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7 方程$x^2 - \sqrt{49}=0$的根是 （
A.$x_1=-7,x_2=7$
B.$x_1=x_2=7$
C.$x_1=x_2=\sqrt{7}$
D.$x_1=\sqrt{7},x_2=-\sqrt{7}$
D
）A.$x_1=-7,x_2=7$
B.$x_1=x_2=7$
C.$x_1=x_2=\sqrt{7}$
D.$x_1=\sqrt{7},x_2=-\sqrt{7}$
答案
7.D
解析
【分析】
解这道题首先要先化简方程中的二次根式项，再通过移项将方程变形为$x^2=a$（$a≥0$）的标准形式，最后利用直接开平方法结合平方根的定义求出方程的根，再匹配对应选项即可。解题时要注意区分$\sqrt{49}$的化简结果和$x^2$的值，避免混淆出错。
【解析】
第一步：化简二次根式，$\sqrt{49}=7$，原方程可变形为：
$x^2 - 7 = 0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 = 7$
第三步：根据平方根的定义，若$x^2=a$（$a≥0$），则$x=\pm\sqrt{a}$，对$x^2=7$开平方得：
$x_1=\sqrt{7}$，$x_2=-\sqrt{7}$
对比选项，D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 二次根式化简
3. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，设置了容易混淆的易错点，解题时要先准确化简常数项，再按照解方程的步骤规范计算，避免因误把$\sqrt{49}$的被开方数当成$x^2$的值选错答案。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要先化简方程中的二次根式项，再通过移项将方程变形为$x^2=a$（$a≥0$）的标准形式，最后利用直接开平方法结合平方根的定义求出方程的根，再匹配对应选项即可。解题时要注意区分$\sqrt{49}$的化简结果和$x^2$的值，避免混淆出错。
【解析】
第一步：化简二次根式，$\sqrt{49}=7$，原方程可变形为：
$x^2 - 7 = 0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 = 7$
第三步：根据平方根的定义，若$x^2=a$（$a≥0$），则$x=\pm\sqrt{a}$，对$x^2=7$开平方得：
$x_1=\sqrt{7}$，$x_2=-\sqrt{7}$
对比选项，D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 二次根式化简
3. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，设置了容易混淆的易错点，解题时要先准确化简常数项，再按照解方程的步骤规范计算，避免因误把$\sqrt{49}$的被开方数当成$x^2$的值选错答案。
【难度系数】
0.7
8 已知关于$x$的一元二次方程$(2x+5)^2 + 3n - 4 = 0$有实数根，则$n$的取值范围是
$n≤ \frac{4}{3}$
。答案
8. $n≤ \frac{4}{3}$
解析
【分析】
本题是已知含参数的一元二次方程有实数根，求参数的取值范围。结合直接开平方法的解题逻辑，首先可将方程变形为“完全平方式=常数”的形式，我们知道任意实数的平方均为非负数，因此要使方程有实数根，等号右侧的常数必须大于等于0，据此列出关于n的不等式，解不等式即可得到n的取值范围。
【解析】
对原方程移项可得：
$(2x+5)^2 = 4 - 3n$
∵ 关于$x$的一元二次方程有实数根，且平方数具有非负性，即$(2x+5)^2 ≥ 0$
∴ $4 - 3n ≥ 0$
解该不等式：
$-3n ≥ -4$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：
$n ≤ \frac{4}{3}$
【答案】
$n≤ \frac{4}{3}$
【知识点】
平方的非负性；直接开平方法解一元二次方程；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题核心是利用平方的非负性建立关于参数的不等式，主要考查对基础性质的掌握和简单运算能力，解题时注意解不等式时不等号方向的变化规则即可。
【难度系数】
0.8
本题是已知含参数的一元二次方程有实数根，求参数的取值范围。结合直接开平方法的解题逻辑，首先可将方程变形为“完全平方式=常数”的形式，我们知道任意实数的平方均为非负数，因此要使方程有实数根，等号右侧的常数必须大于等于0，据此列出关于n的不等式，解不等式即可得到n的取值范围。
【解析】
对原方程移项可得：
$(2x+5)^2 = 4 - 3n$
∵ 关于$x$的一元二次方程有实数根，且平方数具有非负性，即$(2x+5)^2 ≥ 0$
∴ $4 - 3n ≥ 0$
解该不等式：
$-3n ≥ -4$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：
$n ≤ \frac{4}{3}$
【答案】
$n≤ \frac{4}{3}$
【知识点】
平方的非负性；直接开平方法解一元二次方程；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题核心是利用平方的非负性建立关于参数的不等式，主要考查对基础性质的掌握和简单运算能力，解题时注意解不等式时不等号方向的变化规则即可。
【难度系数】
0.8
9 如果关于x的一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是$x_1 = m + 1$，$x_2 = 2m - 4$，那么$\frac{b}{a}$的值为
4
。答案
9. 4 【解析】由题意,可得$m+1+2m-4=0$,解得$m=1$,则$x_1=2,x_2=-2,\therefore x^2=4$.将$x^2=4$代入$ax^2=b$,得$\frac{b}{a}=4$.
