登录
1. 用配方法解方程$x^2+8x+7=0$，则配方正确的是（
A.$(x+4)^2=9$
B.$(x-4)^2=9$
C.$(x-8)^2=16$
D.$(x+8)^2=57$
A
）A.$(x+4)^2=9$
B.$(x-4)^2=9$
C.$(x-8)^2=16$
D.$(x+8)^2=57$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道配方法的题目，首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：第一步先将常数项移到方程的右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边凑成完全平方式，最后化简得到配方后的结果，再匹配选项即可。
【解析】
解：对原方程$x^2+8x+7=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2+8x=-7$
2. 一次项系数为8，其一半为4，平方为$4^2=16$，在方程两边同时加16：
$x^2+8x+16=-7+16$
3. 左侧根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可整理为$(x+4)^2$，右侧计算得9，即：
$(x+4)^2=9$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤，尤其是“加一次项系数一半的平方”这一关键操作，熟练掌握后可快速完成配方。
【难度系数】
0.85
要解决这道配方法的题目，首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：第一步先将常数项移到方程的右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边凑成完全平方式，最后化简得到配方后的结果，再匹配选项即可。
【解析】
解：对原方程$x^2+8x+7=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2+8x=-7$
2. 一次项系数为8，其一半为4，平方为$4^2=16$，在方程两边同时加16：
$x^2+8x+16=-7+16$
3. 左侧根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可整理为$(x+4)^2$，右侧计算得9，即：
$(x+4)^2=9$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤，尤其是“加一次项系数一半的平方”这一关键操作，熟练掌握后可快速完成配方。
【难度系数】
0.85
2.用配方法解下列方程，其中方程左右两边同时加上4的是 （
A.$x^2 -2x=5$
B.$x^2 +4x=5$
C.$x^2 -8x=5$
D.$x^2 +8x=2$
B
）A.$x^2 -2x=5$
B.$x^2 +4x=5$
C.$x^2 -8x=5$
D.$x^2 +8x=2$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确配方法解二次项系数为1的一元二次方程的核心规则：配方时需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程左边凑成完全平方式。因此我们只需依次计算每个选项中一次项系数一半的平方，找到结果为4的选项即可。
【解析】
对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2 + px = q$，配方时两边需加的常数为$(\frac{p}{2})^2$：
选项A：方程$x^2 -2x=5$的一次项系数为$-2$，需加的常数为$(\frac{-2}{2})^2=1$，不符合要求；
选项B：方程$x^2 +4x=5$的一次项系数为$4$，需加的常数为$(\frac{4}{2})^2=4$，符合要求；
选项C：方程$x^2 -8x=5$的一次项系数为$-8$，需加的常数为$(\frac{-8}{2})^2=16$，不符合要求；
选项D：方程$x^2 +8x=2$的一次项系数为$8$，需加的常数为$(\frac{8}{2})^2=16$，不符合要求。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题关键是牢记二次项系数为1时，配方所加常数为一次项系数一半的平方，熟练掌握该规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确配方法解二次项系数为1的一元二次方程的核心规则：配方时需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程左边凑成完全平方式。因此我们只需依次计算每个选项中一次项系数一半的平方，找到结果为4的选项即可。
【解析】
对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2 + px = q$，配方时两边需加的常数为$(\frac{p}{2})^2$：
选项A：方程$x^2 -2x=5$的一次项系数为$-2$，需加的常数为$(\frac{-2}{2})^2=1$，不符合要求；
选项B：方程$x^2 +4x=5$的一次项系数为$4$，需加的常数为$(\frac{4}{2})^2=4$，符合要求；
选项C：方程$x^2 -8x=5$的一次项系数为$-8$，需加的常数为$(\frac{-8}{2})^2=16$，不符合要求；
选项D：方程$x^2 +8x=2$的一次项系数为$8$，需加的常数为$(\frac{8}{2})^2=16$，不符合要求。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题关键是牢记二次项系数为1时，配方所加常数为一次项系数一半的平方，熟练掌握该规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3.(1)把方程$x^2 -8x +3=0$化成$(x+m)^2 =n$的形式，则$m=$
