AB=AC得到AC的长度，最后根据点C在点A左侧，用点A表示的数减去AC的长度即可得到点C表示的数。
【解析】
∵数轴上表示1、$\sqrt{2}$的对应点分别为A、B，
∴$AB = \sqrt{2} - 1$，
又
∵$AB=AC$，
∴$AC = \sqrt{2} - 1$，
∵点C在点A的左侧，
∴点C表示的数为：$1 - (\sqrt{2} - 1) = 1 - \sqrt{2} + 1 = 2 - \sqrt{2}$。
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算，实数加减运算，实数与数轴对应
【点评】
本题是实数与数轴结合的基础题型，解题核心是掌握数轴上两点距离的计算方法，同时注意点的位置对最终数值的影响，属于考试中常见的基础得分题。
【难度系数】
0.8
13（2025盐城滨海期中）如图，已知点A表示的数为$-\sqrt{5}$，点A向右平移3个单位长度到达点B.
（1）点B表示的数为
（2）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有$|2c-4|$与$\sqrt{d-5}$互为相反数，求$2c+d$的平方根；
（3）在（2）的条件下，若$\sqrt{c+d}$的整数部分是x，小数部分是y，求$x-y$的值.
（1）点B表示的数为
$-\sqrt{5}+3$
；（2）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有$|2c-4|$与$\sqrt{d-5}$互为相反数，求$2c+d$的平方根；
（3）在（2）的条件下，若$\sqrt{c+d}$的整数部分是x，小数部分是y，求$x-y$的值.
答案
13. 解:(1) $-\sqrt{5}+3$
(2) 因为$|2c-4|$与$\sqrt{d-5}$互为相反数，
所以$|2c-4|+\sqrt{d-5}=0$，
则$2c-4=0$且$d-5=0$，
解得$c=2,d=5$,所以$2c+d=9$,
故$\pm\sqrt{2c+d}=\pm\sqrt{9}=\pm3$,所以$2c+d$的平方根为$\pm3$.
(3) 由(2)可知$c+d=7$,所以$\sqrt{c+d}=\sqrt{7}$.
因为$2＜\sqrt{7}＜3$,
所以$\sqrt{7}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{7}-2$,
即$x=2,y=\sqrt{7}-2$,所以$x-y=2-(\sqrt{7}-2)=4-\sqrt{7}$.
(2) 因为$|2c-4|$与$\sqrt{d-5}$互为相反数，
所以$|2c-4|+\sqrt{d-5}=0$，
则$2c-4=0$且$d-5=0$，
解得$c=2,d=5$,所以$2c+d=9$,
故$\pm\sqrt{2c+d}=\pm\sqrt{9}=\pm3$,所以$2c+d$的平方根为$\pm3$.
(3) 由(2)可知$c+d=7$,所以$\sqrt{c+d}=\sqrt{7}$.
因为$2＜\sqrt{7}＜3$,
所以$\sqrt{7}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{7}-2$,
即$x=2,y=\sqrt{7}-2$,所以$x-y=2-(\sqrt{7}-2)=4-\sqrt{7}$.