解析
【分析】
解题时首先回忆直接开平方法解一元二次方程的特点：方程$ax^2=b(ab＞0)$可变形为$x^2=\frac{b}{a}$，因为$ab＞0$，所以$\frac{b}{a}$是正数，正数的两个平方根互为相反数，因此该方程的两个根之和为0。我们可以先利用两根之和为0列方程求出$m$的值，再代入根的表达式得到根的具体值，结合$x^2=\frac{b}{a}$即可求出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$ax^2=b(ab＞0)$可变形为$x^2=\frac{b}{a}$，
∴ 该方程的两个根互为相反数，即$x_1+x_2=0$，
将$x_1=m+1$，$x_2=2m-4$代入得：
$(m+1)+(2m-4)=0$，
解得$m=1$，
∴ $x_1=1+1=2$，$x_2=2×1-4=-2$，
∴ $x^2=4$，即$\frac{b}{a}=x^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质，相反数的性质
【点评】
本题属于基础题型，侧重考查直接开平方法解一元二次方程的应用，解题关键是掌握直接开平方所得的两个根互为相反数的性质，根据根的和建立关于参数的方程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆直接开平方法解一元二次方程的特点：方程$ax^2=b(ab＞0)$可变形为$x^2=\frac{b}{a}$，因为$ab＞0$，所以$\frac{b}{a}$是正数，正数的两个平方根互为相反数，因此该方程的两个根之和为0。我们可以先利用两根之和为0列方程求出$m$的值，再代入根的表达式得到根的具体值，结合$x^2=\frac{b}{a}$即可求出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$ax^2=b(ab＞0)$可变形为$x^2=\frac{b}{a}$，
∴ 该方程的两个根互为相反数，即$x_1+x_2=0$，
将$x_1=m+1$，$x_2=2m-4$代入得：
$(m+1)+(2m-4)=0$，
解得$m=1$，
∴ $x_1=1+1=2$，$x_2=2×1-4=-2$，
∴ $x^2=4$，即$\frac{b}{a}=x^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质，相反数的性质
【点评】
本题属于基础题型，侧重考查直接开平方法解一元二次方程的应用，解题关键是掌握直接开平方所得的两个根互为相反数的性质，根据根的和建立关于参数的方程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10 用直接开平方法解下列方程：
(1) $(x+\dfrac{1}{9})^2=0$；
(2) $\dfrac{1}{2}(x-5)^2 -16=0$；
(3) $(y+0.3)(y-0.3)-0.16=0$；
(4) $4(2m-3)^2=9(m-1)^2$。
(1) $(x+\dfrac{1}{9})^2=0$；
(2) $\dfrac{1}{2}(x-5)^2 -16=0$；
(3) $(y+0.3)(y-0.3)-0.16=0$；
(4) $4(2m-3)^2=9(m-1)^2$。
答案
10.(1) $x_1=x_2=-\frac{1}{9}$ (2) $x_1=-4\sqrt{2}+5,x_2=4\sqrt{2}+5$ (3) $y_1=0.5,y_2=-0.5$ (4) $m_1=3,m_2=\frac{9}{7}$
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程转化为“(含未知数的一次整式)² = 非负常数”的形式，再通过开平方将二次方程降为一元一次方程求解。各小题解题思路如下：(1)方程已符合直接开平方的形式，直接开方求解；(2)先移项、系数化为1，将方程变形为$(x-5)^2=32$后开方；(3)先用平方差公式展开左边，整理得到$y^2=0.25$再开方；(4)两边均为完全平方式，直接开平方后分两种情况解一元一次方程即可。
【解析】
(1) 对$(x+\dfrac{1}{9})^2=0$两边同时开平方，得$x+\dfrac{1}{9}=0$，
