1. 师傅和徒弟加工一批零件，师傅单独做10天完成，徒弟单独做15天完成。
（1）师傅每天加工这批零件的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$，徒弟每天加工这批零件的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。
（2）师徒一起做，每天一共能加工这批零件的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。
（3）师徒一起做，需要多少天完成？

1. (1) $\frac{1}{10}$ $\frac{1}{15}$ (2) $\frac{1}{6}$
(3) $1÷ \frac{1}{6}=6$(天) 答:需要6天完成。

【分析】
这是典型的工程问题，解题时首先把这批零件的总工作量看作单位“1”。第一步求单人工作效率，根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，用单位“1”除以各自的单独完成时间即可；第二步求两人合作的日工作量，只需将两人的日工作效率相加，异分母分数相加先通分再化简；第三步求合作完成时间，根据“工作时间=工作总量÷工作效率和”，用总工作量1除以两人的效率和就能算出结果。
【解析】
（1）把总工作量看作单位“1”：
师傅每天加工量：$1÷10=\frac{1}{10}$
徒弟每天加工量：$1÷15=\frac{1}{15}$
（2）师徒合作每天加工量：
$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$
（3）合作完成时间：
$1÷\frac{1}{6}=6$（天）
答：需要6天完成。
【答案】
（1）$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{15}$；（2）$\frac{1}{6}$；（3）6天
【知识点】
单位“1”的应用、工程问题公式、分数运算
【点评】
本题是工程问题的基础常规题型，核心考察将工作总量设为单位“1”的思路，以及工作效率、工作时间、工作总量三者数量关系的运用，熟练掌握分数运算规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

2.有一项工程，甲队单独做需要8天完成，乙队单独做需要12天完成。
（1）甲队单独做2天，能完成这项工程的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。
（2）乙队单独做5天，能完成这项工程的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。
（3）甲、乙两队合作，（）天能完成这项工程。
（4）甲队先单独做2天，余下的工程由乙队单独完成，还要（）天。

2. (1) $\frac{1}{4}$ (2) $\frac{5}{12}$ (3) $\frac{24}{5}$ (4) 9

【分析】
这是工程问题类基础题，解题时先把这项工程的总工作量看作单位“1”，先根据“工作效率=总工作量÷单独完成时间”分别算出甲、乙两队的工作效率，再结合“工作量=工作效率×工作时间”“工作时间=工作量÷工作效率”两个核心关系，对应每一小问的条件计算即可：
（1）求甲队2天的工作量，用甲的工作效率乘工作时间2；
（2）求乙队5天的工作量，用乙的工作效率乘工作时间5；
（3）求两队合作的完成时间，用总工作量1除以甲乙的工作效率之和；
（4）先算出甲队单独做2天完成的工作量，用总工作量减去已完成工作量得到剩余工作量，再除以乙队的工作效率，即可得到乙队需要的工作时间。
【解析】
首先把总工程量看作单位“1”，计算两队工作效率：
甲队工作效率：$1÷8=\frac{1}{8}$
乙队工作效率：$1÷12=\frac{1}{12}$
（1）甲队单独做2天的工作量：$\frac{1}{8}×2=\frac{1}{4}$
（2）乙队单独做5天的工作量：$\frac{1}{12}×5=\frac{5}{12}$
（3）甲乙两队的效率和：$\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{3}{24}+\frac{2}{24}=\frac{5}{24}$
合作完成需要的时间：$1÷\frac{5}{24}=\frac{24}{5}$（天）
（4）甲队单独做2天后剩余工作量：$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
乙队单独完成剩余工作的时间：$\frac{3}{4}÷\frac{1}{12}=\frac{3}{4}×12=9$（天）
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$ (2) $\frac{5}{12}$ (3) $\frac{24}{5}$ (4) 9
【知识点】
工程问题、分数乘除运算、单位“1”的应用
【点评】
本题是工程问题的常规基础题型，核心考察工程问题三要素（工作量、工作效率、工作时间）的关系应用，熟练掌握单位“1”的设定和三要素的换算公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 新情境生活应用 录入一份稿件，王叔叔单独录入要40分钟，李叔叔单独录入要50分钟。两人合作，20分钟能录完这份稿件吗？

3. $(\frac{1}{40}+\frac{1}{50})× 20=\frac{9}{10}$ $\frac{9}{10}＜1$
答:20分钟不能录完这份稿件。

【分析】
这是工作总量未知的工程类问题，解题时先把这份稿件的总工作量看作单位“1”，再根据“工作效率=工作总量÷工作时间”分别算出两人的工作效率，接着求出两人合作的工作效率之和，乘合作时间20分钟得到20分钟能完成的工作量，最后和总工作量“1”比较大小即可判断是否能录完。
【解析】
把这份稿件的总工作量看作单位“1”：
王叔叔的工作效率为$1÷40=\frac{1}{40}$，李叔叔的工作效率为$1÷50=\frac{1}{50}$
两人合作20分钟完成的工作量为：
$(\frac{1}{40}+\frac{1}{50})×20$
$=\frac{9}{200}×20$
$=\frac{9}{10}$
因为$\frac{9}{10}＜1$，说明20分钟完成的工作量小于总工作量。
【答案】
20分钟不能录完这份稿件。
【知识点】
工程问题（总量设为1）、分数混合运算、分数大小比较
【点评】
本题结合生活录入稿件的情境，考查工程问题的基础解法，解题核心是将未知的工作总量设为单位“1”，再结合工作效率、工作时间、工作总量三者的关系计算求解，属于工程问题的常规基础题型。
【难度系数】
0.75