(2)把方程$x^2 +4x -4=0$化成$(x+m)^2 =n$的形式，则$m=$
-4
，$n=$13
；(2)把方程$x^2 +4x -4=0$化成$(x+m)^2 =n$的形式，则$m=$
2
，$n=$8
；答案
3.(1)-4 13 (2)2 8
解析
【分析】
本题考查用配方法将一元二次方程转化为$(x+m)^2=n$的形式，解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，最后对比$(x+m)^2=n$的结构即可求出$m$和$n$的值。
【解析】
(1) 对$x^2 -8x +3=0$进行配方：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 -8x = -3$；
第二步，配平方，一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(\frac{-8}{2})^2=16$，给等式两边同时加16：
$x^2 -8x +16 = -3 +16$，
整理得$(x-4)^2=13$，
对比$(x+m)^2=n$，可得$m=-4$，$n=13$。
(2) 对$x^2 +4x -4=0$进行配方：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 +4x = 4$；
第二步，配平方，一次项系数为$4$，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4：
$x^2 +4x +4 = 4 +4$，
整理得$(x+2)^2=8$，
对比$(x+m)^2=n$，可得$m=2$，$n=8$。
【答案】
(1)$-4$，$13$；(2)$2$，$8$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，注意移项时要改变符号，配平方时需要给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，避免出现只给左侧加常数的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法将一元二次方程转化为$(x+m)^2=n$的形式，解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，最后对比$(x+m)^2=n$的结构即可求出$m$和$n$的值。
【解析】
(1) 对$x^2 -8x +3=0$进行配方：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 -8x = -3$；
第二步，配平方，一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(\frac{-8}{2})^2=16$，给等式两边同时加16：
$x^2 -8x +16 = -3 +16$，
整理得$(x-4)^2=13$，
对比$(x+m)^2=n$，可得$m=-4$，$n=13$。
(2) 对$x^2 +4x -4=0$进行配方：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 +4x = 4$；
第二步，配平方，一次项系数为$4$，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4：
$x^2 +4x +4 = 4 +4$，
整理得$(x+2)^2=8$，
对比$(x+m)^2=n$，可得$m=2$，$n=8$。
【答案】
(1)$-4$，$13$；(2)$2$，$8$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，注意移项时要改变符号，配平方时需要给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，避免出现只给左侧加常数的错误。
【难度系数】
0.8
(2)把方程$x^2 +4x +0$化成$(x+m)^2 =n$的形式，则$m=$，$n=$
答案
$m=\underline{2}$，$n=\underline{4}$
解析
【分析】
本题考查配方法的应用，解题思路如下：首先明确配方法处理二次项系数为1的一元二次方程的步骤：先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左侧转化为完全平方式，最后对照$(x+m)^2 =n$的形式就能确定m、n的取值。
【解析】
首先明确原方程为$x^2 +4x = 0$：
1. 移项：本题常数项为0，移项后仍为$x^2 +4x = 0$；
2. 配方：一次项系数为4，取其一半为2，计算得$2^2=4$，在等式两边同时加4，可得：
$x^2 +4x +4 = 0 + 4$
3. 变形：左侧根据完全平方公式整理为$(x+2)^2$，右侧合并得4，即$(x+2)^2 = 4$；
对比$(x+m)^2 =n$的形式，可得$m=2$，$n=4$。
【答案】
$m=\underline{2}$，$n=\underline{4}$
【知识点】
1. 配方法的应用
2. 完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础练习题，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，要注意配方时必须在等式两边同时添加相同的常数，保证等式成立，避免出现只在左侧加常数的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查配方法的应用，解题思路如下：首先明确配方法处理二次项系数为1的一元二次方程的步骤：先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左侧转化为完全平方式，最后对照$(x+m)^2 =n$的形式就能确定m、n的取值。
