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1. [2025 成都] 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，点 $ P(-2, a^2 + 1) $ 所在的象限是 （）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
B
解析
【分析】
要判断点所在的象限，需先明确平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征，再分别确定点P的横、纵坐标的正负即可。首先看点P的横坐标是-2，可直接判断其正负；再根据平方的非负性分析纵坐标$a^2+1$的正负，最后结合象限符号特征得出结论。
【解析】
步骤1：判断点P横坐标的正负：
点P的横坐标为-2，显然$-2 ＜ 0$，是负数。
步骤2：判断点P纵坐标的正负：
根据平方的非负性可知，任意实数的平方都大于等于0，即$a^2 ≥ 0$，因此$a^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，纵坐标是正数。
步骤3：结合象限坐标符号特征判断：
四个象限的坐标符号规律为：第一象限$(+,+)$、第二象限$(-,+)$、第三象限$(-,-)$、第四象限$(+,-)$。横坐标为负、纵坐标为正的点属于第二象限，因此点P在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
象限的坐标特征；平方的非负性
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题，解题核心是先确定点的横纵坐标的正负，再对应象限的符号特征判断，难度较低，掌握象限坐标符号规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断点所在的象限，需先明确平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征，再分别确定点P的横、纵坐标的正负即可。首先看点P的横坐标是-2，可直接判断其正负；再根据平方的非负性分析纵坐标$a^2+1$的正负，最后结合象限符号特征得出结论。
【解析】
步骤1：判断点P横坐标的正负：
点P的横坐标为-2，显然$-2 ＜ 0$，是负数。
步骤2：判断点P纵坐标的正负：
根据平方的非负性可知，任意实数的平方都大于等于0，即$a^2 ≥ 0$，因此$a^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，纵坐标是正数。
步骤3：结合象限坐标符号特征判断：
四个象限的坐标符号规律为：第一象限$(+,+)$、第二象限$(-,+)$、第三象限$(-,-)$、第四象限$(+,-)$。横坐标为负、纵坐标为正的点属于第二象限，因此点P在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
象限的坐标特征；平方的非负性
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题，解题核心是先确定点的横纵坐标的正负，再对应象限的符号特征判断，难度较低，掌握象限坐标符号规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.已知点P在第四象限，坐标为$(10-a,3a+6)$，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是。
答案
解：
∵点P在第四象限，
∴点P的横坐标为正，纵坐标为负。
又∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴点P的横、纵坐标互为相反数，可得方程：
$10 - a = -(3a + 6)$
整理得：
$10 - a = -3a -6$
移项得：
$2a = -16$
解得：
$a = -8$
将$a=-8$代入点P的坐标表达式：
横坐标：$10 - a = 10 - (-8) = 18$
纵坐标：$3a + 6 = 3×(-8) + 6 = -18$
∴点P的坐标是$\boldsymbol{(18, -18)}$。
∵点P在第四象限，
∴点P的横坐标为正，纵坐标为负。
又∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴点P的横、纵坐标互为相反数，可得方程：
$10 - a = -(3a + 6)$
整理得：
$10 - a = -3a -6$
移项得：
$2a = -16$
解得：
$a = -8$
将$a=-8$代入点P的坐标表达式：
横坐标：$10 - a = 10 - (-8) = 18$
纵坐标：$3a + 6 = 3×(-8) + 6 = -18$
∴点P的坐标是$\boldsymbol{(18, -18)}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中第四象限的点的坐标特征：横坐标为正，纵坐标为负；再结合“点到两坐标轴的距离相等”这一条件，可知该点横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，结合第四象限坐标的符号特点，可推出横坐标与纵坐标互为相反数，据此列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，再代入坐标表达式即可得到点P的坐标。
【解析】
∵点P在第四象限，
∴点P的横坐标为正，纵坐标为负。
又
∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴点P的横、纵坐标互为相反数，可得方程：
$10 - a = -(3a + 6)$
整理得：
$10 - a = -3a -6$
移项得：
$2a = -16$
解得：
$a = -8$
将$a=-8$代入点P的坐标表达式：
横坐标：$10 - a = 10 - (-8) = 18$
纵坐标：$3a + 6 = 3×(-8) + 6 = -18$
∴点P的坐标是$\boldsymbol{(18, -18)}$。
【答案】
$(18,-18)$
【知识点】
象限内点的坐标特征；点到坐标轴的距离；解一元一次方程
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题型，解题的关键是结合点所在象限的坐标符号特征，将“到两坐标轴距离相等”的条件转化为横纵坐标的数量关系列方程求解，注意不要忽略象限对坐标正负的限制，避免列错方程。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平面直角坐标系中第四象限的点的坐标特征：横坐标为正，纵坐标为负；再结合“点到两坐标轴的距离相等”这一条件，可知该点横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，结合第四象限坐标的符号特点，可推出横坐标与纵坐标互为相反数，据此列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，再代入坐标表达式即可得到点P的坐标。
【解析】
∵点P在第四象限，
