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1 如果关于$x$的方程$(x-9)^2 = m+3$可以用直接开平方法求解，那么$m$的取值范围是（
A.$m＞0$
B.$m≥0$
C.$m＞-3$
D.$m≥-3$
D
）A.$m＞0$
B.$m≥0$
C.$m＞-3$
D.$m≥-3$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆直接开平方法解一元二次方程的要求：对于形如$a^2 = b$的方程，只有当右边的$b$是非负数（即$b≥0$）时，方程才有实数解，才能用直接开平方法求解。本题中方程左边是$(x-9)^2$，根据平方的性质，任意实数的平方都大于等于0，因此右边的$m+3$必须满足非负的条件，据此列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
∵ 方程$(x-9)^2 = m+3$可以用直接开平方法求解
∴ 方程右边的被开方数必须是非负数，即$m+3≥0$
解这个不等式：
移项得$m≥ -3$
因此$m$的取值范围是$m≥ -3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法的适用条件
2. 平方的非负性
3. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题，核心考查直接开平方法解方程的前提，只要掌握平方数的非负性，即可快速列式求解。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆直接开平方法解一元二次方程的要求：对于形如$a^2 = b$的方程，只有当右边的$b$是非负数（即$b≥0$）时，方程才有实数解，才能用直接开平方法求解。本题中方程左边是$(x-9)^2$，根据平方的性质，任意实数的平方都大于等于0，因此右边的$m+3$必须满足非负的条件，据此列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
∵ 方程$(x-9)^2 = m+3$可以用直接开平方法求解
∴ 方程右边的被开方数必须是非负数，即$m+3≥0$
解这个不等式：
移项得$m≥ -3$
因此$m$的取值范围是$m≥ -3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法的适用条件
2. 平方的非负性
3. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题，核心考查直接开平方法解方程的前提，只要掌握平方数的非负性，即可快速列式求解。
【难度系数】
0.9
2 如果$x=4$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x = a^2$的一个根，那么常数$a$的值为（
A.2
B.$-2$
C.$\pm2$
D.$\pm4$
C
）A.2
B.$-2$
C.$\pm2$
D.$\pm4$
答案
2.C
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义和直接开平方法求解，思路如下：第一步，明确方程的根的意义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此把已知根x=4代入原方程，可得到关于a的方程；第二步，用直接开平方法解关于a的方程，即可求出a的取值。
【解析】
解：
∵x=4是一元二次方程$x^2 - 3x = a^2$的一个根
∴将x=4代入方程，等式成立：
$4^2 - 3×4 = a^2$
计算方程左侧：$16-12=4$
可得$a^2=4$
对等式两边直接开平方，得$a=\pm2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握方程根的含义，将已知根代入原方程即可转化为常规的一元二次方程求解，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元二次方程根的定义和直接开平方法求解，思路如下：第一步，明确方程的根的意义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此把已知根x=4代入原方程，可得到关于a的方程；第二步，用直接开平方法解关于a的方程，即可求出a的取值。
【解析】
解：
∵x=4是一元二次方程$x^2 - 3x = a^2$的一个根
∴将x=4代入方程，等式成立：
$4^2 - 3×4 = a^2$
计算方程左侧：$16-12=4$
可得$a^2=4$
对等式两边直接开平方，得$a=\pm2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握方程根的含义，将已知根代入原方程即可转化为常规的一元二次方程求解，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
3（1）[2025贵州]方程$x^2 -1=0$的根为