【解析】
首先明确原方程为$x^2 +4x = 0$：
1. 移项：本题常数项为0，移项后仍为$x^2 +4x = 0$；
2. 配方：一次项系数为4，取其一半为2，计算得$2^2=4$，在等式两边同时加4，可得：
$x^2 +4x +4 = 0 + 4$
3. 变形：左侧根据完全平方公式整理为$(x+2)^2$，右侧合并得4，即$(x+2)^2 = 4$；
对比$(x+m)^2 =n$的形式，可得$m=2$，$n=4$。
【答案】
$m=\underline{2}$，$n=\underline{4}$
【知识点】
1. 配方法的应用
2. 完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础练习题，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，要注意配方时必须在等式两边同时添加相同的常数，保证等式成立，避免出现只在左侧加常数的错误。
【难度系数】
0.9
将一元二次方程$x^2 -6x +m=0$化成$(x-n)^2=4$的形式，则$m-n=$
2
。答案
4.2
解析
【分析】
本题考查配方法在一元二次方程变形中的应用，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤，对给定的一元二次方程$x^2 -6x +m=0$进行配方，将其转化为完全平方的形式，再与题目给出的$(x-n)^2=4$的形式进行对应，分别求出$m$和$n$的值，最后代入计算$m-n$即可得到结果。
【解析】
1. 移项：将原方程的常数项移到等号右侧，得
$x^2 -6x = -m$
2. 配方：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(-3)^2=9$，在等式两边同时加9，得
$x^2 -6x +9 = -m +9$
3. 整理为完全平方形式：左侧可化为完全平方式，即
$(x-3)^2 = 9 - m$
4. 对应求参数：和题目给出的$(x-n)^2=4$对比，可得$n=3$，且$9 - m = 4$，解得$m=5$
5. 计算$m-n$：将$m=5$、$n=3$代入，得$m-n=5-3=2$
【答案】
2
【知识点】
配方法，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，只要熟练掌握配方的流程，准确对应系数求解即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法在一元二次方程变形中的应用，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤，对给定的一元二次方程$x^2 -6x +m=0$进行配方，将其转化为完全平方的形式，再与题目给出的$(x-n)^2=4$的形式进行对应，分别求出$m$和$n$的值，最后代入计算$m-n$即可得到结果。
【解析】
1. 移项：将原方程的常数项移到等号右侧，得
$x^2 -6x = -m$
2. 配方：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(-3)^2=9$，在等式两边同时加9，得
$x^2 -6x +9 = -m +9$
3. 整理为完全平方形式：左侧可化为完全平方式，即
$(x-3)^2 = 9 - m$
4. 对应求参数：和题目给出的$(x-n)^2=4$对比，可得$n=3$，且$9 - m = 4$，解得$m=5$
5. 计算$m-n$：将$m=5$、$n=3$代入，得$m-n=5-3=2$
【答案】
2
【知识点】
配方法，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，只要熟练掌握配方的流程，准确对应系数求解即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
5. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 4x + 4 = 0$；
(2)$x^2 - 2x = 3$；
(3)$x^2 - 6x = 7$；
(4)$x^2 + 2x - 2 = 0$；
(5)$x^2 + 6 = -6x$；
(6)$m^2 = 8m - 4$。
(1)$x^2 - 4x + 4 = 0$；
(2)$x^2 - 2x = 3$；
(3)$x^2 - 6x = 7$；
(4)$x^2 + 2x - 2 = 0$；
(5)$x^2 + 6 = -6x$；
(6)$m^2 = 8m - 4$。
答案
5.(1)$x_1=x_2=2$ (2)$x_1=-1,x_2=3$
(3)$x_1=7,x_2=-1$ (4)$x_1=-1+\sqrt{3},x_2=-1-\sqrt{3}$
(5)$x_1=-3+\sqrt{3},x_2=-3-\sqrt{3}$
(6)$m_1=4+2\sqrt{3},m_2=4-2\sqrt{3}$
(3)$x_1=7,x_2=-1$ (4)$x_1=-1+\sqrt{3},x_2=-1-\sqrt{3}$
(5)$x_1=-3+\sqrt{3},x_2=-3-\sqrt{3}$
(6)$m_1=4+2\sqrt{3},m_2=4-2\sqrt{3}$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为完全平方式的形式，再用直接开平方法求解，通用解题步骤为：①将方程整理为“二次项+一次项=常数项”的形式，本题所有方程二次项系数均为1，无需额外调整；②方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；③对配好的方程直接开平方，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 原方程左侧已经是完全平方式，直接变形得：
