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1.(2025·辽宁)不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同.从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道放回型两步随机试验的概率计算基础题，解题思路如下：第一步，明确试验类型为放回摸球，两次摸球的结果互不影响，每次摸球都有红、黄2种等可能结果；第二步，用列表法或树状图法罗列出两次摸球的所有等可能结果；第三步，统计出“两次摸出颜色相同”的结果数量，代入等可能事件的概率公式（符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可。
【解析】
我们用列表法列举所有等可能的结果：
| 第一次摸球\第二次摸球 | 红 | 黄 |
| :---: | :---: | :---: |
| 红 | （红，红） | （红，黄） |
| 黄 | （黄，红） | （黄，黄） |
由表可得，总共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色小球的结果有2种：（红，红）、（黄，黄）。
根据等可能事件概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，代入数据得：
$P(\mathrm{两次颜色相同})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
概率公式；放回型概率计算；列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，主要考查对放回试验特征的掌握，以及枚举等可能结果的能力，解题的关键是不要混淆放回和不放回试验的结果差异，准确统计总结果数和符合条件的结果数。
【难度系数】
0.8
这是一道放回型两步随机试验的概率计算基础题，解题思路如下：第一步，明确试验类型为放回摸球，两次摸球的结果互不影响，每次摸球都有红、黄2种等可能结果；第二步，用列表法或树状图法罗列出两次摸球的所有等可能结果；第三步，统计出“两次摸出颜色相同”的结果数量，代入等可能事件的概率公式（符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可。
【解析】
我们用列表法列举所有等可能的结果：
| 第一次摸球\第二次摸球 | 红 | 黄 |
| :---: | :---: | :---: |
| 红 | （红，红） | （红，黄） |
| 黄 | （黄，红） | （黄，黄） |
由表可得，总共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色小球的结果有2种：（红，红）、（黄，黄）。
根据等可能事件概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，代入数据得：
$P(\mathrm{两次颜色相同})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
概率公式；放回型概率计算；列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，主要考查对放回试验特征的掌握，以及枚举等可能结果的能力，解题的关键是不要混淆放回和不放回试验的结果差异，准确统计总结果数和符合条件的结果数。
【难度系数】
0.8
2.如图,一段长管中放置着三根同样的绳子,小明从左边随机选一根,小丽从右边随机选一根,两人恰好选中同一根绳子的概率是（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{2}{3}$
A
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2.A
解析
【分析】
本题是两步等可能试验的概率计算问题，解题思路如下：首先分别确定小明、小丽选绳子的等可能结果数，计算出所有总等可能结果数；再找出两人选中同一根绳子的符合条件的结果数；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
小明从左侧3根绳子中随机选1根，有3种等可能的结果；小丽从右侧3根绳子中随机选1根，也有3种等可能的结果。
因此两人选择的总等可能结果数为：$3×3=9$种。
其中两人恰好选中同一根绳子的情况共3种：即同时选中第一根(A与D)、同时选中第二根(B与E)、同时选中第三根(C与F)。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{恰好选中同一根绳子})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
A
【知识点】
概率公式，两步试验概率计算
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是正确梳理所有等可能的结果，准确统计符合要求的结果数，熟练运用概率公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是两步等可能试验的概率计算问题，解题思路如下：首先分别确定小明、小丽选绳子的等可能结果数，计算出所有总等可能结果数；再找出两人选中同一根绳子的符合条件的结果数；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
小明从左侧3根绳子中随机选1根，有3种等可能的结果；小丽从右侧3根绳子中随机选1根，也有3种等可能的结果。
因此两人选择的总等可能结果数为：$3×3=9$种。
其中两人恰好选中同一根绳子的情况共3种：即同时选中第一根(A与D)、同时选中第二根(B与E)、同时选中第三根(C与F)。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{恰好选中同一根绳子})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
A
【知识点】
概率公式，两步试验概率计算
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是正确梳理所有等可能的结果，准确统计符合要求的结果数，熟练运用概率公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.(2025·齐齐哈尔)假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
