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8. 阅读材料:若$m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,求$m,n$的值.
解:$\because m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,
$\therefore (m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$,
$\therefore (m-n)^2 + (n-4)^2=0$,
$\therefore (m-n)^2=0,(n-4)^2=0$,
$\therefore n=4,m=4$.
根据你的观察,解答下面的问题:
(1)已知$a^2 +4ab +5b^2 +6b +9=0$,则$a=$
(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数,且满足$a^2 -4a +2b^2 -4b +6=0$,求$c$的值;
(3)若$A=4a^2 +3a -5,B=3a^2 +4a -7$,试比较$A$与$B$的大小,并说明理由.
解:$\because m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,
$\therefore (m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$,
$\therefore (m-n)^2 + (n-4)^2=0$,
$\therefore (m-n)^2=0,(n-4)^2=0$,
$\therefore n=4,m=4$.
根据你的观察,解答下面的问题:
(1)已知$a^2 +4ab +5b^2 +6b +9=0$,则$a=$
6
,$b=$-3
;(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数,且满足$a^2 -4a +2b^2 -4b +6=0$,求$c$的值;
(3)若$A=4a^2 +3a -5,B=3a^2 +4a -7$,试比较$A$与$B$的大小,并说明理由.
答案
8.(1)6 -3
(2)解:$a^2 -4a +2b^2 -4b +6=a^2 -4a +4 +2b^2 -4b +2=(a-2)^2 +2(b-1)^2=0$,
$\therefore a-2=0,b-1=0$,
解得$a=2,b=1$.
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,$\therefore 1＜c＜3$.
$\because c$是正整数,$\therefore c=2$.
(3)解:$A＞B$,理由如下：
$\because A=4a^2 +3a -5,B=3a^2 +4a -7$,
$\therefore A-B=4a^2 +3a -5 -(3a^2 +4a -7)=4a^2 +3a -5 -3a^2 -4a +7=a^2 -a +2=(a-\dfrac{1}{2})^2 +\dfrac{7}{4}$.
$\because (a-\dfrac{1}{2})^2≥0,\therefore (a-\dfrac{1}{2})^2 +\dfrac{7}{4}＞0,\therefore A＞B$.
(2)解:$a^2 -4a +2b^2 -4b +6=a^2 -4a +4 +2b^2 -4b +2=(a-2)^2 +2(b-1)^2=0$,
$\therefore a-2=0,b-1=0$,
解得$a=2,b=1$.
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,$\therefore 1＜c＜3$.
$\because c$是正整数,$\therefore c=2$.
(3)解:$A＞B$,理由如下：
$\because A=4a^2 +3a -5,B=3a^2 +4a -7$,
$\therefore A-B=4a^2 +3a -5 -(3a^2 +4a -7)=4a^2 +3a -5 -3a^2 -4a +7=a^2 -a +2=(a-\dfrac{1}{2})^2 +\dfrac{7}{4}$.
$\because (a-\dfrac{1}{2})^2≥0,\therefore (a-\dfrac{1}{2})^2 +\dfrac{7}{4}＞0,\therefore A＞B$.
解析
【分析】
本题主要利用配方法将多项式变形为几个非负数的和的形式，结合“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质求解，不同小问结合对应知识点拓展：
(1) 先将式子中的$5b^2$拆分为$4b^2+b^2$，分别与$a^2+4ab$、$6b+9$组合，配成两个完全平方的和，再利用非负性列方程求$a、b$的值；
(2) 先将式子中的常数6拆分为$4+2$，分别与$a^2-4a$、$2b^2-4b$组合，配方后求出$a、b$的值，再结合三角形三边关系（两边之差＜第三边＜两边之和），结合$c$是正整数的条件求出$c$的值；
(3) 比较两个代数式大小用作差法，计算$A-B$后将所得多项式配方，根据平方的非负性判断$A-B$的符号，即可得出$A$和$B$的大小关系。
【解析】
(1) 对$a^2 +4ab +5b^2 +6b +9=0$配方：
$\because a^2 +4ab +5b^2 +6b +9=0$
$\therefore (a^2+4ab+4b^2)+(b^2+6b+9)=0$
$\therefore (a+2b)^2+(b+3)^2=0$
由平方的非负性得：$(a+2b)^2=0$，$(b+3)^2=0$
解得$b=-3$，代入$a+2b=0$得$a=6$。