∴点P的横坐标为正，纵坐标为负。
又
∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴点P的横、纵坐标互为相反数，可得方程：
$10 - a = -(3a + 6)$
整理得：
$10 - a = -3a -6$
移项得：
$2a = -16$
解得：
$a = -8$
将$a=-8$代入点P的坐标表达式：
横坐标：$10 - a = 10 - (-8) = 18$
纵坐标：$3a + 6 = 3×(-8) + 6 = -18$
∴点P的坐标是$\boldsymbol{(18, -18)}$。
【答案】
$(18,-18)$
【知识点】
象限内点的坐标特征；点到坐标轴的距离；解一元一次方程
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题型，解题的关键是结合点所在象限的坐标符号特征，将“到两坐标轴距离相等”的条件转化为横纵坐标的数量关系列方程求解，注意不要忽略象限对坐标正负的限制，避免列错方程。
【难度系数】
0.7
3. 在平面直角坐标系中，已知点$P(2a-4,a+3)$在$y$轴上，则点$P'(-a+4,3a-1)$所在的象限为（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
A
解析
【分析】
要判断点P'所在的象限，首先需要求出a的值。解题思路如下：第一步，根据y轴上点的坐标特征（y轴上的点横坐标为0），结合点P在y轴上的条件，列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值；第二步，将a的值代入点P'的坐标表达式，分别计算出点P'的横、纵坐标；第三步，根据各象限内点的横、纵坐标的符号特征，判断点P'所在的象限。
【解析】
解：
∵点P(2a-4,a+3)在y轴上，y轴上的点横坐标为0，
∴2a - 4 = 0，
解得a = 2。
将a=2代入点P'的坐标计算：
横坐标：-a + 4 = -2 + 4 = 2 ＞ 0，
纵坐标：3a - 1 = 3×2 -1 = 5 ＞ 0。
∵第一象限内的点横、纵坐标均为正数，
∴点P'在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
y轴上点的坐标特征；象限内点的符号规律；一元一次方程的解法
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查坐标轴上点的坐标性质与象限的判断方法，解题的关键是牢记y轴上点的横坐标为0的特征，计算时注意符号避免出错即可。
【难度系数】
0.85
要判断点P'所在的象限，首先需要求出a的值。解题思路如下：第一步，根据y轴上点的坐标特征（y轴上的点横坐标为0），结合点P在y轴上的条件，列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值；第二步，将a的值代入点P'的坐标表达式，分别计算出点P'的横、纵坐标；第三步，根据各象限内点的横、纵坐标的符号特征，判断点P'所在的象限。
【解析】
解：
∵点P(2a-4,a+3)在y轴上，y轴上的点横坐标为0，
∴2a - 4 = 0，
解得a = 2。
将a=2代入点P'的坐标计算：
横坐标：-a + 4 = -2 + 4 = 2 ＞ 0，
纵坐标：3a - 1 = 3×2 -1 = 5 ＞ 0。
∵第一象限内的点横、纵坐标均为正数，
∴点P'在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
y轴上点的坐标特征；象限内点的符号规律；一元一次方程的解法
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查坐标轴上点的坐标性质与象限的判断方法，解题的关键是牢记y轴上点的横坐标为0的特征，计算时注意符号避免出错即可。
【难度系数】
0.85
4.如果点$ M(1-m,1+m) $在$ x $轴上，点$ N(n+2,n-2) $在$ y $轴上，那么$ m+n $的值为。
答案
解：
∵点$M(1-m,1+m)$在$x$轴上，
∴点$M$的纵坐标为0，即$1+m=0$，
解得$m=-1$。
∵点$N(n+2,n-2)$在$y$轴上，
∴点$N$的横坐标为0，即$n+2=0$，
解得$n=-2$。
∴$m+n=-1+(-2)=-3$。
∵点$M(1-m,1+m)$在$x$轴上，
∴点$M$的纵坐标为0，即$1+m=0$，
解得$m=-1$。
∵点$N(n+2,n-2)$在$y$轴上，
∴点$N$的横坐标为0，即$n+2=0$，
解得$n=-2$。
∴$m+n=-1+(-2)=-3$。
解析
【分析】
本题需结合坐标轴上点的坐标特征求解：首先回忆x轴上点的纵坐标恒为0，y轴上点的横坐标恒为0，据此先利用点M在x轴的条件列方程求出m的值，再利用点N在y轴的条件列方程求出n的值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
∵点$M(1-m,1+m)$在$x$轴上，
∴点$M$的纵坐标为0，即$1+m=0$，
解得$m=-1$。
∵点$N(n+2,n-2)$在$y$轴上，
∴点$N$的横坐标为0，即$n+2=0$，
解得$n=-2$。
∴$m+n=-1+(-2)=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查对平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特点的掌握，牢记对应坐标为0的规律即可快速解题，计算时注意符号的处理。
【难度系数】
0.85
本题需结合坐标轴上点的坐标特征求解：首先回忆x轴上点的纵坐标恒为0，y轴上点的横坐标恒为0，据此先利用点M在x轴的条件列方程求出m的值，再利用点N在y轴的条件列方程求出n的值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
∵点$M(1-m,1+m)$在$x$轴上，
∴点$M$的纵坐标为0，即$1+m=0$，
解得$m=-1$。
∵点$N(n+2,n-2)$在$y$轴上，
∴点$N$的横坐标为0，即$n+2=0$，
解得$n=-2$。
∴$m+n=-1+(-2)=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查对平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特点的掌握，牢记对应坐标为0的规律即可快速解题，计算时注意符号的处理。
【难度系数】
0.85
5. 在平面直角坐标系中，点$ P(a,b) $在第二象限的角平分线上，且$ a,b $满足$ 2a + b = -3 $，则点$ P $的坐标为$\quad (\quad)$
A.$ (1,-1) $
B.$ (1,1) $
C.$ (3,3) $
D.$ (-3,3) $
A.$ (1,-1) $
B.$ (1,1) $
C.$ (3,3) $
D.$ (-3,3) $
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆第二象限角平分线上的点的坐标特征：第二象限角平分线上的点横坐标为负、纵坐标为正，且横、纵坐标互为相反数，由此可得到a与b的第一个等量关系；再结合题目给出的方程2a + b = -3，联立两个方程即可求出a、b的值，进而得到点P的坐标。
