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1.在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，动点$P$从点$A$沿线段$AB$向点$B$移动，动点$Q$从点$B$沿线段$BC$向点$C$移动，两点同时开始移动，点$P$的速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，点$Q$的速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，当点$Q$到达点$C$时两点同时停止运动.若使$△ PBQ$的面积为$5\ \mathrm{cm}^2$，则点$P$运动的时间是（
A.1 s
B.4 s
C.5 s或1 s
D.4 s或1 s
A
）A.1 s
B.4 s
C.5 s或1 s
D.4 s或1 s
答案
1.A
解析
【分析】
这是动点结合一元二次方程的几何应用问题，解题思路如下：首先先确定运动时间的合法取值范围，因为点Q到达C点后运动停止，先计算Q的最长运动时间得到t的范围；再用含t的代数式分别表示出Rt△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；接着根据直角三角形面积公式列出一元二次方程；最后解方程后结合t的取值范围舍去不符合实际的解，即可得到正确答案。
【解析】
设点P运动的时间为$t\ \mathrm{s}$。
先确定t的取值范围：点Q从B运动到C的时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，因此$0≤ t≤4$。
由题意得：$AP=1× t=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2× t=2t\ \mathrm{cm}$，
因此$PB=AB-AP=(6-t)\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ ABC=90°$，$△ PBQ$是直角三角形，其面积公式为$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ$，
令$S_{△ PBQ}=5\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$\frac{1}{2}×(6-t)×2t=5$
化简得：$t(6-t)=5$，整理为标准一元二次方程形式：$t^2-6t+5=0$
因式分解得：$(t-1)(t-5)=0$
解得$t_1=1$，$t_2=5$。
由于$t≤4$，$t=5$不符合运动实际，应舍去，故$t=1\ \mathrm{s}$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，动点问题，直角三角形面积计算
【点评】
本题将动点问题和一元二次方程结合考查，解题时要注意结合动点的运动范围对方程的解进行实际意义的验证，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
这是动点结合一元二次方程的几何应用问题，解题思路如下：首先先确定运动时间的合法取值范围，因为点Q到达C点后运动停止，先计算Q的最长运动时间得到t的范围；再用含t的代数式分别表示出Rt△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；接着根据直角三角形面积公式列出一元二次方程；最后解方程后结合t的取值范围舍去不符合实际的解，即可得到正确答案。
【解析】
设点P运动的时间为$t\ \mathrm{s}$。
先确定t的取值范围：点Q从B运动到C的时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，因此$0≤ t≤4$。
由题意得：$AP=1× t=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2× t=2t\ \mathrm{cm}$，
因此$PB=AB-AP=(6-t)\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ ABC=90°$，$△ PBQ$是直角三角形，其面积公式为$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ$，
令$S_{△ PBQ}=5\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$\frac{1}{2}×(6-t)×2t=5$
化简得：$t(6-t)=5$，整理为标准一元二次方程形式：$t^2-6t+5=0$
因式分解得：$(t-1)(t-5)=0$
解得$t_1=1$，$t_2=5$。
由于$t≤4$，$t=5$不符合运动实际，应舍去，故$t=1\ \mathrm{s}$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，动点问题，直角三角形面积计算
【点评】
本题将动点问题和一元二次方程结合考查，解题时要注意结合动点的运动范围对方程的解进行实际意义的验证，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
2.如图,将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C'.若两个三角形重叠部分的面积为1 cm²,则它移动的距离AA'等于（
A.0.5 cm
B.1 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
B
）A.0.5 cm
