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14. 初高衔接 阅读一段文字,再回答下列问题:已知在平面内两点的坐标为$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$,则该两点间的距离公式为$P_1P_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$,同时,当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于$x$轴或平行于$y$轴时,两点间的距离公式可化简成$|x_1-x_2|$或$|y_1-y_2|$.
(1)若已知两点$A(3,3),B(-2,-1)$,则$A,B$两点间的距离为;
(2)已知点$M,N$在平行于$y$轴的直线上,点$M$的纵坐标为$7$,点$N$的纵坐标为$-2$,则$M,N$两点间的距离为;
(3)已知一个三角形各顶点的坐标为$A(-1,\frac{1}{2}),B(-\frac{5}{3},\frac{5}{6}),C(\frac{1}{3},\frac{19}{6})$,请求出该图形的面积.
(1)若已知两点$A(3,3),B(-2,-1)$,则$A,B$两点间的距离为;
(2)已知点$M,N$在平行于$y$轴的直线上,点$M$的纵坐标为$7$,点$N$的纵坐标为$-2$,则$M,N$两点间的距离为;
(3)已知一个三角形各顶点的坐标为$A(-1,\frac{1}{2}),B(-\frac{5}{3},\frac{5}{6}),C(\frac{1}{3},\frac{19}{6})$,请求出该图形的面积.
答案
(1) $\boldsymbol{\sqrt{41}}$；(2) $\boldsymbol{9}$；(3) 该图形的面积为$\boldsymbol{\dfrac{10}{9}}$。
解析
【分析】
(1) 第一问直接应用题干给出的平面内两点间距离公式，将A、B两点的横纵坐标代入公式计算即可得到两点距离。
(2) 第二问已知M、N在平行于y轴的直线上，根据题干说明，此类情况两点距离可简化为两点纵坐标差的绝对值，代入两个纵坐标计算即可。
(3) 第三问求三角形面积，首先利用两点间距离公式分别计算三角形三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，直接用两直角边乘积的一半计算面积即可。
【解析】
(1) 将$A(3,3)$，$B(-2,-1)$代入两点间距离公式：
$AB=\sqrt{[3-(-2)]^2 + [3-(-1)]^2}=\sqrt{5^2 + 4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$
(2)
∵点M、N在平行于y轴的直线上
∴两点距离为纵坐标差的绝对值，即$MN=|7 - (-2)|=|9|=9$
(3) 先计算△ABC三边的长度：
① 计算$AB$：$A(-1,\frac{1}{2})$，$B(-\frac{5}{3},\frac{5}{6})$
$AB=\sqrt{[(-1)-(-\frac{5}{3})]^2 + (\frac{1}{2}-\frac{5}{6})^2}=\sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{1}{3})^2}=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
② 计算$AC$：$A(-1,\frac{1}{2})$，$C(\frac{1}{3},\frac{19}{6})$
$AC=\sqrt{[(-1)-\frac{1}{3}]^2 + (\frac{1}{2}-\frac{19}{6})^2}=\sqrt{(-\frac{4}{3})^2 + (-\frac{8}{3})^2}=\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{64}{9}}=\frac{4\sqrt{5}}{3}$
③ 计算$BC$：$B(-\frac{5}{3},\frac{5}{6})$，$C(\frac{1}{3},\frac{19}{6})$
$BC=\sqrt{(-\frac{5}{3}-\frac{1}{3})^2 + (\frac{5}{6}-\frac{19}{6})^2}=\sqrt{(-2)^2 + (-\frac{7}{3})^2}=\sqrt{\frac{85}{9}}=\frac{\sqrt{85}}{3}$
验证三边关系：
$AB^2 + AC^2 = (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 + (\frac{4\sqrt{5}}{3})^2 = \frac{85}{9}=BC^2$，即△ABC是直角三角形，直角顶点为A
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{5}}{3} × \frac{4\sqrt{5}}{3} = \frac{10}{9}$
【答案】
(1) $\sqrt{41}$；(2) $9$；(3) $\frac{10}{9}$
【知识点】
