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1 将一元二次方程$-3x^2 - 2 = -4x$化成一般形式$ax^2 + bx + c = 0(a＞0)$后，一次项和常数项分别是（
A.$-4,2$
B.$-4x,2$
C.$4x,-2$
D.$3x^2,2$
B
）A.$-4,2$
B.$-4x,2$
C.$4x,-2$
D.$3x^2,2$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需按照明确的步骤思考：首先回忆一元二次方程一般形式的定义，结合题干要求$a＞0$的条件，先将原方程所有项移到等号同侧，再调整二次项系数为正，得到符合要求的一般形式，最后对应识别一次项和常数项即可，注意项要包含本身的符号，一次项需保留未知数$x$。
【解析】
1. 对原方程移项，将右侧的$-4x$移到左侧，得：
$\quad -3x^2 + 4x - 2 = 0$
2. 由于要求二次项系数$a＞0$，将方程左右两边同时乘$-1$，得到符合要求的一般形式：
$\quad 3x^2 - 4x + 2 = 0$
3. 识别各项：二次项为$3x^2$，一次项为$-4x$，常数项为$2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 等式的基本性质
【点评】
本题是基础概念题，易错点有两处：一是忽略题干$a＞0$的要求，直接用移项后二次项系数为负的形式判断；二是确定项的时候漏带符号，或者一次项遗漏未知数$x$，解题时需注意规避这两类错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需按照明确的步骤思考：首先回忆一元二次方程一般形式的定义，结合题干要求$a＞0$的条件，先将原方程所有项移到等号同侧，再调整二次项系数为正，得到符合要求的一般形式，最后对应识别一次项和常数项即可，注意项要包含本身的符号，一次项需保留未知数$x$。
【解析】
1. 对原方程移项，将右侧的$-4x$移到左侧，得：
$\quad -3x^2 + 4x - 2 = 0$
2. 由于要求二次项系数$a＞0$，将方程左右两边同时乘$-1$，得到符合要求的一般形式：
$\quad 3x^2 - 4x + 2 = 0$
3. 识别各项：二次项为$3x^2$，一次项为$-4x$，常数项为$2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 等式的基本性质
【点评】
本题是基础概念题，易错点有两处：一是忽略题干$a＞0$的要求，直接用移项后二次项系数为负的形式判断；二是确定项的时候漏带符号，或者一次项遗漏未知数$x$，解题时需注意规避这两类错误。
【难度系数】
0.8
2 [2025 苏州期中]若关于x的一元二次方程$x^2 -kx +8=0$有一根为2，则k的值是（
A.0
B.2
C.4
D.6
D
）A.0
B.2
C.4
D.6
答案
D
解析
【分析】
已知一元二次方程的一个根求参数值，解题核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。我们只需将已知的根x=2代入原方程，就能得到只含参数k的一元一次方程，解该方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵x=2是一元二次方程$x^2 -kx +8=0$的根，
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$2^2 - 2k + 8 = 0$
计算得：$4 - 2k + 8 = 0$
合并同类项：$12 - 2k = 0$
移项得：$2k = 12$
解得：$k = 6$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元二次方程根的概念的理解与应用，牢记“方程的根满足原方程”这一核心要点即可快速求解，是一元二次方程章节的常规基础考点。
【难度系数】
0.9
已知一元二次方程的一个根求参数值，解题核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。我们只需将已知的根x=2代入原方程，就能得到只含参数k的一元一次方程，解该方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵x=2是一元二次方程$x^2 -kx +8=0$的根，
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$2^2 - 2k + 8 = 0$
计算得：$4 - 2k + 8 = 0$
合并同类项：$12 - 2k = 0$
移项得：$2k = 12$
解得：$k = 6$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元二次方程根的概念的理解与应用，牢记“方程的根满足原方程”这一核心要点即可快速求解，是一元二次方程章节的常规基础考点。
【难度系数】
0.9
3 有下列方程:① $2x^2 - x + \frac{3}{x} = 0$;② $(x-2)^2 = 2x(x-2)$;③ $cx^2 + bx + a = 0$;④ $(x-1)(2x+3)=0$;⑤ $mx^2 -3x +5=2x^2(m≠0)$. 其中,一定属于一元二次方程的是
②④
(填序号).答案
②④
解析
【分析】
要判断方程是否为一元二次方程，首先明确一元二次方程的4个判定条件：1. 是整式方程；2. 只含有1个未知数；3. 未知数的最高次数为2；4. 二次项系数不为0。接下来我们按以上条件逐个验证每个方程即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个方程：