（2）[2025常熟市段考]一元二次方程$(x-1)^2=2$的解为
$x_1=1,x_2=-1$
；（2）[2025常熟市段考]一元二次方程$(x-1)^2=2$的解为
$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
。答案
3.(1) $x_1=1,x_2=-1$ (2) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
解析
【分析】
这两道题均适用直接开平方法求解。第（1）题先把常数项移到等号右侧，变形为“完全平方式=非负常数”的形式，再根据平方根的定义开平方即可得到两个根；第（2）题本身已经是完全平方式等于非负常数的结构，直接对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程后分别求解即可，注意开平方时要同时取正负两个值，避免漏解。
【解析】
（1）对方程$x^2 -1=0$移项，得：
$x^2=1$
两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$
即$x_1=1,x_2=-1$。
（2）对方程$(x-1)^2=2$两边直接开平方，得：
$x-1=\pm\sqrt{2}$
移项得：
$x=1\pm\sqrt{2}$
即$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$x_1=1,x_2=-1$；（2）$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的定义
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时需注意开平方后要同时考虑正、负两个平方根，防止漏写负根。
【难度系数】
0.9
这两道题均适用直接开平方法求解。第（1）题先把常数项移到等号右侧，变形为“完全平方式=非负常数”的形式，再根据平方根的定义开平方即可得到两个根；第（2）题本身已经是完全平方式等于非负常数的结构，直接对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程后分别求解即可，注意开平方时要同时取正负两个值，避免漏解。
【解析】
（1）对方程$x^2 -1=0$移项，得：
$x^2=1$
两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$
即$x_1=1,x_2=-1$。
（2）对方程$(x-1)^2=2$两边直接开平方，得：
$x-1=\pm\sqrt{2}$
移项得：
$x=1\pm\sqrt{2}$
即$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$x_1=1,x_2=-1$；（2）$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的定义
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时需注意开平方后要同时考虑正、负两个平方根，防止漏写负根。
【难度系数】
0.9
4 用直接开平方法解下列方程：
(1) $\frac{1}{13}m^2=0$；
(2) $9x^2 -0.16=0$；
(3) $3(x+4)^2=15$；
(4) $(2x+3)^2=(3x+2)^2$；
(1) $\frac{1}{13}m^2=0$；
(2) $9x^2 -0.16=0$；
(3) $3(x+4)^2=15$；
(4) $(2x+3)^2=(3x+2)^2$；
答案
4.(1) $m_1=m_2=0$ (2) $x_1=\frac{2}{15},x_2=-\frac{2}{15}$ (3) $x_1=\sqrt{5}-4,x_2=-\sqrt{5}-4$ (4) $x_1=1,x_2=-1$
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程变形为“平方项等于非负常数”或“两个平方项相等”的形式，再利用平方根的性质：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$，分情况求解即可。
(1) 先将二次项系数化为1，得到$m^2=0$，开平方后即可得根；
(2) 先移项将常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，得到$x^2$等于正数，开平方取正负两个根；
(3) 将$(x+4)$看作整体，先把平方项的系数化为1，得到$(x+4)^2=5$，开平方后解关于x的一次方程即可；
(4) 等号两边都是完全平方式，直接开平方得到$2x+3=\pm(3x+2)$，分两种情况解一次方程即可。
【解析】
(1) 系数化为1，两边同时乘13，得$m^2=0$，
开平方得$m=0$，
∴ $m_1=m_2=0$；
(2) 移项，得$9x^2=0.16$，
系数化为1，得$x^2=\frac{0.16}{9}$，
