1. 下列函数中，变量$y$是$x$的反比例函数的是 （）

A.$y=\dfrac{x}{3}$
B.$y=\dfrac{3}{x+1}$
C.$y=\dfrac{3}{x}$
D.$y=3x$

1.C

【分析】
解题的核心是明确反比例函数的定义，解题思路为：先回忆反比例函数的标准形式，再逐一将各选项与标准形式比对，排除不符合定义的选项，最终选出正确答案。反比例函数的标准形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$，$x≠0$），需注意分母只能是单个自变量$x$，不能带有其他常数项，且$x$的次数为$-1$。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$，$x≠0$）的函数，叫做$y$关于$x$的反比例函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=\dfrac{x}{3}=\dfrac{1}{3}x$，符合正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，是正比例函数，不是反比例函数，排除；
选项B：$y=\dfrac{3}{x+1}$的分母为$x+1$，不是单个自变量$x$，不符合反比例函数的形式，排除；
选项C：$y=\dfrac{3}{x}$符合反比例函数的标准形式，其中$k=3≠0$，是反比例函数，符合要求；
选项D：$y=3x$是正比例函数，不是反比例函数，排除。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握反比例函数的标准形式，注意区分反比例函数与正比例函数、分母含自变量加减常数的函数的差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

2.(2025·湖南)对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，下列结论正确的是 （）

A.点(2,2)在该函数的图象上
B.该函数的图象分别位于第二、四象限
C.当$x＜0$时，y随x的增大而增大
D.当$x＞0$时，y随x的增大而减小

2.D

【分析】
解决本题需先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的相关性质：①当$k＞0$时，图象分别位于第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，图象分别位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。②若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式。解题时先确定本题中$k=2＞0$，再逐一验证四个选项即可得出正确答案。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$，可得$k=2＞0$。
对选项A：将$x=2$代入解析式，得$y=\frac{2}{2}=1≠2$，故点$(2,2)$不在该函数图象上，A错误；
对选项B：因$k=2＞0$，故该函数图象位于第一、三象限，B错误；
对选项C：当$x＜0$时，函数图象位于第三象限，$k＞0$，此时$y$随$x$的增大而减小，C错误；
对选项D：当$x＞0$时，函数图象位于第一象限，$k＞0$，此时$y$随$x$的增大而减小，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质 2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数中$k$值对图象位置、增减性的影响，解题时需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，避免忽略前提判断失误。
【难度系数】
0.8

3. 在平面直角坐标系$xOy$中,若反比例函数$y=\frac{k-2}{x}$的图象位于第二、四象限,则$k$的取值范围是________.

3.$k＜2$

【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m≠0$）的图象所在象限由比例系数$m$的符号决定，当$m＜0$时，图象位于第二、四象限；当$m＞0$时，图象位于第一、三象限。本题已知反比例函数图象在第二、四象限，首先确定本题的比例系数为$k-2$，再根据性质列不等式，最后解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$），若图象位于第二、四象限，则比例系数$m＜0$。
本题中反比例函数为$y=\frac{k-2}{x}$，其比例系数为$k-2$，结合题意得：
$k-2 ＜ 0$
移项解得：$k ＜ 2$
【答案】
$k＜2$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数系数与图象所在象限的对应关系，解题的关键是准确记忆反比例函数的性质，避免和其他函数的性质混淆。
【难度系数】
0.9

4.已知反比例函数$y=\frac{k^2 +1}{x}$的图象上的三个点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$，其中$x_1＜0＜x_2＜x_3$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是.(用“＜”连接)