解得$x_1=x_2=-\dfrac{1}{9}$。
(2) 移项，得$\dfrac{1}{2}(x-5)^2=16$，
系数化为1，得$(x-5)^2=32$，
开平方，得$x-5=\pm4\sqrt{2}$，
即$x-5=4\sqrt{2}$或$x-5=-4\sqrt{2}$，
解得$x_1=5+4\sqrt{2}$，$x_2=5-4\sqrt{2}$。
(3) 利用平方差公式展开左边，得$y^2-0.09-0.16=0$，
移项合并同类项，得$y^2=0.25$，
开平方，得$y=\pm0.5$，
即$y_1=0.5$，$y_2=-0.5$。
(4) 两边同时开平方，得$2(2m-3)=\pm3(m-1)$，
分两种情况求解：
① 当$2(2m-3)=3(m-1)$时，去括号得$4m-6=3m-3$，解得$m=3$；
② 当$2(2m-3)=-3(m-1)$时，去括号得$4m-6=-3m+3$，移项合并得$7m=9$，解得$m=\dfrac{9}{7}$。
综上，$m_1=3$，$m_2=\dfrac{9}{7}$。
【答案】
(1) $x_1=x_2=-\frac{1}{9}$；(2) $x_1=-4\sqrt{2}+5,x_2=4\sqrt{2}+5$；(3) $y_1=0.5,y_2=-0.5$；(4) $m_1=3,m_2=\frac{9}{7}$
【知识点】
直接开平方法，平方差公式，一元一次方程解法
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础应用，解题关键是先将方程整理为可直接开平方的形式，开平方时要注意右边非负，且不要漏掉负根的情况，当完全平方式等于0时，方程有两个相等的实数根。
【难度系数】
0.8
直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程转化为“(含未知数的一次整式)² = 非负常数”的形式，再通过开平方将二次方程降为一元一次方程求解。各小题解题思路如下：(1)方程已符合直接开平方的形式，直接开方求解；(2)先移项、系数化为1，将方程变形为$(x-5)^2=32$后开方；(3)先用平方差公式展开左边，整理得到$y^2=0.25$再开方；(4)两边均为完全平方式，直接开平方后分两种情况解一元一次方程即可。
【解析】
(1) 对$(x+\dfrac{1}{9})^2=0$两边同时开平方，得$x+\dfrac{1}{9}=0$，
解得$x_1=x_2=-\dfrac{1}{9}$。
(2) 移项，得$\dfrac{1}{2}(x-5)^2=16$，
系数化为1，得$(x-5)^2=32$，
开平方，得$x-5=\pm4\sqrt{2}$，
即$x-5=4\sqrt{2}$或$x-5=-4\sqrt{2}$，
解得$x_1=5+4\sqrt{2}$，$x_2=5-4\sqrt{2}$。
(3) 利用平方差公式展开左边，得$y^2-0.09-0.16=0$，
移项合并同类项，得$y^2=0.25$，
开平方，得$y=\pm0.5$，
即$y_1=0.5$，$y_2=-0.5$。
(4) 两边同时开平方，得$2(2m-3)=\pm3(m-1)$，
分两种情况求解：
① 当$2(2m-3)=3(m-1)$时，去括号得$4m-6=3m-3$，解得$m=3$；
② 当$2(2m-3)=-3(m-1)$时，去括号得$4m-6=-3m+3$，移项合并得$7m=9$，解得$m=\dfrac{9}{7}$。
综上，$m_1=3$，$m_2=\dfrac{9}{7}$。
【答案】
(1) $x_1=x_2=-\frac{1}{9}$；(2) $x_1=-4\sqrt{2}+5,x_2=4\sqrt{2}+5$；(3) $y_1=0.5,y_2=-0.5$；(4) $m_1=3,m_2=\frac{9}{7}$
【知识点】
直接开平方法，平方差公式，一元一次方程解法
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础应用，解题关键是先将方程整理为可直接开平方的形式，开平方时要注意右边非负，且不要漏掉负根的情况，当完全平方式等于0时，方程有两个相等的实数根。
【难度系数】
0.8
11 整体思想 若$(a^2 + b^2 -1)^2=17$，求$a^2 + b^2$的值.