B.1 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
答案
2.B
解析
【分析】
首先，正方形沿对角线剪开得到的两个三角形均为等腰直角三角形，将△ABC平移后，重叠部分为平行四边形，且该平行四边形的边长与平移距离AA'存在直接关联。我们可以设平移距离AA'为x cm，用含x的式子表示出重叠部分的底和对应高，再结合重叠部分面积为1 cm²的条件列一元二次方程求解即可。
【解析】
设平移的距离AA'为$ x \, \mathrm{cm} $，则$ A'D = AD - AA' = (2 - x) \, \mathrm{cm} $。
在正方形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，故$ ∠ DAC = 45° $，平移后$ A'B' ⊥ AD $，可得重叠部分为平行四边形：它的底为$ AA' = x \, \mathrm{cm} $，对应高等于$ A'D = (2 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据平行四边形面积公式$ \mathrm{面积}=\mathrm{底}×\mathrm{高} $，列方程：
$x(2 - x) = 1$
整理得：
$x^2 - 2x + 1 = 0$
解得$ x_1 = x_2 = 1 $，即$ AA' = 1 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质，一元二次方程的应用，平行四边形面积计算
【点评】
本题是几何变换与方程结合的基础题，解题核心是找准平移距离与重叠部分边长的对应关系，结合面积公式建立方程求解，能有效考查学生的数形结合能力。
【难度系数】
0.7
首先，正方形沿对角线剪开得到的两个三角形均为等腰直角三角形，将△ABC平移后，重叠部分为平行四边形，且该平行四边形的边长与平移距离AA'存在直接关联。我们可以设平移距离AA'为x cm，用含x的式子表示出重叠部分的底和对应高，再结合重叠部分面积为1 cm²的条件列一元二次方程求解即可。
【解析】
设平移的距离AA'为$ x \, \mathrm{cm} $，则$ A'D = AD - AA' = (2 - x) \, \mathrm{cm} $。
在正方形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，故$ ∠ DAC = 45° $，平移后$ A'B' ⊥ AD $，可得重叠部分为平行四边形：它的底为$ AA' = x \, \mathrm{cm} $，对应高等于$ A'D = (2 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据平行四边形面积公式$ \mathrm{面积}=\mathrm{底}×\mathrm{高} $，列方程：
$x(2 - x) = 1$
整理得：
$x^2 - 2x + 1 = 0$
解得$ x_1 = x_2 = 1 $，即$ AA' = 1 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质，一元二次方程的应用，平行四边形面积计算
【点评】
本题是几何变换与方程结合的基础题，解题核心是找准平移距离与重叠部分边长的对应关系，结合面积公式建立方程求解，能有效考查学生的数形结合能力。
【难度系数】
0.7
3.给定一个矩形,如果存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半,则我们称这个矩形是给定矩形的“减半矩形”,当已知矩形的长和宽分别为$3+\sqrt{5}$和$3-\sqrt{5}$时,其“减半矩形”的对角线长为
$\sqrt{5}$
。答案
3.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先计算已知矩形的周长和面积，根据“减半矩形”的定义，得到“减半矩形”的周长和面积；接着设“减半矩形”的长为a、宽为b，根据周长和面积公式求出a+b与ab的值；最后利用完全平方公式的变形，将对角线长$\sqrt{a^2+b^2}$转化为$\sqrt{(a+b)^2-2ab}$，代入数值计算即可得到结果，无需单独求解a、b的具体值，使用整体代换思想可以简化计算。
【解析】
第一步：计算已知矩形的周长和面积
已知矩形的长为$3+\sqrt{5}$，宽为$3-\sqrt{5}$
原矩形周长：$C_原=2×[(3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})]=2×6=12$
原矩形面积：$S_原=(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=3^2-(\sqrt{5})^2=9-5=4$
第二步：根据“减半矩形”定义，得到减半矩形的周长和面积
$C_半=\frac{1}{2}C_原=\frac{1}{2}×12=6$，$S_半=\frac{1}{2}S_原=\frac{1}{2}×4=2$
第三步：设减半矩形的长为$a$，宽为$b$，根据矩形周长、面积公式可得：
$2(a+b)=6 \implies a+b=3$，$ab=2$
第四步：计算减半矩形的对角线长
矩形对角线长$l=\sqrt{a^2+b^2}$，由完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×2=9-4=5$
因此$l=\sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
1. 矩形相关量计算
2. 完全平方公式变形
3. 二次根式运算
【点评】
