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1. 点$(a,b)$在函数$y=-\frac{2}{x}$的图象上，下列说法错误的是 （
A.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
B.图象位于第二、四象限
C.点$(b,a)$和$(-b,-a)$都在图象上
D.当$x＜-1$时，$y＜2$
D
）A.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
B.图象位于第二、四象限
C.点$(b,a)$和$(-b,-a)$都在图象上
D.当$x＜-1$时，$y＜2$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查反比例函数的基本性质及图象上点的坐标特征，解题思路如下：首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质：$k$的符号决定图象所在象限、增减性；若点在函数图象上，则点的横纵坐标乘积等于$k$。接下来结合函数$y=-\frac{2}{x}$的$k=-2$，逐个分析选项，找出错误的说法即可。
【解析】
已知点$(a,b)$在$y=-\frac{2}{x}$的图象上，因此$ab=-2$，逐个分析选项：
1. 选项A：$k=-2＜0$，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，当$x＜0$时图象在第二象限，因此$y$随$x$的增大而增大，A说法正确，不符合题意。
2. 选项B：$k=-2＜0$，反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意。
3. 选项C：对于点$(b,a)$，横纵坐标乘积为$b· a=ab=-2$，满足函数解析式，因此在图象上；对于点$(-b,-a)$，横纵坐标乘积为$(-b)·(-a)=ab=-2$，也满足函数解析式，因此也在图象上，C说法正确，不符合题意。
4. 选项D：当$x＜-1$时，函数图象在第二象限，$y$随$x$的增大而增大，当$x=-1$时$y=2$，因此$x＜-1$时，$0＜y＜2$，此处需要注意：若忽略$y＞0$的隐含范围，易误判D正确，但实际上“$y＜2$”的表述包含$y≤0$的情况，不符合$x＜-1$时$y$的取值范围，因此D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题，需要熟练掌握$k$的取值对反比例函数图象位置、增减性的影响，同时记住“图象上的点横纵坐标乘积等于$k$”的特征，逐一判断选项即可避免出错。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数的基本性质及图象上点的坐标特征，解题思路如下：首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质：$k$的符号决定图象所在象限、增减性；若点在函数图象上，则点的横纵坐标乘积等于$k$。接下来结合函数$y=-\frac{2}{x}$的$k=-2$，逐个分析选项，找出错误的说法即可。
【解析】
已知点$(a,b)$在$y=-\frac{2}{x}$的图象上，因此$ab=-2$，逐个分析选项：
1. 选项A：$k=-2＜0$，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，当$x＜0$时图象在第二象限，因此$y$随$x$的增大而增大，A说法正确，不符合题意。
2. 选项B：$k=-2＜0$，反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意。
3. 选项C：对于点$(b,a)$，横纵坐标乘积为$b· a=ab=-2$，满足函数解析式，因此在图象上；对于点$(-b,-a)$，横纵坐标乘积为$(-b)·(-a)=ab=-2$，也满足函数解析式，因此也在图象上，C说法正确，不符合题意。
4. 选项D：当$x＜-1$时，函数图象在第二象限，$y$随$x$的增大而增大，当$x=-1$时$y=2$，因此$x＜-1$时，$0＜y＜2$，此处需要注意：若忽略$y＞0$的隐含范围，易误判D正确，但实际上“$y＜2$”的表述包含$y≤0$的情况，不符合$x＜-1$时$y$的取值范围，因此D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题，需要熟练掌握$k$的取值对反比例函数图象位置、增减性的影响，同时记住“图象上的点横纵坐标乘积等于$k$”的特征，逐一判断选项即可避免出错。
【难度系数】
0.7
2.如图，反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$和正比例函数$y_2=k_2x$的图象交于$A(-2,-3),B(2,3)$两点，若$\frac{k_1}{x}＞k_2x$，则$x$的取值范围是（
A.$x＜-2$或$0＜x＜2$
B.$-2＜x＜0$或$x＞2$
C.$-2＜x＜0$
