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8.学校要对学生宿舍进行消毒工作.先经过5 min的集中药物喷洒,再封闭宿舍10 min,然后打开门窗进行通风,宿舍内空气中含药量$y(\mathrm{mg/m}^3)$与时间$x(\mathrm{min})$之间的函数图象如图所示,打开门窗前为线段OA和线段AB,打开门窗后为反比例函数关系.
(1)求线段OA和反比例函数的表达式；
(2)当室内空气中的含药量不低于$4\ \mathrm{mg/m}^3$且持续时间不低于$30\ \mathrm{min}$时,才能有效消毒,请问这次消毒工作是否有效?并说明理由.
(1)求线段OA和反比例函数的表达式；
(2)当室内空气中的含药量不低于$4\ \mathrm{mg/m}^3$且持续时间不低于$30\ \mathrm{min}$时,才能有效消毒,请问这次消毒工作是否有效?并说明理由.
答案
8.解:(1)设线段OA的函数表达式为$y=kx$，
把$(5,10)$代入,得$10=5k$,解得$k=2$，
∴线段OA的函数表达式为$y=2x(0≤x≤5)$。
设反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$，
将$(15,9)$代入,得$k=15×9=135$，
则反比例函数的表达式为$y=\frac{135}{x}(x≥15)$。
(2)此次消毒工作有效。
理由:将$y=4$代入$y=2x$,得$x=2$，
将$y=4$代入$y=\frac{135}{x}$,得$x=33.75$。
∵$33.75-2=31.75＞30$,
∴此次消毒工作有效。
把$(5,10)$代入,得$10=5k$,解得$k=2$，
∴线段OA的函数表达式为$y=2x(0≤x≤5)$。
设反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$，
将$(15,9)$代入,得$k=15×9=135$，
则反比例函数的表达式为$y=\frac{135}{x}(x≥15)$。
(2)此次消毒工作有效。
理由:将$y=4$代入$y=2x$,得$x=2$，
将$y=4$代入$y=\frac{135}{x}$,得$x=33.75$。
∵$33.75-2=31.75＞30$,
∴此次消毒工作有效。
解析
【分析】
(1) 求解函数表达式首先判断函数类型：线段OA过原点，属于正比例函数，设表达式为$y=kx$，只需代入OA上已知点A的坐标即可求出参数k，同时标注自变量的取值范围；打开门窗后是反比例函数，设表达式为$y=\frac{k}{x}$，代入反比例段上已知点B的坐标即可求出参数k，标注对应自变量范围。
(2) 要判断消毒是否有效，需先求出含药量为$4\ \mathrm{mg/m}^3$时对应的两个时间点：分别代入OA段的正比例函数和开窗后的反比例函数，求出对应的x值，两个x值的差就是含药量不低于$4\ \mathrm{mg/m}^3$的持续时间，将这个时长和30min比较即可得出结论。
【解析】
(1) 设线段OA的函数表达式为$y=kx$，
将点$A(5,10)$代入表达式，得$10=5k$，解得$k=2$，
∴线段OA的函数表达式为$y=2x\ (0≤ x≤5)$。
设开窗后反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$，
将点$B(15,9)$代入表达式，得$k=15×9=135$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{135}{x}\ (x≥15)$。
(2) 此次消毒工作有效，理由如下：
将$y=4$代入$y=2x$，得$4=2x$，解得$x=2$；
将$y=4$代入$y=\frac{135}{x}$，得$4=\frac{135}{x}$，解得$x=33.75$。
含药量不低于$4\ \mathrm{mg/m}^3$的持续时间为$33.75-2=31.75\ \mathrm{min}$，
∵$31.75＞30$，
∴此次消毒工作有效。
【答案】
(1) 线段OA的表达式为$\boldsymbol{y=2x\ (0≤ x≤5)}$，反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{135}{x}\ (x≥15)}$；
(2) 这次消毒工作$\boldsymbol{有效}$。
【知识点】
正比例函数解析式求解；反比例函数解析式求解；函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的消毒场景考查分段函数的应用，解题核心是准确识别不同阶段的函数类型，利用图象给出的定点求出对应解析式，再结合函数值求解对应自变量并计算时长，解题时要注意各分段函数的自变量取值范围，避免出现范围错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求解函数表达式首先判断函数类型：线段OA过原点，属于正比例函数，设表达式为$y=kx$，只需代入OA上已知点A的坐标即可求出参数k，同时标注自变量的取值范围；打开门窗后是反比例函数，设表达式为$y=\frac{k}{x}$，代入反比例段上已知点B的坐标即可求出参数k，标注对应自变量范围。
