1. 如图，数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧的一点，且AB＝20，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为$t(t＞0)$秒.
（1）数轴上点B表示的数为；点P表示的数为（用含t的代数式表示）.
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动.若点P，Q同时出发，则几秒时P，Q两点之间的距离恰好等于2？

1.（1）-12 8-5t （2）分两种情况:① 点P,Q相遇之前,则3t+5t+2=20,解得t=2.25.② 点P,Q相遇之后,则3t+5t-2=20,解得t=2.75.所以若点P,Q同时出发,则2.25秒或2.75秒时P,Q两点之间的距离恰好等于2

2. 如图，线段$AB=10$，动点$P$从点$A$出发，以每秒1个单位长度的速度沿$AB$向终点$B$运动，同时，另一个动点$Q$从点$B$出发，以每秒3个单位长度的速度在线段$AB$上来回运动（从点$B$向点$A$运动，到达点$A$后，立即原速返回，再次到达点$B$后，立即调头向点$A$运动）。当点$P$到达点$B$时，$P$，$Q$两点都停止运动。设点$P$的运动时间为$x(x＞0)$秒。
（1）当$x＝3$时，线段$PQ$的长为。
（2）当$P$，$Q$两点第一次重合时，求线段$BQ$的长。
（3）是否存在某一时刻，使点$Q$恰好落在线段$AP$的中点处？若存在，请求出所有满足条件的$x$的值；若不存在，请说明理由。

2.（1）2 （2）根据题意,得x+3x=10,解得x=2.5,此时BQ=3x=7.5 （3）存在 根据题意,分三种情况讨论:① 当点Q从点B出发未到达点A,即$0＜x＜\frac{10}{3}$时,有$x=2(10-3x)$,解得$x=\frac{20}{7}$.② 当点Q到达点A后,向点B运动,即$\frac{10}{3}＜x＜\frac{20}{3}$时,有$x=2(3x-10)$,解得x=4.③ 当点Q第一次返回到点B后,调头向点A运动,即$\frac{20}{3}＜x＜10$时,有$x=2(30-3x)$,解得$x=\frac{60}{7}$.综上所述,当$x=\frac{20}{7}$或x=4或$x=\frac{60}{7}$时,点Q恰好落在线段AP的中点处

3. 如图①，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°.将一块三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.
（1）将图①中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转至图②的位置，使一边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
（2）将图①中的三角尺绕点O以每秒10°的速度按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分∠AOC，求t的值；
（3）将图①中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转至图③的位置，使一边ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由.

3.（1）因为∠AOC=60°,∠AOB=180°,所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-60°=120°.又因为OM平分∠BOC,所以$∠COM=\frac{1}{2}∠BOC=60°$.所以∠CON=∠COM+∠MON=60°+90°=150° （2）如图①,延长NO至点D.因为∠AOC=60°,直线ON平分∠AOC,所以∠AOD = ∠COD = 30°. 所以 ∠BOM = ∠MON - ∠BON=∠MON-∠AOD=90°-30°=60°.所以易得按顺时针方向旋转300°时,NO的延长线平分∠AOC.根据题意,得10t=300,解得t=30.如图②,因为直线ON平分∠AOC,所以∠NOA = 30°. 所以∠AOM = ∠MON - ∠NOA=90°-30°=60°.所以易得按顺时针方向旋转120°时,直线ON平分∠AOC.根据题意,得10t=120,解得t=12.综上所述,t的值为30或12 （3）∠AOM-∠NOC=30° 理由:因为∠MON = 90°,∠AOC = 60°,所以∠AOM=90°-∠AON,∠NOC = 60°-∠AON.所以∠AOM-∠NOC=(90°-∠AON)-(60°-∠AON)=30°.