D
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
3.D
解析
【分析】
本题为等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确每枚鸟卵孵化出雌鸟、雄鸟的概率相等，且两枚鸟卵的孵化结果互不影响；其次通过列举法（树状图或列表）罗列出2枚鸟卵孵化的所有等可能结果；再统计出2只雏鸟都为雄鸟的结果数；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算出所求概率。
【解析】
我们可以通过画树状图分析所有等可能的孵化结果：
1. 第一枚鸟卵孵化，有2种等可能的结果：雄、雌；
2. 第二枚鸟卵孵化，无论第一枚的孵化结果是什么，都有2种等可能的结果：雄、雌。
因此两枚鸟卵孵化的所有等可能结果共有$2×2=4$种，分别为：（雄，雄）、（雄，雌）、（雌，雄）、（雌，雌）。
其中2只雏鸟都是雄鸟的结果只有1种，根据概率公式可得所求概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】D
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率
【点评】
本题是概率部分的基础题，核心考查用列举法求解等可能事件的概率，解题时需注意不重不漏地列举所有等可能的结果，熟练掌握列表法或画树状图的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题为等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确每枚鸟卵孵化出雌鸟、雄鸟的概率相等，且两枚鸟卵的孵化结果互不影响；其次通过列举法（树状图或列表）罗列出2枚鸟卵孵化的所有等可能结果；再统计出2只雏鸟都为雄鸟的结果数；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算出所求概率。
【解析】
我们可以通过画树状图分析所有等可能的孵化结果：
1. 第一枚鸟卵孵化，有2种等可能的结果：雄、雌；
2. 第二枚鸟卵孵化，无论第一枚的孵化结果是什么，都有2种等可能的结果：雄、雌。
因此两枚鸟卵孵化的所有等可能结果共有$2×2=4$种，分别为：（雄，雄）、（雄，雌）、（雌，雄）、（雌，雌）。
其中2只雏鸟都是雄鸟的结果只有1种，根据概率公式可得所求概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】D
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率
【点评】
本题是概率部分的基础题，核心考查用列举法求解等可能事件的概率，解题时需注意不重不漏地列举所有等可能的结果，熟练掌握列表法或画树状图的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.(2025·浙江)现有六张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片,其中标有数字1,4,5的卡片在甲手中,标有数字2,3,6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片,甲出的卡片数字比乙大的概率是
$\frac{4}{9}$
.答案
4.$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
这是等可能条件下的概率计算问题，解题思路清晰可按三步推进：第一步先计算所有等可能的总出牌情况，甲、乙各持3张卡片，各随机出1张，用乘法原理即可得到总情况数；第二步分类枚举甲出每张卡片时，乙的卡片数字小于甲的情况数，汇总得到符合要求的总情况数；最后直接套用概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”就能算出结果。
【解析】
首先计算总等可能情况数：甲有3张卡片，乙有3张卡片，两人各随机出1张，总情况数为 $3×3=9$ 种，每种情况发生的可能性相等。
再分类统计甲的卡片数字比乙大的情况：
1. 甲出数字1时，乙的卡片为2、3、6，均大于1，符合条件的情况共0种；
2. 甲出数字4时，乙出2、3时数字小于4，出6时大于4，符合条件的情况共2种；
3. 甲出数字5时，乙出2、3时数字小于5，出6时大于5，符合条件的情况共2种。
因此符合条件的总情况数为 $0+2+2=4$ 种。
根据概率公式可得，甲出的卡片数字比乙大的概率为 $P=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础常规题，重点考查对概率基本公式的运用和枚举法的掌握，只要枚举时做到不重复不遗漏，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
这是等可能条件下的概率计算问题，解题思路清晰可按三步推进：第一步先计算所有等可能的总出牌情况，甲、乙各持3张卡片，各随机出1张，用乘法原理即可得到总情况数；第二步分类枚举甲出每张卡片时，乙的卡片数字小于甲的情况数，汇总得到符合要求的总情况数；最后直接套用概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”就能算出结果。
【解析】
首先计算总等可能情况数：甲有3张卡片，乙有3张卡片，两人各随机出1张，总情况数为 $3×3=9$ 种，每种情况发生的可能性相等。
再分类统计甲的卡片数字比乙大的情况：
1. 甲出数字1时，乙的卡片为2、3、6，均大于1，符合条件的情况共0种；
2. 甲出数字4时，乙出2、3时数字小于4，出6时大于4，符合条件的情况共2种；
3. 甲出数字5时，乙出2、3时数字小于5，出6时大于5，符合条件的情况共2种。
因此符合条件的总情况数为 $0+2+2=4$ 种。
根据概率公式可得，甲出的卡片数字比乙大的概率为 $P=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础常规题，重点考查对概率基本公式的运用和枚举法的掌握，只要枚举时做到不重复不遗漏，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
5.一个不透明的袋子中装有1个白球，1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同.