解析
【分析】
（1）数轴上点向右平移时，对应的数等于原数加上平移的单位长度，已知点A表示的数，直接加3即可得到点B对应的数；
（2）绝对值和算术平方根都具有非负性，若两个非负数互为相反数，则它们的和为0，因此两个非负数各自都为0，据此列方程求出c、d的值，再计算2c+d的平方根即可；
（3）先计算c+d的值，再估算其算术平方根的范围，确定整数部分x，小数部分y为这个算术平方根减去整数部分，最后代入计算x-y的值。
【解析】
（1）点A表示的数为$-\sqrt{5}$，向右平移3个单位长度，点B表示的数为$-\sqrt{5}+3$；
（2）
∵$|2c-4|$与$\sqrt{d-5}$互为相反数，
∴$|2c-4|+\sqrt{d-5}=0$，
又
∵$|2c-4|≥0$，$\sqrt{d-5}≥0$，
∴$2c-4=0$，$d-5=0$，
解得$c=2$，$d=5$，
∴$2c+d=2×2+5=9$，
∴$2c+d$的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$；
（3）由（2）得$c=2$，$d=5$，
∴$c+d=2+5=7$，即$\sqrt{c+d}=\sqrt{7}$，
∵$2＜\sqrt{7}＜3$，
∴$\sqrt{7}$的整数部分$x=2$，小数部分$y=\sqrt{7}-2$，
∴$x-y=2-(\sqrt{7}-2)=4-\sqrt{7}$。
【答案】
（1）$3-\sqrt{5}$（或$-\sqrt{5}+3$）；
（2）$\pm3$；
（3）$4-\sqrt{7}$
【知识点】
数轴上点的平移，非负数的性质，无理数的估算
【点评】
本题是实数相关的基础综合题，考查了多个基础知识点的结合应用，解题时需要抓住非负性的隐含条件，熟练掌握无理数大小估算的方法，整体解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
（1）数轴上点向右平移时，对应的数等于原数加上平移的单位长度，已知点A表示的数，直接加3即可得到点B对应的数；
（2）绝对值和算术平方根都具有非负性，若两个非负数互为相反数，则它们的和为0，因此两个非负数各自都为0，据此列方程求出c、d的值，再计算2c+d的平方根即可；
（3）先计算c+d的值，再估算其算术平方根的范围，确定整数部分x，小数部分y为这个算术平方根减去整数部分，最后代入计算x-y的值。
【解析】
（1）点A表示的数为$-\sqrt{5}$，向右平移3个单位长度，点B表示的数为$-\sqrt{5}+3$；
（2）
∵$|2c-4|$与$\sqrt{d-5}$互为相反数，
∴$|2c-4|+\sqrt{d-5}=0$，
又
∵$|2c-4|≥0$，$\sqrt{d-5}≥0$，
∴$2c-4=0$，$d-5=0$，
解得$c=2$，$d=5$，
∴$2c+d=2×2+5=9$，
∴$2c+d$的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$；
（3）由（2）得$c=2$，$d=5$，
∴$c+d=2+5=7$，即$\sqrt{c+d}=\sqrt{7}$，
∵$2＜\sqrt{7}＜3$，
∴$\sqrt{7}$的整数部分$x=2$，小数部分$y=\sqrt{7}-2$，
∴$x-y=2-(\sqrt{7}-2)=4-\sqrt{7}$。
【答案】
（1）$3-\sqrt{5}$（或$-\sqrt{5}+3$）；
（2）$\pm3$；
（3）$4-\sqrt{7}$
【知识点】
数轴上点的平移，非负数的性质，无理数的估算
【点评】
本题是实数相关的基础综合题，考查了多个基础知识点的结合应用，解题时需要抓住非负性的隐含条件，熟练掌握无理数大小估算的方法，整体解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
14 新趋势 新概念 若无理数$\sqrt{T}$的被开方数($T$为正整数)满足$n^2＜T＜(n+1)^2$(其中$n$为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“青一区间”为$(n,n+1)$;同理规定无理数$-\sqrt{T}$的“青一区间”为$(-n-1,-n)$,例如:因为$1^2＜2＜2^2$,所以$\sqrt{2}$的“青一区间”为$(1,2)$,$-\sqrt{2}$的“青一区间”为$(-2,-1)$,请回答下列问题:
(1) $\sqrt{17}$的“青一区间”为
(2) 若实数$x,y$满足关系式:$\sqrt{x-3}+|2026+(y-4)^2|=2026$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”.
(1) $\sqrt{17}$的“青一区间”为
$(4,5)$
;$-\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-5,-4)$
;(2) 若实数$x,y$满足关系式:$\sqrt{x-3}+|2026+(y-4)^2|=2026$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”.
答案
14. 解:(1) $(4,5)$ $(-5,-4)$
(2) 因为$\sqrt{x-3}+|2026+(y-4)^2|=2026$,
所以$\sqrt{x-3}+2026+(y-4)^2=2026$,
即$\sqrt{x-3}+(y-4)^2=0$,所以$x=3,y=4$,
所以$\sqrt{xy}=\sqrt{12}$.
因为$3^2＜12＜4^2$,所以$\sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$.
(2) 因为$\sqrt{x-3}+|2026+(y-4)^2|=2026$,
所以$\sqrt{x-3}+2026+(y-4)^2=2026$,
即$\sqrt{x-3}+(y-4)^2=0$,所以$x=3,y=4$,
所以$\sqrt{xy}=\sqrt{12}$.
因为$3^2＜12＜4^2$,所以$\sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$.