两点间距离公式，勾股定理逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题属于新定义应用型题目，重点考查对题干给出的距离公式的理解与灵活运用，同时结合了直角三角形的判定与面积计算，解题时需注意分数运算的准确性，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问直接应用题干给出的平面内两点间距离公式，将A、B两点的横纵坐标代入公式计算即可得到两点距离。
(2) 第二问已知M、N在平行于y轴的直线上，根据题干说明，此类情况两点距离可简化为两点纵坐标差的绝对值，代入两个纵坐标计算即可。
(3) 第三问求三角形面积，首先利用两点间距离公式分别计算三角形三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，直接用两直角边乘积的一半计算面积即可。
【解析】
(1) 将$A(3,3)$，$B(-2,-1)$代入两点间距离公式：
$AB=\sqrt{[3-(-2)]^2 + [3-(-1)]^2}=\sqrt{5^2 + 4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$
(2)
∵点M、N在平行于y轴的直线上
∴两点距离为纵坐标差的绝对值，即$MN=|7 - (-2)|=|9|=9$
(3) 先计算△ABC三边的长度：
① 计算$AB$：$A(-1,\frac{1}{2})$，$B(-\frac{5}{3},\frac{5}{6})$
$AB=\sqrt{[(-1)-(-\frac{5}{3})]^2 + (\frac{1}{2}-\frac{5}{6})^2}=\sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{1}{3})^2}=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
② 计算$AC$：$A(-1,\frac{1}{2})$，$C(\frac{1}{3},\frac{19}{6})$
$AC=\sqrt{[(-1)-\frac{1}{3}]^2 + (\frac{1}{2}-\frac{19}{6})^2}=\sqrt{(-\frac{4}{3})^2 + (-\frac{8}{3})^2}=\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{64}{9}}=\frac{4\sqrt{5}}{3}$
③ 计算$BC$：$B(-\frac{5}{3},\frac{5}{6})$，$C(\frac{1}{3},\frac{19}{6})$
$BC=\sqrt{(-\frac{5}{3}-\frac{1}{3})^2 + (\frac{5}{6}-\frac{19}{6})^2}=\sqrt{(-2)^2 + (-\frac{7}{3})^2}=\sqrt{\frac{85}{9}}=\frac{\sqrt{85}}{3}$
验证三边关系：
$AB^2 + AC^2 = (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 + (\frac{4\sqrt{5}}{3})^2 = \frac{85}{9}=BC^2$，即△ABC是直角三角形，直角顶点为A
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{5}}{3} × \frac{4\sqrt{5}}{3} = \frac{10}{9}$
【答案】
(1) $\sqrt{41}$；(2) $9$；(3) $\frac{10}{9}$
【知识点】
两点间距离公式，勾股定理逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题属于新定义应用型题目，重点考查对题干给出的距离公式的理解与灵活运用，同时结合了直角三角形的判定与面积计算，解题时需注意分数运算的准确性，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.7
15. [2026 武汉江汉区期中] 在平面直角坐标系中，点$A(a,0),B(0,b),△ ABC$为等腰直角三角形，$BA=BC,∠ ABC=90°,AC$交$y$轴负半轴于点$D$.
(1)如图①，$a,b$满足关系式$|a+2b|+(b-2)^2=0$，直接写出点$A,B,C$的坐标；
(2)如图②，点$E$是$x$轴正半轴上的动点，过点$B$作$BF⊥ BE$交$AC$于点$F$，且$BF=BE$.试说明：点$D$是$CF$的中点；
(3)在(2)的条件下，$\frac{S_{△ FBD}}{S_{△ ABE}}$的值是否为定值？若是，请计算出定值；若不是，请用含有$a,b$的代数式表示.
(1)如图①，$a,b$满足关系式$|a+2b|+(b-2)^2=0$，直接写出点$A,B,C$的坐标；
(2)如图②，点$E$是$x$轴正半轴上的动点，过点$B$作$BF⊥ BE$交$AC$于点$F$，且$BF=BE$.试说明：点$D$是$CF$的中点；
(3)在(2)的条件下，$\frac{S_{△ FBD}}{S_{△ ABE}}$的值是否为定值？若是，请计算出定值；若不是，请用含有$a,b$的代数式表示.