本题结合新定义考查代数运算能力，解题的核心是灵活运用整体代换思想，借助完全平方公式的变形避免求解长和宽的具体数值，简化了计算过程，能有效考查对公式的灵活运用水平。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先计算已知矩形的周长和面积，根据“减半矩形”的定义，得到“减半矩形”的周长和面积；接着设“减半矩形”的长为a、宽为b，根据周长和面积公式求出a+b与ab的值；最后利用完全平方公式的变形，将对角线长$\sqrt{a^2+b^2}$转化为$\sqrt{(a+b)^2-2ab}$，代入数值计算即可得到结果，无需单独求解a、b的具体值，使用整体代换思想可以简化计算。
【解析】
第一步：计算已知矩形的周长和面积
已知矩形的长为$3+\sqrt{5}$，宽为$3-\sqrt{5}$
原矩形周长：$C_原=2×[(3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})]=2×6=12$
原矩形面积：$S_原=(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=3^2-(\sqrt{5})^2=9-5=4$
第二步：根据“减半矩形”定义，得到减半矩形的周长和面积
$C_半=\frac{1}{2}C_原=\frac{1}{2}×12=6$，$S_半=\frac{1}{2}S_原=\frac{1}{2}×4=2$
第三步：设减半矩形的长为$a$，宽为$b$，根据矩形周长、面积公式可得：
$2(a+b)=6 \implies a+b=3$，$ab=2$
第四步：计算减半矩形的对角线长
矩形对角线长$l=\sqrt{a^2+b^2}$，由完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×2=9-4=5$
因此$l=\sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
1. 矩形相关量计算
2. 完全平方公式变形
3. 二次根式运算
【点评】
本题结合新定义考查代数运算能力，解题的核心是灵活运用整体代换思想，借助完全平方公式的变形避免求解长和宽的具体数值，简化了计算过程，能有效考查对公式的灵活运用水平。
【难度系数】
0.7
4.《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间走7步，乙单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为t，则t=
3.5
。答案
4.3.5
解析
【分析】
首先明确相遇时甲、乙两人的运动时间均为t，先根据路程=速度×时间分别表示出两人的运动路程：乙全程向东走，路程为3t；甲总路程为7t，其中先向南走10步，因此斜向走的路程为7t-10。其次观察行走路径可知，甲向南走的10步、乙向东走的路程、甲斜向走的路程刚好构成直角三角形的三条边，因此可借助勾股定理列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可得到t的值。
【解析】
设甲乙两人相遇的时间为t，根据题意：
1. 乙向东走的路程为$3t$；
2. 甲走的总路程为$7t$，则甲斜向北偏东走的路程为$7t-10$；
3. 甲向南走的10步、乙向东走的$3t$步、甲斜走的$7t-10$步构成直角三角形，由勾股定理列方程：
$10^2 + (3t)^2 = (7t - 10)^2$
展开并整理方程：
$100 + 9t^2 = 49t^2 - 140t + 100$
$40t^2 - 140t = 0$
因式分解得：
$20t(2t - 7) = 0$
解得$t_1=0$（不符合相遇的实际情况，舍去），$t_2=3.5$。
【答案】
3.5
【知识点】
勾股定理的应用；一元二次方程求解；行程问题
【点评】
本题以《九章算术》的经典问题为背景，兼具趣味性和实用性，解题的核心是梳理清楚两人行走路径对应的直角三角形三边关系，建立方程后注意对根进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
首先明确相遇时甲、乙两人的运动时间均为t，先根据路程=速度×时间分别表示出两人的运动路程：乙全程向东走，路程为3t；甲总路程为7t，其中先向南走10步，因此斜向走的路程为7t-10。其次观察行走路径可知，甲向南走的10步、乙向东走的路程、甲斜向走的路程刚好构成直角三角形的三条边，因此可借助勾股定理列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可得到t的值。
【解析】
设甲乙两人相遇的时间为t，根据题意：
1. 乙向东走的路程为$3t$；
2. 甲走的总路程为$7t$，则甲斜向北偏东走的路程为$7t-10$；
3. 甲向南走的10步、乙向东走的$3t$步、甲斜走的$7t-10$步构成直角三角形，由勾股定理列方程：
$10^2 + (3t)^2 = (7t - 10)^2$
展开并整理方程：
$100 + 9t^2 = 49t^2 - 140t + 100$
$40t^2 - 140t = 0$
因式分解得：
$20t(2t - 7) = 0$
解得$t_1=0$（不符合相遇的实际情况，舍去），$t_2=3.5$。
【答案】
3.5
【知识点】
勾股定理的应用；一元二次方程求解；行程问题
【点评】
本题以《九章算术》的经典问题为背景，兼具趣味性和实用性，解题的核心是梳理清楚两人行走路径对应的直角三角形三边关系，建立方程后注意对根进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
5.(徐州中考改编)如图,东西和南北两条街道交于点O,甲沿东西街道由西向东走,速度是4 m/s;乙沿南北街道由南向北走,速度是3 m/s.当乙通过点O又继续前进50 m时,甲刚好通过点O,两人在甲通过点O之后,经过多少秒相距85 m?
