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10.已知$(a^2 + b^2 + 1)(a^2 + b^2 - 1)=63$，求代数式$a^2 + b^2$的值.
答案
10.解:将原式变形,得$(a^2 + b^2)^2 -1=63$,
即$(a^2 + b^2)^2=64$.
$\because a^2≥0,b^2≥0,\therefore a^2 + b^2=8$.
即$(a^2 + b^2)^2=64$.
$\because a^2≥0,b^2≥0,\therefore a^2 + b^2=8$.
解析
【分析】
观察等式左边的结构，两个因式中均含有$a^2 + b^2$，且符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的形式，因此可将$a^2 + b^2$看作一个整体，先利用平方差公式展开等式左边，得到关于$a^2 + b^2$的一元二次方程，再用直接开平方法求解，最后结合平方的非负性舍去不符合要求的负根，即可得到结果。
【解析】
解：将$a^2 + b^2$看作整体，对原式利用平方差公式变形，得：
$(a^2 + b^2)^2 - 1^2 = 63$
整理可得$(a^2 + b^2)^2 = 64$
开平方得$a^2 + b^2 = ±8$
∵$a^2 ≥ 0$，$b^2 ≥ 0$，两个非负数的和仍为非负数
∴$a^2 + b^2 ≥ 0$，故舍去$a^2 + b^2 = -8$
最终得$a^2 + b^2 = 8$
【答案】
$\boxed{8}$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法解方程，平方的非负性
【点评】
本题考查整体思想在代数运算中的应用，解题核心是识别平方差结构简化运算，易错点是求解后容易忽略平方的非负性，错误保留负根。
【难度系数】
0.75
观察等式左边的结构，两个因式中均含有$a^2 + b^2$，且符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的形式，因此可将$a^2 + b^2$看作一个整体，先利用平方差公式展开等式左边，得到关于$a^2 + b^2$的一元二次方程，再用直接开平方法求解，最后结合平方的非负性舍去不符合要求的负根，即可得到结果。
【解析】
解：将$a^2 + b^2$看作整体，对原式利用平方差公式变形，得：
$(a^2 + b^2)^2 - 1^2 = 63$
整理可得$(a^2 + b^2)^2 = 64$
开平方得$a^2 + b^2 = ±8$
∵$a^2 ≥ 0$，$b^2 ≥ 0$，两个非负数的和仍为非负数
∴$a^2 + b^2 ≥ 0$，故舍去$a^2 + b^2 = -8$
最终得$a^2 + b^2 = 8$
【答案】
$\boxed{8}$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法解方程，平方的非负性
【点评】
本题考查整体思想在代数运算中的应用，解题核心是识别平方差结构简化运算，易错点是求解后容易忽略平方的非负性，错误保留负根。
【难度系数】
0.75
11.如图,将边长为x的正方形沿两边剪去宽度相同的矩形(阴影部分),剩下部分是一个边长为3的正方形.若剪去部分的面积为7,求x的值.
答案
11.解:由题意,得$x^2-3^2=7$,解得$x_1=4,x_2=-4$.
又$\because x＞0,\therefore x=4$.
又$\because x＞0,\therefore x=4$.
解析
【分析】
解题时先观察图形的面积关系：剪去的阴影部分面积等于边长为x的大正方形面积减去剩余边长为3的小正方形面积。首先根据这个等量关系列出一元二次方程，再用直接开平方法求解方程，最后结合边长为正数的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到x的取值。
【解析】
解：由题意可得，剪去部分的面积=大正方形面积-剩余小正方形面积，列方程得：
$x^2-3^2=7$
整理得：$x^2=16$
直接开平方得：$x=\pm4$
∵正方形边长x为正数，即$x＞0$
∴$x=-4$不符合实际意义，舍去
故$x=4$
【答案】
$x=4$
【知识点】
正方形面积计算、列一元二次方程、直接开平方法解方程
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题核心是找准图形的面积等量关系列方程，同时要注意结合实际情景对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形的面积关系：剪去的阴影部分面积等于边长为x的大正方形面积减去剩余边长为3的小正方形面积。首先根据这个等量关系列出一元二次方程，再用直接开平方法求解方程，最后结合边长为正数的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到x的取值。
【解析】
解：由题意可得，剪去部分的面积=大正方形面积-剩余小正方形面积，列方程得：
$x^2-3^2=7$
整理得：$x^2=16$
直接开平方得：$x=\pm4$
∵正方形边长x为正数，即$x＞0$
∴$x=-4$不符合实际意义，舍去
故$x=4$
【答案】
$x=4$
【知识点】
正方形面积计算、列一元二次方程、直接开平方法解方程
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题核心是找准图形的面积等量关系列方程，同时要注意结合实际情景对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.8
12. 对于实数 $ p,q $，我们用符号 $ \max\{p,q\} $ 表示 $ p,q $ 两数中较大的数，如 $ \max\{1,2\}=2 $。
(1) 请直接写出 $ \max\{-\sqrt{2}, -\sqrt{3}\} $ 的值；
(2) 我们知道，当 $ m^2=1 $ 时，$ m=\pm1 $，利用这一点解决问题：若 $ \max\{(x-1)^2, x^2\}=4 $，求 $ x $ 的值。
(1) 请直接写出 $ \max\{-\sqrt{2}, -\sqrt{3}\} $ 的值；
(2) 我们知道，当 $ m^2=1 $ 时，$ m=\pm1 $，利用这一点解决问题：若 $ \max\{(x-1)^2, x^2\}=4 $，求 $ x $ 的值。
答案
12.解:(1)$\because \sqrt{2}＜\sqrt{3},\therefore -\sqrt{2}＞-\sqrt{3}$,
$\therefore \max\{-\sqrt{2},-\sqrt{3}\}=-\sqrt{2}$.