(2) 要判断消毒是否有效，需先求出含药量为$4\ \mathrm{mg/m}^3$时对应的两个时间点：分别代入OA段的正比例函数和开窗后的反比例函数，求出对应的x值，两个x值的差就是含药量不低于$4\ \mathrm{mg/m}^3$的持续时间，将这个时长和30min比较即可得出结论。
【解析】
(1) 设线段OA的函数表达式为$y=kx$，
将点$A(5,10)$代入表达式，得$10=5k$，解得$k=2$，
∴线段OA的函数表达式为$y=2x\ (0≤ x≤5)$。
设开窗后反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$，
将点$B(15,9)$代入表达式，得$k=15×9=135$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{135}{x}\ (x≥15)$。
(2) 此次消毒工作有效，理由如下：
将$y=4$代入$y=2x$，得$4=2x$，解得$x=2$；
将$y=4$代入$y=\frac{135}{x}$，得$4=\frac{135}{x}$，解得$x=33.75$。
含药量不低于$4\ \mathrm{mg/m}^3$的持续时间为$33.75-2=31.75\ \mathrm{min}$，
∵$31.75＞30$，
∴此次消毒工作有效。
【答案】
(1) 线段OA的表达式为$\boldsymbol{y=2x\ (0≤ x≤5)}$，反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{135}{x}\ (x≥15)}$；
(2) 这次消毒工作$\boldsymbol{有效}$。
【知识点】
正比例函数解析式求解；反比例函数解析式求解；函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的消毒场景考查分段函数的应用，解题核心是准确识别不同阶段的函数类型，利用图象给出的定点求出对应解析式，再结合函数值求解对应自变量并计算时长，解题时要注意各分段函数的自变量取值范围，避免出现范围错误。
【难度系数】
0.7
9.如图,一次函数$y=2x+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象的一个交点为$A(2,6)$.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)将一次函数$y=2x+b$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$B(-1,m),C(n,2)$,求$S_{△ ABC}$的值.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)将一次函数$y=2x+b$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$B(-1,m),C(n,2)$,求$S_{△ ABC}$的值.
答案
9.解:(1)
∵一次函数$y=2x+b$的图象经过点$A(2,6)$，
∴$6=2×2+b$,解得$b=2$，
∴一次函数的表达式为$y=2x+2$。
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$A(2,6)$，
∴$6=\frac{m}{2}$,解得$m=12$,
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2)
∵将一次函数$y=2x+2$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象相交于点B,C，
∴直线BC的函数表达式为$y=2x+2-12=2x-10$，
∴$B(-1,-12),C(6,2)$。
如答图,过点A作$AT// y$轴交直线BC于点T。
∵$A(2,6)$,
∴点T的横坐标为2，
在$y=2x-10$中,当$x=2$时,$y=2×2-10=-6$，
∴$T(2,-6)$,
∴$AT=6-(-6)=12$，
∴$S_{△ABC}=S_{△ABT}+S_{△ACT}=\frac{1}{2}×12×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×12×(6-2)=18+24=42$。
解析
【分析】
(1) 交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此将点A(2,6)分别代入一次函数和反比例函数的表达式，即可求出未知参数b和m，进而得到两个函数的表达式。
(2) 首先根据函数图象平移“上加下减”的规律，求出平移后直线BC的解析式；再代入B、C两点的坐标特征，求出B、C的具体坐标。求△ABC的面积时采用割补法：过点A作平行于y轴的直线交BC于点T，将△ABC拆分为共底AT的两个小三角形，两个小三角形的高分别对应点B到AT的水平距离、点C到AT的水平距离，分别计算两个小三角形的面积求和即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1)
∵一次函数$y=2x+b$的图象经过点$A(2,6)$，
∴$6=2×2+b$，解得$b=2$，
∴一次函数的表达式为$y=2x+2$。
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$A(2,6)$，