(1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是
(2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.求两次摸到的球颜色不同的概率.(请用列表的方法写出分析过程)
(1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是
$\frac{1}{3}$
；(2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.求两次摸到的球颜色不同的概率.(请用列表的方法写出分析过程)
答案
5.(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:列表如下.
| | 白 | 红 | 绿 |
| --- | --- | --- | --- |
| 白 | (白,白) | (白,红) | (白,绿) |
| 红 | (红,白) | (红,红) | (红,绿) |
| 绿 | (绿,白) | (绿,红) | (绿,绿) |
由表格可知,共有9种等可能的结果,其中两次摸到的球颜色不同的结果有6种,
∴两次摸到的球颜色不同的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
(2)解:列表如下.
| | 白 | 红 | 绿 |
| --- | --- | --- | --- |
| 白 | (白,白) | (白,红) | (白,绿) |
| 红 | (红,白) | (红,红) | (红,绿) |
| 绿 | (绿,白) | (绿,红) | (绿,绿) |
由表格可知,共有9种等可能的结果,其中两次摸到的球颜色不同的结果有6种,
∴两次摸到的球颜色不同的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
（1）本题属于一步随机试验的概率计算，先确定所有等可能的结果总数，再找到摸到白球的结果数，代入古典概型概率公式即可求解。
（2）本题是有放回的两步随机试验，适合用列表法梳理所有等可能结果：以第一次摸球的结果为行、第二次摸球的结果为列，列出所有组合，再从中筛选出两次颜色不同的结果，最后代入概率公式计算。
【解析】
（1）袋子中共有3个除颜色外其余均相同的球，从中任意摸出1个球，共有3种等可能的结果，其中摸到白球的结果有1种，因此摸到白球的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）根据题意列表如下：
| | 白 | 红 | 绿 |
| --- | --- | --- | --- |
| 白 | (白,白) | (白,红) | (白,绿) |
| 红 | (红,白) | (红,红) | (红,绿) |
| 绿 | (绿,白) | (绿,红) | (绿,绿) |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球颜色不同的结果有6种，因此两次摸到的球颜色不同的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$；(2)$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 简单概率计算 2. 列表法求概率 3. 放回型试验概率
【点评】
本题考查等可能条件下的概率求解，属于基础题型，第一问直接考查概率公式的应用，第二问重点考查列表法的规范使用，通过列表可以清晰、不重不漏地列举所有等可能结果，是解决两步概率问题的常用方法。
【难度系数】
0.8
（1）本题属于一步随机试验的概率计算，先确定所有等可能的结果总数，再找到摸到白球的结果数，代入古典概型概率公式即可求解。
（2）本题是有放回的两步随机试验，适合用列表法梳理所有等可能结果：以第一次摸球的结果为行、第二次摸球的结果为列，列出所有组合，再从中筛选出两次颜色不同的结果，最后代入概率公式计算。
【解析】
（1）袋子中共有3个除颜色外其余均相同的球，从中任意摸出1个球，共有3种等可能的结果，其中摸到白球的结果有1种，因此摸到白球的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）根据题意列表如下：
| | 白 | 红 | 绿 |
| --- | --- | --- | --- |
| 白 | (白,白) | (白,红) | (白,绿) |
| 红 | (红,白) | (红,红) | (红,绿) |
| 绿 | (绿,白) | (绿,红) | (绿,绿) |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球颜色不同的结果有6种，因此两次摸到的球颜色不同的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$；(2)$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 简单概率计算 2. 列表法求概率 3. 放回型试验概率
【点评】
本题考查等可能条件下的概率求解，属于基础题型，第一问直接考查概率公式的应用，第二问重点考查列表法的规范使用，通过列表可以清晰、不重不漏地列举所有等可能结果，是解决两步概率问题的常用方法。
【难度系数】
0.8
6. 某校举办文艺演出，在主持人选拔环节中，有1名男同学和3名女同学表现优异.若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中1名男同学和1名女同学的概率是 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
6.A
解析
【分析】
本题属于等可能条件下的概率计算问题，解题思路清晰：第一步先统计从4名同学中随机抽取2名的所有等可能结果总数，第二步统计刚好抽中1名男同学和1名女同学的符合条件的结果数，最后代入古典概型的概率公式计算即可。为了避免列举结果时出现重复或遗漏，可以先给4名同学命名标记，再按不考虑抽取顺序的规则列举所有组合。
【解析】
设1名男同学记为M，3名女同学分别记为F₁、F₂、F₃。
从4名同学中随机抽取2名，不考虑抽取先后顺序，所有等可能的结果为：(M,F₁)、(M,F₂)、(M,F₃)、(F₁,F₂)、(F₁,F₃)、(F₂,F₃)，共6种。