D.$-2＜x＜2$
A
）A.$x＜-2$或$0＜x＜2$
B.$-2＜x＜0$或$x＞2$
C.$-2＜x＜0$
D.$-2＜x＜2$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决不等式$\frac{k_1}{x}＞k_2x$的取值范围问题，可利用数形结合思想：该不等式的本质是相同x取值下，反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$的函数值大于正比例函数$y_2=k_2x$的函数值，对应反比例函数图像位于正比例函数图像上方的区域。由于反比例函数x不能为0，因此分x＜0和x＞0两个区间，结合两函数的交点坐标即可判断符合要求的x范围。
【解析】
已知两函数交点为$A(-2,-3)$、$B(2,3)$，这两个点是两函数值相等的分界点，分区间讨论：
1. 当$x＜0$时：观察图像可得，$x＜-2$时，反比例函数图像在正比例函数上方，满足$\frac{k_1}{x}＞k_2x$；$-2＜x＜0$时，正比例函数在上方，不满足要求。
2. 当$x＞0$时：观察图像可得，$0＜x＜2$时，反比例函数图像在正比例函数上方，满足$\frac{k_1}{x}＞k_2x$；$x＞2$时，正比例函数在上方，不满足要求。
综上，$x$的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质，一次函数性质，数形结合解不等式
【点评】
本题是函数与不等式结合的典型基础题，核心考查数形结合思想的应用，解题时注意结合图像分区间判断，不要忽略反比例函数x≠0的隐含条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决不等式$\frac{k_1}{x}＞k_2x$的取值范围问题，可利用数形结合思想：该不等式的本质是相同x取值下，反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$的函数值大于正比例函数$y_2=k_2x$的函数值，对应反比例函数图像位于正比例函数图像上方的区域。由于反比例函数x不能为0，因此分x＜0和x＞0两个区间，结合两函数的交点坐标即可判断符合要求的x范围。
【解析】
已知两函数交点为$A(-2,-3)$、$B(2,3)$，这两个点是两函数值相等的分界点，分区间讨论：
1. 当$x＜0$时：观察图像可得，$x＜-2$时，反比例函数图像在正比例函数上方，满足$\frac{k_1}{x}＞k_2x$；$-2＜x＜0$时，正比例函数在上方，不满足要求。
2. 当$x＞0$时：观察图像可得，$0＜x＜2$时，反比例函数图像在正比例函数上方，满足$\frac{k_1}{x}＞k_2x$；$x＞2$时，正比例函数在上方，不满足要求。
综上，$x$的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质，一次函数性质，数形结合解不等式
【点评】
本题是函数与不等式结合的典型基础题，核心考查数形结合思想的应用，解题时注意结合图像分区间判断，不要忽略反比例函数x≠0的隐含条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
3.如图,正比例函数 $ y = kx $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{8}{x} (x＞0) $ 的图象交于点 $ A(a,4) $. B为x轴正半轴上一点,过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C,交正比例函数的图象于点D.若 $ BC = \frac{8}{5} $,则 $ △ ACD $ 的面积为 (
A.15
B.$ \frac{63}{5} $
C.$ \frac{62}{5} $
D.14
B
)A.15
B.$ \frac{63}{5} $
C.$ \frac{62}{5} $
D.14
答案
3.B
解析
【分析】
解题分为三步：第一步，先利用点A在反比例函数图象上的特征，代入纵坐标值求出点A的横坐标，得到A点坐标后再代入正比例函数，求出正比例函数的解析式；第二步，根据BC垂直x轴且长度已知，结合C点在反比例函数图象上的特征，求出B点的横坐标；第三步，求出D点坐标，计算CD线段长度，再结合A点到CD所在直线的水平距离，用三角形面积公式即可算出△ACD的面积。
【解析】
1. 求点A坐标与正比例函数解析式
∵点$A(a,4)$在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上
∴将$y=4$代入$y=\frac{8}{x}$，得$4=\frac{8}{a}$，解得$a=2$，即$A(2,4)$
将$A(2,4)$代入正比例函数$y=kx$，得$4=2k$，解得$k=2$，
∴正比例函数解析式为$y=2x$
2. 求B点横坐标
设B点横坐标为$m(m＞0)$，
∵$BC⊥ x$轴，C在反比例函数图象上，
∴C点坐标为$(m,\frac{8}{m})$
∵$BC=\frac{8}{5}$，B点在x轴上（纵坐标为0），