(2) 对$a^2 -4a +2b^2 -4b +6=0$配方：
$\because a^2 -4a +2b^2 -4b +6=(a^2-4a+4)+2(b^2-2b+1)=(a-2)^2 +2(b-1)^2=0$
$\therefore a-2=0$，$b-1=0$，解得$a=2$，$b=1$。
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系：$a-b ＜ c ＜ a+b$
$\therefore 2-1 ＜ c ＜ 2+1$，即$1 ＜ c ＜ 3$
又$\because c$是正整数，$\therefore c=2$。
(3) $A＞B$，理由如下：
计算$A-B$：
$A-B=(4a^2 +3a -5)-(3a^2 +4a -7)=4a^2+3a-5-3a^2-4a+7=a^2 -a +2$
对$a^2 -a +2$配方：$a^2 -a +2=(a-\dfrac{1}{2})^2 +\dfrac{7}{4}$
$\because (a-\dfrac{1}{2})^2 ≥ 0$，$\therefore (a-\dfrac{1}{2})^2 +\dfrac{7}{4} ≥ \dfrac{7}{4} ＞ 0$，即$A-B＞0$
$\therefore A＞B$。
【答案】
(1) $6$，$-3$；
(2) $c=2$；
(3) $A＞B$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，核心考查学生对完全平方公式结构的掌握程度，需要学生具备一定的式子拆分变形能力，同时结合不同知识点解决具体问题，能有效检验学生对配方法的灵活运用水平。
【难度系数】
0.7
本题主要利用配方法将多项式变形为几个非负数的和的形式，结合“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质求解，不同小问结合对应知识点拓展：
(1) 先将式子中的$5b^2$拆分为$4b^2+b^2$，分别与$a^2+4ab$、$6b+9$组合，配成两个完全平方的和，再利用非负性列方程求$a、b$的值；
(2) 先将式子中的常数6拆分为$4+2$，分别与$a^2-4a$、$2b^2-4b$组合，配方后求出$a、b$的值，再结合三角形三边关系（两边之差＜第三边＜两边之和），结合$c$是正整数的条件求出$c$的值；
(3) 比较两个代数式大小用作差法，计算$A-B$后将所得多项式配方，根据平方的非负性判断$A-B$的符号，即可得出$A$和$B$的大小关系。
【解析】
(1) 对$a^2 +4ab +5b^2 +6b +9=0$配方：
$\because a^2 +4ab +5b^2 +6b +9=0$
$\therefore (a^2+4ab+4b^2)+(b^2+6b+9)=0$
$\therefore (a+2b)^2+(b+3)^2=0$
由平方的非负性得：$(a+2b)^2=0$，$(b+3)^2=0$
解得$b=-3$，代入$a+2b=0$得$a=6$。
(2) 对$a^2 -4a +2b^2 -4b +6=0$配方：
$\because a^2 -4a +2b^2 -4b +6=(a^2-4a+4)+2(b^2-2b+1)=(a-2)^2 +2(b-1)^2=0$
$\therefore a-2=0$，$b-1=0$，解得$a=2$，$b=1$。
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系：$a-b ＜ c ＜ a+b$
$\therefore 2-1 ＜ c ＜ 2+1$，即$1 ＜ c ＜ 3$
又$\because c$是正整数，$\therefore c=2$。
(3) $A＞B$，理由如下：
计算$A-B$：
$A-B=(4a^2 +3a -5)-(3a^2 +4a -7)=4a^2+3a-5-3a^2-4a+7=a^2 -a +2$
对$a^2 -a +2$配方：$a^2 -a +2=(a-\dfrac{1}{2})^2 +\dfrac{7}{4}$
$\because (a-\dfrac{1}{2})^2 ≥ 0$，$\therefore (a-\dfrac{1}{2})^2 +\dfrac{7}{4} ≥ \dfrac{7}{4} ＞ 0$，即$A-B＞0$
$\therefore A＞B$。
【答案】
(1) $6$，$-3$；
(2) $c=2$；
(3) $A＞B$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，核心考查学生对完全平方公式结构的掌握程度，需要学生具备一定的式子拆分变形能力，同时结合不同知识点解决具体问题，能有效检验学生对配方法的灵活运用水平。
【难度系数】
0.7
9.(2025·苏州姑苏区月考)探究代数式$x^2+4x+5$的最小值时,我们可以这样处理:$x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1$.
因为$(x+2)^2≥0$,
所以$(x+2)^2+1≥1$,
所以当$(x+2)^2=0$时,$(x+2)^2+1$的值最小,最小值是1,
所以$x^2+4x+5$的最小值是1.
依据上述方法,解决下列问题:
(1)当$x=$
(2)多项式$-x^2+6x+9$有最
(3)已知$-x^2+5x+y+20=0$,求$y+x$的最小值.
因为$(x+2)^2≥0$,
所以$(x+2)^2+1≥1$,
所以当$(x+2)^2=0$时,$(x+2)^2+1$的值最小,最小值是1,
所以$x^2+4x+5$的最小值是1.
依据上述方法,解决下列问题:
(1)当$x=$
-3
时,$x^2+6x-10$有最小值是-19
;(2)多项式$-x^2+6x+9$有最
大
(填“大”或“小”)值,该值为18
;(3)已知$-x^2+5x+y+20=0$,求$y+x$的最小值.