【解析】
∵ 点P(a,b)在第二象限的角平分线上
∴ 横、纵坐标互为相反数，且a＜0，b＞0，即b = -a，整理得a + b = 0 ①
又已知2a + b = -3 ②
用②式减去①式消去b，可得：
(2a + b) - (a + b) = -3 - 0
解得a = -3
将a = -3代入①式，得-3 + b = 0，解得b = 3
∴ 点P的坐标为(-3,3)
【答案】
D
【知识点】
1. 象限角平分线坐标特征
2. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，核心是牢记不同象限角平分线上点的坐标规律，避免混淆第一、三象限（横纵坐标相等）和第二、四象限（横纵坐标互为相反数）的坐标特征，结合简单的方程组计算即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆第二象限角平分线上的点的坐标特征：第二象限角平分线上的点横坐标为负、纵坐标为正，且横、纵坐标互为相反数，由此可得到a与b的第一个等量关系；再结合题目给出的方程2a + b = -3，联立两个方程即可求出a、b的值，进而得到点P的坐标。
【解析】
∵ 点P(a,b)在第二象限的角平分线上
∴ 横、纵坐标互为相反数，且a＜0，b＞0，即b = -a，整理得a + b = 0 ①
又已知2a + b = -3 ②
用②式减去①式消去b，可得：
(2a + b) - (a + b) = -3 - 0
解得a = -3
将a = -3代入①式，得-3 + b = 0，解得b = 3
∴ 点P的坐标为(-3,3)
【答案】
D
【知识点】
1. 象限角平分线坐标特征
2. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，核心是牢记不同象限角平分线上点的坐标规律，避免混淆第一、三象限（横纵坐标相等）和第二、四象限（横纵坐标互为相反数）的坐标特征，结合简单的方程组计算即可求解。
【难度系数】
0.8
6.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H(2a−1,a+1)，则a=。
答案
解：由作图方法可知，射线OH是第一象限的角平分线，
因此点H的横、纵坐标相等，
可得方程：$2a - 1 = a + 1$，
移项得：$2a - a = 1 + 1$，
解得：$a = 2$。
因此点H的横、纵坐标相等，
可得方程：$2a - 1 = a + 1$，
移项得：$2a - a = 1 + 1$，
解得：$a = 2$。
解析
【分析】
首先观察题目中的作图步骤，该作图是尺规作角平分线的标准操作，因此可判断射线OH是第一象限的角平分线；再回忆第一象限角平分线的坐标特征：第一象限角平分线上的所有点的横坐标与纵坐标相等，结合点H的坐标即可列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
由题中的作图方法可知，射线OH是第一象限的角平分线，
根据第一象限角平分线上的点的横、纵坐标相等，可得：
$2a - 1 = a + 1$
移项得：$2a - a = 1 + 1$
解得：$a = 2$
【答案】
2
【知识点】
1.角平分线的尺规作图
2.象限角平分线的坐标特征
3.解一元一次方程
【点评】
本题是基础综合题，将尺规作图与平面直角坐标系的知识结合考查，解题的核心是识别出作图得到的是角平分线，再结合角平分线上点的坐标特征列方程求解，难度较低，侧重对基础知识点的掌握和应用。
【难度系数】
0.7
首先观察题目中的作图步骤，该作图是尺规作角平分线的标准操作，因此可判断射线OH是第一象限的角平分线；再回忆第一象限角平分线的坐标特征：第一象限角平分线上的所有点的横坐标与纵坐标相等，结合点H的坐标即可列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
由题中的作图方法可知，射线OH是第一象限的角平分线，
根据第一象限角平分线上的点的横、纵坐标相等，可得：
$2a - 1 = a + 1$
移项得：$2a - a = 1 + 1$
解得：$a = 2$
【答案】
2
【知识点】
1.角平分线的尺规作图
2.象限角平分线的坐标特征
3.解一元一次方程
【点评】
本题是基础综合题，将尺规作图与平面直角坐标系的知识结合考查，解题的核心是识别出作图得到的是角平分线，再结合角平分线上点的坐标特征列方程求解，难度较低，侧重对基础知识点的掌握和应用。
【难度系数】
0.7
7. 已知点$ A(a-1,b+2),B(3,4),C(-1,-2) $在同一个坐标平面内,且点$ A,B $所在的直线平行于$ x $轴,点$ A,C $所在的直线平行于$ y $轴,则$ a+b $的算术平方根为.
答案
解：
∵ 点A，B所在的直线平行于x轴，
∴ 点A与点B的纵坐标相等，即 $ b+2=4 $，
解得 $ b=2 $。
∵ 点A，C所在的直线平行于y轴，
∴ 点A与点C的横坐标相等，即 $ a-1=-1 $，
解得 $ a=0 $。
∴ $ a+b=0+2=2 $，
∴ $ a+b $ 的算术平方根为 $ \sqrt{2} $。
∵ 点A，B所在的直线平行于x轴，
∴ 点A与点B的纵坐标相等，即 $ b+2=4 $，
解得 $ b=2 $。
∵ 点A，C所在的直线平行于y轴，
∴ 点A与点C的横坐标相等，即 $ a-1=-1 $，
解得 $ a=0 $。
∴ $ a+b=0+2=2 $，
∴ $ a+b $ 的算术平方根为 $ \sqrt{2} $。
解析
【分析】
解题时先回忆平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标规律：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等。首先根据AB平行x轴的条件，利用A、B纵坐标相等列等式求出b的值；再根据AC平行y轴的条件，利用A、C横坐标相等列等式求出a的值；最后计算a+b的和，再求该和的算术平方根即可。
【解析】
∵ 点A，B所在的直线平行于x轴，
∴ 点A与点B的纵坐标相等，即 $ b+2=4 $，
解得 $ b=2 $。
∵ 点A，C所在的直线平行于y轴，
∴ 点A与点C的横坐标相等，即 $ a-1=-1 $，
解得 $ a=0 $。
∴ $ a+b=0+2=2 $，
根据算术平方根的定义，2的算术平方根为$\sqrt{2}$，
∴ $ a+b $ 的算术平方根为 $ \sqrt{2} $。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
平行于坐标轴的点的坐标特征；算术平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，核心考查平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，结合算术平方根的定义进行简单运算，掌握坐标特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标规律：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等。首先根据AB平行x轴的条件，利用A、B纵坐标相等列等式求出b的值；再根据AC平行y轴的条件，利用A、C横坐标相等列等式求出a的值；最后计算a+b的和，再求该和的算术平方根即可。