∴$\frac{8}{m}=\frac{8}{5}$，解得$m=5$
3. 计算$△ ACD$的面积
当$x=5$时，D点在正比例函数上，$y=2×5=10$，即$D(5,10)$；C点坐标为$(5,\frac{8}{5})$
∴$CD=10-\frac{8}{5}=\frac{42}{5}$
CD所在直线为$x=5$，点A到直线$x=5$的水平距离为$5-2=3$，即CD边上的高为3
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× CD × 高=\frac{1}{2}×\frac{42}{5}×3=\frac{63}{5}$
【答案】
B
【知识点】
反比例函数与一次函数交点；坐标与图形性质；三角形面积计算
【点评】
本题是函数与几何结合的常规题型，核心考查正比例函数、反比例函数图象上点的坐标特征，结合坐标的几何意义计算图形面积，解题时要注意理清各点坐标之间的关系。
【难度系数】
0.65
解题分为三步：第一步，先利用点A在反比例函数图象上的特征，代入纵坐标值求出点A的横坐标，得到A点坐标后再代入正比例函数，求出正比例函数的解析式；第二步，根据BC垂直x轴且长度已知，结合C点在反比例函数图象上的特征，求出B点的横坐标；第三步，求出D点坐标，计算CD线段长度，再结合A点到CD所在直线的水平距离，用三角形面积公式即可算出△ACD的面积。
【解析】
1. 求点A坐标与正比例函数解析式
∵点$A(a,4)$在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上
∴将$y=4$代入$y=\frac{8}{x}$，得$4=\frac{8}{a}$，解得$a=2$，即$A(2,4)$
将$A(2,4)$代入正比例函数$y=kx$，得$4=2k$，解得$k=2$，
∴正比例函数解析式为$y=2x$
2. 求B点横坐标
设B点横坐标为$m(m＞0)$，
∵$BC⊥ x$轴，C在反比例函数图象上，
∴C点坐标为$(m,\frac{8}{m})$
∵$BC=\frac{8}{5}$，B点在x轴上（纵坐标为0），
∴$\frac{8}{m}=\frac{8}{5}$，解得$m=5$
3. 计算$△ ACD$的面积
当$x=5$时，D点在正比例函数上，$y=2×5=10$，即$D(5,10)$；C点坐标为$(5,\frac{8}{5})$
∴$CD=10-\frac{8}{5}=\frac{42}{5}$
CD所在直线为$x=5$，点A到直线$x=5$的水平距离为$5-2=3$，即CD边上的高为3
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× CD × 高=\frac{1}{2}×\frac{42}{5}×3=\frac{63}{5}$
【答案】
B
【知识点】
反比例函数与一次函数交点；坐标与图形性质；三角形面积计算
【点评】
本题是函数与几何结合的常规题型，核心考查正比例函数、反比例函数图象上点的坐标特征，结合坐标的几何意义计算图形面积，解题时要注意理清各点坐标之间的关系。
【难度系数】
0.65
4.已知反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象过点$A(a-1,y_1)$，$B(a+1,y_2)$，若$y_2＞y_1$，则$a$的取值范围为
-1＜a＜1
。答案
4.$-1＜a＜1$
解析
【分析】
首先回忆反比例函数$y=\frac{1}{x}$的性质：$k=1＞0$时，图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。已知点B的横坐标$a+1$大于点A的横坐标$a-1$，但函数值$y_2＞y_1$，不符合同一象限内的增减规律，因此可判断两点不在同一象限。结合横坐标的大小关系，可得点A在第三象限（横坐标为负），点B在第一象限（横坐标为正），据此列不等式组求解即可得到a的取值范围。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{1}{x}$，
∵$k=1＞0$，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
∵$a+1 ＞ a-1$，且$y_2＞y_1$，
∴点A、B不在同一象限，即A在第三象限，B在第一象限，
∴可列不等式组：
$\begin{cases}a-1 ＜ 0 \\a+1 ＞ 0\end{cases}$
解不等式$a-1 ＜ 0$得：$a ＜ 1$，
解不等式$a+1 ＞ 0$得：$a ＞ -1$，
∴不等式组的解集为$-1 ＜ a ＜ 1$。
【答案】
$-1＜a＜1$
【知识点】