答案
11. 令$y=a^2+b^2$,则原方程可化简为$(y-1)^2=17$,解得$y_1=-\sqrt{17}+1,y_2=\sqrt{17}+1$.$\because y=a^2+b^2≥0,\therefore y=\sqrt{17}+1$,即$a^2+b^2=\sqrt{17}+1$
解析
【分析】
观察到方程中$a^2+b^2$以整体形式出现，直接求解a、b的值较为复杂，因此采用整体换元的思路：先设$y=a^2+b^2$，将原方程转化为关于y的一元二次方程，用直接开平方法求解y的取值；再结合平方的非负性，$a^2$和$b^2$均为非负数，因此它们的和$a^2+b^2$也大于等于0，据此对求出的y值进行取舍，即可得到最终结果。
【解析】
解：令$y=a^2+b^2$，则原方程可化简为：
$(y-1)^2=17$
对等式两边直接开平方，得：
$y-1=\pm\sqrt{17}$
解得$y_1=1+\sqrt{17}$，$y_2=1-\sqrt{17}$
$\because a^2≥0$，$b^2≥0$
$\therefore y=a^2+b^2≥0$
又$\because 1-\sqrt{17}＜0$，不符合取值要求，故舍去
$\therefore y=1+\sqrt{17}$，即$a^2+b^2=\sqrt{17}+1$
【答案】
$\sqrt{17}+1$
【知识点】
整体换元思想；直接开平方法解方程；平方的非负性
【点评】
本题的核心是运用整体思想简化方程，解题时要注意挖掘$a^2+b^2≥0$这个隐含条件，对求出的解进行合理性检验，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
观察到方程中$a^2+b^2$以整体形式出现，直接求解a、b的值较为复杂，因此采用整体换元的思路：先设$y=a^2+b^2$，将原方程转化为关于y的一元二次方程，用直接开平方法求解y的取值；再结合平方的非负性，$a^2$和$b^2$均为非负数，因此它们的和$a^2+b^2$也大于等于0，据此对求出的y值进行取舍，即可得到最终结果。
【解析】
解：令$y=a^2+b^2$，则原方程可化简为：
$(y-1)^2=17$
对等式两边直接开平方，得：
$y-1=\pm\sqrt{17}$
解得$y_1=1+\sqrt{17}$，$y_2=1-\sqrt{17}$
$\because a^2≥0$，$b^2≥0$
$\therefore y=a^2+b^2≥0$
又$\because 1-\sqrt{17}＜0$，不符合取值要求，故舍去
$\therefore y=1+\sqrt{17}$，即$a^2+b^2=\sqrt{17}+1$
【答案】
$\sqrt{17}+1$
【知识点】
整体换元思想；直接开平方法解方程；平方的非负性
【点评】
本题的核心是运用整体思想简化方程，解题时要注意挖掘$a^2+b^2≥0$这个隐含条件，对求出的解进行合理性检验，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
12 新考向 新定义题 定义$[x]$为不超过实数$x$的最大整数，如$[1.8]=1$，$[-1.4]=-2$，$[-3]=-3$。函数$y=[x]$在$-2≤ x＜2$范围内的图象如图所示，试求当$-2≤ x＜2$时，$[x]=\frac{1}{2}x^2$的$x$的值。
答案
12. 当$1≤ x＜2$时,$\frac{1}{2}x^2=1$,即$x^2=2$,解得$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$(不合题意,舍去);当$0≤ x＜1$时,$\frac{1}{2}x^2=0$,即$x^2=0$,解得$x_3=x_4=0$;当$-1≤ x＜0$时,$\frac{1}{2}x^2=-1$,方程没有实数根;当$-2≤ x＜-1$时,$\frac{1}{2}x^2=-2$,方程没有实数根.综上所述,当$-2≤ x＜2$时,满足$[x]=\frac{1}{2}x^2$的$x$的值为$\sqrt{2}$或$0$
解析
【分析】