① $2x^2 - x + \frac{3}{x} = 0$：式子中含有分式$\frac{3}{x}$，不属于整式方程，不符合一元二次方程的要求。
② $(x-2)^2 = 2x(x-2)$：先整理为一般形式，展开得$x^2-4x+4=2x^2-4x$，移项合并同类项得$-x^2+4=0$，满足整式方程、只含未知数x、最高次数为2、二次项系数-1≠0，属于一元二次方程。
③ $cx^2 + bx + a = 0$：未说明二次项系数c≠0，若c=0时方程为一次方程，因此不一定是一元二次方程。
④ $(x-1)(2x+3)=0$：展开整理得$2x^2+x-3=0$，满足整式方程、只含未知数x、最高次数为2、二次项系数2≠0，属于一元二次方程。
⑤ $mx^2 -3x +5=2x^2(m≠0)$：整理得$(m-2)x^2-3x+5=0$，仅已知m≠0，若m=2时二次项系数为0，方程变为一次方程，因此不一定是一元二次方程。
综上，一定属于一元二次方程的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题考查一元二次方程的判定，解题时要注意不能仅看表面形式，需先将方程整理为一般形式，同时要注意二次项系数不为0的隐含要求，还要区分整式方程和分式方程，避免出现误判。
【难度系数】
0.7
要判断方程是否为一元二次方程，首先明确一元二次方程的4个判定条件：1. 是整式方程；2. 只含有1个未知数；3. 未知数的最高次数为2；4. 二次项系数不为0。接下来我们按以上条件逐个验证每个方程即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个方程：
① $2x^2 - x + \frac{3}{x} = 0$：式子中含有分式$\frac{3}{x}$，不属于整式方程，不符合一元二次方程的要求。
② $(x-2)^2 = 2x(x-2)$：先整理为一般形式，展开得$x^2-4x+4=2x^2-4x$，移项合并同类项得$-x^2+4=0$，满足整式方程、只含未知数x、最高次数为2、二次项系数-1≠0，属于一元二次方程。
③ $cx^2 + bx + a = 0$：未说明二次项系数c≠0，若c=0时方程为一次方程，因此不一定是一元二次方程。
④ $(x-1)(2x+3)=0$：展开整理得$2x^2+x-3=0$，满足整式方程、只含未知数x、最高次数为2、二次项系数2≠0，属于一元二次方程。
⑤ $mx^2 -3x +5=2x^2(m≠0)$：整理得$(m-2)x^2-3x+5=0$，仅已知m≠0，若m=2时二次项系数为0，方程变为一次方程，因此不一定是一元二次方程。
综上，一定属于一元二次方程的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题考查一元二次方程的判定，解题时要注意不能仅看表面形式，需先将方程整理为一般形式，同时要注意二次项系数不为0的隐含要求，还要区分整式方程和分式方程，避免出现误判。
【难度系数】
0.7
4 [2025 苏州工业园区期中]已知关于x的方程$x^2 + mx - 3 = 0$的一个根是1，则m的值为
2
。答案
2
解析
【分析】
已知x=1是方程的根，根据方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此我们可以将x=1代入原方程，得到只含有未知数m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的值。
【解析】
把$x=1$代入方程$x^2 + mx - 3 = 0$，得：
$1^2 + m×1 - 3 = 0$
化简得：$1 + m - 3 = 0$
整理得：$m - 2 = 0$
解得：$m=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题考查方程根的定义的基本应用，解题关键是明确根满足原方程，代入后转化为关于未知参数的方程求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
已知x=1是方程的根，根据方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此我们可以将x=1代入原方程，得到只含有未知数m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的值。
【解析】
把$x=1$代入方程$x^2 + mx - 3 = 0$，得：
$1^2 + m×1 - 3 = 0$
化简得：$1 + m - 3 = 0$
整理得：$m - 2 = 0$
解得：$m=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题考查方程根的定义的基本应用，解题关键是明确根满足原方程，代入后转化为关于未知参数的方程求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
5 [2025新疆]如图,小明在数学综合实践活动中,利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m²的矩形场地.设矩形的宽为x m,则可列方程为
$x(24-2x)=40$
.答案
$x(24-2x)=40$
解析
【分析】
解题时首先要明确围栏的构成：由于矩形一边靠墙（墙足够长），因此24m长的围栏只需要围矩形的2条宽边和1条长边。已知矩形的宽为x m，可先表示出矩形的长，再根据“矩形面积=长×宽”的等量关系列方程即可。
【解析】
解：设矩形的宽为x m，
∵围栏总长为24m，且只围2条宽和1条长，
∴矩形的长为$(24-2x)$m，