∴$6=\frac{m}{2}$，解得$m=12$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2)
∵将一次函数$y=2x+2$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度得到直线BC，
∴直线BC的函数表达式为$y=2x+2-12=2x-10$。
将$B(-1,m)$代入$y=2x-10$，得$m=2×(-1)-10=-12$，即$B(-1,-12)$；
将$C(n,2)$代入$y=2x-10$，得$2=2n-10$，解得$n=6$，即$C(6,2)$。
如答图，过点A作$AT// y$轴交直线BC于点T。
∵$A(2,6)$，
∴点T的横坐标为2，
将$x=2$代入$y=2x-10$，得$y=2×2-10=-6$，
∴$T(2,-6)$，
∴$AT=6-(-6)=12$。
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABT}+S_{△ ACT}=\frac{1}{2}×AT×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×AT×(6-2)=\frac{1}{2}×12×3+\frac{1}{2}×12×4=18+24=42$。
【答案】
(1) 一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=2x+2}$，反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$；
(2) $\boldsymbol{S_{△ ABC}=42}$
辅助线参考：
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象平移，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了函数解析式求解、图象平移规律、坐标系中图形面积计算等核心考点，解题的关键是熟练掌握函数的基本性质，灵活运用割补法简化面积计算过程。
【难度系数】
0.65
(1) 交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此将点A(2,6)分别代入一次函数和反比例函数的表达式，即可求出未知参数b和m，进而得到两个函数的表达式。
(2) 首先根据函数图象平移“上加下减”的规律，求出平移后直线BC的解析式；再代入B、C两点的坐标特征，求出B、C的具体坐标。求△ABC的面积时采用割补法：过点A作平行于y轴的直线交BC于点T，将△ABC拆分为共底AT的两个小三角形，两个小三角形的高分别对应点B到AT的水平距离、点C到AT的水平距离，分别计算两个小三角形的面积求和即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1)
∵一次函数$y=2x+b$的图象经过点$A(2,6)$，
∴$6=2×2+b$，解得$b=2$，
∴一次函数的表达式为$y=2x+2$。
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$A(2,6)$，
∴$6=\frac{m}{2}$，解得$m=12$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2)
∵将一次函数$y=2x+2$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度得到直线BC，
∴直线BC的函数表达式为$y=2x+2-12=2x-10$。
将$B(-1,m)$代入$y=2x-10$，得$m=2×(-1)-10=-12$，即$B(-1,-12)$；
将$C(n,2)$代入$y=2x-10$，得$2=2n-10$，解得$n=6$，即$C(6,2)$。
如答图，过点A作$AT// y$轴交直线BC于点T。
∵$A(2,6)$，
∴点T的横坐标为2，
将$x=2$代入$y=2x-10$，得$y=2×2-10=-6$，
∴$T(2,-6)$，
∴$AT=6-(-6)=12$。
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABT}+S_{△ ACT}=\frac{1}{2}×AT×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×AT×(6-2)=\frac{1}{2}×12×3+\frac{1}{2}×12×4=18+24=42$。
【答案】
(1) 一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=2x+2}$，反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$；
(2) $\boldsymbol{S_{△ ABC}=42}$
辅助线参考：
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象平移，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了函数解析式求解、图象平移规律、坐标系中图形面积计算等核心考点，解题的关键是熟练掌握函数的基本性质，灵活运用割补法简化面积计算过程。
【难度系数】
0.65