$\quad(x-2)^2=0$
开平方得：$x-2=0$
解得$x_1=x_2=2$
(2) 方程两边同时加一次项系数$-2$一半的平方，即$(-1)^2=1$：
$\quad x^2-2x+1=3+1$
整理得$(x-1)^2=4$
开平方得$x-1=\pm2$，即$x-1=2$或$x-1=-2$
解得$x_1=3,x_2=-1$
(3) 方程两边同时加一次项系数$-6$一半的平方，即$(-3)^2=9$：
$\quad x^2-6x+9=7+9$
整理得$(x-3)^2=16$
开平方得$x-3=\pm4$，即$x-3=4$或$x-3=-4$
解得$x_1=7,x_2=-1$
(4) 先移项将常数项移到等号右侧：
$\quad x^2+2x=2$
方程两边同时加一次项系数$2$一半的平方，即$1^2=1$：
$\quad x^2+2x+1=2+1$
整理得$(x+1)^2=3$
开平方得$x+1=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=-1+\sqrt{3},x_2=-1-\sqrt{3}$
(5) 先移项将含$x$的项移到等号左侧：
$\quad x^2+6x=-6$
方程两边同时加一次项系数$6$一半的平方，即$3^2=9$：
$\quad x^2+6x+9=-6+9$
整理得$(x+3)^2=3$
开平方得$x+3=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=-3+\sqrt{3},x_2=-3-\sqrt{3}$
(6) 先移项将含$m$的项移到等号左侧：
$\quad m^2-8m=-4$
方程两边同时加一次项系数$-8$一半的平方，即$(-4)^2=16$：
$\quad m^2-8m+16=-4+16$
整理得$(m-4)^2=12$
开平方得$m-4=\pm2\sqrt{3}$
解得$m_1=4+2\sqrt{3},m_2=4-2\sqrt{3}$
【答案】
(1)$x_1=x_2=2$ (2)$x_1=-1,x_2=3$
(3)$x_1=7,x_2=-1$ (4)$x_1=-1+\sqrt{3},x_2=-1-\sqrt{3}$
(5)$x_1=-3+\sqrt{3},x_2=-3-\sqrt{3}$
(6)$m_1=4+2\sqrt{3},m_2=4-2\sqrt{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方的操作步骤，解题时需注意移项要变号，开平方时不要遗漏负根，熟练掌握配方技巧能为后续一元二次方程相关知识的学习打下良好基础。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为完全平方式的形式，再用直接开平方法求解，通用解题步骤为：①将方程整理为“二次项+一次项=常数项”的形式，本题所有方程二次项系数均为1，无需额外调整；②方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；③对配好的方程直接开平方，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 原方程左侧已经是完全平方式，直接变形得：
$\quad(x-2)^2=0$
开平方得：$x-2=0$
解得$x_1=x_2=2$
(2) 方程两边同时加一次项系数$-2$一半的平方，即$(-1)^2=1$：
$\quad x^2-2x+1=3+1$
整理得$(x-1)^2=4$
开平方得$x-1=\pm2$，即$x-1=2$或$x-1=-2$
解得$x_1=3,x_2=-1$
(3) 方程两边同时加一次项系数$-6$一半的平方，即$(-3)^2=9$：
$\quad x^2-6x+9=7+9$
整理得$(x-3)^2=16$
开平方得$x-3=\pm4$，即$x-3=4$或$x-3=-4$
解得$x_1=7,x_2=-1$
(4) 先移项将常数项移到等号右侧：
$\quad x^2+2x=2$
方程两边同时加一次项系数$2$一半的平方，即$1^2=1$：
$\quad x^2+2x+1=2+1$
整理得$(x+1)^2=3$
开平方得$x+1=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=-1+\sqrt{3},x_2=-1-\sqrt{3}$
(5) 先移项将含$x$的项移到等号左侧：
$\quad x^2+6x=-6$
方程两边同时加一次项系数$6$一半的平方，即$3^2=9$：
$\quad x^2+6x+9=-6+9$
整理得$(x+3)^2=3$
开平方得$x+3=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=-3+\sqrt{3},x_2=-3-\sqrt{3}$
(6) 先移项将含$m$的项移到等号左侧：
$\quad m^2-8m=-4$
方程两边同时加一次项系数$-8$一半的平方，即$(-4)^2=16$：
$\quad m^2-8m+16=-4+16$
整理得$(m-4)^2=12$
开平方得$m-4=\pm2\sqrt{3}$
解得$m_1=4+2\sqrt{3},m_2=4-2\sqrt{3}$
【答案】
(1)$x_1=x_2=2$ (2)$x_1=-1,x_2=3$
(3)$x_1=7,x_2=-1$ (4)$x_1=-1+\sqrt{3},x_2=-1-\sqrt{3}$
(5)$x_1=-3+\sqrt{3},x_2=-3-\sqrt{3}$
(6)$m_1=4+2\sqrt{3},m_2=4-2\sqrt{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方的操作步骤，解题时需注意移项要变号，开平方时不要遗漏负根，熟练掌握配方技巧能为后续一元二次方程相关知识的学习打下良好基础。
【难度系数】
0.8