【解析】
∵ 点A，B所在的直线平行于x轴，
∴ 点A与点B的纵坐标相等，即 $ b+2=4 $，
解得 $ b=2 $。
∵ 点A，C所在的直线平行于y轴，
∴ 点A与点C的横坐标相等，即 $ a-1=-1 $，
解得 $ a=0 $。
∴ $ a+b=0+2=2 $，
根据算术平方根的定义，2的算术平方根为$\sqrt{2}$，
∴ $ a+b $ 的算术平方根为 $ \sqrt{2} $。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
平行于坐标轴的点的坐标特征；算术平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，核心考查平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，结合算术平方根的定义进行简单运算，掌握坐标特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 在平面直角坐标系$xOy$中，有一点$P(a,b)$，实数$a,b,m$满足以下两个等式：$2a - 6m + 4 = 0$，$b + 2m - 8 = 0$。
(1)当$a=1$时，点$P$到$x$轴的距离为________；
(2)若点$P$在第一、三象限的角平分线上，求点$P$的坐标；
(3)已知$A(3,-2)$，$AP// x$轴，求$AP$的长。
(1)当$a=1$时，点$P$到$x$轴的距离为________；
(2)若点$P$在第一、三象限的角平分线上，求点$P$的坐标；
(3)已知$A(3,-2)$，$AP// x$轴，求$AP$的长。
答案
解：
(1) 当$a=1$时，将$a=1$代入$2a - 6m + 4 = 0$，得：
$2×1 - 6m + 4 = 0$
解得$m=1$
把$m=1$代入$b + 2m - 8 = 0$，得：
$b + 2×1 - 8 = 0$
解得$b=6$
点$P$到$x$轴的距离为$|b|=6$
故答案为：$6$。
(2) 由$2a - 6m + 4 = 0$，整理得$a = 3m - 2$
由$b + 2m - 8 = 0$，整理得$b = -2m + 8$
因为点$P$在第一、三象限的角平分线上，所以$a = b$
即$3m - 2 = -2m + 8$
解得$m=2$
将$m=2$代入$a=3m-2$得$a=4$，代入$b=-2m+8$得$b=4$
所以点$P$的坐标为$(4,4)$。
(3) 因为$AP// x$轴，$A(3,-2)$，所以点$P$的纵坐标$b=-2$
即$-2m + 8 = -2$
解得$m=5$
将$m=5$代入$a=3m-2$得$a=13$
所以点$P$的坐标为$(13,-2)$
$AP$的长为$|13 - 3|=10$。
(1) 当$a=1$时，将$a=1$代入$2a - 6m + 4 = 0$，得：
$2×1 - 6m + 4 = 0$
解得$m=1$
把$m=1$代入$b + 2m - 8 = 0$，得：
$b + 2×1 - 8 = 0$
解得$b=6$
点$P$到$x$轴的距离为$|b|=6$
故答案为：$6$。
(2) 由$2a - 6m + 4 = 0$，整理得$a = 3m - 2$
由$b + 2m - 8 = 0$，整理得$b = -2m + 8$
因为点$P$在第一、三象限的角平分线上，所以$a = b$
即$3m - 2 = -2m + 8$
解得$m=2$
将$m=2$代入$a=3m-2$得$a=4$，代入$b=-2m+8$得$b=4$
所以点$P$的坐标为$(4,4)$。
(3) 因为$AP// x$轴，$A(3,-2)$，所以点$P$的纵坐标$b=-2$
即$-2m + 8 = -2$
解得$m=5$
将$m=5$代入$a=3m-2$得$a=13$
所以点$P$的坐标为$(13,-2)$
$AP$的长为$|13 - 3|=10$。
解析
【分析】
(1) 先将已知的a值代入第一个含m的等式求出m，再将m代入第二个等式求出b，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，代入即可得结果；
(2) 先对两个等式变形，用含m的式子分别表示a和b，根据第一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等的特征，列关于m的方程求解，再回代求出a、b即可得到点P的坐标；
(3) 根据平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等的性质，可知点P的纵坐标与点A的纵坐标相同，代入含m的b的表达式求出m，再求a得到点P坐标，AP的长度为两点横坐标差的绝对值。
【解析】
(1) 当$a=1$时，将$a=1$代入$2a - 6m + 4 = 0$，得：
$2×1 - 6m + 4 = 0$
解得$m=1$
把$m=1$代入$b + 2m - 8 = 0$，得：
$b + 2×1 - 8 = 0$
解得$b=6$
点$P$到$x$轴的距离为$|b|=6$。
(2) 由$2a - 6m + 4 = 0$，整理得$a = 3m - 2$
由$b + 2m - 8 = 0$，整理得$b = -2m + 8$
因为点$P$在第一、三象限的角平分线上，所以$a = b$
即$3m - 2 = -2m + 8$
解得$m=2$
将$m=2$代入$a=3m-2$得$a=4$，代入$b=-2m+8$得$b=4$
所以点$P$的坐标为$(4,4)$。
(3) 因为$AP// x$轴，$A(3,-2)$，所以点$P$的纵坐标$b=-2$
即$-2m + 8 = -2$
解得$m=5$
将$m=5$代入$a=3m-2$得$a=13$
所以点$P$的坐标为$(13,-2)$
$AP$的长为$|13 - 3|=10$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{(4,4)}$；(3) $\boxed{10}$
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离
2. 象限角平分线的坐标特征
3. 平行于坐标轴的点的坐标性质
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础典型题，核心是通过参数m建立点P横纵坐标的联系，结合不同特殊位置点的坐标特征列方程求解，侧重考查基础概念的理解和简单代数运算能力，出题形式贴合考纲要求。
【难度系数】
0.7
(1) 先将已知的a值代入第一个含m的等式求出m，再将m代入第二个等式求出b，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，代入即可得结果；
(2) 先对两个等式变形，用含m的式子分别表示a和b，根据第一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等的特征，列关于m的方程求解，再回代求出a、b即可得到点P的坐标；
(3) 根据平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等的性质，可知点P的纵坐标与点A的纵坐标相同，代入含m的b的表达式求出m，再求a得到点P坐标，AP的长度为两点横坐标差的绝对值。