解析
【分析】
解决第(1)问时，先明确“青一区间”的定义：对于$\sqrt{T}$，找到正整数$n$满足$n^2＜T＜(n+1)^2$，它的“青一区间”就是$(n,n+1)$；对于$-\sqrt{T}$，对应的“青一区间”是$(-n-1,-n)$。先找和17相邻的两个正整数的平方，确定$n$的值即可得到$\sqrt{17}$的区间；再找和23相邻的平方数，对应得到$-\sqrt{23}$的区间。第(2)问先判断绝对值内式子的符号，由于平方的非负性，$2026+(y-4)^2$恒大于0，可直接去掉绝对值，整理后得到两个非负数相加为0，根据非负数的性质求出$x$、$y$的值，再计算$xy$，最后按照新定义求出$\sqrt{xy}$的“青一区间”即可。
【解析】
(1) 因为$4^2=16$，$5^2=25$，满足$4^2＜17＜5^2$，所以$\sqrt{17}$的“青一区间”为$(4,5)$；
又因为$4^2=16＜23＜25=5^2$，根据$-\sqrt{T}$的“青一区间”定义，可得$-\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-5,-4)$。
(2) 因为$(y-4)^2≥0$，所以$2026+(y-4)^2≥2026＞0$，因此$|2026+(y-4)^2|=2026+(y-4)^2$，
代入原式得：$\sqrt{x-3} + 2026 + (y-4)^2 = 2026$，
移项化简得：$\sqrt{x-3} + (y-4)^2 = 0$，
因为$\sqrt{x-3}≥0$，$(y-4)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，
所以$x-3=0$，$y-4=0$，解得$x=3$，$y=4$，
所以$\sqrt{xy}=\sqrt{3×4}=\sqrt{12}$，
又因为$3^2=9＜12＜16=4^2$，根据定义可得$\sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$。
【答案】
(1) $(4,5)$；$(-5,-4)$
(2) $(3,4)$
【知识点】
新定义理解，非负数的性质，无理数估算
【点评】
本题结合新定义考查基础知识点的应用，解题的关键是准确理解“青一区间”的定义，同时熟练掌握非负数和为0的性质，能正确估算无理数的范围，整体考查基础，易于上手。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，先明确“青一区间”的定义：对于$\sqrt{T}$，找到正整数$n$满足$n^2＜T＜(n+1)^2$，它的“青一区间”就是$(n,n+1)$；对于$-\sqrt{T}$，对应的“青一区间”是$(-n-1,-n)$。先找和17相邻的两个正整数的平方，确定$n$的值即可得到$\sqrt{17}$的区间；再找和23相邻的平方数，对应得到$-\sqrt{23}$的区间。第(2)问先判断绝对值内式子的符号，由于平方的非负性，$2026+(y-4)^2$恒大于0，可直接去掉绝对值，整理后得到两个非负数相加为0，根据非负数的性质求出$x$、$y$的值，再计算$xy$，最后按照新定义求出$\sqrt{xy}$的“青一区间”即可。
【解析】
(1) 因为$4^2=16$，$5^2=25$，满足$4^2＜17＜5^2$，所以$\sqrt{17}$的“青一区间”为$(4,5)$；
又因为$4^2=16＜23＜25=5^2$，根据$-\sqrt{T}$的“青一区间”定义，可得$-\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-5,-4)$。
(2) 因为$(y-4)^2≥0$，所以$2026+(y-4)^2≥2026＞0$，因此$|2026+(y-4)^2|=2026+(y-4)^2$，
代入原式得：$\sqrt{x-3} + 2026 + (y-4)^2 = 2026$，
移项化简得：$\sqrt{x-3} + (y-4)^2 = 0$，
因为$\sqrt{x-3}≥0$，$(y-4)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，
所以$x-3=0$，$y-4=0$，解得$x=3$，$y=4$，
所以$\sqrt{xy}=\sqrt{3×4}=\sqrt{12}$，
又因为$3^2=9＜12＜16=4^2$，根据定义可得$\sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$。
【答案】
(1) $(4,5)$；$(-5,-4)$
(2) $(3,4)$
【知识点】
新定义理解，非负数的性质，无理数估算
【点评】
本题结合新定义考查基础知识点的应用，解题的关键是准确理解“青一区间”的定义，同时熟练掌握非负数和为0的性质，能正确估算无理数的范围，整体考查基础，易于上手。
【难度系数】
0.7