6.用配方法解一元二次方程$x^2 - 2x - 2023 = 0$，将它转化为$(x+a)^2 = b$的形式，则$a^b$的值为（
A.$-2024$
B.$2024$
C.$-1$
D.$1$
D
）A.$-2024$
B.$2024$
C.$-1$
D.$1$
答案
6.D
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧凑成完全平方的形式，即可得到$(x+a)^2 = b$的形式，从而确定$a$和$b$的值，最后代入计算$a^b$即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - 2023 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = 2023$
2. 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-2$，一半为$-1$，平方为$1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = 2023 + 1$
3. 左侧写成完全平方形式，右侧合并常数项：
$(x - 1)^2 = 2024$
对照$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a = -1$，$b = 2024$。
代入计算$a^b = (-1)^{2024} = 1$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法、完全平方公式、乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法解一元二次方程的步骤，解题时需注意配方时所加常数是一次项系数一半的平方，同时要准确识别对应形式中$a$的符号，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧凑成完全平方的形式，即可得到$(x+a)^2 = b$的形式，从而确定$a$和$b$的值，最后代入计算$a^b$即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - 2023 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = 2023$
2. 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-2$，一半为$-1$，平方为$1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = 2023 + 1$
3. 左侧写成完全平方形式，右侧合并常数项：
$(x - 1)^2 = 2024$
对照$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a = -1$，$b = 2024$。
代入计算$a^b = (-1)^{2024} = 1$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法、完全平方公式、乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法解一元二次方程的步骤，解题时需注意配方时所加常数是一次项系数一半的平方，同时要准确识别对应形式中$a$的符号，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.8
7. 用配方法解下列方程：
(1) $x^2 - 2x = -\dfrac{1}{3}$；
(2) $(x - 1)(x - 3) = 8$；
(3) $x^2 -5x -3 =0$；
(4) $x^2 +3x -10=0$；
(5) $x^2 + \dfrac{10}{3}x +1=0$；
(6) $x^2 - \dfrac{5}{2}x + \dfrac{1}{2}=0$。
(1) $x^2 - 2x = -\dfrac{1}{3}$；
(2) $(x - 1)(x - 3) = 8$；
(3) $x^2 -5x -3 =0$；
(4) $x^2 +3x -10=0$；
(5) $x^2 + \dfrac{10}{3}x +1=0$；
(6) $x^2 - \dfrac{5}{2}x + \dfrac{1}{2}=0$。
答案
7.(1)$x_1=1+\dfrac{\sqrt{6}}{3},x_2=1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
(2)$x_1=5,x_2=-1$
(3)$x_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{2},x_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{2}$
(4)$x_1=2,x_2=-5$
(5)$x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=-3$
(6)$x_1=\dfrac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{5-\sqrt{17}}{4}$
(2)$x_1=5,x_2=-1$
(3)$x_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{2},x_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{2}$
(4)$x_1=2,x_2=-5$
(5)$x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=-3$