4.$y_1＜y_3＜y_2$

【分析】
要比较三个函数值的大小，首先需要判断反比例函数的比例系数符号，确定函数图象所在的象限及增减性，再结合三个点横坐标的正负判断各点所在的象限，分象限比较函数值的大小：首先，比例系数$k^2+1$恒为正，因此函数图象在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；其次$x_1＜0$，对应点在第三象限，函数值为负，$x_2$、$x_3$均大于0，对应点在第一象限，函数值为正，因此$y_1$最小；最后在第一象限内根据$x_2＜x_3$结合增减性即可判断$y_2$和$y_3$的大小关系。
【解析】
解：
∵对于任意实数$k$，$k^2≥0$，
∴$k^2+1≥1＞0$，
∴反比例函数$y=\frac{k^2 +1}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$x_1＜0$，
∴点$(x_1,y_1)$在第三象限，因此$y_1＜0$。
∵$0＜x_2＜x_3$，
∴点$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$在第一象限，因此$y_2＞0$，$y_3＞0$。
又
∵在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，且$x_2＜x_3$，
∴$y_2＞y_3$。
综上可得：$y_1＜y_3＜y_2$。
【答案】
$y_1＜y_3＜y_2$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；实数大小比较
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是先判断函数图象所在象限，再分象限比较函数值大小，注意反比例函数的增减性是在同一象限内成立的，跨象限比较时要结合正负性判断，避免直接套用增减性出错。
【难度系数】
0.75

5.设直线$y=kx(k＜0)$与双曲线$y=-\dfrac{5}{x}$相交于$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$两点,则$x_{1}y_{2}-3x_{2}y_{1}$的值为________。

5.$-10$

【分析】
本题可利用正比例函数与反比例函数图象的中心对称性质求解：首先，正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两个交点A、B也关于原点对称，即$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$；其次，交点在双曲线上，满足反比例函数解析式，可得$x_1y_1=-5$；最后将所求代数式用$x_1、y_1$替换化简，整体代入求值即可，无需计算具体交点坐标。
【解析】
1. 由正比例函数$y=kx$和反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象均关于原点中心对称，可知两交点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$关于原点对称，因此有：$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$。
2. 因为点$A(x_1,y_1)$在双曲线$y=-\dfrac{5}{x}$上，将点代入解析式得：$y_1=-\dfrac{5}{x_1}$，整理得$x_1y_1=-5$。
3. 将$x_2=-x_1$、$y_2=-y_1$代入$x_1y_2-3x_2y_1$化简：
$\begin{aligned}x_1y_2-3x_2y_1&=x_1·(-y_1)-3·(-x_1)· y_1\\&=-x_1y_1+3x_1y_1\\&=2x_1y_1\end{aligned}$
4. 将$x_1y_1=-5$代入上式，得：$2×(-5)=-10$。
【答案】
$-10$
【知识点】
反比例函数图象性质，中心对称的性质，代数式化简求值
【点评】
本题是反比例函数与一次函数交点的典型题型，解题关键是利用两类函数图象的中心对称性得到交点坐标的关系，采用整体代入的方法计算，避免了求解方程的繁琐运算，技巧性较强。
【难度系数】
0.7

6.如图，点A，B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，$AC⊥ y$轴，垂足为D，$BC⊥ AC$。若四边形AOBC的面积为6，$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，则k的值为。

6.3

【分析】
本题可结合反比例函数k的几何意义，通过设点坐标表示相关点的位置，再用割补法计算不规则四边形的面积，建立方程求解k。首先设第一象限内点A的坐标为$(t,\frac{k}{t})$，由$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$可得AC=2t，进而推出点C、B的坐标；再通过大矩形面积减去两个直角三角形的面积得到四边形AOBC的面积表达式，结合已知面积为6即可求出k的值。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限，
∴$k＞0$。
设点A的坐标为$(t, \frac{k}{t})$（$t＞0$）。
∵$AD⊥ y$轴，垂足为D，
∴$AD=t$，$OD=\frac{k}{t}$。
由$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，得$AC=2AD=2t$。
∵$BC⊥ AC$，AC为水平线段，
∴点C的横坐标为$t+2t=3t$，纵坐标与A相同为$\frac{k}{t}$；点B的横坐标与C相同为$3t$。
∵点B在$y=\frac{k}{x}$上，
∴点B的纵坐标为$\frac{k}{3t}$。
计算四边形AOBC的面积：
横坐标从0到$3t$、纵坐标从0到$\frac{k}{t}$的大矩形面积为：$3t × \frac{k}{t}=3k$
$S_{△ ODA}=\frac{1}{2}× AD × OD=\frac{1}{2}× t × \frac{k}{t}=\frac{k}{2}$
点B向x轴作垂线，垂足为E，则$S_{△ OBE}=\frac{1}{2}× OE × BE=\frac{1}{2}× 3t × \frac{k}{3t}=\frac{k}{2}$
∴$S_{四边形AOBC}=3k - S_{△ ODA} - S_{△ OBE}=3k-\frac{k}{2}-\frac{k}{2}=2k$
已知$S_{四边形AOBC}=6$，
∴$2k=6$，解得$k=3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数k的几何意义；割补法求面积；坐标与图形性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形的综合题，解题核心是利用坐标表示各点位置，通过割补法将不规则四边形的面积转化为规则图形的面积差，建立关于k的方程求解，较好地考查了数形结合的思想应用。
【难度系数】
0.6