答案
9.(1)-3 -19 (2)大 18
(3)解:$\because -x^2 +5x +y +20=0,\therefore y=x^2 -5x -20$,
$\therefore y+x=x^2 -4x -20=(x-2)^2 -24$.
$\because (x-2)^2≥0,\therefore (x-2)^2 -24≥-24$,
$\therefore y+x$的最小值为$-24$.
(3)解:$\because -x^2 +5x +y +20=0,\therefore y=x^2 -5x -20$,
$\therefore y+x=x^2 -4x -20=(x-2)^2 -24$.
$\because (x-2)^2≥0,\therefore (x-2)^2 -24≥-24$,
$\therefore y+x$的最小值为$-24$.
解析
【分析】
本题利用配方法结合平方的非负性求解代数式最值，解题思路如下：1. 对于二次项系数为正的二次式，配方成“完全平方式+常数”的形式，完全平方式最小值为0，因此整个式子的最小值就是常数，令完全平方式为0即可求出对应x的值；2. 对于二次项系数为负的二次式，先提取负号再配方，转化为“-完全平方式+常数”的形式，完全平方式最小值为0，因此整个式子的最大值就是常数；3. 第三问先通过已知等式用含x的式子表示y，代入y+x后再配方求最值即可。
【解析】
(1) 对$x^2+6x-10$配方：
$x^2+6x-10=x^2+6x+9-9-10=(x+3)^2-19$
$\because (x+3)^2≥0$，$\therefore$ 当$(x+3)^2=0$即$x=-3$时，式子取得最小值，最小值为$-19$。
(2) 对$-x^2+6x+9$配方：
$-x^2+6x+9=-(x^2-6x)+9=-(x^2-6x+9-9)+9=-(x-3)^2+9+9=-(x-3)^2+18$
$\because (x-3)^2≥0$，$\therefore -(x-3)^2≤0$，因此式子有最大值，当$(x-3)^2=0$时，最大值为$18$。
(3) 由$-x^2+5x+y+20=0$移项得：$y=x^2-5x-20$
将其代入$y+x$得：
$y+x=x^2-5x-20+x=x^2-4x-20$
对该式配方：$x^2-4x-20=x^2-4x+4-4-20=(x-2)^2-24$
$\because (x-2)^2≥0$，$\therefore (x-2)^2-24≥-24$，当$(x-2)^2=0$时，$y+x$取得最小值$-24$。
【答案】
(1) $-3$，$-19$；(2) 大，$18$；(3) $-24$
【知识点】
配方法的应用，偶次方的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，核心是通过配方将二次式转化为含完全平方的结构，再利用平方的非负性判断最值，解题时要注意二次项系数的正负对最值类型（最大/最小）的影响，熟练掌握完全平方公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
本题利用配方法结合平方的非负性求解代数式最值，解题思路如下：1. 对于二次项系数为正的二次式，配方成“完全平方式+常数”的形式，完全平方式最小值为0，因此整个式子的最小值就是常数，令完全平方式为0即可求出对应x的值；2. 对于二次项系数为负的二次式，先提取负号再配方，转化为“-完全平方式+常数”的形式，完全平方式最小值为0，因此整个式子的最大值就是常数；3. 第三问先通过已知等式用含x的式子表示y，代入y+x后再配方求最值即可。
【解析】
(1) 对$x^2+6x-10$配方：
$x^2+6x-10=x^2+6x+9-9-10=(x+3)^2-19$
$\because (x+3)^2≥0$，$\therefore$ 当$(x+3)^2=0$即$x=-3$时，式子取得最小值，最小值为$-19$。
(2) 对$-x^2+6x+9$配方：
$-x^2+6x+9=-(x^2-6x)+9=-(x^2-6x+9-9)+9=-(x-3)^2+9+9=-(x-3)^2+18$
$\because (x-3)^2≥0$，$\therefore -(x-3)^2≤0$，因此式子有最大值，当$(x-3)^2=0$时，最大值为$18$。
(3) 由$-x^2+5x+y+20=0$移项得：$y=x^2-5x-20$
将其代入$y+x$得：
$y+x=x^2-5x-20+x=x^2-4x-20$
对该式配方：$x^2-4x-20=x^2-4x+4-4-20=(x-2)^2-24$
$\because (x-2)^2≥0$，$\therefore (x-2)^2-24≥-24$，当$(x-2)^2=0$时，$y+x$取得最小值$-24$。
【答案】
(1) $-3$，$-19$；(2) 大，$18$；(3) $-24$
【知识点】
配方法的应用，偶次方的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，核心是通过配方将二次式转化为含完全平方的结构，再利用平方的非负性判断最值，解题时要注意二次项系数的正负对最值类型（最大/最小）的影响，熟练掌握完全平方公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