又
∵矩形场地的面积为$40\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式：面积=长×宽，
∴可列方程：$x(24-2x)=40$。
【答案】
$x(24-2x)=40$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是方程在实际几何问题中的典型基础题，解题核心是结合靠墙的条件正确表示出矩形的长，再结合面积公式建立等量关系，易错点是容易忽略围栏包含2条宽边，错误将长表示为$(24-x)$。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确围栏的构成：由于矩形一边靠墙（墙足够长），因此24m长的围栏只需要围矩形的2条宽边和1条长边。已知矩形的宽为x m，可先表示出矩形的长，再根据“矩形面积=长×宽”的等量关系列方程即可。
【解析】
解：设矩形的宽为x m，
∵围栏总长为24m，且只围2条宽和1条长，
∴矩形的长为$(24-2x)$m，
又
∵矩形场地的面积为$40\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式：面积=长×宽，
∴可列方程：$x(24-2x)=40$。
【答案】
$x(24-2x)=40$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是方程在实际几何问题中的典型基础题，解题核心是结合靠墙的条件正确表示出矩形的长，再结合面积公式建立等量关系，易错点是容易忽略围栏包含2条宽边，错误将长表示为$(24-x)$。
【难度系数】
0.8
6 教材变式题 根据题意列方程：
（1）已知两个连续奇数的平方和为74，求这两个奇数。
（2）某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为50元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为40元/个。求大熊猫玩偶两次降价的平均降价率。
（3）如图，一架5 m长的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3 m。如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求该梯子底端滑动的距离。
（1）已知两个连续奇数的平方和为74，求这两个奇数。
（2）某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为50元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为40元/个。求大熊猫玩偶两次降价的平均降价率。
（3）如图，一架5 m长的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3 m。如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求该梯子底端滑动的距离。
答案
（1）设这两个奇数分别为$x,x+2$.根据题意,得$x^2+(x+2)^2=74$
（2）设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为$x$.根据题意,得$50(1-x)^2=40$
（3）设该梯子底端滑动的距离为$x$ m.$\because \sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{m}),\therefore$ 根据题意,得$(4-x)^2+(3+x)^2=5^2$
（2）设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为$x$.根据题意,得$50(1-x)^2=40$
（3）设该梯子底端滑动的距离为$x$ m.$\because \sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{m}),\therefore$ 根据题意,得$(4-x)^2+(3+x)^2=5^2$
解析
【分析】
（1）连续奇数的差值为2，我们可以设较小的奇数为x，较大的奇数就为x+2，题干给出等量关系为两个奇数的平方和是74，对应列出方程即可；
（2）平均降价率问题中，每次降价后的价格=降价前价格×(1-降价率)，两次降价就是在原价基础上乘两次(1-降价率)，已知原价和两次降价后的价格，对应等量关系列方程即可；
（3）先利用勾股定理算出梯子顶端初始的高度，设滑动距离为x m，滑动后梯子顶端高度为初始高度减去x，底端距墙的距离为3m加x，梯子长度始终为5m，再结合勾股定理列方程即可。
【解析】
（1）设较小的连续奇数为$x$，则较大的连续奇数为$x+2$，根据两个连续奇数平方和为74的条件，列方程得：$x^2+(x+2)^2=74$；
（2）设两次降价的平均降价率为$x$，第一次降价后价格为$50(1-x)$元，第二次降价后价格为$50(1-x)^2$元，结合两次降价后标价为40元的条件，列方程得：$50(1-x)^2=40$；
（3）首先由勾股定理计算初始状态下梯子顶端距地面高度：$\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{m})$，设梯子底端滑动的距离为$x$ m，滑动后顶端距地面$(4-x)$m，底端距墙$(3+x)$m，梯子长度不变仍为5m，由勾股定理列方程得：$(4-x)^2+(3+x)^2=5^2$。
【答案】
（1）设这两个奇数分别为$x,x+2$，得$x^2+(x+2)^2=74$
（2）设平均降价率为$x$，得$50(1-x)^2=40$