4. 甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行。甲车行驶完全程要30分钟,乙车行驶完全程要45分钟。甲车先出发3分钟后,乙车才出发。乙车出发多少分钟后两车才能相遇？

4. $(1-\frac{1}{30}× 3)÷ (\frac{1}{30}+\frac{1}{45})=\frac{81}{5}$(分)
答:乙车出发$\frac{81}{5}$分钟后两车才能相遇。

【分析】
这是一道没有给出具体总路程的相遇问题，我们可以将A、B两地的总路程看作单位“1”来解题。首先根据两车行驶完全程的时间求出各自的速度，再计算甲车先出发3分钟行驶的路程，用总路程减去这部分路程得到两车需要共同行驶的剩余路程，最后用剩余路程除以两车的速度和，即可求出乙车出发后的相遇时间。
【解析】
把A、B两地总路程看作单位“1”。
1. 求两车的速度：
甲车每分钟行驶全程的$\frac{1}{30}$，乙车每分钟行驶全程的$\frac{1}{45}$。
2. 计算甲车提前3分钟行驶的路程：
$\frac{1}{30}×3=\frac{1}{10}$
3. 计算两车共同行驶的剩余路程：
$1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$
4. 计算两车的速度和：
$\frac{1}{30}+\frac{1}{45}=\frac{3+2}{90}=\frac{1}{18}$
5. 计算相遇时间：
$\frac{9}{10}÷\frac{1}{18}=\frac{9}{10}×18=\frac{81}{5}$（分）
【答案】
乙车出发$\frac{81}{5}$分钟后两车才能相遇。
【知识点】
相遇问题，单位“1”的应用，分数混合运算
【点评】
本题是将工程问题解题思路迁移到行程问题的典型题，核心是把未知的总路程设为单位“1”，结合“相遇时间=共同行驶路程÷速度和”的数量关系求解，能很好地考查学生对单位“1”的灵活运用能力和运算能力。
【难度系数】
0.65

5. 新情境 地域特色 江苏南通某加工厂制作一批蓝印花布工艺包，25名工人工作12天可以完成。25名工人工作4天后，有5名工人被安排制作其他产品，剩下的工人还需要工作多少天才能制作完这批蓝印花布工艺包？

5. $1÷ (25× 12)=\frac{1}{300}$
$(1-\frac{1}{12}× 4)÷ [\frac{1}{300}× (25-5)]=10$(天)
答:剩下的工人还需要工作10天才能制作完这批蓝印花布工艺包。
解析 每名工人每天的工作效率是$1÷ (25× 12)=\frac{1}{300}$,25名工人工作4天后剩下$1-\frac{1}{12}× 4=\frac{2}{3}$,剩下的$25-5=20$(名)工人还需要工作$\frac{2}{3}÷ (\frac{1}{300}× 20)=10$(天)。

【分析】
这是一道工程类实际应用题，我们可以把这批蓝印花布工艺包的总工作量看作单位“1”来简化计算。解题思路如下：第一步，根据“25名工人工作12天完成”的条件，先求出每名工人每天的工作效率；第二步，计算25名工人工作4天后剩余的工作量；第三步，求出调走5名工人后，剩余工人每天的总工作效率；最后用剩余工作量除以剩余工人的日总效率，即可得到还需要的工作天数。
【解析】
解：将这批蓝印花布工艺包的总工作量看作单位“1”。
1. 计算每名工人每天的工作效率：
总工作量对应25名工人12天的工作量，因此每名工人每天的效率为：
$1÷ (25× 12)=\frac{1}{300}$
2. 计算25名工人工作4天后剩余的工作量：
25名工人每天可完成总工作量的$\frac{1}{12}$，工作4天完成的工作量为$\frac{1}{12}×4=\frac{1}{3}$，剩余工作量为：
$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
3. 计算剩余工人的日总工作效率：
调走5人后剩余工人数量：$25-5=20$（名）
20名工人每天的总效率为：$\frac{1}{300}×20=\frac{1}{15}$
4. 计算还需要的工作天数：
用剩余工作量除以剩余工人的日总效率：$\frac{2}{3}÷\frac{1}{15}=10$（天）
【答案】
剩下的工人还需要工作10天才能制作完这批蓝印花布工艺包。
【知识点】
工程问题；单位“1”的应用；分数四则混合运算
【点评】
本题结合地域特色新情境设置问题，核心考查工程问题中工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系，解题的关键是合理将总工作量设为单位“1”，同时注意人员变动后工作效率的变化，能够很好地锻炼学生用数学知识解决实际生活问题的能力。
【难度系数】
0.7