答案
5. 解:设两人在甲通过点O之后,经过x s相距85 m,
此时甲位于A点,乙位于B点.
根据题意,得OB=(3x+50)m,OA=4x m.
由$OB^2+OA^2=AB^2$,得$(3x+50)^2+(4x)^2=85^2$,
整理,得$x^2+12x-189=0$,
解得$x_1=-21$(不合题意,舍去),$x_2=9$.
答:经过9 s相距85 m.
此时甲位于A点,乙位于B点.
根据题意,得OB=(3x+50)m,OA=4x m.
由$OB^2+OA^2=AB^2$,得$(3x+50)^2+(4x)^2=85^2$,
整理,得$x^2+12x-189=0$,
解得$x_1=-21$(不合题意,舍去),$x_2=9$.
答:经过9 s相距85 m.
解析
【分析】
解题时首先明确两人的运动方向互相垂直，因此某一时刻两人的位置与点O构成直角三角形，两人的距离是直角三角形的斜边。我们可以设经过的时间为x秒，先分别用含x的代数式表示出此时甲、乙到点O的距离，再结合勾股定理列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
解：设两人在甲通过点O之后，经过x s相距85 m，此时甲位于A点，乙位于B点。
根据题意，甲从O点向东走，速度为4m/s，因此$OA=4x\ \mathrm{m}$；
乙在甲通过O点时已经过O点向北走了50m，之后继续以3m/s向北走，因此$OB=(3x+50)\ \mathrm{m}$。
由$∠ AOB=90°$，根据勾股定理可得$OB^2+OA^2=AB^2$，代入数据得：
$(3x+50)^2+(4x)^2=85^2$
展开整理得$9x^2+300x+2500+16x^2=7225$，
合并同类项并化简得$x^2+12x-189=0$，
解得$x_1=-21$（时间不能为负，不合题意，舍去），$x_2=9$。
【答案】
经过9 s相距85 m
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；行程问题
【点评】
本题将行程问题与直角三角形性质结合，解题的核心是根据运动状态正确表示直角三角形的三边长，列方程求解时要注意结合实际情境对根进行取舍，是典型的方程与几何结合的应用题。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两人的运动方向互相垂直，因此某一时刻两人的位置与点O构成直角三角形，两人的距离是直角三角形的斜边。我们可以设经过的时间为x秒，先分别用含x的代数式表示出此时甲、乙到点O的距离，再结合勾股定理列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
解：设两人在甲通过点O之后，经过x s相距85 m，此时甲位于A点，乙位于B点。
根据题意，甲从O点向东走，速度为4m/s，因此$OA=4x\ \mathrm{m}$；
乙在甲通过O点时已经过O点向北走了50m，之后继续以3m/s向北走，因此$OB=(3x+50)\ \mathrm{m}$。
由$∠ AOB=90°$，根据勾股定理可得$OB^2+OA^2=AB^2$，代入数据得：
$(3x+50)^2+(4x)^2=85^2$
展开整理得$9x^2+300x+2500+16x^2=7225$，
合并同类项并化简得$x^2+12x-189=0$，
解得$x_1=-21$（时间不能为负，不合题意，舍去），$x_2=9$。
【答案】
经过9 s相距85 m
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；行程问题
【点评】
本题将行程问题与直角三角形性质结合，解题的核心是根据运动状态正确表示直角三角形的三边长，列方程求解时要注意结合实际情境对根进行取舍，是典型的方程与几何结合的应用题。
【难度系数】
0.7