答案
解：(1) 由非负数的性质得：
$|a+2b|=0$，$(b-2)^2=0$，
解得$b=2$，$a=-4$，
$\therefore A(-4,0)$，$B(0,2)$。
过点$C$作$CM⊥ y$轴于点$M$，
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABO+∠ CBM=90°$，
又$\because ∠ ABO+∠ OAB=90°$，
$\therefore ∠ OAB=∠ CBM$，
在$△ AOB$和$△ BMC$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BMC=90°\\∠ OAB=∠ CBM\\BA=BC\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ BMC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BM=OA=4$，$CM=OB=2$，
$\therefore OM=BM-OB=2$，
$\therefore C(2,-2)$。
综上，$A(-4,0)$，$B(0,2)$，$C(2,-2)$。
(2) 证明：
$\because ∠ ABC=∠ FBE=90°$，
$\therefore ∠ ABC-∠ FBC=∠ FBE-∠ FBC$，即$∠ ABF=∠ CBE$，
在$△ ABF$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}BA=BC\\∠ ABF=∠ CBE\\BF=BE\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CBE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BAF=∠ BCE$，
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BCA=45°$，
$\therefore ∠ BCE=∠ BAF=45°$，
$\therefore ∠ ECF=∠ BCA+∠ BCE=90°$。
过点$F$作$FP⊥ y$轴于点$P$，过点$C$作$CQ⊥ y$轴于点$Q$，
同理可证$△ FPB≌△ BOE(\mathrm{AAS})$，$△ AOB≌△ BQC(\mathrm{AAS})$，
可得$FP=OB=CQ=b$。
在$△ FPD$和$△ CQD$中：
$\begin{cases}∠ FPD=∠ CQD=90°\\∠ FDP=∠ CDQ\\FP=CQ\end{cases}$
$\therefore △ FPD≌△ CQD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore FD=CD$，即点$D$是$CF$的中点。
(3) 解：该比值是定值，定值为$\frac{1}{2}$。
设点$E$坐标为$(e,0)$，$e＞0$，
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· AE· OB=\frac{1}{2}· (e-a)· b$。
由(2)知$BD$在$y$轴上，$BD=\frac{e-a}{2}$，点$F$到$y$轴的距离为$b$，
$\therefore S_{△ FBD}=\frac{1}{2}· BD· b=\frac{1}{2}· \frac{e-a}{2}· b=\frac{b(e-a)}{4}$，
$\therefore \frac{S_{△ FBD}}{S_{△ ABE}}=\frac{\frac{b(e-a)}{4}}{\frac{b(e-a)}{2}}=\frac{1}{2}$。
$|a+2b|=0$，$(b-2)^2=0$，
解得$b=2$，$a=-4$，
$\therefore A(-4,0)$，$B(0,2)$。
过点$C$作$CM⊥ y$轴于点$M$，
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABO+∠ CBM=90°$，
又$\because ∠ ABO+∠ OAB=90°$，
$\therefore ∠ OAB=∠ CBM$，
在$△ AOB$和$△ BMC$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BMC=90°\\∠ OAB=∠ CBM\\BA=BC\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ BMC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BM=OA=4$，$CM=OB=2$，
$\therefore OM=BM-OB=2$，
$\therefore C(2,-2)$。
综上，$A(-4,0)$，$B(0,2)$，$C(2,-2)$。
(2) 证明：
$\because ∠ ABC=∠ FBE=90°$，
$\therefore ∠ ABC-∠ FBC=∠ FBE-∠ FBC$，即$∠ ABF=∠ CBE$，
在$△ ABF$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}BA=BC\\∠ ABF=∠ CBE\\BF=BE\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CBE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BAF=∠ BCE$，
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BCA=45°$，
$\therefore ∠ BCE=∠ BAF=45°$，
$\therefore ∠ ECF=∠ BCA+∠ BCE=90°$。
过点$F$作$FP⊥ y$轴于点$P$，过点$C$作$CQ⊥ y$轴于点$Q$，
