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8（易错题）若关于$x$的一元二次方程$(a-7)x^2 + x + |a| -7 =0$的一个根是$x=0$，则实数$a$的值为（
A.$-7$
B.$0$
C.$7$
D.$-7$或$7$
A
）A.$-7$
B.$0$
C.$7$
D.$-7$或$7$
答案
A
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据方程根的定义，将x=0代入原方程，求出a的可能取值；第二步，结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，对得到的a的候选值进行筛选，最终得到正确结果。解题时要注意不要忽略“一元二次方程”这个隐含的限制条件，避免多选错误选项。
【解析】
1. 将根x=0代入原方程，可得：
$(a-7)×0^2 + 0 + |a| -7 = 0$
化简得$|a| -7 = 0$，解得$a=7$或$a=-7$。
2. 因为原方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$a-7 ≠ 0$，解得$a ≠ 7$。
3. 综上，排除$a=7$，可得$a=-7$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的根的定义
【点评】
本题属于易错题，易错点是很多同学只利用根的条件求出a=±7后，忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求，误选D。解题时要注意审题，充分挖掘题干中的限制条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
解题思路分为两步：第一步，根据方程根的定义，将x=0代入原方程，求出a的可能取值；第二步，结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，对得到的a的候选值进行筛选，最终得到正确结果。解题时要注意不要忽略“一元二次方程”这个隐含的限制条件，避免多选错误选项。
【解析】
1. 将根x=0代入原方程，可得：
$(a-7)×0^2 + 0 + |a| -7 = 0$
化简得$|a| -7 = 0$，解得$a=7$或$a=-7$。
2. 因为原方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$a-7 ≠ 0$，解得$a ≠ 7$。
3. 综上，排除$a=7$，可得$a=-7$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的根的定义
【点评】
本题属于易错题，易错点是很多同学只利用根的条件求出a=±7后，忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求，误选D。解题时要注意审题，充分挖掘题干中的限制条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
9 [2025常熟市一模]已知$x=a$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的一个根，则代数式$2a^2 - 6a + 3$的值为
1
。答案
1
解析
【分析】
解题时首先从一元二次方程根的定义切入：方程的根代入原方程后等式成立，因此先把x=a代入给定的一元二次方程，得到关于a的等式；再观察待求代数式的结构，发现待求式的前两项是得到的等式左边部分的2倍，因此采用整体代入法计算即可，无需解出a的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵x=a是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的一个根，
∴将x=a代入方程，得：$a^2 - 3a + 1 = 0$，
整理可得：$a^2 - 3a = -1$。
对待求代数式变形：
$2a^2 - 6a + 3 = 2(a^2 - 3a) + 3$，
将$a^2 - 3a = -1$代入上式：
原式$=2×(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入法求值
【点评】
本题是基础常考题型，重点考查对一元二次方程根的概念的理解，以及整体代入思想在代数式求值中的应用，能让学生体会到整体代换比直接求解参数更简便的优势。
【难度系数】
0.8
解题时首先从一元二次方程根的定义切入：方程的根代入原方程后等式成立，因此先把x=a代入给定的一元二次方程，得到关于a的等式；再观察待求代数式的结构，发现待求式的前两项是得到的等式左边部分的2倍，因此采用整体代入法计算即可，无需解出a的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵x=a是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的一个根，
∴将x=a代入方程，得：$a^2 - 3a + 1 = 0$，
整理可得：$a^2 - 3a = -1$。
对待求代数式变形：
$2a^2 - 6a + 3 = 2(a^2 - 3a) + 3$，
将$a^2 - 3a = -1$代入上式：
原式$=2×(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入法求值
【点评】
本题是基础常考题型，重点考查对一元二次方程根的概念的理解，以及整体代入思想在代数式求值中的应用，能让学生体会到整体代换比直接求解参数更简便的优势。
【难度系数】
0.8
10 整体思想 若$m$是方程$x^2 -2x -1=0$的根，则$m^2 + \frac{1}{m^2}$的值为
6
。答案
6
【解析】$\because m$是方程$x^2-2x-1=0$的根,$\therefore m^2-2m-1=0$,且$m≠0$,$\therefore m-2-\frac{1}{m}=0$,即$m-\frac{1}{m}=2$.两边分别平方,得$(m-\frac{1}{m})^2=4$,即$m^2-2+\frac{1}{m^2}=4$,$\therefore m^2+\frac{1}{m^2}=6$.
【解析】$\because m$是方程$x^2-2x-1=0$的根,$\therefore m^2-2m-1=0$,且$m≠0$,$\therefore m-2-\frac{1}{m}=0$,即$m-\frac{1}{m}=2$.两边分别平方,得$(m-\frac{1}{m})^2=4$,即$m^2-2+\frac{1}{m^2}=4$,$\therefore m^2+\frac{1}{m^2}=6$.