开平方，得$x=\pm\frac{\sqrt{0.16}}{\sqrt{9}}=\pm\frac{0.4}{3}=\pm\frac{2}{15}$，
∴ $x_1=\frac{2}{15},x_2=-\frac{2}{15}$；
(3) 系数化为1，两边同时除以3，得$(x+4)^2=5$，
开平方，得$x+4=\pm\sqrt{5}$，
即$x+4=\sqrt{5}$或$x+4=-\sqrt{5}$，
解得$x_1=\sqrt{5}-4,x_2=-\sqrt{5}-4$；
(4) 开平方，得$2x+3=\pm(3x+2)$，
分两种情况：
① $2x+3=3x+2$，解得$x=1$；
② $2x+3=-(3x+2)$，去括号得$2x+3=-3x-2$，移项合并得$5x=-5$，解得$x=-1$，
∴ $x_1=1,x_2=-1$。
【答案】
(1) $m_1=m_2=0$
(2) $x_1=\frac{2}{15},x_2=-\frac{2}{15}$
(3) $x_1=\sqrt{5}-4,x_2=-\sqrt{5}-4$
(4) $x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质，一元二次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了该方法对应的几类典型方程形式，有助于熟练掌握直接开平方法的解题步骤，理解平方根性质在解方程中的应用。
【难度系数】
0.9
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程变形为“平方项等于非负常数”或“两个平方项相等”的形式，再利用平方根的性质：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$，分情况求解即可。
(1) 先将二次项系数化为1，得到$m^2=0$，开平方后即可得根；
(2) 先移项将常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，得到$x^2$等于正数，开平方取正负两个根；
(3) 将$(x+4)$看作整体，先把平方项的系数化为1，得到$(x+4)^2=5$，开平方后解关于x的一次方程即可；
(4) 等号两边都是完全平方式，直接开平方得到$2x+3=\pm(3x+2)$，分两种情况解一次方程即可。
【解析】
(1) 系数化为1，两边同时乘13，得$m^2=0$，
开平方得$m=0$，
∴ $m_1=m_2=0$；
(2) 移项，得$9x^2=0.16$，
系数化为1，得$x^2=\frac{0.16}{9}$，
开平方，得$x=\pm\frac{\sqrt{0.16}}{\sqrt{9}}=\pm\frac{0.4}{3}=\pm\frac{2}{15}$，
∴ $x_1=\frac{2}{15},x_2=-\frac{2}{15}$；
(3) 系数化为1，两边同时除以3，得$(x+4)^2=5$，
开平方，得$x+4=\pm\sqrt{5}$，
即$x+4=\sqrt{5}$或$x+4=-\sqrt{5}$，
解得$x_1=\sqrt{5}-4,x_2=-\sqrt{5}-4$；
(4) 开平方，得$2x+3=\pm(3x+2)$，
分两种情况：
① $2x+3=3x+2$，解得$x=1$；
② $2x+3=-(3x+2)$，去括号得$2x+3=-3x-2$，移项合并得$5x=-5$，解得$x=-1$，
∴ $x_1=1,x_2=-1$。
【答案】
(1) $m_1=m_2=0$
(2) $x_1=\frac{2}{15},x_2=-\frac{2}{15}$
(3) $x_1=\sqrt{5}-4,x_2=-\sqrt{5}-4$
(4) $x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质，一元二次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了该方法对应的几类典型方程形式，有助于熟练掌握直接开平方法的解题步骤，理解平方根性质在解方程中的应用。
【难度系数】
0.9
5 新考向 条件开放题 已知关于$x$的一元二次方程$(x-2)^2=16-m$，请你选取一个适当的$m$的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。
答案
5. 答案不唯一,如当$m=7$时,方程为$(x-2)^2=16-7$,即$(x-2)^2=9$,解得$x_1=5,x_2=-1$
解析
【分析】
要使用直接开平方法解一元二次方程，需满足方程等号右侧的部分为非负数，因此本题中需满足$16-m≥0$，即选取的$m$值只要满足$m≤16$都符合要求。我们可以选取便于计算的$m$值（如$m=7$，此时右侧为完全平方数，计算更简便），再按照直接开平方法的步骤求解即可。
【解析】
解：根据直接开平方法的适用要求，需满足$16-m≥0$，即$m≤16$，我们选取$m=7$（$m$值满足$m≤16$即可）。
将$m=7$代入原方程，得：
$(x-2)^2=16-7$
化简得：$(x-2)^2=9$