其中满足“刚好抽中1名男同学和1名女同学”的结果为：(M,F₁)、(M,F₂)、(M,F₃)，共3种。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{事件发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，可得所求概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型概率计算、列举法计数
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查对等可能事件的判断和结果计数的准确性，解题时需注意抽取2人时不考虑先后顺序，不要出现重复计数或者漏记结果的错误。
【难度系数】
0.8
本题属于等可能条件下的概率计算问题，解题思路清晰：第一步先统计从4名同学中随机抽取2名的所有等可能结果总数，第二步统计刚好抽中1名男同学和1名女同学的符合条件的结果数，最后代入古典概型的概率公式计算即可。为了避免列举结果时出现重复或遗漏，可以先给4名同学命名标记，再按不考虑抽取顺序的规则列举所有组合。
【解析】
设1名男同学记为M，3名女同学分别记为F₁、F₂、F₃。
从4名同学中随机抽取2名，不考虑抽取先后顺序，所有等可能的结果为：(M,F₁)、(M,F₂)、(M,F₃)、(F₁,F₂)、(F₁,F₃)、(F₂,F₃)，共6种。
其中满足“刚好抽中1名男同学和1名女同学”的结果为：(M,F₁)、(M,F₂)、(M,F₃)，共3种。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{事件发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，可得所求概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型概率计算、列举法计数
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查对等可能事件的判断和结果计数的准确性，解题时需注意抽取2人时不考虑先后顺序，不要出现重复计数或者漏记结果的错误。
【难度系数】
0.8
7.在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的5个小球，其中3个红球和2个黄球.如果第一次先从袋中摸出1个球后不放回，第二次再从袋中摸出1个球，那么两次都摸到黄球的概率是
$\frac{1}{10}$
.答案
7.$\frac{1}{10}$
解析
【分析】
本题是不放回摸球的概率计算问题，可通过两种思路求解：一是分步计算，先求第一次摸到黄球的概率，再求第一次摸走1个黄球后第二次摸到黄球的概率，两个概率相乘即为两次都摸到黄球的概率；二是列举法，通过画树状图或列表列出所有等可能的结果，再数出两次都摸到黄球的结果数，根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$计算。解题时需注意“不放回”的条件，第一次摸球后袋中总球数和黄球数都会减少1，不要和放回摸球的情况混淆。
【解析】
方法一：分步概率计算
第一次从5个除颜色外均相同的球中摸1个球，共有5种等可能的结果，其中摸到黄球的结果有2种，因此第一次摸到黄球的概率为$\frac{2}{5}$；
由于摸出后不放回，此时袋中剩余4个球，黄球剩余1个，第二次摸到黄球的概率为$\frac{1}{4}$；
因此两次都摸到黄球的概率为$\frac{2}{5} × \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$。
方法二：列举法验证
将3个红球记为红₁、红₂、红₃，2个黄球记为黄₁、黄₂，不放回摸两次球的所有等可能结果共有$5×4=20$种；
其中两次均摸到黄球的结果为（黄₁，黄₂）、（黄₂，黄₁），共2种；
根据概率公式可得，两次都摸到黄球的概率为$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。
【答案】
$\frac{1}{10}$
【知识点】
不放回概率计算，分步概率乘法，等可能事件概率
【点评】
本题考查等可能条件下的概率求解，核心是准确把握“不放回”的限制条件，正确统计每次摸球的总情况数和符合要求的情况数，解题时可灵活选择分步计算或列举法，避免因混淆放回、不放回的条件出错。
【难度系数】
0.7
本题是不放回摸球的概率计算问题，可通过两种思路求解：一是分步计算，先求第一次摸到黄球的概率，再求第一次摸走1个黄球后第二次摸到黄球的概率，两个概率相乘即为两次都摸到黄球的概率；二是列举法，通过画树状图或列表列出所有等可能的结果，再数出两次都摸到黄球的结果数，根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$计算。解题时需注意“不放回”的条件，第一次摸球后袋中总球数和黄球数都会减少1，不要和放回摸球的情况混淆。
【解析】
方法一：分步概率计算
第一次从5个除颜色外均相同的球中摸1个球，共有5种等可能的结果，其中摸到黄球的结果有2种，因此第一次摸到黄球的概率为$\frac{2}{5}$；
由于摸出后不放回，此时袋中剩余4个球，黄球剩余1个，第二次摸到黄球的概率为$\frac{1}{4}$；
因此两次都摸到黄球的概率为$\frac{2}{5} × \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$。
方法二：列举法验证
将3个红球记为红₁、红₂、红₃，2个黄球记为黄₁、黄₂，不放回摸两次球的所有等可能结果共有$5×4=20$种；
其中两次均摸到黄球的结果为（黄₁，黄₂）、（黄₂，黄₁），共2种；
根据概率公式可得，两次都摸到黄球的概率为$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。
【答案】
$\frac{1}{10}$
【知识点】
不放回概率计算，分步概率乘法，等可能事件概率
【点评】
本题考查等可能条件下的概率求解，核心是准确把握“不放回”的限制条件，正确统计每次摸球的总情况数和符合要求的情况数，解题时可灵活选择分步计算或列举法，避免因混淆放回、不放回的条件出错。
【难度系数】
0.7