(2)根据题意,得$(x-1)^2≠ x^2$,解得$x≠0.5$.
当$(x-1)^2＜x^2$时,$x＞0.5$,
$\therefore x^2=4$,解得$x_1=2,x_2=-2$(舍去);
当$(x-1)^2＞x^2$时,$x＜0.5$,
$\therefore (x-1)^2=4$,解得$x_1=3$(舍去),$x_2=-1$.
综上,$x$的值为2或$-1$.
$\therefore \max\{-\sqrt{2},-\sqrt{3}\}=-\sqrt{2}$.
(2)根据题意,得$(x-1)^2≠ x^2$,解得$x≠0.5$.
当$(x-1)^2＜x^2$时,$x＞0.5$,
$\therefore x^2=4$,解得$x_1=2,x_2=-2$(舍去);
当$(x-1)^2＞x^2$时,$x＜0.5$,
$\therefore (x-1)^2=4$,解得$x_1=3$(舍去),$x_2=-1$.
综上,$x$的值为2或$-1$.
解析
【分析】
（1）首先明确$\max\{p,q\}$的含义是取$p,q$两数中较大的数，要比较两个负数的大小，根据“负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则，先比较$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的大小，即可得出$-\sqrt{2}$和$-\sqrt{3}$的大小关系，进而得到结果。
（2）本问需先确定$(x-1)^2$和$x^2$的大小分界点：先求解两式相等时的$x$值，以此为界分两种情况讨论。每种情况让较大的式子等于4，用直接开平方法解一元二次方程，再验证解是否符合当前分类的$x$范围，不符合的舍去，最后汇总符合条件的$x$值即可。
【解析】
(1) $\because \sqrt{2}＜\sqrt{3}$，根据负数比较大小的规则可得$-\sqrt{2}＞-\sqrt{3}$，
$\therefore \max\{-\sqrt{2},-\sqrt{3}\}=-\sqrt{2}$。
(2) 先求$(x-1)^2=x^2$的解：
展开得$x^2-2x+1=x^2$，化简得$-2x+1=0$，解得$x=0.5$，即$x≠0.5$时两式大小不同：
① 当$(x-1)^2＜x^2$时，解不等式得$x＞0.5$，此时$\max\{(x-1)^2,x^2\}=x^2=4$，
开平方得$x=\pm2$，其中$x=-2$不满足$x＞0.5$，舍去，得$x=2$；
② 当$(x-1)^2＞x^2$时，解不等式得$x＜0.5$，此时$\max\{(x-1)^2,x^2\}=(x-1)^2=4$，
开平方得$x-1=\pm2$，即$x=3$或$x=-1$，其中$x=3$不满足$x＜0.5$，舍去，得$x=-1$。
综上，$x$的值为2或$-1$。
【答案】
(1) $-\sqrt{2}$；(2) $2$或$-1$
【知识点】
新定义运算，实数大小比较，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义考查基础知识点的灵活应用，解题核心是准确理解新定义的规则，合理进行分类讨论，求解后注意验证解是否符合分类的前提条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确$\max\{p,q\}$的含义是取$p,q$两数中较大的数，要比较两个负数的大小，根据“负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则，先比较$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的大小，即可得出$-\sqrt{2}$和$-\sqrt{3}$的大小关系，进而得到结果。
（2）本问需先确定$(x-1)^2$和$x^2$的大小分界点：先求解两式相等时的$x$值，以此为界分两种情况讨论。每种情况让较大的式子等于4，用直接开平方法解一元二次方程，再验证解是否符合当前分类的$x$范围，不符合的舍去，最后汇总符合条件的$x$值即可。
【解析】
(1) $\because \sqrt{2}＜\sqrt{3}$，根据负数比较大小的规则可得$-\sqrt{2}＞-\sqrt{3}$，
$\therefore \max\{-\sqrt{2},-\sqrt{3}\}=-\sqrt{2}$。
(2) 先求$(x-1)^2=x^2$的解：
展开得$x^2-2x+1=x^2$，化简得$-2x+1=0$，解得$x=0.5$，即$x≠0.5$时两式大小不同：
① 当$(x-1)^2＜x^2$时，解不等式得$x＞0.5$，此时$\max\{(x-1)^2,x^2\}=x^2=4$，
开平方得$x=\pm2$，其中$x=-2$不满足$x＞0.5$，舍去，得$x=2$；
② 当$(x-1)^2＞x^2$时，解不等式得$x＜0.5$，此时$\max\{(x-1)^2,x^2\}=(x-1)^2=4$，
开平方得$x-1=\pm2$，即$x=3$或$x=-1$，其中$x=3$不满足$x＜0.5$，舍去，得$x=-1$。
综上，$x$的值为2或$-1$。
【答案】
(1) $-\sqrt{2}$；(2) $2$或$-1$
【知识点】
新定义运算，实数大小比较，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义考查基础知识点的灵活应用，解题核心是准确理解新定义的规则，合理进行分类讨论，求解后注意验证解是否符合分类的前提条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