(6)$x_1=\dfrac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{5-\sqrt{17}}{4}$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再通过直接开平方求解，通用解题步骤为：①先整理方程，使左边仅含二次项和一次项，右边为常数项；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1（本题所有方程二次项系数均为1，可跳过此步骤）；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式；④若右边为非负数，直接开平方即可求出方程的根，若右边为负数，则方程无实数根。按照上述步骤逐个求解各小题即可。
【解析】
(1) $x^2 - 2x = -\dfrac{1}{3}$
配方，两边同时加一次项系数$-2$一半的平方$1$，得：
$x^2-2x+1=-\dfrac{1}{3}+1$
即$(x-1)^2=\dfrac{2}{3}$
开平方得：$x-1=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
解得：$x_1=1+\dfrac{\sqrt{6}}{3},x_2=1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
(2) 先展开并整理方程$(x - 1)(x - 3) = 8$：
$x^2-4x+3=8$
移项得：$x^2-4x=5$
配方，两边同时加一次项系数$-4$一半的平方$4$，得：
$x^2-4x+4=5+4$
即$(x-2)^2=9$
开平方得：$x-2=\pm3$
解得：$x_1=5,x_2=-1$
(3) 整理方程$x^2 -5x -3 =0$，移项得：
$x^2-5x=3$
配方，两边同时加一次项系数$-5$一半的平方$\dfrac{25}{4}$，得：
$x^2-5x+\dfrac{25}{4}=3+\dfrac{25}{4}$
即$(x-\dfrac{5}{2})^2=\dfrac{37}{4}$
开平方得：$x-\dfrac{5}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{37}}{2}$
解得：$x_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{2},x_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{2}$
(4) 整理方程$x^2 +3x -10=0$，移项得：
$x^2+3x=10$
配方，两边同时加一次项系数$3$一半的平方$\dfrac{9}{4}$，得：
$x^2+3x+\dfrac{9}{4}=10+\dfrac{9}{4}$
即$(x+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{49}{4}$
开平方得：$x+\dfrac{3}{2}=\pm\dfrac{7}{2}$
解得：$x_1=2,x_2=-5$
(5) 整理方程$x^2 + \dfrac{10}{3}x +1=0$，移项得：
$x^2+\dfrac{10}{3}x=-1$
配方，两边同时加一次项系数$\dfrac{10}{3}$一半的平方$\dfrac{25}{9}$，得：
$x^2+\dfrac{10}{3}x+\dfrac{25}{9}=-1+\dfrac{25}{9}$
即$(x+\dfrac{5}{3})^2=\dfrac{16}{9}$
开平方得：$x+\dfrac{5}{3}=\pm\dfrac{4}{3}$
解得：$x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=-3$
(6) 整理方程$x^2 - \dfrac{5}{2}x + \dfrac{1}{2}=0$，移项得：
$x^2-\dfrac{5}{2}x=-\dfrac{1}{2}$
配方，两边同时加一次项系数$-\dfrac{5}{2}$一半的平方$\dfrac{25}{16}$，得：
$x^2-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{25}{16}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{25}{16}$
即$(x-\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{17}{16}$
开平方得：$x-\dfrac{5}{4}=\pm\dfrac{\sqrt{17}}{4}$
解得：$x_1=\dfrac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{5-\sqrt{17}}{4}$
【答案】
(1)$x_1=1+\dfrac{\sqrt{6}}{3},x_2=1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
(2)$x_1=5,x_2=-1$
(3)$x_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{2},x_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{2}$
(4)$x_1=2,x_2=-5$
(5)$x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=-3$
(6)$x_1=\dfrac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{5-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方法步骤的掌握情况，解题时要注意配方时需给方程两边同时加一次项系数一半的平方，开平方时不要漏写负根，涉及分数运算时要仔细计算避免出错。