【解析】
(1) 当$a=1$时，将$a=1$代入$2a - 6m + 4 = 0$，得：
$2×1 - 6m + 4 = 0$
解得$m=1$
把$m=1$代入$b + 2m - 8 = 0$，得：
$b + 2×1 - 8 = 0$
解得$b=6$
点$P$到$x$轴的距离为$|b|=6$。
(2) 由$2a - 6m + 4 = 0$，整理得$a = 3m - 2$
由$b + 2m - 8 = 0$，整理得$b = -2m + 8$
因为点$P$在第一、三象限的角平分线上，所以$a = b$
即$3m - 2 = -2m + 8$
解得$m=2$
将$m=2$代入$a=3m-2$得$a=4$，代入$b=-2m+8$得$b=4$
所以点$P$的坐标为$(4,4)$。
(3) 因为$AP// x$轴，$A(3,-2)$，所以点$P$的纵坐标$b=-2$
即$-2m + 8 = -2$
解得$m=5$
将$m=5$代入$a=3m-2$得$a=13$
所以点$P$的坐标为$(13,-2)$
$AP$的长为$|13 - 3|=10$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{(4,4)}$；(3) $\boxed{10}$
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离
2. 象限角平分线的坐标特征
3. 平行于坐标轴的点的坐标性质
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础典型题，核心是通过参数m建立点P横纵坐标的联系，结合不同特殊位置点的坐标特征列方程求解，侧重考查基础概念的理解和简单代数运算能力，出题形式贴合考纲要求。
【难度系数】
0.7
9. 如果a是任意实数，那么点$P(a-4,a-2)$一定不在
在
（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
在
（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
D
解析
【分析】
要判断点P一定不在哪个象限，首先明确平面直角坐标系中四个象限内点的坐标符号特征：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）。我们可以分别假设点P在四个象限，根据对应象限的坐标符号列出关于a的一元一次不等式组，若不等式组有解，说明存在实数a使点P在该象限；若不等式组无解，则说明点P一定不在该象限。
【解析】
设点P的横坐标为$x=a-4$，纵坐标为$y=a-2$，分情况验证：
1. 若点P在第一象限：需满足$\begin{cases}a-4＞0 \\ a-2＞0\end{cases}$，解得$a＞4$，不等式组有解，故点P可能在第一象限，排除A；
2. 若点P在第二象限：需满足$\begin{cases}a-4＜0 \\ a-2＞0\end{cases}$，解得$2＜a＜4$，不等式组有解，故点P可能在第二象限，排除B；
3. 若点P在第三象限：需满足$\begin{cases}a-4＜0 \\ a-2＜0\end{cases}$，解得$a＜2$，不等式组有解，故点P可能在第三象限，排除C；
4. 若点P在第四象限：需满足$\begin{cases}a-4＞0 \\ a-2＜0\end{cases}$，第一个不等式解得$a＞4$，第二个不等式解得$a＜2$，无公共解集，不等式组无解，故不存在实数a使点P在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式组结合的典型基础题，解题核心是掌握各象限点的坐标符号规律，通过列不等式组判断解集是否存在即可得出结论，也可通过观察得到点P纵坐标始终比横坐标大2的特点，结合第四象限横坐标为正、纵坐标为负（横坐标一定大于纵坐标）的规律快速判断。
【难度系数】
0.7
要判断点P一定不在哪个象限，首先明确平面直角坐标系中四个象限内点的坐标符号特征：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）。我们可以分别假设点P在四个象限，根据对应象限的坐标符号列出关于a的一元一次不等式组，若不等式组有解，说明存在实数a使点P在该象限；若不等式组无解，则说明点P一定不在该象限。
【解析】
设点P的横坐标为$x=a-4$，纵坐标为$y=a-2$，分情况验证：
1. 若点P在第一象限：需满足$\begin{cases}a-4＞0 \\ a-2＞0\end{cases}$，解得$a＞4$，不等式组有解，故点P可能在第一象限，排除A；
2. 若点P在第二象限：需满足$\begin{cases}a-4＜0 \\ a-2＞0\end{cases}$，解得$2＜a＜4$，不等式组有解，故点P可能在第二象限，排除B；
3. 若点P在第三象限：需满足$\begin{cases}a-4＜0 \\ a-2＜0\end{cases}$，解得$a＜2$，不等式组有解，故点P可能在第三象限，排除C；
4. 若点P在第四象限：需满足$\begin{cases}a-4＞0 \\ a-2＜0\end{cases}$，第一个不等式解得$a＞4$，第二个不等式解得$a＜2$，无公共解集，不等式组无解，故不存在实数a使点P在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式组结合的典型基础题，解题核心是掌握各象限点的坐标符号规律，通过列不等式组判断解集是否存在即可得出结论，也可通过观察得到点P纵坐标始终比横坐标大2的特点，结合第四象限横坐标为正、纵坐标为负（横坐标一定大于纵坐标）的规律快速判断。
【难度系数】
0.7
10. 新考法分类讨论法 在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，B(4，1)，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（）
A.(1,0)或(0,−1)
B.(0,3)或(4,0)
C.(−1,0)或(0,1)
D.(2,0)或(0,1)
A.(1,0)或(0,−1)
B.(0,3)或(4,0)
C.(−1,0)或(0,1)
D.(2,0)或(0,1)
答案
A
解析
【分析】
本题需先明确点P在坐标轴上，坐标轴分为x轴和y轴两类，因此采用分类讨论思想求解：①若点P在x轴上，其纵坐标为0，可设P(x, 0)；②若点P在y轴上，其横坐标为0，可设P(0, y)。再根据P到A、B距离相等的条件，结合两点间距离公式列方程求解，即可得到P点坐标。
【解析】
根据两点间距离公式：若两点为$M(x_1,y_1)$、$N(x_2,y_2)$，则$MN=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，由$PA=PB$可得$PA^2=PB^2$，避免开根号简化计算，分两种情况讨论：
1. 当点P在x轴上时，设$P(x,0)$
则$PA^2=(x-2)^2+(0-3)^2$，$PB^2=(x-4)^2+(0-1)^2$
列方程：$(x-2)^2+9=(x-4)^2+1$
展开得：$x^2-4x+4+9=x^2-8x+16+1$