反比例函数的性质；解一元一次不等式组；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先根据函数值的大小关系判断两点所在的象限，避免忽略跨象限的情况导致解题错误。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数$y=\frac{1}{x}$的性质：$k=1＞0$时，图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。已知点B的横坐标$a+1$大于点A的横坐标$a-1$，但函数值$y_2＞y_1$，不符合同一象限内的增减规律，因此可判断两点不在同一象限。结合横坐标的大小关系，可得点A在第三象限（横坐标为负），点B在第一象限（横坐标为正），据此列不等式组求解即可得到a的取值范围。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{1}{x}$，
∵$k=1＞0$，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
∵$a+1 ＞ a-1$，且$y_2＞y_1$，
∴点A、B不在同一象限，即A在第三象限，B在第一象限，
∴可列不等式组：
$\begin{cases}a-1 ＜ 0 \\a+1 ＞ 0\end{cases}$
解不等式$a-1 ＜ 0$得：$a ＜ 1$，
解不等式$a+1 ＞ 0$得：$a ＞ -1$，
∴不等式组的解集为$-1 ＜ a ＜ 1$。
【答案】
$-1＜a＜1$
【知识点】
反比例函数的性质；解一元一次不等式组；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先根据函数值的大小关系判断两点所在的象限，避免忽略跨象限的情况导致解题错误。
【难度系数】
0.7
5.如图,点A,D分别在函数$y=-\dfrac{3}{x},y=\dfrac{6}{x}$的图象上,点B,C在x轴上.若四边形ABCD为正方形,点D在第一象限,则点D的坐标是
(2,3)
.答案
5.$(2,3)$
解析
【分析】
解题时先结合图形和正方形的性质分析点的坐标特征：四边形ABCD是正方形，因此AD平行于x轴，点A和点D的纵坐标相同，且正方形边长等于CD的长度（即点D的纵坐标），也等于AD的长度（即点D横坐标减去点A横坐标）。我们可先设出点D的坐标，利用反比例函数解析式表示出点A的坐标，再结合正方形边长相等的关系列方程求解即可。
【解析】
设点D的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），
∵ 点D在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$的图象上，
∴ $ab=6$ ①。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD// x$轴，$CD⊥ x$轴，$AD=CD$，
∴ 点A的纵坐标与点D相同，为$b$，且$CD$的长度为$b$。
∵ 点A在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象上，将$y=b$代入解析式，得$x=-\dfrac{3}{b}$，即点A的坐标为$(-\dfrac{3}{b},b)$。
∴ $AD$的长度为$a - (-\dfrac{3}{b})=a+\dfrac{3}{b}$。
根据$AD=CD$，可得$a+\dfrac{3}{b}=b$ ②。
将①变形为$b=\dfrac{6}{a}$，代入②得：
$a+\dfrac{3}{\dfrac{6}{a}}=\dfrac{6}{a}$，
化简得$\dfrac{3a}{2}=\dfrac{6}{a}$，
两边同乘$2a$（$a＞0$）得$3a^2=12$，
解得$a=2$（舍去负根），代入$b=\dfrac{6}{a}$得$b=3$。
∴ 点D的坐标为$(2,3)$。
【答案】
$(2,3)$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题核心是利用正方形的性质找到两个点坐标的关联，再结合反比例函数的性质列方程求解，很好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65
解题时先结合图形和正方形的性质分析点的坐标特征：四边形ABCD是正方形，因此AD平行于x轴，点A和点D的纵坐标相同，且正方形边长等于CD的长度（即点D的纵坐标），也等于AD的长度（即点D横坐标减去点A横坐标）。我们可先设出点D的坐标，利用反比例函数解析式表示出点A的坐标，再结合正方形边长相等的关系列方程求解即可。
【解析】
设点D的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），
∵ 点D在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$的图象上，
∴ $ab=6$ ①。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD// x$轴，$CD⊥ x$轴，$AD=CD$，
∴ 点A的纵坐标与点D相同，为$b$，且$CD$的长度为$b$。
∵ 点A在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象上，将$y=b$代入解析式，得$x=-\dfrac{3}{b}$，即点A的坐标为$(-\dfrac{3}{b},b)$。