这是一道结合新定义取整函数的解方程题，解题时首先根据$[x]$的定义，将$x$的取值范围$-2≤x＜2$划分为4个区间，每个区间内$[x]$的值为固定常数，再分别将$[x]$的取值代入方程$[x]=\frac{1}{2}x^2$求解，最后验证求得的$x$是否属于对应区间，舍去不符合范围的解即可。
【解析】
根据$[x]$的定义，分四段讨论：
① 当$1≤ x＜2$时，$[x]=1$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=1$，即$x^2=2$，
开平方得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$，
∵$1≤ x＜2$，
∴$x=-\sqrt{2}$不符合范围，舍去，保留$x=\sqrt{2}$；
② 当$0≤ x＜1$时，$[x]=0$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=0$，解得$x=0$，符合$0≤ x＜1$的范围；
③ 当$-1≤ x＜0$时，$[x]=-1$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=-1$，即$x^2=-2$，
∵平方数具有非负性，
∴此方程无实数根；
④ 当$-2≤ x＜-1$时，$[x]=-2$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=-2$，即$x^2=-4$，同理，此方程无实数根。
综上，即可得到满足方程的$x$的取值。
【答案】
$x$的值为$\sqrt{2}$或$0$
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解方程，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义取整函数考查解方程的能力，解题核心是根据取整函数的定义对$x$的范围分段，将新定义方程转化为常见的一元二次方程求解，同时要注意核验解的取值范围，避免出现多解、漏解的问题。
【难度系数】
0.6
这是一道结合新定义取整函数的解方程题，解题时首先根据$[x]$的定义，将$x$的取值范围$-2≤x＜2$划分为4个区间，每个区间内$[x]$的值为固定常数，再分别将$[x]$的取值代入方程$[x]=\frac{1}{2}x^2$求解，最后验证求得的$x$是否属于对应区间，舍去不符合范围的解即可。
【解析】
根据$[x]$的定义，分四段讨论：
① 当$1≤ x＜2$时，$[x]=1$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=1$，即$x^2=2$，
开平方得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$，
∵$1≤ x＜2$，
∴$x=-\sqrt{2}$不符合范围，舍去，保留$x=\sqrt{2}$；
② 当$0≤ x＜1$时，$[x]=0$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=0$，解得$x=0$，符合$0≤ x＜1$的范围；
③ 当$-1≤ x＜0$时，$[x]=-1$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=-1$，即$x^2=-2$，
∵平方数具有非负性，
∴此方程无实数根；
④ 当$-2≤ x＜-1$时，$[x]=-2$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=-2$，即$x^2=-4$，同理，此方程无实数根。
综上，即可得到满足方程的$x$的取值。
【答案】
$x$的值为$\sqrt{2}$或$0$
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解方程，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义取整函数考查解方程的能力，解题核心是根据取整函数的定义对$x$的范围分段，将新定义方程转化为常见的一元二次方程求解，同时要注意核验解的取值范围，避免出现多解、漏解的问题。
【难度系数】
0.6