【难度系数】
0.75
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再通过直接开平方求解，通用解题步骤为：①先整理方程，使左边仅含二次项和一次项，右边为常数项；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1（本题所有方程二次项系数均为1，可跳过此步骤）；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式；④若右边为非负数，直接开平方即可求出方程的根，若右边为负数，则方程无实数根。按照上述步骤逐个求解各小题即可。
【解析】
(1) $x^2 - 2x = -\dfrac{1}{3}$
配方，两边同时加一次项系数$-2$一半的平方$1$，得：
$x^2-2x+1=-\dfrac{1}{3}+1$
即$(x-1)^2=\dfrac{2}{3}$
开平方得：$x-1=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
解得：$x_1=1+\dfrac{\sqrt{6}}{3},x_2=1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
(2) 先展开并整理方程$(x - 1)(x - 3) = 8$：
$x^2-4x+3=8$
移项得：$x^2-4x=5$
配方，两边同时加一次项系数$-4$一半的平方$4$，得：
$x^2-4x+4=5+4$
即$(x-2)^2=9$
开平方得：$x-2=\pm3$
解得：$x_1=5,x_2=-1$
(3) 整理方程$x^2 -5x -3 =0$，移项得：
$x^2-5x=3$
配方，两边同时加一次项系数$-5$一半的平方$\dfrac{25}{4}$，得：
$x^2-5x+\dfrac{25}{4}=3+\dfrac{25}{4}$
即$(x-\dfrac{5}{2})^2=\dfrac{37}{4}$
开平方得：$x-\dfrac{5}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{37}}{2}$
解得：$x_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{2},x_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{2}$
(4) 整理方程$x^2 +3x -10=0$，移项得：
$x^2+3x=10$
配方，两边同时加一次项系数$3$一半的平方$\dfrac{9}{4}$，得：
$x^2+3x+\dfrac{9}{4}=10+\dfrac{9}{4}$
即$(x+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{49}{4}$
开平方得：$x+\dfrac{3}{2}=\pm\dfrac{7}{2}$
解得：$x_1=2,x_2=-5$
(5) 整理方程$x^2 + \dfrac{10}{3}x +1=0$，移项得：
$x^2+\dfrac{10}{3}x=-1$
配方，两边同时加一次项系数$\dfrac{10}{3}$一半的平方$\dfrac{25}{9}$，得：
$x^2+\dfrac{10}{3}x+\dfrac{25}{9}=-1+\dfrac{25}{9}$
即$(x+\dfrac{5}{3})^2=\dfrac{16}{9}$
开平方得：$x+\dfrac{5}{3}=\pm\dfrac{4}{3}$
解得：$x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=-3$
(6) 整理方程$x^2 - \dfrac{5}{2}x + \dfrac{1}{2}=0$，移项得：
$x^2-\dfrac{5}{2}x=-\dfrac{1}{2}$
配方，两边同时加一次项系数$-\dfrac{5}{2}$一半的平方$\dfrac{25}{16}$，得：
$x^2-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{25}{16}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{25}{16}$
即$(x-\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{17}{16}$
开平方得：$x-\dfrac{5}{4}=\pm\dfrac{\sqrt{17}}{4}$
解得：$x_1=\dfrac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{5-\sqrt{17}}{4}$
【答案】
(1)$x_1=1+\dfrac{\sqrt{6}}{3},x_2=1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
(2)$x_1=5,x_2=-1$
(3)$x_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{2},x_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{2}$
(4)$x_1=2,x_2=-5$
(5)$x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=-3$
(6)$x_1=\dfrac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{5-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方法步骤的掌握情况，解题时要注意配方时需给方程两边同时加一次项系数一半的平方，开平方时不要漏写负根，涉及分数运算时要仔细计算避免出错。
【难度系数】
0.75