化简得：$4x=4$，解得$x=1$，即$P(1,0)$
2. 当点P在y轴上时，设$P(0,y)$
则$PA^2=(0-2)^2+(y-3)^2$，$PB^2=(0-4)^2+(y-1)^2$
列方程：$4+(y-3)^2=16+(y-1)^2$
展开得：$4+y^2-6y+9=16+y^2-2y+1$
化简得：$-4y=4$，解得$y=-1$，即$P(0,-1)$
综上，点P的坐标为$(1,0)$或$(0,-1)$。
【答案】
A
【知识点】
两点间距离公式；分类讨论思想；坐标轴上点的特征
【点评】
本题解题的核心是注意“坐标轴上的点”包含x轴、y轴两类点，避免漏解，同时利用距离平方相等列方程，能简化计算过程，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
本题需先明确点P在坐标轴上，坐标轴分为x轴和y轴两类，因此采用分类讨论思想求解：①若点P在x轴上，其纵坐标为0，可设P(x, 0)；②若点P在y轴上，其横坐标为0，可设P(0, y)。再根据P到A、B距离相等的条件，结合两点间距离公式列方程求解，即可得到P点坐标。
【解析】
根据两点间距离公式：若两点为$M(x_1,y_1)$、$N(x_2,y_2)$，则$MN=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，由$PA=PB$可得$PA^2=PB^2$，避免开根号简化计算，分两种情况讨论：
1. 当点P在x轴上时，设$P(x,0)$
则$PA^2=(x-2)^2+(0-3)^2$，$PB^2=(x-4)^2+(0-1)^2$
列方程：$(x-2)^2+9=(x-4)^2+1$
展开得：$x^2-4x+4+9=x^2-8x+16+1$
化简得：$4x=4$，解得$x=1$，即$P(1,0)$
2. 当点P在y轴上时，设$P(0,y)$
则$PA^2=(0-2)^2+(y-3)^2$，$PB^2=(0-4)^2+(y-1)^2$
列方程：$4+(y-3)^2=16+(y-1)^2$
展开得：$4+y^2-6y+9=16+y^2-2y+1$
化简得：$-4y=4$，解得$y=-1$，即$P(0,-1)$
综上，点P的坐标为$(1,0)$或$(0,-1)$。
【答案】
A
【知识点】
两点间距离公式；分类讨论思想；坐标轴上点的特征
【点评】
本题解题的核心是注意“坐标轴上的点”包含x轴、y轴两类点，避免漏解，同时利用距离平方相等列方程，能简化计算过程，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
11. 在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(0,a),B(b,24-b),C(2a-3,0),0＜a＜b＜24$，若$OB$平分$∠ AOC$，且$AB=BC$，则$a+b$的值为（）
A.15或21
B.9或11
C.15或20
D.15或19
A.15或21
B.9或11
C.15或20
D.15或19
答案
A
解析
【分析】
首先，∠AOC是x轴与y轴的夹角，为90°，OB平分∠AOC，说明点B在第一象限的角平分线y=x上，由此可先求出b的值；再根据AB=BC，利用两点间距离平方相等列方程求解a的值，最后结合0＜a＜b＜24的范围筛选符合条件的a，计算a+b即可。
【解析】
1. 求b的值
∵点A在y轴，点C在x轴，
∴∠AOC=90°，
又
∵OB平分∠AOC，
∴点B在第一象限角平分线y=x上，即点B的横、纵坐标相等。
已知B(b,24-b)，则有：
$b=24-b$，解得$b=12$，即B点坐标为$(12,12)$，满足$b＜24$的条件。
2. 根据AB=BC列方程求a
已知A$(0,a)$，C$(2a-3,0)$，由AB=BC可得两点距离平方相等：
$AB^2=BC^2$
代入坐标得：
$(12-0)^2+(12-a)^2=(2a-3-12)^2+(0-12)^2$
化简得：
$144+(12-a)^2=(2a-15)^2+144$
两边消去144，得$(12-a)^2=(2a-15)^2$，分两种情况讨论：
① 当$12-a=2a-15$时，移项得$3a=27$，解得$a=9$；
② 当$12-a=-(2a-15)$时，化简得$12-a=-2a+15$，解得$a=3$。
3. 验证范围并计算a+b
已知$0＜a＜b=12$，$a=3$和$a=9$均符合要求：
当$a=3$时，$a+b=3+12=15$；
当$a=9$时，$a+b=9+12=21$。
综上，$a+b$的值为15或21。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；平面直角坐标系点的特征；两点间距离公式
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何性质的综合题，解题关键是先将角平分线的几何特征转化为点的坐标关系求出固定值b，再利用距离相等列方程，注意平方相等时存在两种情况，避免漏解，最后要结合题干给出的取值范围对解进行验证筛选。
【难度系数】
0.6
首先，∠AOC是x轴与y轴的夹角，为90°，OB平分∠AOC，说明点B在第一象限的角平分线y=x上，由此可先求出b的值；再根据AB=BC，利用两点间距离平方相等列方程求解a的值，最后结合0＜a＜b＜24的范围筛选符合条件的a，计算a+b即可。
【解析】
1. 求b的值
∵点A在y轴，点C在x轴，
∴∠AOC=90°，
又
∵OB平分∠AOC，
∴点B在第一象限角平分线y=x上，即点B的横、纵坐标相等。
已知B(b,24-b)，则有：
$b=24-b$，解得$b=12$，即B点坐标为$(12,12)$，满足$b＜24$的条件。
2. 根据AB=BC列方程求a
已知A$(0,a)$，C$(2a-3,0)$，由AB=BC可得两点距离平方相等：
$AB^2=BC^2$
代入坐标得：
$(12-0)^2+(12-a)^2=(2a-3-12)^2+(0-12)^2$
化简得：
$144+(12-a)^2=(2a-15)^2+144$
两边消去144，得$(12-a)^2=(2a-15)^2$，分两种情况讨论：
① 当$12-a=2a-15$时，移项得$3a=27$，解得$a=9$；
② 当$12-a=-(2a-15)$时，化简得$12-a=-2a+15$，解得$a=3$。
3. 验证范围并计算a+b
已知$0＜a＜b=12$，$a=3$和$a=9$均符合要求：
当$a=3$时，$a+b=3+12=15$；
当$a=9$时，$a+b=9+12=21$。
综上，$a+b$的值为15或21。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；平面直角坐标系点的特征；两点间距离公式
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何性质的综合题，解题关键是先将角平分线的几何特征转化为点的坐标关系求出固定值b，再利用距离相等列方程，注意平方相等时存在两种情况，避免漏解，最后要结合题干给出的取值范围对解进行验证筛选。
【难度系数】
0.6
12. 在平面直角坐标系中,点$A(-2,3)$,$B(1,-4)$,经过点$A$的直线$l// y$轴,若点$C$为直线$l$上的一个动点,则当线段$BC$的长度最小时,点$C$的坐标为.