（3）设滑动距离为$x$ m，得$(4-x)^2+(3+x)^2=5^2$
【知识点】
一元二次方程应用，平均变化率问题，勾股定理
【点评】
本题属于一元二次方程列写的基础题，覆盖了数字类、变化率类、几何类三类常见的应用场景，解题关键是找准题干中的等量关系，合理设未知数即可快速列出对应方程。
【难度系数】
0.8
（1）连续奇数的差值为2，我们可以设较小的奇数为x，较大的奇数就为x+2，题干给出等量关系为两个奇数的平方和是74，对应列出方程即可；
（2）平均降价率问题中，每次降价后的价格=降价前价格×(1-降价率)，两次降价就是在原价基础上乘两次(1-降价率)，已知原价和两次降价后的价格，对应等量关系列方程即可；
（3）先利用勾股定理算出梯子顶端初始的高度，设滑动距离为x m，滑动后梯子顶端高度为初始高度减去x，底端距墙的距离为3m加x，梯子长度始终为5m，再结合勾股定理列方程即可。
【解析】
（1）设较小的连续奇数为$x$，则较大的连续奇数为$x+2$，根据两个连续奇数平方和为74的条件，列方程得：$x^2+(x+2)^2=74$；
（2）设两次降价的平均降价率为$x$，第一次降价后价格为$50(1-x)$元，第二次降价后价格为$50(1-x)^2$元，结合两次降价后标价为40元的条件，列方程得：$50(1-x)^2=40$；
（3）首先由勾股定理计算初始状态下梯子顶端距地面高度：$\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{m})$，设梯子底端滑动的距离为$x$ m，滑动后顶端距地面$(4-x)$m，底端距墙$(3+x)$m，梯子长度不变仍为5m，由勾股定理列方程得：$(4-x)^2+(3+x)^2=5^2$。
【答案】
（1）设这两个奇数分别为$x,x+2$，得$x^2+(x+2)^2=74$
（2）设平均降价率为$x$，得$50(1-x)^2=40$
（3）设滑动距离为$x$ m，得$(4-x)^2+(3+x)^2=5^2$
【知识点】
一元二次方程应用，平均变化率问题，勾股定理
【点评】
本题属于一元二次方程列写的基础题，覆盖了数字类、变化率类、几何类三类常见的应用场景，解题关键是找准题干中的等量关系，合理设未知数即可快速列出对应方程。
【难度系数】
0.8
7 已知关于$x$的一元二次方程$(m-3)x^2 + m^2x =9x +5$化为一般形式后不含一次项，则$m$的值为（
A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
D
）A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确两个核心要求：一是该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是化为一般形式后不含一次项，即一次项系数为0。解题步骤为：先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再根据上述两个要求列等式和不等式，求解后排除不符合条件的$m$值即可。
【解析】
首先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$(m-3)x^2 + m^2x -9x -5 = 0$
合并同类项得：
$(m-3)x^2 + (m^2 - 9)x - 5 = 0$
1. 因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$m-3≠0$，解得$m≠3$
2. 因为方程不含一次项，所以一次项系数为0，即：
$m^2 - 9 = 0$，解得$m=\pm3$
结合第一步的限制条件$m≠3$，可得$m=-3$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、系数为0的判定
【点评】
本题易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接根据一次项系数为0得出$m=\pm3$错选B，解题时要注意结合一元二次方程的定义验证结果，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要明确两个核心要求：一是该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是化为一般形式后不含一次项，即一次项系数为0。解题步骤为：先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再根据上述两个要求列等式和不等式，求解后排除不符合条件的$m$值即可。
【解析】
首先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$(m-3)x^2 + m^2x -9x -5 = 0$
合并同类项得：
$(m-3)x^2 + (m^2 - 9)x - 5 = 0$
1. 因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$m-3≠0$，解得$m≠3$
2. 因为方程不含一次项，所以一次项系数为0，即：
$m^2 - 9 = 0$，解得$m=\pm3$
结合第一步的限制条件$m≠3$，可得$m=-3$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、系数为0的判定
【点评】
本题易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接根据一次项系数为0得出$m=\pm3$错选B，解题时要注意结合一元二次方程的定义验证结果，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.6