6. 新情境市政建设修一条水渠，甲、乙合作需要8天完成，乙单独修需要12天完成。两人合作一段时间后，乙另有任务离开了，剩下的水渠由甲单独修了3天完成，两人合作了多少天？

6. $[1-(\frac{1}{8}-\frac{1}{12})× 3]÷ \frac{1}{8}=7$(天)
答:两人合作了7天。

【分析】
这是典型的工程问题，解题时先把水渠总工作量看作单位“1”，结合工程问题基本关系“工作总量=工作效率×工作时间”逐步推导：首先用甲乙合作的工作效率减去乙单独的工作效率，求出甲的工作效率；再计算甲单独修3天完成的工作量；接着用总工作量减去甲单独完成的工作量，得到两人合作完成的工作量；最后用合作的工作量除以甲乙合作的工作效率，就能算出两人合作的天数。
【解析】
把水渠的总工作量看作单位“1”。
1. 甲的工作效率：甲乙合作每天完成$\frac{1}{8}$，乙单独每天完成$\frac{1}{12}$，所以甲的效率为$\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=\frac{1}{24}$
2. 甲单独3天完成的工作量：$\frac{1}{24}×3=\frac{1}{8}$
3. 两人合作完成的工作量：$1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$
4. 合作天数：$\frac{7}{8}÷\frac{1}{8}=7$（天）
综合算式：$[1-(\frac{1}{8}-\frac{1}{12})× 3]÷ \frac{1}{8}=7$(天)
【答案】
7天
【知识点】
工程问题解法，单位“1”的应用，工作总量=效率×时间
【点评】
本题结合市政建设的生活情境，考查工程问题的基本解法，解题核心是将未知的总工作量设为单位“1”，理清各部分工作量、工作效率与工作时间的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7

7. 甲、乙、丙三人搬运A,B两个仓库中的货物（两个仓库中的货物完全相同）。搬运完一个仓库中的货物，甲需要2小时，乙需要3小时，丙需要6小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运，中途甲去B仓库帮助乙搬运，最后两个仓库同时搬运完。甲帮助乙、丙搬运货物各多长时间？

7. $1+1=2$ $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$ $2÷ 1=2$(时)
$(1-\frac{1}{6}× 2)÷ \frac{1}{2}=\frac{4}{3}$(时) $2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$(时)
答:甲帮助丙搬运货物$\frac{4}{3}$小时，甲帮助乙搬运货物$\frac{2}{3}$小时。
解析 把一个仓库的货物总量看作1，则两个仓库的货物总量是$1+1=2$,三人1小时共搬运$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$,搬运这些货物一共需要$2÷ 1=2$(时),也就是三人从开始到结束一共搬运了2小时。丙全程在A仓库搬了2小时，完成了$\frac{1}{6}× 2=\frac{1}{3}$,则A仓库剩下的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$全由甲完成，因此甲帮助丙搬运货物$\frac{2}{3}÷ \frac{1}{2}=\frac{4}{3}$(时),帮助乙搬运货物$2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$(时)。

【分析】
这是工程类的典型应用题，我们可以先把单个仓库的货物总量看作单位“1”，那么两个仓库的总工作量就是2。解题的核心突破口是：甲、乙、丙三人同时开始搬运、同时结束，说明三人全程都在工作，总工作时长完全相同。第一步先计算三人的工作效率之和，用总工作量除以效率和就能得到总的搬运时间；第二步，丙全程在A仓库工作，先算出丙在总时长内完成的A仓库工作量，A仓库剩余的工作量都是甲帮忙完成的，用剩余工作量除以甲的工作效率就能得到甲帮丙的时间；最后用总时长减去甲帮丙的时间，就得到甲帮乙的时间。
【解析】
把1个仓库的货物总量看作单位“1”，则两个仓库的总工作量为：
$1+1=2$
甲、乙、丙的工作效率分别为$\frac{1}{2}$/时、$\frac{1}{3}$/时、$\frac{1}{6}$/时，三人的效率和为：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$（/时）
三人完成所有搬运工作的总时长为：
$2÷1=2$（时）
丙全程在A仓库搬运，2小时完成的工作量为$\frac{1}{6}×2$，A仓库剩余工作量由甲完成，甲帮助丙的时间为：
$(1-\frac{1}{6}×2)÷\frac{1}{2}=\frac{4}{3}$（时）
甲帮助乙的时间为总时长减去帮助丙的时间：
$2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$（时）
【答案】
甲帮助丙搬运货物$\frac{4}{3}$小时，帮助乙搬运货物$\frac{2}{3}$小时。
【知识点】
单位“1”的运用、工程问题基本关系、合作工程计算
【点评】
这道题是工程问题的常见变式，解题关键是抓住三人同时开工、同时完工，总工作时长不变的特点，先求出总耗时再逐步推导各部分时间，能有效锻炼对工程问题数量关系的理解和应用能力。
【难度系数】
0.6