答案
解：
∵ 直线l经过点A(-2,3)，且$l// y$轴，
∴ 直线l上所有点的横坐标都为-2，即直线l为$x=-2$。
根据垂线段最短的性质，当$BC⊥ l$时，线段BC的长度最小。
∵ $l// y$轴，
∴ $BC// x$轴，此时点C的纵坐标与点B(1,-4)的纵坐标相等，为-4。
又∵ 点C在直线l上，横坐标为-2，
∴ 点C的坐标为$(-2,-4)$。
∵ 直线l经过点A(-2,3)，且$l// y$轴，
∴ 直线l上所有点的横坐标都为-2，即直线l为$x=-2$。
根据垂线段最短的性质，当$BC⊥ l$时，线段BC的长度最小。
∵ $l// y$轴，
∴ $BC// x$轴，此时点C的纵坐标与点B(1,-4)的纵坐标相等，为-4。
又∵ 点C在直线l上，横坐标为-2，
∴ 点C的坐标为$(-2,-4)$。
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：第一步先确定直线l的特征，已知直线l平行y轴且过点A(-2,3)，平行于y轴的直线上所有点的横坐标都相等，因此可先得出直线l的表达式；第二步回忆最短路径的性质，点到直线的所有连线中，垂线段最短，因此当BC垂直于直线l时，BC的长度最小；第三步结合平行坐标轴的直线的坐标特征求点C坐标，直线l是竖直直线，垂直于它的直线是水平直线（平行于x轴），平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，由此可确定点C的纵坐标，再结合直线l的横坐标特征即可得到点C坐标。
【解析】
∵ 直线l经过点A(-2,3)，且$l// y$轴，
∴ 直线l上所有点的横坐标均为-2，即直线l的表达式为$x=-2$。
根据垂线段最短的性质可知，当$BC⊥ l$时，线段BC的长度最小。
∵ $l// y$轴，
∴ $BC// x$轴，此时点C的纵坐标与点B(1,-4)的纵坐标相等，即为-4。
又
∵ 点C在直线l上，横坐标为-2，
∴ 点C的坐标为$(-2,-4)$。
【答案】
$(-2,-4)$
【知识点】
1. 垂线段最短的性质
2. 平行于坐标轴的直线上点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系中的最短路径基础题，解题核心是先确定动点所在直线的特征，再结合垂线段最短的性质确定最短距离对应的动点位置，最后利用平行坐标轴直线的坐标特点求解坐标，是坐标与几何性质结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步梳理：第一步先确定直线l的特征，已知直线l平行y轴且过点A(-2,3)，平行于y轴的直线上所有点的横坐标都相等，因此可先得出直线l的表达式；第二步回忆最短路径的性质，点到直线的所有连线中，垂线段最短，因此当BC垂直于直线l时，BC的长度最小；第三步结合平行坐标轴的直线的坐标特征求点C坐标，直线l是竖直直线，垂直于它的直线是水平直线（平行于x轴），平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，由此可确定点C的纵坐标，再结合直线l的横坐标特征即可得到点C坐标。
【解析】
∵ 直线l经过点A(-2,3)，且$l// y$轴，
∴ 直线l上所有点的横坐标均为-2，即直线l的表达式为$x=-2$。
根据垂线段最短的性质可知，当$BC⊥ l$时，线段BC的长度最小。
∵ $l// y$轴，
∴ $BC// x$轴，此时点C的纵坐标与点B(1,-4)的纵坐标相等，即为-4。
又
∵ 点C在直线l上，横坐标为-2，
∴ 点C的坐标为$(-2,-4)$。
【答案】
$(-2,-4)$
【知识点】
1. 垂线段最短的性质
2. 平行于坐标轴的直线上点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系中的最短路径基础题，解题核心是先确定动点所在直线的特征，再结合垂线段最短的性质确定最短距离对应的动点位置，最后利用平行坐标轴直线的坐标特点求解坐标，是坐标与几何性质结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
13. [长沙长郡中学自主招生] 如图，正方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物质A与物质Q均由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以每秒1个单位长度匀速运动，物质Q按顺时针方向，以每秒2个单位长度匀速运动，则两个物质运动后的第2026次相遇地点的坐标是。
答案
解：
由图可得正方形BCDE的顶点坐标为$B(2,2)$，$C(-2,2)$，$D(-2,-2)$，$E(2,-2)$，
正方形边长为4，周长为$4×4=16$。
物质A的速度为1单位/秒，物质Q的速度为2单位/秒，两者速度和为3单位/秒。
每相遇一次，两者运动的总路程和等于正方形的周长16，因此每次相遇的时间间隔为$\frac{16}{3}$秒。
每次相遇时，物质A运动的路程为$1×\frac{16}{3}=\frac{16}{3}$个单位长度：
第1次相遇时，A运动了$\frac{16}{3}$个单位长度：从$A(2,0)$向上走2个单位到$B(2,2)$，剩余$\frac{16}{3}-2=\frac{10}{3}$个单位长度，向左运动$\frac{10}{3}$个单位，对应坐标为$(2-\frac{10}{3},2)$，即$(-\frac{4}{3},2)$；
第2次相遇时，A运动了$2×\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$个单位长度：从A出发累计走$2+4+4=10$个单位到达$D(-2,-2)$，剩余$\frac{32}{3}-10=\frac{2}{3}$个单位长度，向右运动$\frac{2}{3}$个单位，对应坐标为$(-2+\frac{2}{3},-2)$，即$(-\frac{4}{3},-2)$；
第3次相遇时，A运动了$3×\frac{16}{3}=16$个单位长度，刚好走完正方形一周，回到出发点$A(2,0)$。
因此相遇点以3为周期循环，依次为$(-\frac{4}{3},2)$，$(-\frac{4}{3},-2)$，$(2,0)$。
计算得$2026÷3=675······1$，余数为1，对应周期内第一个相遇点。
第2026次相遇地点的坐标是$\boldsymbol{(-\frac{4}{3},2)}$。
由图可得正方形BCDE的顶点坐标为$B(2,2)$，$C(-2,2)$，$D(-2,-2)$，$E(2,-2)$，
正方形边长为4，周长为$4×4=16$。
物质A的速度为1单位/秒，物质Q的速度为2单位/秒，两者速度和为3单位/秒。