∴ $AD$的长度为$a - (-\dfrac{3}{b})=a+\dfrac{3}{b}$。
根据$AD=CD$，可得$a+\dfrac{3}{b}=b$ ②。
将①变形为$b=\dfrac{6}{a}$，代入②得：
$a+\dfrac{3}{\dfrac{6}{a}}=\dfrac{6}{a}$，
化简得$\dfrac{3a}{2}=\dfrac{6}{a}$，
两边同乘$2a$（$a＞0$）得$3a^2=12$，
解得$a=2$（舍去负根），代入$b=\dfrac{6}{a}$得$b=3$。
∴ 点D的坐标为$(2,3)$。
【答案】
$(2,3)$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题核心是利用正方形的性质找到两个点坐标的关联，再结合反比例函数的性质列方程求解，很好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65
6.如图,点A,B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,$AC⊥ x$轴于点$C$,$BD⊥ x$轴于点$D$, $BE⊥ y$轴于点$E$.若$OE=1$,$OC=2CD$,则$AC$的长为
1.5
.答案
6.1.5
解析
【分析】
解题时先利用矩形的性质得到点B的纵坐标，结合反比例函数解析式得到OD的长度；再根据OC和CD的数量关系推出OC与OD的关系；最后利用反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k的性质，建立等量关系即可求出AC的长度。
【解析】
∵BD⊥x轴，BE⊥y轴，∠EOD=90°，
∴四边形ODBE是矩形，
∴BD=OE=1，即点B的纵坐标为1。
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将y=1代入得：$1=\frac{k}{x}$，解得$x=k$，
∴OD=k。
设$OC=a$，
∵$OC=2CD$，
∴$CD=\frac{1}{2}OC=\frac{a}{2}$，
∴$OD=OC+CD=a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$，即$k=\frac{3a}{2}$。
∵AC⊥x轴，
∴点A的横坐标为a，
又
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$a· AC=k$，将$k=\frac{3a}{2}$代入得：
$a· AC=\frac{3a}{2}$，
∵a≠0，两边同时除以a得：$AC=\frac{3}{2}=1.5$。
【答案】
1.5
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的判定与性质，坐标与图形
【点评】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，结合矩形性质找到线段的等量关系是解题的突破口，解题过程中可灵活运用反比例函数k的几何意义简化计算，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题时先利用矩形的性质得到点B的纵坐标，结合反比例函数解析式得到OD的长度；再根据OC和CD的数量关系推出OC与OD的关系；最后利用反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k的性质，建立等量关系即可求出AC的长度。
【解析】
∵BD⊥x轴，BE⊥y轴，∠EOD=90°，
∴四边形ODBE是矩形，
∴BD=OE=1，即点B的纵坐标为1。
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将y=1代入得：$1=\frac{k}{x}$，解得$x=k$，
∴OD=k。
设$OC=a$，
∵$OC=2CD$，
∴$CD=\frac{1}{2}OC=\frac{a}{2}$，
∴$OD=OC+CD=a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$，即$k=\frac{3a}{2}$。
∵AC⊥x轴，
∴点A的横坐标为a，
又
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$a· AC=k$，将$k=\frac{3a}{2}$代入得：
$a· AC=\frac{3a}{2}$，
∵a≠0，两边同时除以a得：$AC=\frac{3}{2}=1.5$。
【答案】
1.5
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的判定与性质，坐标与图形
【点评】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，结合矩形性质找到线段的等量关系是解题的突破口，解题过程中可灵活运用反比例函数k的几何意义简化计算，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