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程可得到关于m的等式；观察所求代数式$m^2+\frac{1}{m^2}$的结构，可联想到完全平方公式的变形形式，因此需要先得到$m$与$\frac{1}{m}$的和或差的关系。首先可判断m≠0（若m=0代入原方程左边为-1≠0，不成立），因此可将关于m的等式两边同时除以m，整理得到$m-\frac{1}{m}$的值，再将其两边平方，结合完全平方公式展开后，通过整体代入即可求出目标代数式的值，无需单独求解m的具体值。
【解析】
∵m是方程$x^2-2x-1=0$的根，
∴将x=m代入方程得：$m^2-2m-1=0$，且$m≠0$（若$m=0$，等式左边=-1≠0，矛盾），
将等式两边同时除以m，得：$m - 2 - \frac{1}{m}=0$，整理得$m-\frac{1}{m}=2$，
将等式两边同时平方，得：$(m-\frac{1}{m})^2=2^2$，
根据完全平方公式展开左边：$m^2 - 2· m· \frac{1}{m} + \frac{1}{m^2}=4$，即$m^2 - 2 + \frac{1}{m^2}=4$，
移项整理得：$m^2+\frac{1}{m^2}=4+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查代数变形能力，无需单独求出m的具体值，通过利用方程根的性质、完全平方公式的变形，结合整体代入思想即可快速求解，能有效检验学生对代数变形技巧的掌握程度。
【难度系数】
0.7
首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程可得到关于m的等式；观察所求代数式$m^2+\frac{1}{m^2}$的结构，可联想到完全平方公式的变形形式，因此需要先得到$m$与$\frac{1}{m}$的和或差的关系。首先可判断m≠0（若m=0代入原方程左边为-1≠0，不成立），因此可将关于m的等式两边同时除以m，整理得到$m-\frac{1}{m}$的值，再将其两边平方，结合完全平方公式展开后，通过整体代入即可求出目标代数式的值，无需单独求解m的具体值。
【解析】
∵m是方程$x^2-2x-1=0$的根，
∴将x=m代入方程得：$m^2-2m-1=0$，且$m≠0$（若$m=0$，等式左边=-1≠0，矛盾），
将等式两边同时除以m，得：$m - 2 - \frac{1}{m}=0$，整理得$m-\frac{1}{m}=2$，
将等式两边同时平方，得：$(m-\frac{1}{m})^2=2^2$，
根据完全平方公式展开左边：$m^2 - 2· m· \frac{1}{m} + \frac{1}{m^2}=4$，即$m^2 - 2 + \frac{1}{m^2}=4$，
移项整理得：$m^2+\frac{1}{m^2}=4+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查代数变形能力，无需单独求出m的具体值，通过利用方程根的性质、完全平方公式的变形，结合整体代入思想即可快速求解，能有效检验学生对代数变形技巧的掌握程度。
【难度系数】
0.7
11 教材变式题 把下面的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) $(x+4)(x-3)=12$；
(2) $(x+2)^2 - 2x(x-2)=4x+4$.
(1) $(x+4)(x-3)=12$；
(2) $(x+2)^2 - 2x(x-2)=4x+4$.
答案
（1）$x^2+x-24=0$ 它的二次项系数为1,一次项系数为1,常数项为$-24$
（2）$-x^2+4x=0$ 它的二次项系数为$-1$,一次项系数为4,常数项为0
（2）$-x^2+4x=0$ 它的二次项系数为$-1$,一次项系数为4,常数项为0
解析
【分析】
要将方程化为一元二次方程的一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题步骤如下：第一步先利用整式乘法的运算法则（多项式乘多项式、完全平方公式等）去掉方程中的括号；第二步将所有项移到方程左边，使右边为0；第三步合并同类项，再将左边按$x$的降幂排列，即可得到一般形式。最后根据一般形式，对应找出二次项系数（$x^2$项的系数，带符号）、一次项系数（$x$项的系数，带符号）和常数项（不含未知数的项，带符号）即可。
【解析】
(1) 先展开左边的多项式乘积：
$(x+4)(x-3)=x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$
原方程变为$x^2 + x - 12 = 12$，移项、合并同类项得：
$x^2 + x - 24 = 0$
因此二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为$-24$。
(2) 先分别展开方程左边的完全平方和单项式乘多项式：
$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$，$-2x(x-2) = -2x^2 + 4x$
左边合并后为$x^2 + 4x + 4 - 2x^2 + 4x = -x^2 + 8x + 4$
原方程变为$-x^2 + 8x + 4 = 4x + 4$，移项、合并同类项得：
$-x^2 + 4x = 0$
因此二次项系数为$-1$，一次项系数为4，常数项为0。
【答案】
（1）一般形式为$x^2+x-24=0$，二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为$-24$；