同理可证$△ FPB≌△ BOE(\mathrm{AAS})$，$△ AOB≌△ BQC(\mathrm{AAS})$，
可得$FP=OB=CQ=b$。
在$△ FPD$和$△ CQD$中：
$\begin{cases}∠ FPD=∠ CQD=90°\\∠ FDP=∠ CDQ\\FP=CQ\end{cases}$
$\therefore △ FPD≌△ CQD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore FD=CD$，即点$D$是$CF$的中点。
(3) 解：该比值是定值，定值为$\frac{1}{2}$。
设点$E$坐标为$(e,0)$，$e＞0$，
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· AE· OB=\frac{1}{2}· (e-a)· b$。
由(2)知$BD$在$y$轴上，$BD=\frac{e-a}{2}$，点$F$到$y$轴的距离为$b$，
$\therefore S_{△ FBD}=\frac{1}{2}· BD· b=\frac{1}{2}· \frac{e-a}{2}· b=\frac{b(e-a)}{4}$，
$\therefore \frac{S_{△ FBD}}{S_{△ ABE}}=\frac{\frac{b(e-a)}{4}}{\frac{b(e-a)}{2}}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1) 首先根据非负数的性质，绝对值与平方的结果均为非负，二者和为0则各自等于0，可求出a、b的值，得到A、B的坐标；要求C点坐标时，过C作y轴的垂线，构造与△AOB全等的三角形，用AAS证明全等后，根据对应边相等即可算出C的横纵坐标。
(2) 先利用同角的余角相等得到∠ABF=∠CBE，结合已知的边相等条件，用SAS证明△ABF≌△CBE，推导角的关系得到∠ECF=90°；再分别过F、C作y轴的垂线，构造△FPD和△CQD，证明二者全等即可得到FD=CD，说明D是CF的中点。
(3) 判断面积比是否为定值时，分别表示出两个三角形的面积：△ABE以AE为底、OB为高计算面积，△FBD以BD为底、F到y轴的距离为高计算面积，代入比值化简即可得到结果。
【解析】
(1) 由非负数的性质得：
$|a+2b|=0$，$(b-2)^2=0$，
解得$b=2$，$a=-4$，
$\therefore A(-4,0)$，$B(0,2)$。
过点$C$作$CM⊥ y$轴于点$M$，
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABO+∠ CBM=90°$，
又$\because ∠ ABO+∠ OAB=90°$，
$\therefore ∠ OAB=∠ CBM$，
在$△ AOB$和$△ BMC$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BMC=90°\\∠ OAB=∠ CBM\\BA=BC\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ BMC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BM=OA=4$，$CM=OB=2$，
$\therefore OM=BM-OB=2$，
$\therefore C(2,-2)$。
(2) 证明：
$\because ∠ ABC=∠ FBE=90°$，
$\therefore ∠ ABC-∠ FBC=∠ FBE-∠ FBC$，即$∠ ABF=∠ CBE$，
在$△ ABF$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}BA=BC\\∠ ABF=∠ CBE\\BF=BE\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CBE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BAF=∠ BCE$，
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BCA=45°$，
$\therefore ∠ BCE=∠ BAF=45°$，
$\therefore ∠ ECF=∠ BCA+∠ BCE=90°$。
过点$F$作$FP⊥ y$轴于点$P$，过点$C$作$CQ⊥ y$轴于点$Q$，
同理可证$△ FPB≌△ BOE(\mathrm{AAS})$，$△ AOB≌△ BQC(\mathrm{AAS})$，
可得$FP=OB=CQ=b$。
在$△ FPD$和$△ CQD$中：
$\begin{cases}∠ FPD=∠ CQD=90°\\∠ FDP=∠ CDQ\\FP=CQ\end{cases}$
$\therefore △ FPD≌△ CQD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore FD=CD$，即点$D$是$CF$的中点。
(3) 解：该比值是定值，计算如下：
设点$E$坐标为$(e,0)$，$e＞0$，
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· AE· OB=\frac{1}{2}· (e-a)· b$。
由(2)知$BD$在$y$轴上，$BD=\frac{e-a}{2}$，点$F$到$y$轴的距离为$b$，
$\therefore S_{△ FBD}=\frac{1}{2}· BD· b=\frac{1}{2}· \frac{e-a}{2}· b=\frac{b(e-a)}{4}$，
$\therefore \frac{S_{△ FBD}}{S_{△ ABE}}=\frac{\frac{b(e-a)}{4}}{\frac{b(e-a)}{2}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $A(-4,0)$，$B(0,2)$，$C(2,-2)$；