两边同时开平方，得：$x-2=\pm3$
即$x-2=3$或$x-2=-3$
分别解得：$x_1=5$，$x_2=-1$
【答案】
答案不唯一，如当$m=7$时，方程为$(x-2)^2=16-7$，即$(x-2)^2=9$，解得$x_1=5,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于条件开放类基础题，解题核心是明确直接开平方法的适用前提：一元二次方程变形后，等号一侧为含未知数的完全平方式，另一侧为非负数。选取符合要求的$m$值后代入按步骤求解即可，答案灵活多样。
【难度系数】
0.85
要使用直接开平方法解一元二次方程，需满足方程等号右侧的部分为非负数，因此本题中需满足$16-m≥0$，即选取的$m$值只要满足$m≤16$都符合要求。我们可以选取便于计算的$m$值（如$m=7$，此时右侧为完全平方数，计算更简便），再按照直接开平方法的步骤求解即可。
【解析】
解：根据直接开平方法的适用要求，需满足$16-m≥0$，即$m≤16$，我们选取$m=7$（$m$值满足$m≤16$即可）。
将$m=7$代入原方程，得：
$(x-2)^2=16-7$
化简得：$(x-2)^2=9$
两边同时开平方，得：$x-2=\pm3$
即$x-2=3$或$x-2=-3$
分别解得：$x_1=5$，$x_2=-1$
【答案】
答案不唯一，如当$m=7$时，方程为$(x-2)^2=16-7$，即$(x-2)^2=9$，解得$x_1=5,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于条件开放类基础题，解题核心是明确直接开平方法的适用前提：一元二次方程变形后，等号一侧为含未知数的完全平方式，另一侧为非负数。选取符合要求的$m$值后代入按步骤求解即可，答案灵活多样。
【难度系数】
0.85
6 [2025 张家港市期中]已知关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + x + a^2 -1 =0$的一个根是$x=0$，则$a$的值为（
A.1
B.$-1$
C.1或$-1$
D.$\frac{1}{2}$
B
）A.1
B.$-1$
C.1或$-1$
D.$\frac{1}{2}$
答案
6.B 【解析】$\because$ 关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + x + a^2 -1 =0$的一个根是$x=0,\therefore a^2-1=0$且$a-1≠0$,解得$a=-1$.
解析
【分析】
解题时要抓住两个核心要点：一是方程的根能使方程左右两边相等，二是一元二次方程的二次项系数不能为0。具体思路为：第一步将x=0代入原方程，求出a的所有可能取值；第二步结合一元二次方程的定义，排除不符合二次项系数不为0要求的a值，最终得到正确结果。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 + x + a^2 -1 =0$的一个根是$x=0$，
∴ 将$x=0$代入方程可得：$a^2 -1 =0$，解得$a=1$或$a=-1$，
又
∵ 一元二次方程的二次项系数不能为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$，
∴ 综上可得$a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的根的意义
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易忽略“一元二次方程”的隐含要求，即二次项系数不为0，直接根据根的条件解得a=±1后误选C。求解含参数的一元二次方程问题时，要先明确二次项系数不为0的限制条件，再结合其他已知条件计算。
【难度系数】
0.6
解题时要抓住两个核心要点：一是方程的根能使方程左右两边相等，二是一元二次方程的二次项系数不能为0。具体思路为：第一步将x=0代入原方程，求出a的所有可能取值；第二步结合一元二次方程的定义，排除不符合二次项系数不为0要求的a值，最终得到正确结果。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 + x + a^2 -1 =0$的一个根是$x=0$，
∴ 将$x=0$代入方程可得：$a^2 -1 =0$，解得$a=1$或$a=-1$，
又
∵ 一元二次方程的二次项系数不能为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$，
∴ 综上可得$a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的根的意义
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易忽略“一元二次方程”的隐含要求，即二次项系数不为0，直接根据根的条件解得a=±1后误选C。求解含参数的一元二次方程问题时，要先明确二次项系数不为0的限制条件，再结合其他已知条件计算。
【难度系数】
0.6