（2）一般形式为$-x^2+4x=0$，二次项系数为$-1$，一次项系数为4，常数项为0。
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式的乘法运算；合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查方程整理变形的能力，解题时要注意去括号、移项时的符号问题，提取各项系数时要带上前面的正负号，常数项为0时也需要明确说明，不要遗漏。
【难度系数】
0.8
要将方程化为一元二次方程的一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题步骤如下：第一步先利用整式乘法的运算法则（多项式乘多项式、完全平方公式等）去掉方程中的括号；第二步将所有项移到方程左边，使右边为0；第三步合并同类项，再将左边按$x$的降幂排列，即可得到一般形式。最后根据一般形式，对应找出二次项系数（$x^2$项的系数，带符号）、一次项系数（$x$项的系数，带符号）和常数项（不含未知数的项，带符号）即可。
【解析】
(1) 先展开左边的多项式乘积：
$(x+4)(x-3)=x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$
原方程变为$x^2 + x - 12 = 12$，移项、合并同类项得：
$x^2 + x - 24 = 0$
因此二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为$-24$。
(2) 先分别展开方程左边的完全平方和单项式乘多项式：
$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$，$-2x(x-2) = -2x^2 + 4x$
左边合并后为$x^2 + 4x + 4 - 2x^2 + 4x = -x^2 + 8x + 4$
原方程变为$-x^2 + 8x + 4 = 4x + 4$，移项、合并同类项得：
$-x^2 + 4x = 0$
因此二次项系数为$-1$，一次项系数为4，常数项为0。
【答案】
（1）一般形式为$x^2+x-24=0$，二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为$-24$；
（2）一般形式为$-x^2+4x=0$，二次项系数为$-1$，一次项系数为4，常数项为0。
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式的乘法运算；合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查方程整理变形的能力，解题时要注意去括号、移项时的符号问题，提取各项系数时要带上前面的正负号，常数项为0时也需要明确说明，不要遗漏。
【难度系数】
0.8
12 已知关于$x$的方程$(m-1)x^{m^2+1}+(m-2)x-1=0$，回答下面的问题：
（1）若方程是一元二次方程，求$m$的值.
（2）若方程是一元一次方程，则$m$的值是否存在？若存在，请求出$m$的值，并求出方程的解.
（1）若方程是一元二次方程，求$m$的值.
（2）若方程是一元一次方程，则$m$的值是否存在？若存在，请求出$m$的值，并求出方程的解.
答案
（1）根据题意,得$m^2+1=2$,且$m-1≠0$,解得$m=-1$
（2）存在 有两种情况:① 当满足$m^2+1=1$,且$(m-1)+(m-2)≠0$,即$m=0$时,方程变为$-3x-1=0$,解得$x=-\frac{1}{3}$;② 当满足$m-1=0$,且$m-2≠0$,即$m=1$时,方程变为$-x-1=0$,解得$x=-1$
（2）存在 有两种情况:① 当满足$m^2+1=1$,且$(m-1)+(m-2)≠0$,即$m=0$时,方程变为$-3x-1=0$,解得$x=-\frac{1}{3}$;② 当满足$m-1=0$,且$m-2≠0$,即$m=1$时,方程变为$-x-1=0$,解得$x=-1$
解析
【分析】
（1）判定一元二次方程需满足两个核心条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0，我们只需根据这两个条件列等式和不等式求解m即可。
（2）判定一元一次方程需分两类情况讨论：第一类是原方程最高次项的次数为1，且合并后一次项系数不为0；第二类是原二次项系数为0，剩余的一次项系数不为0，分别按对应条件求解m后代入方程，即可解出一元一次方程的根。
【解析】
（1）若方程是一元二次方程，根据定义得：
$\begin{cases}m^2+1=2\\m-1≠0\end{cases}$
解$m^2+1=2$得$m=\pm1$，结合$m-1≠0$即$m≠1$，可得$m=-1$。
（2）m的值存在，分两种情况讨论：
① 当$m^2+1=1$，且合并后的一次项系数不为0时，方程为一元一次方程：
解$m^2+1=1$得$m=0$，此时一次项系数$(m-1)+(m-2)=-3≠0$，符合要求。
将$m=0$代入原方程得$-3x-1=0$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
② 当二次项系数为0，且剩余一次项系数不为0时，方程为一元一次方程：
即$\begin{cases}m-1=0\\m-2≠0\end{cases}$，解得$m=1$，此时$m-2=-1≠0$，符合要求。
将$m=1$代入原方程得$-x-1=0$，解得$x=-1$。
【答案】
（1）$m=-1$