三、解答题
7.已知反比例函数$y=-\frac{6}{x}$.
(1)当$y＞3$时，$x$的取值范围是；
(2)当$0＜y≤3$时，$x$的取值范围是；
(3)当$y＜-3$时，$x$的取值范围是；
(4)当$-3≤ y＜0$时，$x$的取值范围是；
(5)当$y＜3$时，$x$的取值范围是；
(6)当$-3＜y≤3$时，$x$的取值范围是.

7.(1)$-2＜x＜0$ (2)$x≤-2$ (3)$0＜x＜2$
(4)$x≥2$ (5)$x＜-2$或$x＞0$ (6)$x＞2$或$x≤-2$

【分析】
首先回忆反比例函数$y=-\frac{6}{x}$的基本性质：$k=-6＜0$，图象位于第二、四象限，$x＞0$时$y$恒为负，$x＜0$时$y$恒为正，且每个象限内$y$随$x$的增大而增大。解题时先根据$y$的正负判断对应$x$所在的象限，再列分式不等式求解，注意解分式不等式时乘负数要改变不等号方向；若$y$的取值范围跨正负，需分$x＞0$、$x＜0$两种情况分类讨论，避免漏解。
【解析】
反比例函数$y=-\frac{6}{x}$中$k=-6＜0$，图象位于第二、四象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大；且$x＞0$时$y＜0$，$x＜0$时$y＞0$。
(1) $y＞3$时$y$为正，故$x＜0$，列不等式：
$-\frac{6}{x}＞3$
两边同乘负数$x$，不等号变向得$-6＜3x$，解得$x＞-2$，结合$x＜0$得$-2＜x＜0$。
(2) $0＜y≤3$时$y$为正，故$x＜0$，列不等式：
$-\frac{6}{x}≤3$
两边同乘负数$x$，不等号变向得$-6≥3x$，解得$x≤-2$，结合$x＜0$得$x≤-2$。
(3) $y＜-3$时$y$为负，故$x＞0$，列不等式：
$-\frac{6}{x}＜-3$
两边同乘正数$x$，不等号方向不变得$-6＜-3x$，解得$x＜2$，结合$x＞0$得$0＜x＜2$。
(4) $-3≤y＜0$时$y$为负，故$x＞0$，列不等式：
$-\frac{6}{x}≥-3$
两边同乘正数$x$，不等号方向不变得$-6≥-3x$，除以$-3$变号得$x≥2$，结合$x＞0$得$x≥2$。
(5) $y＜3$时分两种情况：
① $y＞0$（$x＜0$）时，$-\frac{6}{x}＜3$，乘负数$x$变号得$-6＞3x$，解得$x＜-2$；
② $y＜0$（$x＞0$）时，$y$恒小于0，必然满足$y＜3$，故$x＞0$均符合。
综上得$x＜-2$或$x＞0$。
(6) $-3＜y≤3$时分两种情况：
① $0＜y≤3$（$x＜0$）时，同(2)解得$x≤-2$；
② $-3＜y＜0$（$x＞0$）时，$-\frac{6}{x}＞-3$，乘正数$x$不变号得$-6＞-3x$，解得$x＞2$。
综上得$x＞2$或$x≤-2$。
【答案】
(1)$-2＜x＜0$ (2)$x≤-2$ (3)$0＜x＜2$ (4)$x≥2$ (5)$x＜-2$或$x＞0$ (6)$x＞2$或$x≤-2$
【知识点】
反比例函数的性质，分式不等式求解，分类讨论思想
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题核心是注意反比例函数图象是分段的，增减性仅在单个象限内成立，必须根据$y$的正负分象限讨论，同时解分式不等式时要注意分母正负对不等号方向的影响，避免符号错误。
【难度系数】
0.65