(2) 点$D$是$CF$的中点，证明成立；
(3) 是定值，定值为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
非负数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中点的坐标求解、全等三角形的证明以及三角形面积的计算，解题核心是通过构造垂线得到全等三角形，利用全等的性质推导边、角的等量关系，对学生的逻辑推理和几何辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 首先根据非负数的性质，绝对值与平方的结果均为非负，二者和为0则各自等于0，可求出a、b的值，得到A、B的坐标；要求C点坐标时，过C作y轴的垂线，构造与△AOB全等的三角形，用AAS证明全等后，根据对应边相等即可算出C的横纵坐标。
(2) 先利用同角的余角相等得到∠ABF=∠CBE，结合已知的边相等条件，用SAS证明△ABF≌△CBE，推导角的关系得到∠ECF=90°；再分别过F、C作y轴的垂线，构造△FPD和△CQD，证明二者全等即可得到FD=CD，说明D是CF的中点。
(3) 判断面积比是否为定值时，分别表示出两个三角形的面积：△ABE以AE为底、OB为高计算面积，△FBD以BD为底、F到y轴的距离为高计算面积，代入比值化简即可得到结果。
【解析】
(1) 由非负数的性质得：
$|a+2b|=0$，$(b-2)^2=0$，
解得$b=2$，$a=-4$，
$\therefore A(-4,0)$，$B(0,2)$。
过点$C$作$CM⊥ y$轴于点$M$，
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABO+∠ CBM=90°$，
又$\because ∠ ABO+∠ OAB=90°$，
$\therefore ∠ OAB=∠ CBM$，
在$△ AOB$和$△ BMC$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BMC=90°\\∠ OAB=∠ CBM\\BA=BC\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ BMC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BM=OA=4$，$CM=OB=2$，
$\therefore OM=BM-OB=2$，
$\therefore C(2,-2)$。
(2) 证明：
$\because ∠ ABC=∠ FBE=90°$，
$\therefore ∠ ABC-∠ FBC=∠ FBE-∠ FBC$，即$∠ ABF=∠ CBE$，
在$△ ABF$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}BA=BC\\∠ ABF=∠ CBE\\BF=BE\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CBE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BAF=∠ BCE$，
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BCA=45°$，
$\therefore ∠ BCE=∠ BAF=45°$，
$\therefore ∠ ECF=∠ BCA+∠ BCE=90°$。
过点$F$作$FP⊥ y$轴于点$P$，过点$C$作$CQ⊥ y$轴于点$Q$，
同理可证$△ FPB≌△ BOE(\mathrm{AAS})$，$△ AOB≌△ BQC(\mathrm{AAS})$，
可得$FP=OB=CQ=b$。
在$△ FPD$和$△ CQD$中：
$\begin{cases}∠ FPD=∠ CQD=90°\\∠ FDP=∠ CDQ\\FP=CQ\end{cases}$
$\therefore △ FPD≌△ CQD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore FD=CD$，即点$D$是$CF$的中点。
(3) 解：该比值是定值，计算如下：
设点$E$坐标为$(e,0)$，$e＞0$，
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· AE· OB=\frac{1}{2}· (e-a)· b$。
由(2)知$BD$在$y$轴上，$BD=\frac{e-a}{2}$，点$F$到$y$轴的距离为$b$，
$\therefore S_{△ FBD}=\frac{1}{2}· BD· b=\frac{1}{2}· \frac{e-a}{2}· b=\frac{b(e-a)}{4}$，
$\therefore \frac{S_{△ FBD}}{S_{△ ABE}}=\frac{\frac{b(e-a)}{4}}{\frac{b(e-a)}{2}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $A(-4,0)$，$B(0,2)$，$C(2,-2)$；
(2) 点$D$是$CF$的中点，证明成立；
(3) 是定值，定值为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
非负数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中点的坐标求解、全等三角形的证明以及三角形面积的计算，解题核心是通过构造垂线得到全等三角形，利用全等的性质推导边、角的等量关系，对学生的逻辑推理和几何辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