（2）存在，$m$的值为0或1；当$m=0$时，方程的解为$x=-\frac{1}{3}$；当$m=1$时，方程的解为$x=-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查整式方程的分类判定，解题时要注意最高次项系数不为0的隐含条件，涉及含参数的一次方程判定时要全面梳理所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）判定一元二次方程需满足两个核心条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0，我们只需根据这两个条件列等式和不等式求解m即可。
（2）判定一元一次方程需分两类情况讨论：第一类是原方程最高次项的次数为1，且合并后一次项系数不为0；第二类是原二次项系数为0，剩余的一次项系数不为0，分别按对应条件求解m后代入方程，即可解出一元一次方程的根。
【解析】
（1）若方程是一元二次方程，根据定义得：
$\begin{cases}m^2+1=2\\m-1≠0\end{cases}$
解$m^2+1=2$得$m=\pm1$，结合$m-1≠0$即$m≠1$，可得$m=-1$。
（2）m的值存在，分两种情况讨论：
① 当$m^2+1=1$，且合并后的一次项系数不为0时，方程为一元一次方程：
解$m^2+1=1$得$m=0$，此时一次项系数$(m-1)+(m-2)=-3≠0$，符合要求。
将$m=0$代入原方程得$-3x-1=0$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
② 当二次项系数为0，且剩余一次项系数不为0时，方程为一元一次方程：
即$\begin{cases}m-1=0\\m-2≠0\end{cases}$，解得$m=1$，此时$m-2=-1≠0$，符合要求。
将$m=1$代入原方程得$-x-1=0$，解得$x=-1$。
【答案】
（1）$m=-1$
（2）存在，$m$的值为0或1；当$m=0$时，方程的解为$x=-\frac{1}{3}$；当$m=1$时，方程的解为$x=-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查整式方程的分类判定，解题时要注意最高次项系数不为0的隐含条件，涉及含参数的一次方程判定时要全面梳理所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13 若$x_0$是方程$ax^2+2x+c=0(a≠0)$的一个根，设$M=1-ac$，$N=(ax_0+1)^2$，试比较$M$与$N$的大小。
答案
$\because x_0$是方程$ax^2+2x+c=0(a≠0)$的一个根,$\therefore ax_0^2+2x_0+c=0$,即$ax_0^2=-2x_0-c$,$\therefore N=(ax_0+1)^2=a^2x_0^2+2ax_0+1=a(-2x_0-c)+2ax_0+1=1-ac$.$\because M=1-ac$,$\therefore M=N$
解析
【分析】
要比较M和N的大小，首先利用一元二次方程根的定义，将根$x_0$代入原方程得到等量关系，再把N展开，用得到的等量关系替换N中的高次项进行化简，最后将化简结果和M对比即可得到两者的大小关系，核心是运用整体代换思想消去含$x_0$的项。
【解析】
$\because x_0$是方程$ax^2+2x+c=0(a≠0)$的一个根，
$\therefore$将$x=x_0$代入方程得：$ax_0^2+2x_0+c=0$，即$ax_0^2=-2x_0-c$，
对N展开得：$N=(ax_0+1)^2=a^2x_0^2+2ax_0+1$，
将$ax_0^2=-2x_0-c$代入上式：
$N=a(-2x_0-c)+2ax_0+1=-2ax_0-ac+2ax_0+1=1-ac$，
又$\because M=1-ac$，
$\therefore M=N$。
【答案】
$M=N$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.整式化简 3.代数式大小比较
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的基础应用题型，解题关键是牢记“方程的根代入原方程等式成立”的性质，通过整体代换简化运算，无需直接求解$x_0$即可得到结果。
【难度系数】
0.7
要比较M和N的大小，首先利用一元二次方程根的定义，将根$x_0$代入原方程得到等量关系，再把N展开，用得到的等量关系替换N中的高次项进行化简，最后将化简结果和M对比即可得到两者的大小关系，核心是运用整体代换思想消去含$x_0$的项。
【解析】
$\because x_0$是方程$ax^2+2x+c=0(a≠0)$的一个根，
$\therefore$将$x=x_0$代入方程得：$ax_0^2+2x_0+c=0$，即$ax_0^2=-2x_0-c$，
对N展开得：$N=(ax_0+1)^2=a^2x_0^2+2ax_0+1$，
将$ax_0^2=-2x_0-c$代入上式：
$N=a(-2x_0-c)+2ax_0+1=-2ax_0-ac+2ax_0+1=1-ac$，
又$\because M=1-ac$，
$\therefore M=N$。
【答案】
$M=N$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.整式化简 3.代数式大小比较
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的基础应用题型，解题关键是牢记“方程的根代入原方程等式成立”的性质，通过整体代换简化运算，无需直接求解$x_0$即可得到结果。
【难度系数】
0.7