每相遇一次，两者运动的总路程和等于正方形的周长16，因此每次相遇的时间间隔为$\frac{16}{3}$秒。
每次相遇时，物质A运动的路程为$1×\frac{16}{3}=\frac{16}{3}$个单位长度：
第1次相遇时，A运动了$\frac{16}{3}$个单位长度：从$A(2,0)$向上走2个单位到$B(2,2)$，剩余$\frac{16}{3}-2=\frac{10}{3}$个单位长度，向左运动$\frac{10}{3}$个单位，对应坐标为$(2-\frac{10}{3},2)$，即$(-\frac{4}{3},2)$；
第2次相遇时，A运动了$2×\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$个单位长度：从A出发累计走$2+4+4=10$个单位到达$D(-2,-2)$，剩余$\frac{32}{3}-10=\frac{2}{3}$个单位长度，向右运动$\frac{2}{3}$个单位，对应坐标为$(-2+\frac{2}{3},-2)$，即$(-\frac{4}{3},-2)$；
第3次相遇时，A运动了$3×\frac{16}{3}=16$个单位长度，刚好走完正方形一周，回到出发点$A(2,0)$。
因此相遇点以3为周期循环，依次为$(-\frac{4}{3},2)$，$(-\frac{4}{3},-2)$，$(2,0)$。
计算得$2026÷3=675······1$，余数为1，对应周期内第一个相遇点。
第2026次相遇地点的坐标是$\boldsymbol{(-\frac{4}{3},2)}$。
解析
【分析】
这是结合平面直角坐标系的行程相遇与周期综合题，解题思路如下：第一步先根据图形确定正方形的边长和周长，两个物体反向运动，每次相遇时两者的路程和刚好等于正方形周长；第二步计算每次相遇时物体A运动的总路程，依次求出前几次的相遇点坐标，总结出相遇点的循环周期；第三步用总相遇次数除以周期，根据余数判断第2026次相遇对应周期内的位置，即可得到最终坐标。
【解析】
1. 确定正方形基本参数：由图可得正方形BCDE的顶点坐标为$B(2,2)$，$C(-2,2)$，$D(-2,-2)$，$E(2,-2)$，边长为4，周长为$4×4=16$。
2. 计算相遇相关参数：物质A速度为1单位/秒，物质Q速度为2单位/秒，两者速度和为3单位/秒；每次相遇时两者总路程和为正方形周长16，因此每次相遇的时间间隔为$\frac{16}{3}$秒，每次相遇时物质A运动的路程为$1×\frac{16}{3}=\frac{16}{3}$个单位。
3. 寻找相遇点周期规律：
第1次相遇：A共走$\frac{16}{3}$单位，从$(2,0)$向上走2单位到$B(2,2)$，剩余$\frac{16}{3}-2=\frac{10}{3}$单位向左运动，横坐标为$2-\frac{10}{3}=-\frac{4}{3}$，纵坐标为2，相遇点为$(-\frac{4}{3},2)$；
第2次相遇：A共走$2×\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$单位，累计走$2+4+4=10$单位到达$D(-2,-2)$，剩余$\frac{32}{3}-10=\frac{2}{3}$单位向右运动，横坐标为$-2+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$，纵坐标为-2，相遇点为$(-\frac{4}{3},-2)$；
第3次相遇：A共走$3×\frac{16}{3}=16$单位，刚好走完正方形一周回到出发点$(2,0)$。
可得相遇点以3次为一个周期循环，循环顺序为$(-\frac{4}{3},2)$、$(-\frac{4}{3},-2)$、$(2,0)$。
4. 定位第2026次相遇点：$2026÷3=675······1$，余数为1，对应周期内第一个相遇点。
【答案】
$\boldsymbol{(-\dfrac{4}{3},2)}$
【知识点】
平面直角坐标系，行程相遇问题，周期规律应用
【点评】
本题将行程问题、坐标系知识与周期规律相结合，解题核心是通过计算前几次相遇点总结出循环规律，再利用余数定位最终位置，能够有效考察综合分析和规律探究能力。
【难度系数】
0.5
这是结合平面直角坐标系的行程相遇与周期综合题，解题思路如下：第一步先根据图形确定正方形的边长和周长，两个物体反向运动，每次相遇时两者的路程和刚好等于正方形周长；第二步计算每次相遇时物体A运动的总路程，依次求出前几次的相遇点坐标，总结出相遇点的循环周期；第三步用总相遇次数除以周期，根据余数判断第2026次相遇对应周期内的位置，即可得到最终坐标。
【解析】
1. 确定正方形基本参数：由图可得正方形BCDE的顶点坐标为$B(2,2)$，$C(-2,2)$，$D(-2,-2)$，$E(2,-2)$，边长为4，周长为$4×4=16$。
2. 计算相遇相关参数：物质A速度为1单位/秒，物质Q速度为2单位/秒，两者速度和为3单位/秒；每次相遇时两者总路程和为正方形周长16，因此每次相遇的时间间隔为$\frac{16}{3}$秒，每次相遇时物质A运动的路程为$1×\frac{16}{3}=\frac{16}{3}$个单位。
3. 寻找相遇点周期规律：
第1次相遇：A共走$\frac{16}{3}$单位，从$(2,0)$向上走2单位到$B(2,2)$，剩余$\frac{16}{3}-2=\frac{10}{3}$单位向左运动，横坐标为$2-\frac{10}{3}=-\frac{4}{3}$，纵坐标为2，相遇点为$(-\frac{4}{3},2)$；
第2次相遇：A共走$2×\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$单位，累计走$2+4+4=10$单位到达$D(-2,-2)$，剩余$\frac{32}{3}-10=\frac{2}{3}$单位向右运动，横坐标为$-2+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$，纵坐标为-2，相遇点为$(-\frac{4}{3},-2)$；
第3次相遇：A共走$3×\frac{16}{3}=16$单位，刚好走完正方形一周回到出发点$(2,0)$。
可得相遇点以3次为一个周期循环，循环顺序为$(-\frac{4}{3},2)$、$(-\frac{4}{3},-2)$、$(2,0)$。
4. 定位第2026次相遇点：$2026÷3=675······1$，余数为1，对应周期内第一个相遇点。
【答案】
$\boldsymbol{(-\dfrac{4}{3},2)}$
【知识点】
平面直角坐标系，行程相遇问题，周期规律应用
【点评】
本题将行程问题、坐标系知识与周期规律相结合，解题核心是通过计算前几次相遇点总结出循环规律，再利用余数定位最终位置，能够有效考察综合分析和规律探究能力。
【难度系数】
0.5
